Gudule : chers lecteurs, bienvenue au zoo des nombres ! Entrée gratuite pour les moins de quinze ans et réduction pour les familles nombreuses ! Venez découvrir nos incroyables spécimens.

Dans la cage sur votre droite, un petit groupe de nombres rationnels.

Sur votre gauche, un irrationnel mis à part parce qu'il était violent.

La, devant, euh, on sait pas trop.

Mais regardez ! Un troupeau de nombres constructibles !

Et là, juste là, le clou de notre collection, des nombres transcendants dans du formol.

Avant de partir, n'oubliez pas d'admirer nos extraordinaires complexes, quaternions et octonions.

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Qu'est-ce qu'un nombre ? Je n'en sais rien. En fait, il n'y a pas de super définition de ce concept.

Dans l'idée, c'est quelque chose qui étend la notion usuelle de « nombre », donc de quantité.

Il y a longtemps, « zéro » n'était pas un nombre. Des philosophes se sont sans doute longtemps écharpés sur la question de savoir ce qu'était zéro, d'ailleurs. Aujourd'hui c'est un nombre, et c'est même plutôt pratique. De même que les nombres négatifs.

Les anciens Grecs étaient loin d'être fans du zéro, mais ils étaient de grands partisans des nombres rationnels, c'est-à-dire des quotients d'entiers. Ils pensaient que tous les nombres étaient rationnels. C'était une erreur.

Prenez un triangle rectangle isocèle de côté 1. La diagonale (l'hypoténuse pour les frimeurs) a pour longueur la racine carrée de deux, grâce au théorème de Pythagore, donc "le nombre qui multiplié par lui-même, vaut deux".

Or on peut démontrer que la racine de deux n'est pas un nombre rationnel. Les Grecs ont donc découvert qu'il existait des nombres constructibles (en gros, que vous pouvez tracer à la règle et au compas) qui n'étaient pas rationnels. (C'étaient des grands fans de la règle et du compas).

Bon. Mais ils avaient aussi un autre problème : la quadrature du cercle. Que l'on peut poser comme : Pi est-il constructible ? Vous savez, Pi, le rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre. La réponse est non. Pi est un nombre irrationnel, ça oui, mais non constructible. Et même plus bizarre encore : transcendant.

Les nombres algébriques sont des solutions d'équations polynomiales. Par exemple, racine de 2 est solution de X² = 2.

Gudule : bah, pourquoi pas. J'ai vu pire.

Les nombres transcendants ne sont pas algébriques.

Gudule : vous êtes sûr qu'il en existe ?

J'ai même un argument imparable : les nombres algébriques sont dénombrables. Les nombres réels sont indénombrables. Donc les nombres transcendants existent, et en plus ils sont infiniment plus nombreux que les algébriques.

Gudule : je vais reprendre un peu d'aspirine, je reviens.

Oui, il faut le mentionner, tous ces nombres sont quelque part parmi l'ensemble des réels. Les réels, les fabuleux réels dans lesquels on fait de l'analyse, sont en gros construits à partir des rationnels. Il suffit de trouver un moyen d'exprimer qu'ils sont là, avec leur nombre potentiellement infini de chiffres après la virgule.

Quelles sont les propriétés merveilleuses des réels ? On peut additionner, multiplier et tout ça est commutatif (l'ordre ne compte pas). On peut les ordonner. Retenez bien ces joies simples et préparez-vous à pleurer pour ce qui va suivre.

Gudule : je suis de retour. J'ai manqué quelque chose ?

Hé hé hé.

Au passage, laissez-moi vous conter la petite histoire de la constante d'Euler.

Lorsque vous additionnez tous les inverses des nombres entiers de 1 à n, vous obtenez un truc qui croît indéfiniment, mais LEN-TE-MENT. En fait, c'est « très proche » du logarithme népérien de n.

Gudule : il faudra quand même définir le logarithme, un de ces jours.

Le logarithme népérien est une fonction qui croît très, très lentement. Et si vous regardez de plus près, le « très proche » fait intervenir une constante, gamma, la constante d'Euler-Mascheroni (Euler a donné son nom à beaucoup de constantes, on ne s'en sort plus). En fait la somme des inverses jusqu'à n ne se rapproche pas infiniment du logarithme népérien ln(n), mais de ( ln(n) + gamma).

FTM : qui essaie de m'invoquer ?

Gudule : la rédaction présente toutes ses excuses pour cette image de Macaroni. Mes conditions de travail sont difficiles et j'ai du mal à filtrer toutes les bêtises de CN. N'oubliez pas d'ailleurs de soutenir mon syndicat.

Gamma vaut environ 0, 5772156649.

On ne sait pas si gamma est un nombre irrationnel ou non, et c'est une grande question ouverte.

Gudule : on a calculé beaucoup de décimales ?

Bah, dans les 100 milliards. Les rationnels ont un développement périodique. On n'a pas vraiment trouvé de période jusqu'à présent, mais ça ne nous dit rien... et si gamma était un rationnel avec un dénominateur extrêmement moche ?

FTM : voyons CN, les maths ne sont pas si moches que ça. J'ai bien fait les choses.

Créateur, vous avez inventé le groupe Monstre.

FTM : bon, on fait tous des erreurs dans la vie.

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(À suivre)