thu thuat casio
Thủ thuật 1: Khai triển đa thức hệ số nguyên hoặc hệ số là phân số nhỏ
(Cái này áp dụng rất nhiều trong việc giải toán)
a) Hệ số nguyên
Nội dung: Ta nên nhớ một điều như sau:
Giả sử khi khai triển đa thức thì đa thức có dạng:
a
x
+
a
−
1
x
−
1
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
Tại
x
=
10
thì đa thức có giá trị là
a
a
−
1
.
.
.
a
1
a
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Tại
x
=
100
thì đa thức có giá trị làa
0
a
−
1
0...0
a
1
0
a
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Tại
x
=
1000
thì đa thức có giá trị là
a
00
a
−
1
00...00
a
1
00
a
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
...
Chắc bạn sẽ khó hiểu về cái này ! Nhưng hãy ấn phím trên CASIO và làm theo các bước sau là bạn sẽ hiểu ngay:
Bước 1: Nhập đa thức :
9
X
3
+
2
X
2
+
7
X
+
1
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi
X
?
Bước 3: Nhập
10
và ấn nút=
. Bạn sẽ thấy kết quả là9271
. Ấn tiếp "=", máy hỏi
X
?
Bước 4: Nhập
100
và ấn nút=
. Bạn sẽ thấy kết quả là
9020701
. Ấn tiếp "=", máy hỏi
X
?
Bước 5: Nhập
1000
và ấn nút
=
. Bạn sẽ thấy kết quả là
9002007001
Vậy chắc bạn đã hiểu, nếu không hiểu Comment bên dưới
Nhưng nếu những hệ số là số nguyên âm thì sao ? Lại tìm hiểu tiếp nhé !
Bước 1: Nhập đa thức :
9
X
3
−
2
X
2
−
7
X
+
1
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi
X
?
Bước 3: Nhập
10
và ấn nút
=
. Bạn sẽ thấy kết quả là
8731
. Ấn tiếp "=", máy hỏiX
?
Bước 4: Nhập
100
và ấn nút
=
. Bạn sẽ thấy kết quả là8979301
. Ấn tiếp "=", máy hỏiX
?
Bước 5: Nhập
1000
và ấn nút=
. Bạn sẽ thấy kết quả là8997993001
. Ấn tiếp "=", máy hỏi
X
?
Bước 6: Nhập
10000
và ấn nút=
. Bạn sẽ thấy kết quả là
8999799930001
Nhận xét: Nếu số bạn nhập là
10
x
(tức là số100...0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
với
x
số
0
), hãy chia kết quả thành các khoảngx
chữ số từ phải sang trái. VD:8997993001
thì là
8
997
993
001
hoặc8999799930001
thì là
8
9997
9993
0001
Gọi giá trị khoảng thứ
≤
) là
k
thì ta có:+ Nếu
k
có nhiều số9
thì hệ số
a
=
10
x
−
k
+ Nếu
k
có nhiều số0
thì hệ số
a
=
k
P/s: Mình nói hơi khó hiểu và lòng vòng, tốt nhất là nên đọc luôn cách làm bên dưới:
Cách làm:
Cách 1: (Chỉ áp dụng cho các bài có hệ số
≤
3
).VD cần khai triển
2
x
+
1
2
x
−
1
−
7
x
2
+
1
−
8
Bước 1: Nhập đa thức ẩn
X
với các hệ số nguyên và không quá cồng kềnh.
(VD
2
X
+
1
2
X
−
1
−
7
X
2
+
1
−
8
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi
X
?
, Ấn
1000
và ấn=
Bước 3: Máy hiện ra kết quả là một số có nhiều chữ số, tách ra từng 3 chữ số một từ phải sang trái
(VD: Máy hiện
1994997983
thì ta tách1
994
997
983
Bước 4: Ta lần lượt tìm hệ số
a
0
,
a
1
,
.
.
.
bằng cách sau:
Nhóm 3 chữ số thứ
k
(tính từ phải sang trái) có giá trị là
M
k
, chữ số hàng trăm của
M
k
là số9
thì chứng tỏ hệ số của
x
k
sẽ làM
k
−
1000
(số âm), và giá trị của nhóm thứk
+
1
sẽ có giá trị làM
k
+
1
+
1
(tăng thêm 1)
Nhóm 3 chữ số thứ
k
(tính từ phải sang trái) có giá trị là
M
k
, chữ số hàng trăm củaM
k
là số0
thì chứng tỏ hệ số củax
k
sẽ làM
k
(số dương)
(VD: Nhóm 1:
983
thì hệ số
a
0
là
−
17
và thêm 1 vào nhóm 2Nhóm 2:
997
thì hệ sốa
1
là−
3
+
1
=
−
2
và thêm 1 vào nhóm 3Nhóm 3:
994
thì hệ sốa
2
là−
6
+
1
=
−
5
và thêm 1 vào nhóm 4Nhóm 4:
001
thì hệ sốa
3
là1
+
1
=
2
Bước 5: Điền kết quả:
2
x
+
1
2
x
−
1
−
7
x
2
+
1
−
8
=
2
x
3
−
5
x
2
−
2
x
−
17
Bước 6: Thử lại cho chắc ăn !
(Ấn
2
x
+
1
2
x
−
1
−
7
x
2
+
1
−
8
−
2
x
3
−
5
x
2
−
2
x
−
17
, gán giá trịx
=
1
,
2
,
3
,
4
,
.
