Trong quyển “Mathematics, the art of reason” của Birlinghoff có phần phụ lục về Lịch sử toán học viết cô đọng nhưng khá đầy đủ, phát hoạ bức tranh khá rõ nét và màu sắc về lịch sử phát triên toán học trên thế giới, xin giới thiệu với các bạn một số phần.

1. Từ đầu cho đến năm 600 trước CN

Ở một nơi nào đó vào thời tiền sử, có lẽ trong thời đại Đá giữa (Middle Stone Age), từ muôn vàn các hiện tượng khác biệt trong thế giới vật lí người ta bắt đầu thấy lộ ra hai ý niệm tổng quát, ý niệm về số lượng (quantity) và hình dạng (form). Hai ý niệm song sinh này là thuỷ tổ của hai dòng tư tưởng lớn mà mối quan hệ thật sự của chúng vẫn chưa được sáng tỏ cho tới thế kỉ thứ 17 CN.

Mặc dầu mọi nhận định về thời kì này chủ yếu dựa trên phỏng đoán nhưng người ta thường tin rằng các ý niệm về số lượng bắt đầu từ những cố gắng so sánh những nhóm vật thể bằng cách đếm, và dần dần tiến triển thành mốt số các hệ đếm nguyên sơ. Hệ đếm có sớm nhất trong các hệ đếm này khá đơn giản, thường dựa trên ý tưởng về 2 hay 3 vật, với những tập hợp chứa nhiều hơn 5 hay 6 vật được phân loại một cách đơn giản là “nhiều” hay “hàng đống” hay bằng những cách diễn tả cũng ở mức độ chính xác tương tự, cho mãi đến khi nhu cầu về giao dịch, đổi chác đã làm nẩy sinh ra những hệ đếm phát triển hơn.

Sự xuất hiện của hình dạng bắt đầu với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến trúc. Các hình thái toán học của hình dạng chưa biểu lộ ra rõ ràng trong một thời gian dài, cái mà bây giờ chúng ta gọi là các hình hình học chỉ đơn giản là các mẫu trang trí thời đó.

Vào lúc khởi đầu của thời kì có sử, vào khoảng năm 5000 trước CN, toán học đã vào hẳn vào giai đoạn hai của sự phát triển. Các nhu cầu về định lượng của các xã hội xa xưa đã trở nên rộng rãi và thường xuyên đến nổi cần phải phát triển những phương pháp tổng quát để tính toán và ghi lại các quy luật và kết quả để dùng trong tương lai.

Do người Babylon viết trên các tấm bằng đất sét gần như không hư hỏng được và giấy cói của người Ai Cập có thể giữ lâu trong khí hậu khô ráo của Bắc Phi nên hiện còn khá đủ các vết tích cho thấy một bức tranh khá chi tiết về những nổ lực đó trong các nền văn minh ban sơ của vùng Cận Đông. Những chứng cứ xưa nhất về các kiến thức toán học có tổ chức cho thấy hình như có sự tồn tại của một lịch Ai Cập vào năm 4241 trước CN, và có thể một lịch Babylon trước đó.

Vào khoảng năm 3000 trước CN, người Sumery đã có thứ số học thương mại dùng được, và những bài viết trong Triều đại Ur thứ 3 cho thấy một hệ đếm vị trí cơ số 60 khá phát triển. Những bản văn của Triều đại Babylon thứ 1, lúc vua Hammurabi trị vì, cho thấy rằng vào khoảng năm 1950 trước CN người Babylon đã phát triển được thứ Đại số có khả năng xử lí các phương trình bậc nhất và bậc hai với hai ẩn, vả cả một số phương trình bậc cao hơn. Hình học của họ gồm các công thức diện tích và thể tích đơn giản, và cũng bao gồm việc thừa nhận một quy tắc về tam giác mà bây giờ chúng ta gọi là Định lí Pythagoras [Pi-ta-go]. Như vậy, giai đoạn đầu vĩ đại của toán học có thể được xem như gắn với người Babylon.

Những tiến bộ của người Ai Cập không ở sau quá xa các láng giềng của mình. Các vết tích xưa nhất hiện nay vẫn còn là quyển Ahmes Papyrus (còn được biết dưói tên Rhind Papyrus do được nhà khảo cổ thế kỉ 19 người Anh A. Henry Rhind mang bản thảo vế Anh) viết vào năm 1650 trước CN. Đây là một quyển sổ tay thực hành chứa các phương pháp giải các phương trình bậc nhất, các tài liệu về các phân số của đơn vị (một nét độc đáo của Toán học Ai Cập), các kĩ thuật đo lường, và các bài toán về các chuổi sơ cấp. Ahmes nêu rõ rằng ông chỉ chép lại một công trình trước đó được viết vào năm 1800 trước CN, và do đó có thể xem đây như là một sưu tập về các kiến thức toán học thời đó.

