Định lý: Từ mọi dãy số thực bị chặn đều có thể trích ra một dãy con hội tụ

CM: CHo dãy bị chặn {u_n}. (Tồn tại)a_1,b1_1(thuộc) R: (với mọi)n(thuộc)N*,a_1<=u_n<=b_1. Đặt h=b_1-a_1>0. Rõ ràng đoạn [a_1,b1] chứa vô hạn phần tử của dãy {u_n}. CHọn 1 ptử u_n_1 tùy ý của dãy {n_n}. Như vậy a_1<=u_n<=b_1

Chia đôi đoạn [a1.b1] bởi điểm (a1+b1)/2,dc 2 đoạn [a1;(a1+b1)/2],[(a1+b1)/2,b1]. CÓ ít nhất một trong 2 đoạn này chứa vô hạn các phần tử của dãy {u_n}. GỌi đoạn đó là [a2,b2]

Rõ ràng [a2,b2](tập con)[a1,b1],b2-a2=h/2 (=(b1-a1)/2)

Chọn 1 ptử u_n_2 tùy ý của {u_n} sao cho n2>n1 và u_n_2 nằm trong đoạn [a2,b2]:a2<=u_n_2<=b2.

CM tương tự bằng quy nạp toán học ta xây dựng đc dãy đoạn [a_n,b_n] mà

-Chứa vô hạn các ptử của dãy {u_n}

-[a_k+1,b_k+1](tập con) [ak,bk], !b_k+1-a_k+1!=!bk-ak!/2=...=h/2^k

Chọn 1 ptử u_n_k của dãy {u_n} sao cho n_k>n_k-1 và a_k<=u_n_<=b_k

Dãy đoạn [ak,bk] là lồng nhau (nói cách khác, {ak},{bk} là 2 dãy kề nhau). Theo định lý đã biết,tồn tại giới hạn chung của chúng là:

limak(k->vô cực)=limbk(k->vô cực) =l

Theo định lý kẹp limu_n_k(k->vô cực)=l (dpcm)