Chương 4. Các phương trình phi tuyến  

2(1.5/0.5/0)    

4.1. Định nghĩa

Bài toán: Tìm nghiệm thực của phương trình

                                      (4.1)

trong đó hàm phi tuyến liên tục.

Ý nghĩa hình học của nghiệm:

Vẽ đồ thị hàm số trong hệ tọa độ vuông góc xOy.

Nếu đồ thị cắt trục hoành tại điểm M thì , tức  và x chính là một nghiệm của phương trình . (Hình 4.1)

Hoành độ điểm cắt của đồ thị với trục hoành cho nghiệm của phương trình.

Đôi khi phương trình (4.1) có dạng tương đương: . Khi đó hoành độ của giao điểm giữa hai đồ thị cho ta nghiệm. (Hình 4.2)

Việc tìm nghiệm thực của phương trình (4.1) có hai bước:

Bước1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, tức là khoảng chứa một và chỉ một nghiệm

Bước 2. Từ khoảng cách ly nghiệm, tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu của một phương pháp.

4.2.Khoảng cách ly nghiệm

Định lý 4.1. Nếu hàm số , tồn tại và giữ dấu không đổi trong khoảng thì trong chỉ có duy nhất một nghiệm thực của phương trình .

Ý nghĩa hình học:đường cong liên tục chỉ tăng hoặc giảm, nối liền hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục Ox , cắt trục Ox tại điểm duy nhất (hình 4.3).

Khoảng là khoảng cách ly nghiệm của phương trình  nếu 2 điều kiện sau thỏa mãn:

(1)  và

(2) tồn tại và đơn điệu (đạo hàm giữ dấu không đổi) trong khoảng

   Để tìm khoảng cách ly nghiệm có hai phương pháp:

1.Phương pháp giải tích:

Xác định dấu của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số và tại các điểm trung gian x = a1, x = a2, …, x = an. Những điểm này thường được lựa chọn căn cứ vào đặc điểm của hàm . Mỗi khoảng ở đó điều kiện cách ly nghiệm được thỏa mãn là khoảng cách ly nghiệm của phương trình. Thông thường để tiện, thường dùng quá trình chia đôi (interval haling), chia khoảng xác định của hàm thành hai, bốn, tám phần bằng nhau và xác định dấu của hàm số tại hai đầu mút của khoảng xác định và tại các điểm chia.

Ví dụ 4.1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình

Xét sự biến thiên:  tại

Bảng biến thiên

x

-¥

+¥

f’(x)

+

0

-                 0

+

f(x)

-¥

M

+¥

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất (hình 4.4)

Hơn nữa ta có

Vậy đoạn  chứa nghiệm của phương trình. Do nghiệm là duy nhất nên chính nghiệm ấy phân ly trong đoạn tìm được. Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất, phân ly trong khoảng .

Ví dụ 4.2. Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình

Giải:

Thành lập bảng dấu của hàm số  tại hai mút khoảng xác định và tại hai điểm 2 và 3 gần không điểm của đạo hàm.

x

-∞

2

3

+∞

f’(x)

+

-

-

+

Từ bảng suy ra: trong khoảng  (-∞,2) hàm đơn điệu tăng , trong khoảng (-2, -3) hàm đơn điệu giảm, trong khoảng (-3 , +∞) hàm đơn điệu tăng do đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực.

Để nhận được khoảng hẹp hơn chứa hai nghiệm thực, xét bảng dấu sau đối với

x

-1

0

2

3

4

5

f(x)

+

-

-

-

-

+

Vậy các khoảng cách ly nghiệm là (-1,0) và (4,5)

2. Phương pháp hình học

Vẽ đồ thị hàm . Điểm cắt đồ thị với trục hoành cho giá trị thô của nghiệm. Từ đó xác định được khoảng cách ly nghiệm.

Nếu đồ thị hàm khó vẽ. Hãy dưa phương trình đã cho về dạng tương đương sao cho đồ thị của hai hàm dễ vẽ. Hoành độ của giao điểm giữa hai đồ thị cho ta các giá trị thô của nghiệm, từ đó xác định được các khoảng cách ly nghiệm.