Hiểu biết của chúng ta hiện nay về nền toán học xa xưa ở Trung Quốc và Ấn Độ còn tương đối nghèo nàn. Những dân tộc này viết trên vỏ cây hay thẻ tre, vì vậy các bản sách rất dễ bị hư mục. Điều tệ hại này đôi khi lại nhân lên khi kết hợp với sự sai trái của con người. Chẳng hạn, vào năm 213 trước CN vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách vở hiện có lúc đó và đem chôn sống các học giả phản kháng để ông ta có thể được xem như người sáng lập một thời đại mới cho việc học tập.

Tuy nhiên, người ta vẫn còn lén giữ được các bản chép lại của nhiều bộ sách xưa, trong đó có bộ “Chu bể toán kinh” một bộ sách đối thoại về thiên văn và toán học. Bộ này được viết một thời gian ngắn trước năm 1100 trước CN, và một số tư liệu trong đó thuộc về giai đoạn xưa hơn nhiều. Bộ “Chu bể” chứa các tư liệu về hình học đo lường, nguyên tắc tính của định lí Pythagoras, một số kiến thức lượng giác sơ cấp, và bàn luận về các dụng cụ đo lường trong thiên văn.

Chúng ta biết còn ít hơn vế nền Toán học của Ấn Độ giai đoạn này. Tất cả những gì có thể nói được là có chứng cớ về sự tồn tại của một hệ đếm dùng được được dùng trong Thiên văn và các tính toán khác, và một nổi quan tâm thực hành về hình sơ cấp.

Nét nổi bậc của Toán học giai đoạn tiền Hi Lạp này là sự vắng mặt hoàn toàn của lí luận suy diễn. Không có chút quan tâm nào trong việc minh giải các phát biểu; các quy tắc được đưa ra là vì chúng dùng được. Các phương pháp thử-sai là nguồn gốc của các kiến thức, những kết quả thành công được ghi nhận và truyền lại cho các thế hệ sau dưới dạng các công thức. Chỉ mãi cho tới lúc nở rộ của nền văn minh Hy Lạp thì Toán Học mới bước vào thời kì rực rỡ của mình.

2. Từ năm 600 trước CN tới năm 400 CN

Cùng đến với thiên niên kỉ đầu tiên trước Thiên chúa là những thay đổi mạnh mẽ xảy ra trên các vùng đất quanh Địa Trung Hải. Thời đại Đồ Sắt đến đã mang theo với nó sự gia tăng về du lịch và giao thương, các thành phố mới mọc lên dọc theo các bờ biển Tiểu Á và Ai Cập, và sự ưu thế về kinh tế của các chủ đất phong kiến nhường bước trước vai trò đang lên của các nhà buôn giàu có. Việc trao đổi hàng hoá được đi kèm với việc trao đổi tư tưởng và sự giàu có đẻ ra các thú nhàn hạ, vì thế vào khoảng thế kỉ thứ 6 trước CN đã có những người mà sự sung túc của họ cho phép họ chi tiêu vào việc xa xỉ nghiên cứu tri thức. Với chữ “Tại sao?” đầu tiên toán học đã bước vào giai đoạn ba của sự phát triển, một khoa học nghiên cứu theo nhu cầu nội tại của chính mình.

Nhịp xung đầu tiên đó gắn liền với tên tuổi của Thales [Ta-let] ở Miletus (vào khoảng năm 640 tới khoảng năm 546 trước CN), một nhà buôn giàu có mà các chuyến du lịch của ông tới Babylon và Ai Cập đã giúp ông quen biết với nến toán học phương Đông. Cho tới lúc này, hình học vẫn còn trong ý nghĩa hạn hẹp của nó, là đo đạc đất đai, và tầm cở của nó chỉ là những quy tắc đơn giản để hoàn thành nhiệm vụ đó. Tuy nhiên Thales đã chọn sáu mệnh đề, trong đó có các mệnh đề “Một đường tròn được chia đều bởi đuờng kính bất kì” , “Hai đường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc đối đỉnh bằng nhau” và “Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ với nhau” và ông đã chứng minh rằng mỗi mệnh đề sau được suy ra từ các mệnh đề đứng trước. Các mệnh đề trên tự chúng đã rất nổi tiếng nhưng cách tiếp cận của ông là một bước đi cấp tiên vượt khỏi toán học truyền thống. Thales cũng có cống hiến trong lãnh vực thiên văn và lí thuyết số. Với tư cách là nhà sáng lập trường phái Ionia, ông đã giảng dạy và ảnh hưởng sâu đậm nhiều bộ óc tinh tế nhất của Hi Lạp cổ