.
.
mà thấy kết quả luôn =0 thì chắc là chính xác)Nhận xét: Cách này không hay lắm, nếu làm quen thì chắc nhìn hệ số các nhóm là sẽ biết được ngày kết quả triển.
Cách 2: Áp dụng cho bậc cao, hệ số nguyên (Bậc cũng đừng cao quá, hì hì)
VD cần khai triển
2
x
+
1
3
x
−
1
2
−
7
x
2
+
1
2
−
8
Bước 1: Gán giá trị
x
=
1000
hoặc10000
nếu thích.
(Tại
x
=
1000
thì kết quả là
1
,
994995982
x
10
15
Bước 2: Nhìn vào giá trị sau dấu phảy, xem xét số bên cạnh nó ! Nếu số bên cạnh là
9
thì hệ số bậc cao nhất là hệ số sau dấu phảy công 1, nếu là số0
thì dữ nguyên.(Sau dấu phảy là số
1
, cạnh nó là số9
, suy ra hệ số bậc cao nhất (bậc 5) là
2
Bước 3: Viết lại đa thức, sau đó trừ đi bậc cao nhất vừa tìm.
2
x
+
1
3
x
−
1
2
−
7
x
2
+
1
2
−
8
−
2
x
5
Bước 4: Cho
x
=
1000
thì kết quả là bậc đa thức sẽ giảm, tiếp tục làm như bước 2(Tại
x
=
1000
thì giá trị nhân được là−
5
,
004017998
x
10
12
. Do đó bậc hạ từ15
xuống12
nên đa thức có hệ số bậc 4 khác 0.
Sau dấu phảy là số
−
5
, cạnh nó là số0
nên hệ số bậc 4 là−
5
Ấn tiếp
2
x
+
1
3
x
−
1
2
−
7
x
2
+
1
2
−
8
−
2
x
5
+
5
x
4
Gán
x
=
100
thì kết quả là
−
4179813
, tách thành−
4
17
98
13
ta được hệ số bậc
3
là
−
4
, hệ số bậc
2
là
−
18
, hệ số bậc nhất là
2
, hệ số tự do là
−
13
Bước 5: Ghi kết quả:
2
x
+
1
3
x
−
1
2
−
7
x
2
+
1
2
−
8
=
2
x
5
−
5
x
4
−
4
x
3
−
18
x
2
+
2
x
−
13
Bước 6: Thử lại
Nhận xét: Làm nhiều mới quen, chứ cái này khó nói lắm. Cũng hay chứ nhỉ ?
b) Hệ số là phân số:
Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất các mẫu mà ta dự đoán chúng sẽ góp mặt trong hệ số sau khi phân tích
Bước 2: Viết đa thức, có cả phân số, tất cả đa thức nhân với ước chung lớn nhất vừa tìm được
Bước 3: Làm như phần a)
P/s: Ai không hiểu cứ comment
Thủ thuật 2: Phân tích phương trình bậc 4 thành nhân tử (Cái này mình post lại)
Đối với phương trình bậc 4 dạng
f
x
=
a
x
4
+
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
ta chia làm 2 mảng lớn:*** Đầu tiên là phương trình
f
x
có nghiệm, ta xét:
- Nếu trong trường hợp bạn phải đi thi, kiểm tra thì bạn nên sử dụng máy tính CASIO
f
x
mà giải nhé, sau đây là hướng dẫn giải phương trình bậc 4 bằng Casio :+Trường hợp 1: Bạn lấy máy tính, viết phương trình bậc 4 của bạn vào, ấn Shift + Solve và sau đó ấn "=" để giải phương trình bậc 4 đó:
@@1: Nếu máy tính hiện ra
X
=
một số nguyên cụ thể nào đó hoặc là số vô hạn có tuần hoàn (VD:1,3333333...)thì bạn ấn AC, sau đó ấn RCL + X thì máy sẽ hiện lên chính xác nghiệm đó của bạn (số nguyên hoặc phân số tối giản).
Khi đó
f
x
có một nhân tử là
x
−
X
(với X là nghiệm bạn vừa tính được).
Sau đó bạn sẽ phân tích thành
x
−
X
x
3
+
x
2
+
x
+
q
.
Khi đó dùng máy tính để giải nghiệm phương trình bậc 3 nhé bằng cách vào Mode Mode Mode 1 rồi lần lượt ghi hệ số của nó vào nhé.
Từ đó bạn nhận được tất cả các nghiệm của
f
x
gồm X và 3 ngiệm của phương trình bậc 3 đó. . .@@2: Nếu máy tính hiên ra
X
=
một số vô hạn không tuần hoàn, bạn chuyển sang Trường hợp 2(Cái này mới khó)+Trường hợp 2:( Cái này là công thức bí mật đấy):
Khi tìm được 1 nghiệm của phương trình bậc 4 đó, bạn chuyển dữ liệu sang A bằng cách ấn Alpha X Shift Sto A
Sau đó bạn viết lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp
X
?
bạn nhập 100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải.Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.
Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang B bằng cách ấn Alpha X Shift Sto B.
Sau đó bạn viết lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp
X
?
bạn nhập -100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải.Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.
Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang C bằng cách ấn Alpha X Shift Sto C (Thế là đủ).
