\Bài 7.

Hoán vị liền kề của: 568397421

Đặt 568397421 là a

Hoán vị liền kề của số trên phải là một số lớn hơn số trên và là số lớn hơn nhỏ  nhất

Nếu ta đổi vị trí của 21 thì ta được hoán vị mới,nhưng số này lại nhỏ hơn a;

Nếu ta tạo hoán vị mới bằng cách đổi chỗ các số 4,2,1 thì vẫn không tạo ra được số nào lớn hơn a

Tiếp tục như vậy,ta thử với các số 7,4,2,1 thì xxx7421 đã là số lớn nhất,và xxx97421 cũng đã là số lớn nhất

Do đó,ta phải đổi đến tập 3,9,7,4,2,1 thì mới có số lớn hơn a;

Số tiếp theo lớn hơn a trong tập {1,2,3,4,5,6,7,8,9} là:

5684xxxxx

Số này phải là số nhỏ nhất trong các số lớn hơn a,do đó,tiếp theo số 4 là số 1,sau đó là 2,cứ tiếp tục nhận xét như vậy,ta có kết quả là:

568412379;

Đổi vị trí số 7,9,ta được hoán vị tiếp theo

568412397

Đổi vị trí 3,9,7 ta tiếp tục lại có hoán vị thứ 3:

568412739;

Đổi vị trí 9,3 ta được hoán vị thứ 4:

568412793;

Kết quả cuối cùng ta được 4 hoán vị liền kề của a là

:

568412379,568412397,568412739,568412793;

Các bài 8,9,10 là tương tự.

Bài 11:

Tổ hợp liền kề của tổ hợp chập 4 {2,6,8,9} của tập {1,2,3,4,5,6,7,8,9} phải là tổ hợp lớn hơn,và là tổ hợp lớn hơn {2,6,8,9} nhỏ nhất

Do đó,tổ hợp tiếp theo sẽ là:

{2,7,8,9}

Gọi tổ hợp này là tổ hợp 1

Tiếp tục như vậy,tổ hợp tiếp theo của tổ hợp 1 là:

{3,4,5,6}

Gọi tổ hợp này là tổ hợp 2

Liền kề tổ hợp 2 là tổ hợp:

{3,4,5,7}

Và cuối cùng,tổ hợp thứ 4 là:

{3,4,5,8}

Bài 12,13,14 làm tương tự.

Bài 15:

Chúng ta sẽ chia làm 4 trường hợp:

Trường hợp 1:biển số xe có 2 chữ,3 số

Trường hợp 2:biển số xe có 2 chữ,4 số

Trường hợp 3:biển số xe có 3 chữ,3 số

Trường hợp 4:biển số xe có 3 chữ,4 số

Xét với:

Trường hợp 1:biển số xe như vậy sẽ có dạng:

AB-XYZ

Vị trí A ta có 26 cách chọn

Vị trí B ta có 26 cách chọn

Vị trí X,Y,Z ta có 10 các chọn.

Do đó,tổng số biển xe có thể có là:

26.26.10

Làm tương tự với các trường hợp còn lại:

Trường hợp 2 ta có:

Tổng số biển số xe là:26.10

Trường hợp 3: 

Trường hợp 4:

Vậy tổng số biển xe sẽ là:

Bài 16 làm tương tự

Bài 17:

Các số <5000⋮6 là:

Các số <5000⋮9 là:

Các số <5000 vừa chia hết cho 6,vừa chia hết cho 9 là:

Vậy tổng các số thỏa mãn điều kiện <5000 chia hết cho 6 hoặc 9 là:

833+555-277=1111

Các số <1000 và chia hết cho 6 là:

Các số <1000 và chia hết cho 9 là:

Các số <1000 vừa chia hết cho 6,vừa chia hết cho 9 là:

Vậy tổng các số  chia hết cho 6, hoặc chia hết cho 9 là:

166+111-55=222

Do đó,tổng các số thỏa mãn điều kiện đầu bài sẽ là:

1111-222=889

(các bạn có thể kiểm tra lại kết quả này bằng code C++)

Bài 18 làm tương tự nha.

19,20 thì dễ rồi.

Bài 21.