.
Thales

Một thành viên đáng chú ý nhất của trường phái Ionia là Pythagoras [Pi-ta-go] mà cuộc đời bí ẩn không thua gì các công trình sáng chói của ông. Ngày sinh lẫn nơi sinh của ông đều không biết chắc, nhưng ý chung của nhiều nhà nghiên cứu đều cho rằng ông sống vào khoảng năm 570 tới năm 500 trước CN. Phần lớn cuộc đời ông được thêu dệt bằng các truyền thuyết do ông sớm thành một khuôn mặt đầy huyền thoại của Hi Lạp. Các môn đồ của ông họp thành nhóm kín tôn thờ ý niệm về Số và dấu kín các kiến thức như dấu vàng. Pythagoras tự mở một trường ở Crotona, một thị trấn của Magna Graecia trên bờ biển Đông Nam của bán đảo Italy [Ý]. Ở đó ông giảng dạy một thứ triết học dựa trên những thành tố không thể hoán đổi được của tự nhiên, được lồng trong và biểu thị bởi các số nguyên. Mặc dầu đam mê tính thần bí của các con số, trường phái Pythagore cũng đã có đóng góp to lớn vào lí thuyết số, thiên văn, và hình học. Pythagore là người đầu tiên đã nhấn mạnh tới các giả định (tiên đề hay định đề) như là cơ sở cho việc chứng minh, và ông đã đưa ra cách chứng minh đầu tiên cho định lí về tam giác vuông cho đến nay vẫn còn mang tên ông, Khá lạ lùng là trường phái Pythagoras laị là nơi xuất phát của một trong những ý tưởng có ý nghĩa nhất, đó là việc kiểm chứng lại một khái niệm mà tính đúng đắn của nó có thể phá hỏng hoàn toàn triết lí của chính họ. Họ đã khám phá ra sự tồn tại của các đoạn thẳng vô ước, mà theo thuật ngữ của chúng ta có nghĩa là sự tồn tại của các đại lượng vô tỉ hay đại lượng không thể biểu thị dưới dạng các số nguyên. Họ đã cố gắng ỉm đi khái niệm tệ hại này nhưng đã có những rò rĩ khiến chẳng bao lâu người ta đi tìm một triết lí mới khác về bản chất.

Pythagoras

Một khuôn mặt gây nhiều rắc rối trong thế giới tư tưởng còn nhiểu loạn của Hi Lạp là Zeno [Zê-nông] ở Elea, một nhà triết học đầu thế kỉ thứ 5 trước CN, từng giảng rằng chuyển động hay thay đổi thuộc bất cứ loại nào đều chỉ là biểu kiến. Đóng góp của ông cho Toán học gồm 4 nghịch lí mà ông đã đề ra cho các nhà tư tưởng cùng thời. Chúng bao gồm 2 quan điểm đối nghịch nhau về vô hạn và chuyển đông, với 2 nghịch lí cho mỗi quan điểm. Sau đây, xin nêu ra một ví dụ cho mỗi quan điểm:

“Achilles[1] – Achilles (A-sin) chạy để vượt qua mặt một con rùa đang bò phía trước sẽ không bao giờ qua mặt được con rùa, bởi vì trước nhất ông ta phải chạy đến chỗ bắt đầu của con rùa; khi Achilles tới chỗ đó thì con rùa đã rời đi và như thế nó vẫn còn trước ông. Tiếp tục lập luận như thế, dễ thấy con rủa sẽ luôn luôn ở phía trước Achilles.”

“Mũi tên – Một mũi tên bay, vào bất kì thời điểm nào thì sẽ hoặc là đang đứng yên hoặc là không đứng yên, tức là đang di động Nếu thời điểm là không phân chia được thì mũi tên không thể di động bởi vì nếu nó di động thì lập tức thời điểm có thể phân chia đuợc. Nhưng thời gian được tạo thành từ các thời điểm. Vì mũi tên không thể di động ở bất kì thời điểm nào nên nó không thể di động trong bất kì thời gian nào. Do đó mũi tên luôn luôn đứng yên.”

Bất kì cố gắng nào đê giải quyết các nghịch lí trên đều dính líu tới việc xem xét khái niệm giới hạn, và mặc dù những người cùng thời với Zeno đã không thành công trong việc tìm ra manh mối những rối rắm trong lời nói của ông, nhưng hạt giống mới đã được gieo xuống và cuối cùng hoa quả sẽ được kết thành sau này trong lãnh vực toán vi tích phân. Tuy nhiên, mầm giống mới này đã phải qua một thời gian tăng trưởng kéo dài 2000 năm.