Ví dụ 4.3. Dùng phương pháp đồ thị, tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình:

Đồ thị cho trên hình 4.5.

Từ đồ thị ta nhận được 3 khoảng cách ly nghiệm: (-2, -1), (-1  0), (1, 2).

Cách 2: Phương trình được đưa về dạng tương đương

Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ (hình 4.6). Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm thực đồng thời từ đồ thị cũng suy ra được 3 khoảng cách ly nghiệm như trên.

Có 4 phương pháp tính gần đúng nghiệm:

1.    Chia đôi khoảng

2.    Điểm cố định

3.    Phương pháp Newton

4.    Phương pháp dây cung

4.3. Phương pháp chia đôi (Interval halving)

4.3.1. Nội dung của phương pháp

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (4.1).

Chia đôi khoảng (a, b).

Nếu  thì là nghiệm đúng cần tìm.

Nếu , chọn một trong hai khoảng  mà tại hai đầu mút của khoảng, hàm số  khác dấu làm khoảng cách ly nghiệm mới. Gọi khoảng này là (a1, b1), nó có độ dài bằng nửa khoảng (a, b):

Ta lại chia đôi khoảng (a1, b1), và tiếp tục cho đến khi đạt được sai số cho phép.

4.3.2. Sự hội tụ của phương pháp

Nếu ta thực hiện vô hạn lần phương pháp chia đôi thì ta nhận được các khoảng cách ly nghiệm lồng nhau và thu nhỏ dần:

sao cho

                                    (4.2)

                        (4.3)

Với dãy các mút trái  ( dãy đơn điệu không giảm và bị chặn trên bởi số b), với dãy các mút phải  (dãy đơn điệu không tăng bị chặn dưới bởi số , nên từ (4.3) khi ta nhận được:

                              (4.4)

Từ (4.2) do tính liên tục của hàm , ta có:

4.3.3. Đánh giá sai số của phương pháp

Tại bước lặp thứ n ta có:

Vậy có thể lấy nghiệm gần đúng là:

1.    với sai số là                           (4.5)

2.    với sai số là                           (4.6)

3.    với sai số là    (4.7)

4.3.4. Ưu nhược điểm của phương pháp:

Phương pháp đơn giản, dễ lập trình, mỗi lần áp dụng phương pháp chia đôi, chỉ cần tính giá trị hàm số tại điểm giữa của khoảng.

Nhược điểm tốc độ hội tụ chậm.

Ví dụ 4.6. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

bằng phương pháp chia đôi, biết khoảng cách cách ly nghiệm là (1,2).

Giải: Ta có .

Kết quả tính nhận được ở bảng 4.1. sau:

an

f(xn)

bn - an

0

1

2

1.5

0.875

1

1

1

1.5

1.25

-0.29688

0.5

2

1.25

1.5

1.375

0.22461

0.25

3

1.25

1.375

1.3125

-0.05151

0.125

4

1.3125

1.375

1.34375

0.08261

0.0625

5

1.3125

1.34375

1.32813

0.01458

0.03125

6

1.3125

1.32813

1.32032

0.00156

Dừng lại ở lần thứ 6, có thể lấy nghiệm gần đúng là 1.32032 với sai số:   .

Vậy nghiệm đúng

Sơ đồ tóm tắt của phương pháp chia đôi

4.4.Phương pháp lặp điểm cố định (Fix-Point Iteration)

4.4.1. Nội dung phương pháp

Giả sử (a,b) là khoảng cách ly nghiệm.

Đưa phương trình về dạng tương đương:

                                         (4.8)             

Chọn là nghiệm gần đúng ban đầu.

Các nghiệm gần đúng khác được chọn bởi công thức lặp:

                       (4.9) 

Nếu dãy các nghiệm gần đúng hội tụ, . Do giả thiết là hàm liên tục, ta có:

Tức là x là nghiệm đúng cần tìm.

4.4.2. Sự hội tụ của phương pháp

Định lý 4.2. Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm (chứa nghiệm x = x) của phương trình .

với xác định bởi phương trình tương đương với phương trình .