Đội văn nghệ có ít nhất 6 người,và nhiều nhất 10 người.Mà số nam và số nữ phải bằng nhau.Vậy đội văn nghệ có thể có:6,8,10 người

Với đội văn nghệ là 6 người:

Số nam và số nữ bằng nhau nên số nam là:3

vậy sẽ có có  cách chọn 3 nam phần tử trong tổng số 55 bạn nam

và sẽ có  cách chọn bạn nữ trong tổng số 35 bạn nữ.

vậy áp dụng quy tắc nhân ta thì tổng số cách thành lập đội văn nghệ có 6 người là:

Đồi với đội văn nghệ 8 làm tương tự ta cũng có số cách chọn là:

Và đối với đội văn nghệ 10 người,số cách chọn sẽ là:

Do đó,tổng số cách thành lập đội văn nghệ thỏa mãn điều kiện đầu bài là:

++

Bài 22 à 24 các bạn làm tương tự

Bài 25:

b.do trả lời đúng được được 0,2 và không trả lời đúng thì không bị trừ điểm,và tổng số câu trả lời là 50,do đó,mỗi môn,ta sẽ có lớn nhất là 51 thang điểm,vậy tổng điểm 2 môn Lý+Hóa sẽ có 102 thang điểm.

để có ít nhất 10 sinh viên có cùng tổng điểm Lý Hóa,ta áp dụng nguyên lý Di-ri-lec:

gọi n là số sinh viên cần tham gia thi:

(do là phép lấy phần nguyên nên ta phải thêm 1)

Bài 26.

Lập luận tương tự câu 25:

Ta sẽ có 82 thang điểm.

Để có ít nhất 10 sinh viên có cùng tổng điểm Lý+Hóa,thì áp dụng nguyên lý Di-ri-lec ta có:

Gọi n là số sv cần tham gia thi:

Bài 27:nếu sinh viên trả lời toàn sai,ta sẽ có 30 thang điểm,nếu sinh viên trả lời đúng hết(không có câu sai và có câu bỏ),ta cũng có 30 thang điểm,nếu sinh viên trả lời vừa đúng vừa sai,ta sẽ có 29 thang điểm(do không thể trả lời đúng 30 mà lại sai 1(thì số câu trả lời sẽ lên 31 câu) nên chỉ có 29 thang điểm),Nếu sinh viên bỏ cả,ta có 1 thang điểm là 0.vậy tổng số thang điểm là:

30+30+29+1=90.

Để có ít nhất 2 sinh viên có cùng điểm thi,thì áp dụng nguyên lý di-ri-lec ta có:

Gọi n là số sinh viên cần tham gia thi:

Bài này các bạn cũng thấy quá rõ rang là 90 thang điểm,mà có 91 người,thì chắc chắn ít nhất có 2 người cùng thang điểm.Tức là không cần đặt cái phương trình kia.:)

Bài 28:

Nếu sinh viên trả lời sai hết,ta có 35 thang điểm,nếu sinh viên trả lời đúng hết(không có câu sai và có câu bỏ),ta có 35 thang điểm,nếu sinh viên trả lời vừa đúng vừa sai ta có 34 thang điểm.

Nếu sinh viên bỏ cả,ta có 1 thang điểm(0).do đó,tổng số thang điểm là:

35+35+34+1=105.

Làm đến đây rồi,thì kết quả sẽ là 106 sinh viên.

29:

a.Phương trình

(1)

Có:

Tức là ta có,một tập hợp gồm 13 phần tử,chia làm 3 loại,chọn sẵn 1 phần tử loại 1,3 phần tử loại 2,còn lại 9 phần tử(13-3-1=9), thì tiếp tục chia cho ba loại phần tử đó.

Do đó,số nghiệm của phương trình sẽ là:

C(9+3-1,9)=55

Đó là giải theo cách giải thích,nếu các bạn không muốn làm theo cách này,có thể làm theo cách đặt ẩn.

b.

phương trình (1) có  tức là ta chọn sẵn 3 phần tử loại loại 2 trong 13 phần tử,do đó,còn lại 10 phần tử thì tiếp tục chia cho 3 loại phần tử đó.do đó,số cách cách sẽ là:

C(10+3-1,10)=66

Nhưng bài toán lại chịu them ràng buộc .

Vậy ta sẽ xét trường hợp

   (2) 

thì số nghiêm của phương trình sẽ chính là số số nghiệm của pt chỉ chịu mình rang buộc  trừ đi số nghiệm của pt (1)có điều kiện (2).