Plato [Pla-tông] và Aristotle [A-rix-tôt] là điển hình cho kiểu tư duy mà người Hi Lạp đóng góp lớn nhất vào Toán học. Những phát triển của hai ông về các nguyên tắc suy luận logic và các phương pháp tiên đề trong chứng minh đã đặt Toán học lện một nền móng được xem là khó lay chuyển được cho tới thế kỉ hiện nay của chúng ta. Dưới sự dẫn dắt của hai ông, Toán học đã chia sẻ sự vinh quang của Thời Hoàng kim với tư cách là một khoa học triết lí không đứng sau lãnh vực nào khác. Trong giai đoạn này đã nổi lên “các bài toàn cổ” (problems of antiquity), có lẽ là các bài toán nổi tiếng nhất của mọi thời đại. Đó là các bài toán dựng hình hình học, chỉ được phép dùng thước kẻ (không khắc vạch) và compa để giải. Với hai dụng cụ đó, yêu cầu đề ra là:

(i) chia một góc ra 3 góc bằng nhau (Chia ba một góc),
(ii) tìm cạnh một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình cầu cho sẵn (Gấp đôi một hình cầu).
(iii) tìm một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn (Cầu phương một hình tròn).

Cả 3 đều là các câu hỏi mở cho mãi đến thời kì hiện đại, khi các phép dựng hình này cuối cùng đã được chứng minh là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, sự kiện thực về sự tồn tại của chúng như một thứ đố chướng mắt trêu ngươi đã dẫn các học giả đến một loạt các khám phá mới.

Một trong các học giả đó là Eudoxus [Ơ-đôc] (vào khoảng năm 408 tới 355 trước CN), một học trò của Plato, vừa đồng thời là nhà vật lí, nhà lập pháp và nhà toán học. Tên ông được gắn với sự phát triển lí thuyết về tỉ lệ, lí thuyết này khắc phục được các khó khăn trong việc xử lí các đai lượng vô ước. Ông đã đưa ra “phương phát vét cạn”, một cách thức giải quyết việc tính diện tích và thể tích, rất tương tự với các ý niệm cơ bản của phép tính tích phân ngày nay.

Khi Đại đế Alexander chinh phục thế giới vào năm 334 trước CN, nền văn minh phương Tây bắt đầu thay đổi. Văn hoá và tư tưởng Hi Lạp hoà nhập với văn hoá và tư tưởng phương Đông, và trung tâm Toán học của thế giới phương Tây chuyển về Alexandria. Giai đoạn thăng hoa của nó bắt đầu với Euclid [Ơ-clid] (khoảng năm 300 trước CN), “một tác giả sách gíáo khoa thành công nhất mà cả thế giới chưa từng biết” và “người duy nhất mà vinh quang từng đến và sẽ không thể đến lần nữa trong việc đúc kết một cách thành công trong các trước tác mình tất cả những phần cốt lỏi của kiến thức Toán học tích tụ cho đến lúc đó”. Các công trình của ông có tính tổng hợp cao đến nổi chúng qua mặt tất cả các bộ sách trước đó, và vì lí do này mà rất ít các bản thảo của Hi Lạp trước Euclid còn giữ lại. Hầu hết các thông tin liên quan đến các công trình trước thế kỉ thứ 3 trước CN đều phải đươc xây dựng lại từ các nguồn tài liệu sao chép. Công trình vĩ đại của ông là bộ “Cơ bản” (Elements), một bộ sách 13 quyển sắp xếp như sau:

Quyển I – IV: hình học phẳng, bao gồm định lí Pythagoras;
Quyển V – VI: lí thuyết về tỉ lệ của Eudoxus và các ứng dụng vào các hình đồng dạng;
Quyển VII – IX: lí thuyết số, bao gồm thuật toán Euclid;
Quyển X: phân loại hình học các số vô tỉ toàn phương và các căn bậc hai của chúng;
Quyển XI – XIII: hình học không gian, dứt điểm bằng một chứng minh về sự tồn tại của 5 khối đa diện (Plato) đều.

Một số phần trong bộ tài liệu đó chắc chắn là công trình riêng của Euclid, và ông cũng đã thừa nhận công khai rằng ông đã thừa kế ở các phần khác nhưng một sự phân định chính xác giữa cái riêng của ông và cái thừa kế thì rất khó biết chắc. Tuy nhiên, kể cả khi ông không có đóng góp chút gì vào nguyên tác, bộ Cơ bản vẫn không giảm sút ý nghĩa vốn có của nó vì đó là một cố gắng thành công nổi bậc để sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản.

