ltdh c2345
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.
(Hình 3.1)
+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1.
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua các vô cùng bé bậc cao là : u + ; v+
- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + ; v+
- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là ex , ey.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là gxy = α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /ex /<< 1; /ey /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1
Sử dụng các công thức gần đúng :
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có : (a)
Trong đó : MN = dx
M1N1 =
Từ hình vẽ ta có :
Tương tự ta có : (b)
3.1.2.Tính biến dạng góc: gxy = α+β
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α » tgα = = = =
Theo giả thiết biến dạng bé ta có ex << 1 có thể bỏ qua ex so với 1
à α =
Tương tự β = => gxy = α+β= + (c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau :
x(u)
y(v) z(w)
Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY
Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các chuyển vị theo phương toạ độ là bé.
§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG
3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?
(Hình 3.3)
Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n.
Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.
l = cos () =
m = cos () = (a)
n = cos () =
+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)
+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w.
+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv; w+dw.
Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w.
du = .dx + .dy + .dz
dv = .dx + .dy + .dz
dw = .dx + .dy + .dz
+ Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó :
M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w).
K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw).
+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b)
+ Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng:
ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c)
Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu en là :
en = = - 1
ó (en + 1)2 =
ó 1+2en + en2 = ó en = (d)
(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua en2 so với en)
Tính ds12 = [dx + (.dx + .dy + .dz)]2 +
+ [dy + (.dx + .dy + .dz)]2 +
+ [dz + (.dx + .dy + .dz)]2. (e)
Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao
(.dx+.dy+.dz)2;(.dx+.dy+.dz)2;(.dx+.dy+.dz)2 so với ; ; ...(vì theo giả thiết biến dạng bé ; ; ... << 1) và rút gọn :
(e) ó ds12 = (dx2 + dy2 + dz2) + 2 [(.dx2 + .dxdy + .dxdz) +
+ (.dxdy + .dy2 + .dydz) +
+ (.dxdz + .dydz + .dz2)].
à ds12 - ds2 = 2 [(.dx2 + .dxdy + .dxdz) +
+(.dxdy + .dy2 + .dydz) +
+ (.dxdz + .dydz + .dz2)].
Theo (d)
=>
Thay và biểu thức (3.1) vào en :
Þ en = ex.l2 + ey.m2 + ez.n2 + gxy.lm + gyz.mn + gzx.nl (3.4).
en = ex.l2 + ey.m2 + ez.n2 + 2
Đặt ; ; ta có :
en = ex.l2 + ey.m2 + ez.n2 + 2( .lm + .mn + .nl) (3.5)
Có thể viết dưới dạng toàn phương :
en = (3.6)
+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :
sn = sx.l2 + sy.m2+sz.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7)
Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé.
Ký hiệu : Te
Và được biểu diễn : Te =
II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :
Tenxơ biến dạng Te có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng De và Tenxơ cầu biến dạng T0e.
=+
Te = De + T0e.
Với etb = : Biến dạng dài trung bình.
De: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử
T0e: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử
§3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH
Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính.
- Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy.
Ký hiệu các biến dạng chính là : e1, e2 , e3. => theo quy ước e1> e2 > e3.
Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định từ phương trình sau :
(3.7)
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính : (3.8)
Trong đó (3.9)
Các hệ số J1, J2 , J3 trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm.
Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực.
* Tìm phương biến dạng chính :
Sau khi có các biến dạng đường chính e1, e2 , e3, ứng với mỗi ei sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính ei đó.
Và phương trình: l2 + m2 + n2 = 1 (3.11)
Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.
Tenxơ biến dạng chính được viết là :
Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :
§3.4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG
Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo 3 chuyển vị u, v, w. (Biểu thức 3.1).
ex = gxy =
ey = gyz = (3.1)
ez = gzx =
- Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.
- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau.
Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier.
I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :
Tương tự ta có :
II. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau:
= +
= + +
=
Û
Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các biến dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy-Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng.
CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo.
Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :
sx = f1(ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx);
sy = f2(ex, ey,... );
sz = f3(ex, ey,... );
Txy= f4(ex, ey,... ); (4.1)
Tyz= f5(ex, ey,... );
Tzx= f6(ex, ey,... );
Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (4.1) viết thành :
sx = a11ex + a12ey + a13ez + a14gxy + a15gyz + a16gzx;
sy = a21ex + a22ey + a23ez + a24gxy + a25gyz + a26gzx; (4.2)
............
Tzx = a61ex + a62ey + a63ez + a64gxy + a65gyz + a66gzx.
Trong đó :
Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu.
Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.
§4.1. CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI
Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1). Ứng với các ứng suất ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.
Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.
Hình 4.1
4.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:
Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : sx và sx + .dx, có độ dài tương đối ex, độ dãn dài tuyệt đối : ex.dx.
Sau thời gian vô cùng bé dt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: dex. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : dex .dx.
Số gia của công do sx sinh ra : (sx.dydz)( dex.dx)
Tương tự số gia của công sy và sz sinh ra : (sy.dxdz)( dey .dy) (a)
(sz.dxdy)( dey .dz).
4.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:
Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là gxy. Sau thời gian dt, góc trượt đó có số gia dgxy.
Lực do Txy : Txy.dy.dz.
Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx.
Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). dgxy.
Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là : (Tyz.dzdx.dy). dgxz. (b)
(Tzx.dxdy.dz). dgzx.
Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b):
dT = (sx. dex +sy. dey +sz. dez +Txydgxy + Tyzdgyz + Tzxdgzx )dxdydz. (4.3)
Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.
*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) dA sẽ là :
dA = = sx. dex +sy. dey +sz. dez +Txydgxy + Tyzdgyz + Tzxdgzx (4.4)
* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn. Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.