Cái này là xong nè: Ấn Alpha A + Alpha B rồi "=", nếu kết quả là số nguyên hoặc phân số thì bạn ấn tiếp Alpha A Alpha B rồi "=" để
tính được tích của 2 số đó.
Khi ấy áp dụng định lý Viét đảo ta được
f
x
có một nhân tử là
x
2
−
A
+
B
x
+
A
B
(Hay chưa).
Còn nếu A+B không là số nguyên hoặc số vô hạn có tuần hoàn (Tức là phân số ấy) thì Bạn làm tương tự với tổng B+C, C+A từ đó tìm được nhân tử của
f
x
Nói không bằng làm, bạn hãy làm theo ví dụ sau, chắc bạn sẽ hiểu:
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
Ta ấn phím trên máy tính CASIO như sau:
Viết PT
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
trên máy tính CASIO fx-570MS hoặc fx-570ES.Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi X?
Ấn 10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện X=1,791287847
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO A
_______________________________________________________________
Viết lại phương trình :
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi X?
Ấn -10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện X= - 2,791287847
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO B
______________________________________________________
Viết lại phương trình :
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi X?
Ấn -1 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện X= 0,4142135624
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO C
________________________________________________________________
Nhận xét:
Ấn Alpha B + Alpha C =
Máy hiện : -2,377074285
Ấn Alpha C + Alpha A =
Máy hiện : 2,20550141
Ấn Alpha A + Alpha B =
Máy hiện : -1
_____________________________
Chứng tỏ trong các tổng A+B, B+C, C+A thì chỉ thấy A+B nguyên (hoặc là một số vô hạn tuần hoàn)
Ấp tiếp Alpha A x Alpha B =
Máy hiện : -5
Chứng tỏ A, B là nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x :
x
2
−
A
+
B
x
+
A
B
=
0
Mà A+B= -1, A.B= -5
Suy ra A, B là nghiệm của phương trình
x
2
+
x
−
5
=
0
Mà A, B cũng là nghiệm của phương trình:
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
Suy ra
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
khi phân tích nhân tử có một nhân tử làx
2
+
x
−
5
Suy ra
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
x
2
+
x
−
5
a
x
2
+
x
+
c
Từ đó ta phân tích thành nhân tử được
Bài tập áp dụng:
x
4
+
3
x
3
−
4
x
2
−
11
x
+
5
=
0
x
4
+
12
x
3
+
21
x
2
−
24
x
+
5
=
0
x
4
−
6
x
3
−
132
x
2
+
885
x
+
500
=
0
10
x
4
+
27
x
3
−
16
x
2
−
45
x
+
28
=
0
10
x
4
+
27
x
3
+
245
x
2
+
306
x
+
1288
=
0
x
4
+
9
x
3
+
20
x
2
+
9
x
+
1
=
0
Thủ thuật 3: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (Tổng quát của thủ thuật 2)
Nhận xét: Đôi khi ta thấy những bài phương trình vô tỷ mà chỉ cần nhìn là thấy bình phương lên ra phương trình bậc cao cho nó lành ( = Bước đường cùng - Nguyễn Công Hoan) nhưng chính việc khai triển nó, phân tích thành nhân tử khiến chúng ta nản. Nhưng phương pháp sau đây sẽ giúp ích phần nào điều đó.
Nội dung: Trước tiên, cần xác định bậc của đa thức, để khi phân tích thành nhân tử ta sẽ kiểm tra xem có thiếu nhân tử nào không ! VD:
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
36
x
2
−
7
x
+
2
có bậc là
6
Sau đó, xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình, giống như phương trình bậc 4
Cách làm:
Cách 1: Áp dụng cho những bài mà nhân tử của nó là đa thức bậc < 3
Bước 1: Nhập đa thức:
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
36
x
2
−
7
x
+
2
Bước 2: Giải nghiệm phương trình, cho
X
là điểm giữa khoảng nghiệmVD:
0.414213562
,
−
2.414213562
,
1.618033988
,
−
0.6180339880
Bước 3: Cố tìm xem các nghiệm ấy là nghiệm của phương trình bậc 2 hay bậc 3 nào ?
VD:
x
2
−
x
−
1
=
0
và
x
2
+
2
x
−
1
=
0
Bước 4: Viết luôn ra vở rằng PT tương đương với
x
2
−
x
−
1
x
2
+
2
x
−
1
.
.
.
với ... là một tam thức bậc 2 có dạnga
x
2
+
x
+
c
. Quan trọng bây giờ là tìma
,
,
c
Bước 5: Vì hệ số bậc cao nhất phương trình bậc 6 là 1 nên
a
=
1
, hệ số tự do bằng6
nên
c
=
6
Bước 6: Viết ra máy tính như sau:
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
36
x
2
−
7
x
+
2
−
x
2
−
x
−
1
x
2
+
2
x
−
1
x
2
+
A
x
+
6
,
A
Bước 7: Ấn Shift + Solve để giải phương trình trên theo
A
. Đầu tiên cho
X
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
mà khi giải, ta luôn được
A
=
4
, do đó=
4
Bước 8: Viết tiếp
x
2
+
4
x
+
6
Bước 9: Thử lại
Nhận xét: Cách này hơi hạn chế
Cách 2: (Một số bài toán khi bình phương để giải phương trình bậc cao, lại ra một tam thức bậc 2 nhân với một đa thức bậc 4 hoặc bậc 3, cách này vẫn gần giống cách 1 nhưng nó giúp chúng ta tìm được nhân tử phương trình còn lại. Cách này áp dụng thủ thuật 1.)