Euclid

Toán học Hi Lạp đã đạt tới đỉnh cao của sự phát triển với sự nở rộ của trường phái Alexandria. Cách sau Euclid không lâu là Archimedes [A-si-met] (287 – 212 trước CN), một nhà thiên văn đồng thời là người tiên phong trong lĩnh vực vật lí và toán ứng dụng và cũng là một nhà toán học lí thuyết. Ông học tập một thời gian ngắn ở Alexandria, sau đó trở về quê hương ông ở Syracuse. Việc ứng dụng khoa học để bảo vệ thành phố này chống lại bọn xâm lược Marcellus và cái chết sau đó của ông dưới tay một tên lính La Mã hung hăng rất nổi tiếng xin không được kể lại ở đây. Quan trọng nhiều hơn là các công trình của ông bao gồm các đóng góp chính yếu vào lí thuyết số và đại số, nhất là việc xử lí các dãy vô hạn, cùng với một số lượng đồ sộ các công trình hình học, trong đó ông đã phát triển một số các nguyên tắc nổi bậc của toán vi tích phân, đi trước Newton và Descartes độ 900 năm.

Một nguời cùng thời với Archimedes là Apolonius [A-pô-lô-ni-ut] (khoảng 260 – 210 trước CN) một nhà hình học có tầm cở. Bảy trong số 8 quyển sách sâu sắc của ông về các mặt cắt conic vẫn còn tồn tại nguyên vẹn. Trong các quyển sách này ông đã phát triển một cách có hệ thống nhiều tính chất cơ bản của ellip, parabol và hyperbol, khảo sát các chủ đề về tiêu chuẩn bằng nhau, đồng dạng của các đường cong này, các hình tiếp xúc, và các đa giác nội, ngoại tiếp. Thế giới không tìm thấy một nhà hình học tổng hợp nào khác ông cho đến khi Jacob Steiner xuất hiện vào thế kỉ 19.

Sau Apolonius, làn sóng toán học của Hị Lạp đạt tới đỉnh cao và suy thoái dần vào sự quên lãng cùng với các lĩnh vực còn lại của nền văn minh Hi Lạp. Chỉ có hai luồng sóng lớn xuất hiện vượt lên những gợn sóng lăn tăn của các tác gia nhỏ của giai đoạn này. Nhà thiên văn Ptolemy [Ptô-lê-mê] (Claudius Prolemacus, khoảng 85 – 165 CN) viết một sách tổng hợp về thiên văn được biết với tên là Almagest, trong đó các biên giới của toán học tính toán đã được mở rộng tới lượng giác phẳng và mở đầu của lượng giác cầu, bao gồm bảng các giá trị dây cung – góc và phép chiếu nổi. Khoảng một thế kỉ sau đó, Diophantus [Di-ô-phăng] ở Alexandria (khoảng 275 CN) viết bộ Số học (Arithmetica), một sự pha trộn tuyệt vời toán học Hi Lạp với toán học phương Đông mà 6 quyển trong só đó vẫn còn giữ được đến nay. Đó có thể xem như là một cột mốc trong sự phát triển của lí thuyết số, chứa đựng cách giải quyết các phương trình vô định và các bài toán đòi hỏi các nghiệm hữu tỉ. Đó cũng là tập sách đầu tiên trong đó một loại kí hiệu đại số được dùng một cách có hệ thống. Về mặt này Diophantus đi trước các học giả cùng thời nhiều thế kỉ.

Toán học phương Đông trong giai đoạn này ở cả Ấn Độ lẫn Trung Quốc vẫn còn chủ yếu là tính toán và né tránh chứng minh. Với ngoại lệ về sư cố đốt sách vào năm 213 trước CN, người Hoa đã có những bưóc tiến chậm nhưng vững chắc trong số học tính toán thủ công và cũng có thể nói như thế cho Ấn Độ.

(chú thích)
[1] Achilles một nhân vật trong thần thoại Hi Lạp có sức mạnh và thân thể không thể bị thương ngoại trừ ở gót chân (từ đó trong tiếng Anh có thành ngữ “Achilles’heel” để chỉ chỗ yếu của con người).

3. Từ 400 đến 1400 CN

Mặc dù thu lượm nhiều thành quả trong các lĩnh vực khác, Đế quốc La Mã lại yếu kém về mặt toán học, và việc chinh phục khu vực Địa Trung Hải của họ không mang lại gì nhiều cho các khoa học lí thuyết. Bất kì hoạt động nào ở đó cũng đều chịu của ảnh hưởng còn lại của Hi Lạp và của phương Đông, khi đó cơ bản vẫn còn nguyên vẹn dù có những bi kịch như cái chết của Archimedes. Cùng với sự sụp đổ của La Mã và sự tan biến nền thống trị chính trị Latin vào năm 476, văn minh phương Tây bước vào giai đoạn ngưng trệ về mặt tri trức.