Mọi giá trị .

Nếu

Thì dãy các nghiệm gần đúng

Hội tụ đến nghiệm đúng .

Chứng minh:

Do là nghiệm nên . Ta có . Từ đó suy ra:

Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange):

Tương tự:

Như vậy  nếu .

Từ các bất đẳng thức trên, suy ra:

                             (4.10)

Theo giả thiết , từ (4.10) suy ra:

                                        (4.11)

4.4.3. Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

                   (4.12)

Mặt khác, theo công thức số gia hữu hạn,

Vì  nên

Cho n = 2, 3, 4,…ta nhận được:

Thay vào vế phải của (4.12), ta có:

                       (4.13)

Như vậy với q càng bé sự hội tụ của phương pháp lặp càng nhanh. Bất đẳng thức (4.13) cho phép sau lần lặp thứ nhất (sau khi biết được x1) xác định được số lần lặp cần tiến hành để nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác cho trước. Thật vậy để cần

                          (4.14)

Ví dụ 4.7. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

bằng phương pháp lặp với độ chính xác 10-4, biết khoảng cách ly nghiệm là (0,1).

Giải:

Các phương trình điểm bất định tương đương có thể

Quá trình lặp hội tụ khi .

Ta có trên đoạn cách ly nghiệm (0,1):

Như vậy ta có thể dùng

làm phương trình tương đương, và

Chọn là số bất kỳ trong [0, 1]. Công thức lặp là:

                             (a)

Để có được nghiệm gần đúng với sai số 10-4, ta dùng đánh giá (4.12);

Áp dụng cho hai lần lặp liên tiếp:

    (a2)

Thực hiện quá trình lặp bằng cách chọn .

Tính theo công thức lặp (a) cho đến khi điều kiện (a1) thỏa mãn. Kết quả tính toán như sau:

Vậy ta có thể dừng ở lần lặp thứ 5 và nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình đã cho với độ chính xác 10-4 là 0.1509.

Chú ý: trong thực hành tính, thường dứng quá trình tính toán khi:

                                (4.15)

Tóm tắt phương pháp lặp:

1.    Cho phương trình .

2.    Ấn định sai số cho phép .

3.    Xác định khoảng phân ly nghiệm .

4.    Tìm hàm lặp hội tụ

5.    Chọn xấp xỉ đầu .

6.    Tính

7.    Kết quả 

với sai số

4.5.Phương pháp Newton (Newton’s, Phương pháp tiếp tuyến)

4.5.1. Nội dung phương pháp

Giả sử là khoảng cách ly nghiệm của phương trình . Trên thay cung cong AB của đường cong bởi tiếp tuyến với đường cong tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoàng độ của giao điểm giữa tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng .

Công thức tính được xác định bởi:

Trường hợp 1: (hình 4.7):

Để xác định, xét f(x) đơn điệu tăng

hoặc xét (hình 4.7): f(x) đơn điệu giảm

Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm  có dạng:

Nên hoàng độ , giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành thỏa mãn:

Nghiệm giờ nằm trong khoảng . Nếu chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay bằng và lại áp dụng phương pháp tiếp tuyến cho để nhận được xấp xỉ nghiệm tốt hơn :

Tiếp tục quá trình trên, tổng quát ta nhận được:

Quá trình lặp dừng lại đến khi nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.

Trường hợp 2:    (Hình 4.8)

Để xác định hoành độ điểm cắt, xem  ( f(x) đơn điệu tăng)

hoặc xem (hình 4.7): (f(x) đơn điệu giảm)

Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm  có dạng:

Tìm hoàng độ , giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành từ:

Nghiệm giờ nằm trong khoảng . Nếu chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay bằng và lại áp dụng phương pháp tiếp tuyến cho để nhận xấp xỉ nghiệm tốt hơn :

Tiếp tục quá trình trên, tổng quát ta nhận được:

Quá trình lặp dừng lại đến khi nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.

Chú ý: nếu áp dụng phương pháp tiếp tuyến xuất phát từ hay có thể nhận được nằm ngoài nếu không cùng dấu với , khi đó phương pháp tiếp tuyến không dùng được.