VD: Giải phương trình
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
26
x
2
−
17
x
−
8
=
0
Bước 1: Tìm các nghiệm phương trình, thấy phương trình có đúng 2 nghiệm và từ đó ta có nhân tử
x
2
−
x
−
1
(Như cách 1)
Bước 2: Ta sẽ tìm nốt nhân tử bậc 4 còn lại, cách làm như sau:
Viết lên máy tính:
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
26
x
2
−
17
x
−
8
x
2
−
x
−
1
Bước 3: Cho
x
=
1000
thì ta được kết quả là
1
,
006013008
x
10
12
Chứng tỏ hệ số bậc 4 là
1
Bước 4: Viết tiếp
x
2
+
1
2
x
2
+
5
x
+
4
−
21
x
3
−
26
x
2
−
17
x
−
8
x
2
−
x
−
1
−
x
4
Cho
x
=
1000
ta được
6013008004
nên ta được phương trình bậc 4 là:
x
4
+
6
x
3
+
13
x
2
+
8
x
+
4
Bước 5: Viết :
x
2
−
x
−
1
x
4
+
6
x
3
+
13
x
2
+
8
x
+
4
=
0
Bước 6: Chứng minh phương trình bậc 4 kia vô nghiệm (Xem thủ thuật 4)
Bước 7: Kết luận (Cái này nhiều người thiếu)
Nhận xét: Thủ thuật này làm mất đi trí óc, tư duy con người nên không khuyến cáo dùng cách này...
Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm: (Post lại bài mình đã post)
Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)
_________________________
Xét PT
f
x
=
x
4
+
a
x
3
+
x
2
+
c
x
+
d
vớid
0
và
a
,
,
c
là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x
4
−
6
x
3
+
16
x
2
−
22
x
+
16
=
0
Cách 1:
Cách ăn may:
đó chính là
f
x
phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,giống như
f
x
=
x
4
−
6
x
3
+
16
x
2
−
22
x
+
16
Khi đó
f
x
=
x
2
−
2
x
+
3
x
2
−
4
x
+
5
+
1
0
[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?
Cách làm ở đây là đặt
f
x
=
x
2
+
a
x
+
x
2
+
c
x
+
d
+
Suy ra
f
x
=
x
4
+
a
+
c
x
3
+
d
+
a
c
+
x
2
+
c
+
a
d
x
+
d
+
Đồng nhất với đa thức ban đầu là
f
x
=
x
4
−
6
x
3
+
16
x
2
−
22
x
+
16
Ta có:
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
a
+
c
=
−
4
d
+
a
c
+
=
16
c
+
a
d
=
−
22
d
+
=
16
Từ đó dễ dàng suy ra
a
=
−
2
,
=
3
,
c
=
−
4
,
d
=
5
,
=
1
nhờ phương pháp mò(Vì đây là cách ăn may mà)
Cách 2:
(Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)
Cũng từ:
A
=
f
x
=
x
4
−
6
x
3
+
16
x
2
−
22
x
+
16
Ta sẽ chứng minh
f
x
0
bằng cách đặt
x
=
y
−
a
4
, để mất đi hệ số củay
3
Đặt
x
=
y
+
3
2
Biểu thức đã cho trở thành:
A
=
y
4
+
5
y
2
2
−
y
+
61
16
=
y
4
−
2
y
2
+
2
+
2
+
5
2
y
2
−
y
+
61
16
−
2
(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)
Cần tìm
−
5
2
để PT2
+
5
2
y
2
−
y
+
61
16
−
2
vô nghiệm (khi đó nó mới >0)Thì
Δ
=
<
0
Tìm bất kì số nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn
5
2
Có nhiều
thỏa mãn lắm, VD:
=
0
hoặc
=
−
1
hoặc
=
1
là đẹp mắt nhất
Chọn một cái và làm !