Tên tuổi duy nhất đáng được ghi nhận là Anicius Manlius Severinus Boethius (khoảng 475 – 524), một công dân La Mã, nhà chính trị, triết học và toán học mà các công trình của ông gồm số học, hình học và âm nhạc (được xem như là một phần của toán học lúc bấy giờ). Mặc dầu các tài liệu này thiếu tính ngọn nguồn và nhất là không phong phú về mặt nội dung, các bài viết của ông vẫn được các trường đạo coi như chính thống trong nhiều thế kỉ. Việc đánh giá cao này có thể do ông là thánh tử đạo Thiên chúa hơn là giá trị nội tại của tài liệu. Thật sự, tiến bộ về tư tưởng của Tây Âu đi xuống tận đáy của nó vào thế kỉ thứ 6.

Trong khi đó Toán học Ấn Độ bắt đầu kết trái. Ảnh hưởng của khoa học Babylon và phương Đông hoà quyện với tư tưởng bản xứ Ấn Độ và từ đó nẩy nở ra các kết quả có ý nghĩa trong đại số và số học. Các nhà toán học Hindu (Ấn) thế kỉ thứ 5 đã làm việc với các số phẳng[2] và số không gian[3], thu đạt các kết quả cả về lí thuyết lẫn tính toán, có cả việc xấp xỉ số π bởi 62832/20000 hay 3.1416.

Trong thế kỉ kế, công trình này được mở rộng thêm để xử lí các phương trình đại số vô định theo phương pháp của Diophantus (Đi-ô-phăng). Tuy nhiên, người Hindu giới hạn các bài toán của mình để chỉ cho các nghiệm nguyên, cả duơng lẫn âm và các điều kiện đó là những điều kiện mà chúng ta dùng trong biện luận các phương trình Diophant mà hiện nay.

Thành tựu quan trọng của toán học Ấn là việc phát triển hệ đếm mà chúng ta dùng hiện nay, hệ vi trí cơ số 10 và kể cả kí hiệu cho số zero. Cả hệ thập phân lẫn hệ vi trí đều đã được các dân tộc khác phát triển trước đó, nhưng đây là sư kết hợp đầu tiên của cả hai ý tưởng. Những bằng chứng về việc sử dụng nó có từ năm 595 CN, nhưng kí hiệu zero không tìm thấy đưọc vết tích chắc chắn trước thế kỉ thứ 9, mặc dầu người Babybon cũng có một kiểu cách kí hiệu tương tự trước thời đại Thiên chúa.

Bắt đầu với Mohammed’s Hegira năm 622, nguời Hồi giáo đã trở thành nguồn ảnh hưởng chi phối trong toán học phương Tây. Binh sĩ đạo Hồi tràn qua Bắc Phi đi vào Tây Á, và chọc thủng nhiều phần châu Âu. Toán học Hi Lạp và Ấn Độ đã được các học giả Á Rập hấp thụ và tổng hợp, họ dịch hầu hết các bản thảo quan trọng sang tiếng Á Rập, khi dịch chỉ đóng góp chút ít vào những điều có tính căn cơ nhưng có công tinh giản các tài liệu hiện có và bảo toàn tính kế tục của tư tưởng.

Các vua Hồi thế kỉ thứ 8 và 9 là những nhà bảo trợ vĩ đại của các khoa học chính xác, đặc biệt là thiên văn và toán học, và vì thế việc học tập khoa học đã lan rộng khắp thế giới Á Rập . Trong số các học giả đạo Hồi giai đoạn này có một người rất xứng đáng nêu tên một cách đặc biệt. Ông ta là Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (khoảng 825), đã viết 2 quyển sách có ý nghĩa, một quyển về số học và quyển kia về đại số. Chỉ có quyển thứ hai là vẫn còn tồn tại nguyên bản tiếng Á Rập, nhưng cả hai quyển đều được các học giả châu Âu thế kỉ 12. dịch sang tiếng Latin.

Tựa đề quyển thứ nhất trong bản dịch là Algorithmi de numero Indorum (từng chữ là “Al-Khowarizmi về các số Ấn Độ”). Đó là một trong những cách mà nhờ đó châu Âu biết được hệ thống số của Ấn Độ, và đó cũng là nguồn gốc của từ “algorithm” (thuật toán). Quyển thứ hai có tựa là al-jabr w’al muqabalah (từng chữ là “phép Khôi phục và phép Đối lập”) và được dành toàn bộ cho việc nghiên cứu về các phương trình tuyến tính (bậc nhất) và bậc hai. Qua việc Latin hoá, từ khoá của tựa sách biến thành “algebra”, và do tính đại chúng rộng rãi của quyển sách ở chậu Âu, từ này chẳng bao lâu trở thành đồng nghĩa với khoa học về phương trình.