Khi áp dụng liên tiếp phương pháp tiếp tuyến đối với khoảng cách ly nghiệm (a,b), ta đi đến công thức sau:

                     (4.16)  

và

   nếu

   nếu

4.5.2. Sự hội tụ của phương pháp

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình  và giữ dấu không đổi trong (a,b), tức là , giữ dấu không đổi trong (a,b).

Việc áp dụng phương pháp tiếp tuyến xác định các nghiệm gần đúng theo công thức (4.16) tạo ra một dãy

(1) đơn điệu giảm và bị chặn dưới cho trường hợp 1

(2) đơn điệu tăng và bị chặn trên cho trường hợp 2

nên tồn tại giới hạn:  .

Từ (4.16) chuyển qua giới hạn, ta có:

Vì (a,b) là khoảng cách ly nghiệm nên trong nó chỉ chứa duy nhất nghiệm của phương trình . Vậy . (đpcm)

5.5.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Định lý 4.3. Giả sử nghiệm đúng và nghiệm gần đúng  của phương trình , và . Khi đó ta có đánh giá sau:

                                 (4.17)

Chứng minh:

Theo công thức số gia hữu hạn:

Vì   nên

      (đpcm)

Như vậy:

   Bất đẳng thức (4.17) được dùng để mức độ chính xác của nghiệm gần đúng nhận được theo phương pháp tiếp tuyến.

Về mặt thực hành thường dùng công thức đánh giá sai số theo hai giá trị gần đúng liên tiếp sau:

Giả sử

        (4.18)

Khi đó ta có đánh giá (4.17):

Theo khai triển Taylo:

 (a1)

trong đó .

Từ công thức lặp Newton (4.16)

Thay vào (a1), nhận được:

Như vậy:

(4.19)

Đánh giá này cho thấy phương pháp tiếp tuyến hội tụ cùng bậc hai so với độ lệnh của hai bước lặp liên tiếp.

5.5.4. Ưu nhược điểm của phương pháp

Ưu điểm: Tốc độ hội tụ nhanh.

Khuyết điểm: khi biết xn, để tính xn+1 cần phải tính f và f’tại điểm xn.

Ví dụ 4.5.1.Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

bằng phương pháp tiếp tuyến, biết khoảng cách ly nghiệm là (1.1, 1.4).

Giải: Ta có:

Vì  cùng dấu với nên chọn và công thức lặp (4.16). Ta có .

Đánh giá độ lệch giữa  và nghiệm đúng  theo công thức (4.19).

Hoặc theo công thức đánh giá (4.17)

Đánh giá này tốt hơn đánh giá trên.

Sơ đồ tóm tắt phương pháp tiếp tuyến

1.    Cho phương trình .

2.    Ấn định sai số cho phép

3.    Tìm khoảng phân ly nghiệm trong đó  không đổi dấu.

4.    Chọn

5.    Tính

6.    Nếu , thay  bởi và quay lại bước 5.

     Ngược lại nếu  thì  là nghiệm cần tìm.

7.    Sai số

Nhận xét 1:

Phương pháp Newton có thể được hiểu như sự tuyến tính hóa sau:

Chọn  , khai triển Taylor bậc nhất của hàm :

Như vậy phương trình được thay bởi:

Bỏ qua số hạng bậc hai, phương trình này trở thành:

                    (4.20)

Nếu là nghiệm của (4.20) thì

Từ x1 tính tương tự được x2. Tổng quát:

và xem xn là nghiệm gần đúng cần tìm.

Phương pháp Newton còn gọi là phương pháp tuyến tính hóa

Nhận xét 2: Phương pháp Newton là phương pháp lặp điểm cố định với hàm lặp là

4.6.Phương pháp dây cung (Secan)

4.6.1. Nội dung phương pháp

Giả sử là khoảng cách ly nghiệm của phương trình .

Trên , thay cung cong của đường cong  bằng dây trương cung cong ấy và xem hoành độ x1 của giao điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng.

Để xây dựng công thức tính x1, xét 2 trường hợp sau

Trường hợp 1: .