Giả sử:
a)
=
−
1
thì
A
=
y
2
+
1
2
+
3
2
y
−
1
3
2
+
175
48
Suy ra
A
=
x
2
−
3
x
+
13
4
2
+
3
2
x
−
11
6
2
+
175
48
0
=
0
thìA
=
y
4
+
5
2
y
−
1
5
2
+
297
80
Suy ra
A
=
x
−
3
2
4
+
5
2
x
−
17
10
2
+
297
80
0
c)
=
1
thì
A
=
y
2
−
1
2
+
7
2
y
−
1
7
2
+
419
112
Suy ra
A
=
x
2
−
3
x
+
5
4
2
+
7
2
x
−
23
14
2
+
419
112
_______________________
Nhận xét:
Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:
"Mình cũng chia sẻ chút chỗ này :
Khi đã ra
A
=
y
4
+
5
y
2
2
−
y
+
61
16
thì trước khi chọn hệ số
thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai5
y
2
2
−
y
+
61
16
có vô nghiệm hay không:+) Nếu vô nghiệm
Δ
<
0
thì ta phân tích thẳng luôn:A
=
y
4
+
5
2
y
−
1
5
2
+
297
80
, tức là chọn=
0
để đỡ mất công cho phần sau
+) Nếu có nghiệm thì lại phải lục cục đi tìm
thôi "
________________________
Để không phải xét như thế, mình post một VD khác để có thể áp dụng hoàn toàn :
Ví Dụ 2: Giải phương trình
12
x
4
−
108
x
3
+
312
x
2
+
183
x
+
119
=
0
___________
Nhận xét:
Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi Casio để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì chắc là phương trình không có nghiệm
Hướng làm: (Cái này trong nháp)
Ta thấy
12
x
4
−
108
x
3
+
312
x
2
+
183
x
+
119
=
0
⇔
x
4
−
9
x
3
+
26
x
2
+
61
4
x
+
119
12
=
0
Đặt
A
=
x
4
−
9
x
3
+
26
x
2
+
61
4
x
+
119
12
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng
f
x
=
x
4
+
a
x
3
+
x
2
+
c
x
+
d
=
0
thì bạn đặt
x
=
y
−
a
4
rồi rút gọn lạiVậy đặt
x
=
y
−
−
9
4
Suy ra
A
=
y
−
−
9
4
4
−
9
y
−
−
9
4
3
+
26
y
−
−
9
4
2
+
61
4
y
−
−
9
4
+
119
12
=
y
4
+
9
y
3
+
243
8
y
2
+
729
16
y
+
6561
256
−
9
y
3
−
243
4
y
2
−
2187
16
y
−
6561
64
+
26
y
2
+
117
y
+
1053
8
+
61
4
y
+
2123
48
=
y
4
−
35
8
y
2
+
329
8
y
+
76007
768
Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:
A
=
y
4
−
35
8
y
2
+
329
8
y
+
76007
768
=
y
4
−
2
y
2
+
2
+
2
−
35
8
y
2
+
329
8
y
−
2
+
76007
768
Để
A
0
thì ta sẽ tìm35
16
để phương trình2
−
35
8
y
2
+
329
8
y
−
2
+
76007
768
=
0
vô nghiệmHay
Δ
=
108241
64
−
4
2
−
35
8
−
2
+
76007
768
=
8
3
−
35
2
2
−
76007
96
+
5258029
1536
<
0
(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập
Δ
vào máy tính Casio rồi ấn Calc.Máy hỏi M? Ấn thử xem với
M
bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)Có nhiều giá trị của
thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn lấy cái đẹp nhất nhưng mà thỏa mãn
35
16
VD: Ta lấy
bất kì chỉ cần thỏa mãn51
10
≤
≤
39
5
là BĐT kia đúng !!!
(Cách tìm nhanh mà không phải mò !... Vào mode EQN, ấn cách hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt a , , c
Cho
=
6
hay
=
7
thì ta được:Nếu
=
6
thì
2
−
35
8
y
2
+
329
8
y
−
2
+
76007
768
=
61
8
y
2
+
329
8
y
+
48359
768
=
61
8
y
+
329
122
2
+
352115
46848
Do đó
A
=
y
2
−
6
2
+
61
8
y
+
329
122
2
+
352115
46848
=
x
2
−
9
2
x
−
15
16
2
+
61
8
x
+
109
244
2
+
352115
46848
0
Nếu
=
7
thì
2
−
35
8
y
2
+
329
8
y
−
2
+
76007
768
=
77
8
y
2
+
329
8
y
+
38375
768
=
77
8
y
+
47
22
2
+
51013
8448
Do đó
A
=
y
2
−
7
2
+
77
8
y
+
47
22
2
+
51013
8448
=
x
2
−
9
2
x
−
31
16
2
+
77
8
x
−
5
44
2
+
51013
8448
0
Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:
Lời giải 1: (cái làm làm luôn vào bài)
Ta có:
12
x
4
−
108
x
3
+
312
x
2
+
183
x
+
119
=
0
⇔
12
x
2
−
9
2
x
−
15
16
2
+
183
2
x
+
109
244
2
+
352115
3904
=
0
Vô lý do VT > 0 với mọi
x
Lời giải 2:
Ta có:
12
x
4
−
108
x
3
+
312
x
2
+
183
x
+
119
=
0
⇔
12
x
2
−
9
2
x
−
31
16
2
+
231
2
x
−
5
44
2
+
51013
704
=
0
Vô lý do VT > 0 với mọi
x
__________________________________
Nhận xét:
2 lời giải trên thật ngắn gọn, nhưng lại phải có một "công trình" nghiên cứu như trên, nhưng còn với phương trình bậc 6, 8, ... thì lại phải làm một hướng khác !
Vì dụ ở dưới sẽ giúp bạn thành thạo hơn !!!
Thủ thuật 5: (Vật lý) Tổng hợp lực (Cái này mình thích lắm)
Nội dung: Áp dụng đặc điểm số phức
Cách làm:
Cho các vecto lực:
F
0
−
→
,
F
1
−
→
,
F
2
−
→
,
F
3
−
→
,
.
.
.
,
F
−
→
biết góc tạo bởi
F
0
−
→
với cácF
1
−
→
,
F
2
−
→
,
.
.
.
F
−
→
là
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
Hợp lực của nó và góc tạo bởi vecto hợp lực với
F
0
−
→
được tính như sau:
Bước 1: Ấn Shift + MODE, ấn
▽
, chọn CMPLX, chọn
∠
θ
Bước 2: Vào Mode, chọn CMPLX
Bước 3: Ấn như sau:
F
0
∠
0
+
F
1
∠
α
1
+
F
2
∠
α
2
+
.