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi

Một người khác cũng đáng nêu tên ngắn gọn ở đây. Omar Khayyám, sống ở Bắc Iran vào cuối thế kỉ 11 đươc biết chủ yếu như là tác giả của quyển Rubáiyát, nhưng ông cũng là một nhà toán học xuất sắc. Ông viết về Euclid, làm lịch hiệu đính Iran (Ba Tư), và viết một quyển sách về đại số trong đó ông bàn về việc xác định các nghiệm của phương trình bậc ba như là giao điểm của hai mặt cắt conic.

Chỉ cho đến những năm cuối của thế kỉ 11 các nhà kinh điển toán học Hi lạp mới bắt đầu thâm nhập vào châu Âu, và cùng với sự trổi dậy chậm chạp của nến phong kiến, phương Tây bắt đầu khuấy động lên từ tình trạng ngày ngủ về học thuật. Trong thế kỉ 12, họ dịch lại sang tiếng Latin các công trình toán học lớn đã đưọc dịch sang tiếng Á rập vài thế kỉ trước, đặc biệt là ở Tây Ban Nha nơi nhiều học giả Do Thái được sử dụng cho mục đích này sau sư thua trận của người Moors vào năm 1085.

Khi giao thương giữa phương Tây và phương Đông mở rộng, nhiều trung thương mại cuờng thịnh đã được thành lập dọc theo bờ biển nước Italy. Các nhà buôn châu Âu bắt đầu thăm viếng phương Đông để tìm kiếm và đưa vào sử dụng thực tế bất kì thông tin khoa học nào mà họ có thể tìm thấy được. Người đầu tiên trong số đó đã làm ra một công trình toán học có ý nghĩa là Leonardo of Pisa (k 1170 – k 1250), được biết nhiều hơn với tên Fibonacci. Công trình chính của ông là bộ Liber Abaci, một công cụ phổ biến hệ đếm Ấn Độ – Á Rập cho Tây Âu. Ông cũng viết về đại số và hình học, và tìm tòi về dãy số vô định đến nay vẫn còn mang tên ông (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…. Mỗi số hạng là tổng của 2 số hạng liền trước).

Fibonacci

Không phải toàn bộ các thứ toán học trong giai đoạn này đã được hình thành chỉ vì giá trị thực tiễn của chúng. Các nhà triết học kinh viện đã nghiên cứu về tính vô hạn và các ý tưởng của họ đã ảnh hưởng các nhà toán học thế kỉ 17 lẫn 18. Các học giả quan chức cũng làm việc trong các lãnh vực hình học và đại số. Nổi bậc trong số này là Nicole Oresme (k. 1323 -1382), giám mục vùng Lisieux, cũng là một nhà kinh tế. Ông đuợc biết như người đầu tiên đã dùng số mũ phân số và định vị các điểm bằng toạ độ số.

Khi các thành phố mọc thêm khắp châu Âu thì các trường của nhà thờ bắt đầu giành lấy vị trí của mình. Chúng trở thành các đại học, được trao quyền cấp bằng được cả Nhà nước và nhà thờ công nhận. Những trưòng đại học đầu tiên ở Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples đều đươc ban quyền trong thế kỉ 13. Việc đổi mới này như một hứa hẹn to lớn cho sự tiến triển của học thuật suốt thế kỉ 14, nhưng hứa hẹn đó chỉ hoàn tất một phần, bởi vì mặc dù các trường đại học đã học thành lập nhưng cuộc Chiến tranh trăm năm (1337 -1453) và trận dịch Đen (1347-1351) đã làm ngưng trệ nền văn hoá mới nổi của châu Âu và trì hoãn sự hồi sinh của sáng tạo toán học.

4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16

Thời Phục hưng của nghệ thuật và học thuật bắt đầu một cách nhanh nhẩu trong thế kỉ 15. Khi Constantinople sụp đổ vào năm 1453, nhiều học giả Hi lạp di cư tới các thành phố và đại học mới của phương Tây. Điều này trùng hợp với việc phát minh ra máy in kiểu di động, một phương tiên hiệu quả trong việc phổ biến thông tin. Các nhu cầu ngày càng tăng của việc giao thương, hàng hải, thiên văn và điều tra thúc đẩy việc nghiên cứu toán học và đồng thời cũng giới hạn nó một ít. Chủ đề thống trị của toán học thế kỉ 15 và 16 là việc tính toán và toán học đã tiến những bước dài trong việc đạt tới tính chính xác và sự hiệu quả trong kĩ thuật tính.

