1000 mots pour aborder le paradoxe de Banach-Tarski, ça fait partie des défis marrants que je décide de relever en me levant le matin. Bon, commençons par faire sauter le terme de « paradoxe » qui lui colle à la peau.

Ici nous parlons bien d'un théorème. Un théorème tout mignon dont voici l'énoncé.

Théorème (Banach-Tarski) : prenez une boule (un morceau d'espace délimité par une sphère, quoi). Vous pouvez la « découper » en cinq pièces, déplacer celles-ci et les tourner dans l'espace, et les ré-assembler pour obtenir deux boules de même taille.

La même chose marche avec n'importe quel objet, à condition peut-être de prendre plus que cinq pièces (mais un nombre fini suffira toujours).

Gudule (scandalisé) : maître, c'est pas possible.

C'est un théorème, Gudule. Si tu « veux » que ce ne soit pas possible, il va falloir changer toutes les bases des maths. C'est ça que tu veux, Gudule ? Tu veux changer toutes les mathématiques tout ça parce que tu as peur d'un théorème ? Pourquoi as-tu peur de ce théorème, Gudule ? Pourquoi ?

Gudule (effrayé) : maître... c'est pas possible. Si je prends un billet de cinq cent euros, je ne peux pas le découper et obtenir deux billets de cinq cent euros.

As-tu déjà essayé, Gudule ?

Bon, on n'a pas 500€ sous la main. Les contributions des lecteurs sont donc les bienvenues pour réaliser cette expérience. En attendant, je peux toujours essayer de dupliquer Gudule (ce serait pratique, puisque j'aurais deux esclaves au lieu d'un). Mais la première étape nécessaire à la duplication risque de tacher un peu.

Eh, Gudule, reviens ici tout de suite. De toute façon c'est vrai que ça ne marchera pas.

Je ne parle pas ici de dupliquer la matière, mais l'espace (cette formulation est digne de la SF, mais adéquate). On subodore depuis Démocrite (il y a longtemps) et on sait depuis Jean Perrin (il y a moins longtemps) que la matière est constituée de touts petits atomes. On sait depuis Einstein que la masse se conserve, sauf quand vous balancez / récupérez de l'énergie. Et si vous avez la capacité de synthétiser un billet de cinq cent euros à partir d'énergie, il est fort probable que la valeur monétaire du billet n'ait que peu d'intérêt à vos yeux (vous auriez largement de quoi surpasser EDF en terme de production et / ou vous auriez déjà fait exploser la ville dans laquelle vous vous trouvez actuellement).

D'ailleurs, le théorème ne me disant pas comment je vais découper la boule, rien ne m'indique que je ne serais pas obligé de trancher dans les atomes. Ce qui aurait de désagréables effets secondaires comprenant l'irradiation de Gudule, et peut-être une explosion nucléaire (y a-t-il un physicien par ici pour nous détailler les effets néfastes ? )

Donc nous aurions détruit la planète avant d'arriver à deux billets de cinq cent euros.

FTM : la morale de cette histoire, c'est que la cupidité est mauvaise. Thou shall not duplicate 500€. Râmen.

Gudule : la morale de cette histoire, c'est que même si on parle d'espace et pas de matière, je comprends toujours pas.

Quelle est donc cette intuition que le théorème a cassé en touts petits morceaux ? Ne serait-ce pas l'intuition qu'il existe une notion de « volume » et que « deux boules » ont « deux fois plus de volume » que « une boule » ?

Gudule : j'aimerai pouvoir être celui qui fait cette remarque, mais le script dit que je suis juste un larbin.

Nous raisonnons à peu près comme ça :

– une boule a un volume V (donné par une formule dont tout le monde se fiche)

– si je découpe la boule en 5 morceaux, la somme de leurs volumes est toujours V

– si je ré-assemble les cinq morceaux, le volume obtenu est toujours V

– les deux boules ont volume 2V. Contradiction.

Pour dire ça nous supposons que :

– le volume est conservé quand on découpe

– le volume est conservé quand on rassemble

– les boules ont un volume

– les pièces issues du découpage ont un volume

Gudule : je sens comme un os. La dernière phrase est en italiques.

Chers humains, chers robots, chers aliens, voici le secret de Banach-Tarski.

Théorème de Gudule : le volume, c'est compliqué, et c'est pas automatique. Tout le monde n'a pas un volume.

En théorie de la mesure (qui consiste grosso modo à définir ce que sont des longueurs et des volumes) on tombe parfois sur des choses non mesurables. Ce sont des objets ou des ensembles construits d'une manière si atroce que vous ne pouvez pas définir leur volume. En l'occurrence, les cinq pièces de Banach-Tarski ne sont pas belles à voir. Voilà pourquoi il ne s'agit pas d'un paradoxe.

Théorème de Gudule reformulé : tout ce qui est métrique, c'est pas automatique.

Gudule : mais qu'est-ce qui a un volume, alors ?

C'est vrai qu'il faut définir le volume. Alors, qu'est-ce qui en a un, qu'est-ce qui n'en a pas ? Bah, une boule, un cube a un volume. Des unions, intersections de solides de ce genre ont des volumes. Même en faisant un nombre infini de telles opérations, mais euh, un infini pas trop grand.

Gudule : les cinq pièces du théorème sont vraiment, vraiment horribles, en réalité.

En réalité, ce ne sont pas des « morceaux » au sens où nous l'entendons habituellement, mais des ensembles de points de l'espace ni vraiment discontinus, ni vraiment continus comme l'espace tout entier l'est. Des fantômes de boules.

FTM : avec tout ce qui s'est dit aujourd'hui, il y a de quoi faire des cauchemars.

Fantôme de boule : bouh... bouh... je suis un ensemble non-mesurable !

(Je précise que toutes les illustrations et blagues sont réalisées par Gudule)

L'intérêt du théorème et ce qui le rend non évident, c'est que les cinq « pièces » ont juste besoin d'être déplacées et tournées dans l'espace, pas déformées. Quant à la démonstration, elle repose sur le fait que... les rotations (faire tourner des trucs) et les translations (faire avancer des trucs), ne commutent pas dans l'espace. Ça veut dire que quand je fais tourner Gudule sur lui-même et que je lui donne un coup de poing qui l'envoie en droite ligne et l'écrase dans le mur, il n'arrive pas toujours dans la même position si j'inverse : je lui donne d'abord le coup de poing et après l'avoir aplati sur le mur, je le fais tourner.

Gudule : Notez que Gudule a été effectivement maltraité pour cette expérience.

Ceci n'est pas vrai dans le plan. Dans le plan, le théorème de Banach-Tarski ne fonctionne donc pas : vous ne pouvez pas remplacer l'énoncé des « deux boules » par « deux disques ».

Je voulais mentionner ce fait, mais le lien est en lui-même un peu trop abscons pour être explicité dans le peu d'espace qu'il me reste. Car la ligne du bas se rapproche. Gudule, fais quelque chose, nous allons nous écraser sur le trait ! Gudule !! Guduuuuuule !!!!

Gudule : par la sauce du FTM !! Maître, sauvez-vous !! Je le retiens !!

--------------------------------------------------------

C'est trop long ? C'est trop court ? Ça manque de produits laitiers. Tout à fait d'accord. Et c'est promis, après ce petit interlude qui n'avait rien à voir, Cantor arrive. Glorieux.