.
.
+
F
∠
α
Ấn
=
là ta được kết quả !Nhận xét: Mình nghĩ là thủ thuật 5 giúp rất nhiều trong những bài toán về lực, động lượng, điện tích, ...
Thủ thuật 6: Phân tích đa thức chứa căn thức thành nhân tử (Cái này thì hơi khó hiểu, làm nhiều sẽ quen)
Nội dung: Có khá nhiều cách và cũng khá nhiều trường hợp để sử dụng thủ thuật này, mình chỉ nêu vài thủ thuật chính, nhưng đảm bảo sẽ giúp ích cho các bạn rất rất nhiều
Cách 1: (Đối với đa thức chứa một căn thức bậc nhất, có dạng
f
x
=
x
+
h
x
a
x
+
−
−
−
−
−
√
(VD:
f
x
=
2
x
2
−
3
x
+
2
−
x
3
x
−
2
−
−
−
−
−
√
Bước 1: Đặt
=
a
x
+
−
−
−
−
−
√
(tức=
cái căn thức)
=
3
x
−
2
−
−
−
−
−
√
Bước 2: Viết đa thức theo
(Do
=
a
x
+
−
−
−
−
−
√
nên
x
=
2
−
a
f
x
=
2
1
3
2
+
2
3
2
−
2
−
1
3
2
+
2
3
Bước 3: Áp dụng thủ thuật 1 để phân tích thành nhân tử
f
x
=
1
9
−
1
−
2
2
2
+
3
+
4
Bước 4: Thế
=
a
x
+
−
−
−
−
−
√
vào nhân tử vừa tìm được
f
x
=
1
3
3
x
−
2
−
−
−
−
−
−
√
−
1
3
x
−
2
−
−
−
−
−
−
√
−
2
2
x
+
3
x
−
2
−
−
−
−
−
−
√
Bước 5: Viết luôn kết quả và xem giải.
Nhận xét: Cách này khá ảo diệu, nhưng rất dễ lộ liễu phương pháp. Để tránh người khác khó hiểu hay tò mò về phương pháp này thì tốt hơn hãy làm như sau: (VD
f
x
=
2
x
2
−
3
x
+
2
−
x
3
x
−
2
−
−
−
−
−
√
Đặt
=
3
x
−
2
−
−
−
−
−
√
ta được
2
=
3
x
−
2
Khi đó
f
x
=
2
x
2
−
x
−
2
=
2
x
+
x
−
Suy ra ...
(Thực ra nó chính là phương pháp hằng số biến thiên)
Cách 2: (Đối với đa thức chứa ít căn thức, thường là một hoặc hai hoặc ba căn thức, biểu thức trong căn là một đa thức bậc cao)
Nội dung: Khó nói nhưng dễ hiểu !!!
Phần 1: Nghiệm vô tỷ
Lưu ý: Chỉ nghiệm vô tỷ mới áp dụng đấy
Cách làm: VD như phương trình vô tỷ này:
x
2
+
1
−
x
+
1
x
2
−
2
x
+
3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=
0
(theo provotinhvip)Bước 1: Viết vào CASIO, giải phương trình này, ta được các nghiệm
1
±
2
√
Bước 2: Tính giá trị biểu thức trong căn:
x
2
−
2
x
+
3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=
2
Bước 3: Suy ra 100% sẽ có nhân tử
x
2
−
2
x
+
3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
−
2
Bước 4: Do kiểu gì cũng có nhân tử
x
2
−
2
x
+
3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
−
2
nên đến đây là rất dễ rồi còn gì !!!Bước 5: Đọ kết quả
VD2:
6
x
3
−
18
x
2
+
8
x
+
4
+
3
x
2
−
6
x
−
4
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=
0
Bước 1: Giải nghiệm, cũng được
x
=
1
+
2
√
Bước 2: Tính giá trị của căn:
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=
2
2
√
Bước 3: Vì đa thức hệ số hữu tỷ nên 100% nhân tử cũng hữu tỷ, suy ra
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=
2
2
√
=
2
x
−
2
Bước 4: Suy ra 100% sẽ có nhân tử
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
−
2
x
+
2
Bước 5: Trừ đa thức, làm tiếp ta được phương trình tương đương với:
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
−
2
x
+
2
x
2
−
2
x
+
7
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
+
2
x
−
2
2
+
1
=
0
Bước 6: OK?
Phần 2: Nghiệm hữu tỷ (Cực kì quan trọng, áp dụng cực nhiều)
Tham khảo: http://diendantoanho...ệ-phương-trình/
Thủ thuật 7: Dùng CASIO để làm Bất Đẳng Thức nhiều biến đối xứng
Phần 1: Điều kiện với tổng
Thực ra đây chỉ là một phần nhỏ của phương pháp UCT, khá hay cho việc làm BĐT ...
Nội dung: Tham khảo bài viết của viet 1846 ở đây: http://diendantoanho...ố-bất-dịnh-uct/
Để dễ hình dung, xét VD sau: http://diendantoanho...-frac12-ageq-3/
Ví Dụ: Cho a,b,c dương thõa mãn
∑
a
2
=
3
,CmR
∑
1
2
−
a
3
Hướng làm: Tìm
k
vàđể
1
2
−
a
k
a
2
+
Nhìn vào bài toán là thấy điểm rơi
a
=
=
c
=
1
, do đó, đạo hàm hai vế rồi choa
=
1
ta sẽ tìm được
k
Tức là:
k
=
d
d
x
1
2
−
x
∣
∣
∣
x
=
1
d
d
x
x
2
∣
∣
∣
x
=
1
Cứ gõ nguyên cái này vào CASIO fx570ES là thấy ngay...