Nhà toán học dẫn đầu của thế kỉ 15 là Johannes Müller (1436-1476), còn được biết dưới tên Regiomontanus. Ngoài việc dịch lại nhiều công trình cổ điển Hi Lạp và nghiên cứu các vì sao, ông còn viết quyển De triangulis omnimodis, quyển sách đầu tiên dành riêng cho lượng giác. Quyển sách này khác biệt rất ít so với lượng giác hiện nay trừ cách kí hiệu, và nó đánh dấu sự mở đầu của lương giác như một ngành học độc lập với thiên văn.

Những quyển sách toán được in đầu tiên là sách số học thương mại xuất hiện năm 1478 và bản Latin của quyển Cơ bản của Euclid năm 1482. Tuy nhiên, toán học thu được nguồn lợi tức thật sự lần đầu từ việc in ấn bằng sự xuất hiện của quyển Summa de Arithmetica của Luca Pacioli, một nhà tu dòng Francisco. Quyển sách này được viết bằng tiếng Ý và là một sách hoàn chỉnh của tất cả kiến thức số học, đại số, và lượng giác biết được tới lúc đó, kết thúc với một nhận xét rằng các phương trình bậc ba là không giải được với các công cụ toán học đang có. Như để đáp ứng với thách thức này, các nhà toán học ở Đại học Bologna đã tấn công vào bài toán và đã khử đuợc nó trong phần tư đầu của thế kỉ kế.

Nhà khoa học lỗi lạc nhất của thời kì này là Leonardo da Vinci (1452-1519), một người với sự tài giỏi đa dạng bao gồm các lĩnh vực hoạt động như hội hoạ, điêu khắc, sinh học, kiến trúc, cơ học và quang học. Công trình toán học của ông tập trung vào hình học và ứng dụng của nó vào nghệ thuật và các khoa học vật lí. Việc ứng dụng toán học vào nghệ thuật không chỉ hạn hẹp trong các công trình của Vinci. Nhiều hoạ sĩ nổi tiếng khác của thế kỉ 16 cũng là các nhà hình học xuất sắc, nổi bậc là Albretch Dürer. Ông viết công trình in đầu tiên bàn về các đường cong phẳng bậc cao và khảo sát của ông vể phối cảnh và tỉ lệ đã được phản ánh trong các tác phẩm nghệ thuật của các hoạ sĩ cùng thời.

Leonardo da Vinci

Cha đẻ của toán học Anh là Robert Recorde (k 1510 -1558), một bác sĩ y khoa, nhà giáo duc và một công chức. Ông đã xuất bản 4 quyển sách toán, viết với dạng đối thoại tiếng Anh với sự trong sáng, chính xác và có cơ sở: The Ground of Artes (Cơ sở của số học), một sách số học đã trải qua tới ít nhất 29 lấn tái bản; The Castle of Knowledge (Lâu đài kiến thức), bản trình bày đầu tiên bằng tiếng Anh về lí thuyết Copernic trong thiên văn; The Pathway to Knowledge (Con đưòng dẫn đến Kiến thức), bản rút ngắn của bộ Cơ bản của Euclid; và The Whetstone of Witte, sách đại số, trong đó kí hiệu đẳng thức “=” xuất hiện lần đầu tiên.

Robert Recorde

Trong nửa sau của thế kỉ 16, một luật sư người Pháp tên là François Viète [Vi-et] (1540-1603) bắt đầu dành toàn bộ thời gian rãnh rổi cho toán học, và ông đã đưa kĩ thuật đại số tiến những bước đáng kể. Ông là người đầu tiên dùng các hệ số bằng chữ khi giải phương trình, và sự nhất quán trong hệ thống kí hiệu của ông, bao gồm cả dấu + và –, đã đưa ông thành ngưòi đi đầu trong việc phát triển các phương pháp tổng quát cho việc giải phương trình. Bằng cách áp dụng các phương pháp đại số này, Viète [4] đã mở rộng và khái quát việc nghiên cứu lượng giác. Cho mãi tới thế kỉ 18 mới có một nhà đại số khác có năng lực tương đuơng với ông.

François Viète

Tên tuổi cuối có tầm quan trọng lớn thuộc thế kỉ 16 là Simon Slevin của Hà Lan, có công phát triển lí thuyết về phân số thập phân năm 1585. Hai trăm năm chuẩn bị cho một cuộc bùng nổ về khoa học báo hiệu bình mình của kỉ nguyên lớn thứ ba của toán học đã kết thúc như thế.

chú thích
[2] Số phẳng là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích 2 thừa số nguyên
[3] Số không gian là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích của 3 thừa số nguyên
[4] Trong chương trình toán THP,T chúng ta biết Viète qua định lí về tổng và tích của phương trình bậc hai (S = -b/a và P = c/a)

(còn nữa)

nguồn edu.go.vn