Do vậy ta có A = W (4.5)
Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi là có thế .
Từ (4.5) Û dA = dW (4.6)
Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :
W = f(ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx).
Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên dW là 1 vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :
dW = .dex + .dey + .dez + dgxy +dgyz + dgzx. (4.7)
So sánh (4.4) và (4.7) : dA = dW : ta có :
sx = ; Txy = ;
sy = ; Tyz = ; (4.8)
sz = ; Tzx = ;
Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng.
§4.2. ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT-
CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU.
4.2.1. Dựa vào định lý Green :
Từ (4.2) ta có : sx = a11ex + a12ey + a13ez + a14gxy + a15gyz + a16gzx.
(4.8) ta có : sx =
Þ = a15 (a).
Từ (4.2) ta có: Tyz = a51ex + a52ey + a53ez + a54gxy + a55gyz + a56gzx.
Từ (4.8) ta có: Tyz =
Þ = a51 (b).
Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51.
Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (4.2) ta có:
aij = aji (4.9)
Vậy các hằng số của hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.
4.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :
Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau.
Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :
+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp sx của phương trình thứ nhất trong hệ (4.2) không thay đổi:
sx = a11ex + a12ey + a13ez + a14gxy + a15gyz + a16gzx. (c)
Nhưng các biến dạng góc gxy và gyz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên
Þ sx = a11ex + a12ey + a13ez - a14gxy - a15gyz + a16gzx (d).
Đồng nhất (c) và (d) ta có :
Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0.
Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (4.2) cũng bằng 0.
* Hệ phương trình (4.2) trở thành :
sx = a11ex + a12ey + a13ez
sy = a21ex + a22ey + a23ez
sz = a31ex + a32ey + a33ez (4.9)
Tyx = a44gxy + a45gyz + a46gzx
Tyz = a54gxy + a55gyz + a56gzx
Tzx = a64gxy + a65gyz + a66gzx
Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận :
- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc.
- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.
Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) :
Tyx = a44gxy - a45gyz + a46gzx (e)
Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng gyz và gzx sẽ đổi dấu: Tyx = a44gxy - a45gyz - a46gzx (f)
Đồng nhất (e) và (f) ta có :
Do aij = ajiÞ a54 = a64 = 0.
Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.
Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau:
sx = a11ex + a12ey + a13ez
sy = a21ex + a22ey + a23ez
sz = a31ex + a32ey + a33ez
Tyx = a44gxy (4.10)
Tyz = a55gxy
Tzx = a66gxy
Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có:
x
y z
sz = a31ex + a32ey + a33ez
Hoán vị vòng ta có: sx = a31ey + a32ez + a33ex (4.14)
Phương trình (1) của hệ phương trình (4.10) : sx = a12ey + a13ez + a11ex
Đồng nhất (4.14) và (1) ta có : a31 = a12
a32= a13
a33 = a11
Vì aij = aj i Þ a12 = a21
a31 = a13
a32 = a23
* Đặt a = a11 = a22 = a33
b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23
Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (4.10) ta có : (4.15)
c = a44 = a55 = a66
Do đó (4.10) có dạng :
sx = aex + b(ey + ez)
sy = aey + b(ex + ez)
sz = aez + b(ex + ey) (4.11)
Txy = cgxy
Tyz = cgyz
Tzx = cgzx
*Ta có: q = ex + ey + ez: là biến dạng thể tích tương đối.
nên sx = bq + (a - b) ex
sy = bq + (a - b) ey (4.12)
sz = bq + (a - b) ez
*Đặt b = l
a -b = 2 n
(4.12) Û sx = lq +2nex
sy = lq +2ney (4.13)
sz = lq +2nez
Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có c =
Þ c = n
® Txy = ngxy
Tyz = ngyz (4.14)
Tzx = ngzx
Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là l và n. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.
$4.3. MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT
Từ (4.18) ta có : sx + sy + sz = 3lq + 2nq
Trong đó : q = ex + ey + ez : Độ biến dạng thể tích tương đối.
Þ q = (sx + sy + sz) (a)
Từ (4.18) (b)
Mặt khác ex = q - (ey + ez) (c)
Thay (a) và (b) vào(c) ta có :
ex =
=
ex = (4.15)
Đặt E =
m = (416)
Ta có (4.20) : ex = ;
Tương tự :ey = ; (4.17)
: ez = .
Từ (4.21) ta có :
E =
Þ n =
Mà G = Û n = G
Lúc này (4.19) có dạng :
gxy = Txy
gyz = Tyz (4.18)
gzx = Tzx
Các hệ phương trình (4.22) và (4.23) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất.
*Định luật Hooke khối
Từ (4.17) ta có :
E(ex + ey + ez) = (sx + sy + sz) - 2m(ex + ey + ez) (*)
(*) Û Eq = S (1 - 2m) Û q = (4.19)
Với: q = ex + ey + ez : Biến dạng thể tích tương đối.
S =sx + sy + sz: Hàm ứng suất tổng.
Phương trình (4.19) được gọi là Định luật Hooke khối.
5.1.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :
* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn
cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu
gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính.
Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài
toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.
1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba
hàm chuyển vị u, v, w.
2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm
ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng
suất.
3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán,
ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển
vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
§5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.2.1.Về mặt vật lý:1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các
phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình
Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với
các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt
toán học nhưng phức tạp khi thực hiện.
2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển
vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện
biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho
trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm
chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này
ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các
yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình
cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn
mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương
pháp ngược.
4. Nguyên lý Saint-Venant :
Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn
điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về
thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là
nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này,
nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng
thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực.
Bạn đang đọc truyện trên: AzTruyen.Top