Sau khi tìm được
k
=
1
2
, lại thấy điểm rơia
=
1
và1
2
−
a
=
k
a
2
+
nên ta được
=
1
2
Sau khi tìm được
k
và
, ta phải chứng minh lại BĐT mình vừa nêu ra, tức là:
1
2
−
a
a
2
+
1
2
với mọi
0
<
a
<
2
Cái này có thể đúng, có thể sai
Nếu luôn đúng thì ngon rồi, chứng minh tương tự với
,
c
ta được Q.E.DNếu chưa chắc đúng thì ta dùng tới
J
−
, hoặc hàm lồiTóm lại, tổng quát luôn: Giả thiết:
a
+
+
©
=
x
, cần tìm cực trị của
f
a
+
f
+
f
©
Điểm rơi của bài là
a
=
=
c
=
x
0
Ta cần tìm
k
vàthỏa mãn:
f
a
k
a
+
Khi đó
k
=
d
d
x
f
x
∣
∣
∣
x
=
x
0
d
d
x
x
∣
∣
∣
x
=
x
0
Còn
=
f
x
0
−
k
x
0
. Sau đó chứng minh lại thôiPhần 2: Với điều kiện dạng tích:
Giả thiết cho
a
c
=
, tìm cực trị của
f
a
+
f
+
f
c
Kiểu gì thì chúng ta cũng đưa dạng
a
c
=
thànhx
y
z
=
1
Tức là cho
x
y
z
=
1
, tìm cực trị của
f
x
+
f
y
+
f
z
Để ý rằng:
ln
x
+
ln
y
+
ln
z
=
ln
x
y
z
=
0
nên ta chỉ cần tìmk
và
sao cho BĐT sau luôn đúng:
f
x
k
ln
x
+
_____________
Tìm
k
nhanh:
k
=
d
d
x
f
x
∣
∣
∣
x
=
x
0
x
0
Thế vào tìm được
Sau đó chứng minh lại BĐT vừa tìm bằng phương pháp đạo hàm, từ đó ta có thể làm nhanh những bài dạng này
_______________________________________
Thủ thuật 8:
Phương pháp phân tích thành nhân tử với 2 biến bằng CASIO
Lưu ý: Thủ thuật này chỉ áp dụng cho biểu thức 2 ẩn bậc không quá cao (giới hạn bậc 4) cho một ẩn ...
Ví dụ như:
x
3
y
3
+
10
x
2
−
20
x
y
3
+
1
vẫn nằm trong phạm vi của phương pháp này ... Do đó ứng dụng thực tiễn của phương pháp này là khá lớn, thuận tiện cho việc giải Phương trình và Hệ phương trình.
Yêu cầu: Đọc qua Thủ Thuật 1 : CÁC THỦ THUẬT CASIO
Ý tưởng: Nhận xét sơ bộ một biểu thức cần phân tích, xem bậc cái nào cao nhất, cho nó bằng
1000
rồi phân tích_______________________________________
Ví Dụ 1:
A
=
x
2
+
x
y
−
2
y
2
+
3
x
+
36
y
−
130
Bước làm:
Bước 1
: Nhìn thấy bậc của
x
và
y
đều bằng2
nên mình chọn cái nào cũng đượcBước 2
: Cho
y
=
1000
, ta được
A
=
x
2
+
1003
x
−
1964130
Bước 3
: Phân tích nhân tử nó:
A
=
x
+
1990
x
−
987
Bước 4
: Áp dụng thủ thuật 1, ta được:
1990
=
2
y
−
10
và−
987
=
−
y
+
13
Bước 5
: Thế vào ta được
A
=
x
+
2
y
−
10
x
−
y
+
13
Dễ không nào ???
Ví Dụ 2:
B
=
6
x
2
y
−
13
x
y
2
+
2
y
3
−
18
x
2
+
10
x
y
−
3
y
2
+
87
x
−
14
y
+
15
Bước 1
: Bậc của
x
nhỏ hơn
Bước 2
: Cho
y
=
1000
, ta được
B
=
5982
x
2
−
12989913
x
+
1996986015
Bước 3
: Phân tích nhân tử:
B
=
2991
2
x
−
333
x
−
2005
Bước 4
: Có
2991
=
3
y
−
9
,
333
=
999
3
=
y
−
1
3
,
2005
=
2
y
+
5
Bước 5
: Ta được:
B
=
3
y
−
9
2
x
−
y
−
1
3
x
−
2
y
−
5
=
y
−
3
x
−
2
y
−
5
6
x
−
y
+
1
OK?