Xem (hình 4.9).

Dây cung AB là đường thẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Hoành độ của giao điểm của dây cung với trục hoành thỏa mãn:

Nghiệm . Nếu x1 chứa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bởi (x1, b) và lại áp dụng phương pháp dây cung với (x1, b), ta nhận được xấp xỉ x2 xấp xỉ nghiệm tốt hơn x1.

Tổng quát:

          (4.21)                    

Quá trình dừng lại đến khi nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.

Trường hợp 2:

Xem (hình 4.10).

Dây cung AB là đường thẳng đi qua điểm nên có phương trình là:

Hoành độ của giao điểm của dây cung với trục hoành thỏa mãn:

Nghiệm . Nếu x1 chứa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bởi (a, x1) và lại áp dụng phương pháp dây cung với (a, x1) , ta nhận được xấp xỉ x2 xấp xỉ nghiệm tốt hơn x1.

Tổng quát:

       (4.22) 

Quá trình dừng lại đến khi nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.

Hai công thức (4.21) và (4.22) có thể kết hợp lại thành:

          (4.23)

trong đó:

4.6.2. Sự hội tụ của phương pháp

Khi thực hiện phương pháp dây cung, dãy tạo nên

   Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên cho trường hợp 1

   Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới cho trường hợp 2

Nên tồn tại giới hạn

Từ đó, chuyển qua giới hạn từ công thức (4.23), ta có:

Vì (a, b) là khoảng cách ly nghiệm nên trong (a,b) chỉ có duy nhất nghiệm, vì thế . (đpcm)

4.6.3. Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

   Theo công thức (4.17): nếu thì ta có:

   Đánh giá sai số qua 2 gần đúng liên tiếp

Giả sử trên , liên tục, giữ dấu không đổi và thỏa mãn:

                     (4.24)      

Từ công thức lặp đơn:

Vì  là nghiệm đúng của phương trình nên , nên:

Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho cả hai vế, ta nhận được:

trong đó  nằm giữa , nghĩa là ;  nằm giữa , nghĩa là . Do đó:

Theo giả thiết (4.24):

Vì thế

                       (4.25)

4.6.4. Ưu nhược điểm của phương pháp

Ưu điểm: được dùng rộng rãi; Khi biết xn để tính xn+1 chỉ cần tính một giá trị của hàm f tại xn.

Khuyết điểm: tốc độ hội tụ chậm (hội tụ tuyến tính)

Ví dụ 4.6.1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

bằng phương pháp dây cung với độ chính xác 0.003, biết khoảng cách ly nghiệm là (1.1, 1.4).

Giải:

Ta có .

Vậy có thể xuất phát từ khoảng (1.1, 1.4) để áp dụng liên tiếp phương pháp dây cung và dãy các gần đúng liên tiếp nhận được từ công thức lặp dây cung (4.23) sẽ hội tụ đến nghiệm đúng trong khoảng (1.1, 1.4) của phương trình đã cho.

Vì , áp dụng công thức (4.23) với d = 1.4, x0 = 1.1.

Đánh giá độ lệch giữa x2 và x1.

Vì  nên  chứa nghiệm gần đúng x2 và nghiệm đúng x. Ta có:

Vậy x2 là nghiệm gần đúng phải tìm.

Có thể đánh giá độ chính xác theo công thức (4.25). Và cho thấy kết quả đánh giá theo cách này tốt hơn.

Lưu ý rằng, nghiệm đúng của phương trình là .

Sơ đồ tóm tắt phương pháp dây cung:

1.    Cho phương trình

2.    Ấn định sai số cho phép

3.    Tìm khoảng phân ly nghiệm

4.    Tính

4.7.Các đa thức

Đa thức bậc n có dạng:

trong đó các hệ số hằng số  là số thực hoặc phức.

Nghiệm của đa thức:

Định lý cơ bản của đại số: Đa thức bậc n có đúng n nghiệm.

Các nghiệm có thể là thực hoặc phức.

Nếu tất cả các hệ số là thực, thì các nghiệm phức luôn xuất hiện dưới dạng các cặp liên hợp.