Lập luận tương tự với câu a,ta sẽ có số nghiệm của phương trình (1) chịu điều kiện (2) là:

C(4+3-1,4)=15

Do đó,số nghiệm của pt (1) sẽ là:

66-15=51

(các bạn có thể kiểm tra lại kết quả này bằng code C++)

Các bài về PT các bạn làm tương tự,cách làm của mình là cách làm giải thích,vì mình thấy đề các năm trước bắt giải thích chứ không có kiểu đặt ẩn.

Bài 34(do bài 33 mình chả nhìn rõ đề.:(…..)

Hệ thức truy hồi:

Có phương trình đặc trưng là:

(1)

Nghiệm của (1) là: 2 và -1;

Theo định về nghiệm của hệ thức truy hồi,thì nghiệm của dãy {} là nghiệm của hệ thức truy hồi:  với:

nên ta có hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là:

b.xâu nhị phân có độ dài n và chứa 3 số 1 liên tiếp:

gọi  là dãy số thỏa mãn điều kiện đầu bài

nếu  có dạng:

thì ta sẽ có,tất cả các số đứng trước 111 xắp xếp thế nào cũng được và có độ dài bằng n-3.do đó xâu nhị phân này là:

Nếu  có dạng:

Chính là xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện đầu bài có độ dài n-3,và thêm 011 vào cuối.vậy số xâu này là:

Nếu  có dạng:

Thì đây chính là xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện đầu bài có độ dài n-2 và thêm 01 vào cuối,vậy số xâu này là:

Nếu có dạng :

Thì đây chính là xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện đầu bài,có độ dài n-1 và thêm 0 vào cuối,vậy số xâu này là:

Tổng kết lại thì ta sẽ có:

Với:

Bài 35:  (dạng bài này là dạng với điều kiện là bắt đầu bằng 1 số,các bạn chú ý nha,vì trong ngân hàng,có 2 dạng,1 dạng là điều kiện bắt đầu,1 dạng điều kiện là kết thúc)

: Mình đã tìm ra được một cách chung cho 2 dạng kết thúc và bắt đầu

Gọi xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện đầu bài có độ dài n là

Gọi xâu nhị phân có độ dài n và có hai số 1 liên tiếp là

Nếu  có dạng:

Thì các số đằng sau 11 xắp xếp thế nào cũng được,do đó,số xâu này sẽ là:

Nếu  có dạng: 

Thì sẽ là xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện có 2 số 1 liên tiếp,thêm 10vào đầu,và có độ dài là n-2.

Do đó,số xâu nhị phân này là:

Tổng kết ta có:

.

.

Với

Tiếp theo phần hệ thức truy hồi của xâu nhị phân có 2 số 1 liên tiếp:

Nếu  có dạng:

Thì đây chính là xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện có 2 số 1 liên tiếp,có độ dài bằng n-1 và thêm 0 ở cuối,do đó,số xâu này là:

Nếu  có dạng:

Thì đây chính là số xâu nhị phân có 2 số 1 liên tiếp,có độ dài bằng n-2,và thêm 01 ở cuối,do đó,số xâu này là:

.

Nếu  có dạng:

Thì đây chính là xâu nhị phân xắp xếp theo thứ tự bất kỳ,có độ dài là n-2 và thêm 11 vào cuối cùng,do đó,số xâu nhị phân này là:

Tổng kết ta có,số xâu nhị phân có 2 số 1 liên tiếp là:

Bài 36(dạng bài kết thúc bằng 1 số(0 hoặc 1))

Gọi  là số xâu nhị phân có độ dài n và thỏa mãn điều kiện đầu bài

Gọi  là số xâu nhị phân có độ dài n và có 2 số 1 liên tiếp(phần tìm hệ thức truy hồi của xâu nhị phân có 2 số 1 liên tiêp các bạn phải làm nha)

Nếu  có dạng:

 thì chính là số xâu nhị phân có độ dài n-2 và chứa 2 số 1 liên tiếp,do đó,số xâu nhị phân này sẽ là:

(1)

Nếu  có dạng:

 thì chính là xâu nhị phân có độ dài n-2,xắp xếp theo thứ tự bất kỳ,và có độ dài là n-2,do đó,số xâu này là:

Tổng kết,ta có:

Giải thích chỗ (1):Các bạn đừng nhầm lẫn chỗ xxxxxx01 nha,vì nếu các bạn cho số xâu đó là  thì sẽ sai đấy,lý do là  phải kết thúc bằng 1,nên  cũng phải kết thúc bằng 1,nhưng các số xxxxxxx thì vẫn có thể kết thúc bằng 0.