Ví Dụ 3:
C
=
x
3
−
3
x
y
2
−
2
y
3
−
7
x
2
+
10
x
y
+
17
y
2
+
8
x
−
40
y
+
16
Bước 1
: Bậc như nhau
Bước 2
: Cho
y
=
1000
, ta được
C
=
x
3
−
7
x
2
−
2989992
x
−
1983039984
Bước 3
: Phân tích:
C
=
x
−
1999
x
+
996
2
Bước 4
: Thế
1999
=
2
y
−
1
và
996
=
y
−
4
Bước 5
:
C
=
x
−
2
y
+
1
x
+
y
−
4
2
Ví Dụ 4:
D
=
2
x
2
y
2
+
x
3
+
2
y
3
+
4
x
2
+
x
y
+
6
y
2
+
3
x
+
4
y
+
12
Bước 1
: Bậc như nhau
Bước 2
: Cho
y
=
1000
ta được
D
=
x
3
+
2000004
x
2
+
1003
x
+
2006004012
Bước 3
: Phân tích:
D
=
x
+
2000004
x
2
+
1003
Bước 4
: Thế
2000004
=
2
y
2
+
4
và1003
=
y
+
3
Bước 5
:
D
=
x
2
+
y
+
3
2
y
2
+
x
+
4
Ví Dụ 5:
E
=
x
3
y
+
2
x
2
y
2
+
6
x
3
+
11
x
2
y
−
x
y
2
−
6
x
2
−
7
x
y
−
y
2
−
6
x
−
5
y
+
6
Bước 1
: Bậc của
y
nhỏ hơnBước 2
: Cho
x
=
1000
ta được
E
=
1998999
y
2
+
1010992995
y
+
5993994006
Bước 3
: Phân tích:
E
=
2997
667
y
+
333333
y
+
6
Bước 4
: "Ảo hóa" nhân tử:
E
=
999
2001
y
+
999999
y
+
6
Bước 5
: Thế
999
=
x
−
1
,
2001
=
2
x
+
1
,
999999
=
x
2
−
1
Bước 6
:
E
=
x
−
1
2
x
+
1
y
+
x
2
−
1
y
+
6
=
x
−
1
y
+
6
x
2
+
2
x
y
+
y
−
1
Ví Dụ 6:
F
=
6
x
4
y
+
12
x
3
y
2
+
5
x
3
y
−
5
x
2
y
2
+
6
x
y
3
+
x
3
+
7
x
2
y
+
4
x
y
2
−
3
y
3
−
2
x
2
−
8
x
y
+
3
y
2
−
2
x
+
3
y
−
3
Bước 1
: Bậc
y
nhỏ hơn
Bước 2
: Cho
x
=
1000
ta được:F
=
5997
y
3
+
11995004003
y
2
+
6005006992003
y
+
997997997
Bước 3
: Phân tích
F
=
1999
y
+
1001001
3
y
2
+
5999000
y
+
997
Bước 4
: Thế
1999
=
2
x
−
1
1001001
=
x
2
+
x
+
1
5999000
=
6
x
2
−
x
,
997
=
x
−
3
Bước 5
: Ta được
F
=
2
x
−
1
y
+
x
2
+
x
+
1
3
y
2
+
6
x
2
−
x
y
+
x
−
3
=
x
2
+
2
x
y
+
x
−
y
+
1
6
x
2
y
−
x
y
+
3
y
2
+
x
−
3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 18-08-2013 - 01:34
#2
leminhansp
Super Spammer
M
F
−
−
−
−
√
Điều hành viên
349 Bài viết
Giới tính:
Nam
Đến từ:
Nam Định - Thái Nguyên
Đã gửi 14-12-2012 - 23:37
Vào lúc 14 Tháng 12 2012 - 21:34, 'nthoangcute' đã nói:
Nhóm 3 chữ số
thứ
k
(tính từ phải sang trái) cógiá trị là
M
k
, chữ số hàng trăm của
M
k
là số9
thì chứng tỏ hệ số của
x
k
sẽ làk
−
1000
(số âm), và giá trị của nhóm thứk
+
1
sẽ có giá trị là
M
k
+
1
+
1
(tăng thêm 1)
Nhóm 3 chữ số thứ
k
(tính từ phải sang trái) có giá trị là
M
k
, chữ số hàng trăm của
M
k
là số0
thì chứng tỏ hệ số của
x
k
sẽ làk
(số dương)
(VD: Nhóm 1:
983
thì hệ số
a
0
là−
17
và thêm 1 vào nhóm 2Phải là
M
k
−
1000
chứ nhỉ vì
k
là số thứ tự vàM
k
mới là giá trị cơ mà
P/s: nhưng tách ra thành các bài nhỏ thì tiện trích dẫn + sửa khi cần
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 14-12-2012 - 23:44
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với
MF
−
−
−
√
những gì bạn học được, hãy trao đổi vớiMF
−
−
−
√
những vấn đề bạn còn băn khoăn!
MF
−
−
−
√
#3
BoFaKe
Thiếu úy
Thành viên
608 Bài viết
Giới tính:
Nam
Đến từ:
Sicily Italia !
Đã gửi 15-12-2012 - 12:00
Vào lúc 14 Tháng 12 2012 - 21:34, 'nthoangcute' đã nói:
A
=
y
4
+
5
y
2
2
−
y
+
61
16
=
y
4
−
y
2
+
2
+
+
5
2
y
2
−
y
+
61
16
−
2
Tớ nghĩ đoạn này phải là
A
=
y
4
+
5
y
2
2
−
y
+
61
16
=
y
4
−
2
y
2
+
2
+
2
+
5
2
y
2
−
y
+
61
16
−
2
chứ nhỉ?Để cho nó ra cái tổng bình phương ấy mà.Không biết đúng không.
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~
Bạn đang đọc truyện trên: AzTruyen.Top