Với các đa thức bậc 2 (3,4 ít dùng) đã có công thức tìm nghiệm. Với các đa thức bậc cao hơn, nghiệm được tìm theo phương pháp gần đúng.

Qui tắc  Descarter về dấu:

Với các đa thức Pn(x) có các hệ số thực, số nghiệm dương của đa thức bằng số lần đổi dấu của các hệ số khác không, hoặc bé hơn một số nguyên chẵn. Số nghiệm âm tìm được tương tự khi xét Pn(-x).

Ví dụ 4.7.1.

Đa thức có 4 nghiệm.

P4(x) có 3 lần thay đổi dấu các hệ số.

P4(-x) có 1 lần thay đổi dấu các hệ số.

Như vậy, đa thức phải có 3 nghiệm thực dương và 1 nghiệm thực âm, hoặc 1 nghiệm thực dương, một nghiệm thực âm và 2 nghiệm phức liên hợp.

Có thể áp dụng các phương pháp lặp nói trên để tính nghiệm của đa thức. Có thể thực hiện với các số phức. Để tìm nghiệm phức, điều kiện đầu phải là số phức.

Tìm nghiệm đa thức khi phân tích nó thành nhân tử.

4.8.Các hệ phương trình phi tuyến

Giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến).

Í nghĩa hình học của phương pháp tiếp tuyến: Từ nghiệm gần đúng thứ n, , thay gần đúng phần đường cong có phương trình , tính từ điểm đến trục hoành bằng đọn tiếp tuyến với đường cong tại có phương trình và xem hoành độ  của giao điểm của tiếp tuyến ấy với trục hoành là nghiệm gần đúng thứ n +1 tốt hơn .

Giả sử nghiệm gần đúng , nếu là nghiệm gần đúng tốt hơn của phương trình thì . Khai triển Taylo hàm tại điểm :

Bỏ qua số hạng từ bậc hai trở đi đối với , ta có:

Do vậy nghiệm gần đúng tốt hơn  là:

Mở rộng cách làm trên cho hệ phi tuyến.

                                       (4.26)       

trong đó,  là các hàm khả vi đến cấp cần thiết.

Giả sử là nghiệm gần đúng thứ n của hệ (4.26).

Xem là nghiệm gần đúng tiếp theo, ta có:

Khai triển Taylor các hàm tại điểm , ta có:

Chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất đối với , ta xem:

Do vậy:

              (4.27)

Nếu định thức:

Thì từ (4.27), suy ra:

Do đó nghiệm gần đúng tốt hơn là:

      (4.28)

trong đó nghiệm gần đúng ban đầu tìm được khi vẽ các đường cong trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và xem tọa độ giao điểm của chúng là .

Người ta đã chứng minh được rằng: nếu nghiệm gần đúng ban đầu “đủ gần” nghiệm đúng phải tìm của hệ thì nghiệm từ (4.28) sẽ hội tụ đến nghiệm đúng khi .

Trong thực hành, quá trình lặp (4.28) sẽ kết thúc khi nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.

Ví dụ 4.8.2.Tìm nghiệm dương của hệ phi tuyến sau:

bằng phương pháp Newton.

Giải: Tìm nghiệm ban đầu  theo phương pháp đồ thị.

Có thể chọn

Vậy:

Tính :

Do đó

Dừng lại ở bước lặp thứ 2, ta được:

Với:

Bài tập Chương 4.

1.Tìm khoảng cách ly nghiệm thực  của các phương trình sau:

a.

b.

c.

d.

2. Dùng phương pháp chia đôi, tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

a. với độ chính xác , biết khoảng cách ly nghiệm là

b.  với độ chính xác , biết khoảng cách ly nghiệm là

3. Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác của phương trình:

a. , biết khoảng cách ly nghiệm là

b.

c.

4. Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác của phương trình:

a.

b.

5. Dùng phương pháp dây cung, tìm các nghiệm gần đúng với dộ chính xác  của phương trình:

6. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

bằng phương pháp tiếp tuyến với độ chính xác .

7. Dùng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình phi tuyến:

cho biết (tính ba bước lặp).