I.Mệnh đề

1. Một mệnh đề phức  hợp luôn nhận giá trị chân lý đúng với bất kể giá trị chân lý nào của các mệnh đề thành phần của nó đc gọi là mệnh đề hằng đúng. Một mệnh đề phức hợp luôn nhận giá trị chân lý sai đc gọi là mệnh đề mâu thuẫn.Mệnh đề ko phải là mệnh đề hằng đúng, cũng ko phải là mệnh đề mâu thuẫn đc gọi là mệnh đề tiếp liên.

2. Các mệnh đề phức hợp luôn luôn có cùng giá trị chân lý đc gọi là tương đương logic.

II. Hàm                                   

1.      Cho A và B là 2 tập hợp. Một hàm f từ A đến B, ký hiệu là f: A à B, là sự gán mỗi phần tử  của A cho chính xác một phần tử của B. Nếu b thuộc B là phần tử đc gán cho phần tử a thuộc A qua hàm f thì ta viết f(a)=b.

2.      Nếu f là 1 hàm từ A đến B thì A đc gọi là miền xác định của f và B đc gọi là miền giá trị của f. Nếu f(a)=b thì b đc gọi là ảnh của a và a là 1 tạo ảnh của b. Tập hợp tất cả các ảnh của các phần tử thuộc A đc gọi là ảnh của A qua hàm f.

3.      Một hàm f đc gọi là đơn ánh hay hàm một – một nếu và chỉ nếu f(x)=f(y) kéo theo x=y  đối với mọi x,y  thuộc miền xác định của hàm f.

4.      Một hàm f có miền xác định và miền giá trị đều là các tập con của tập số thực đc gọi là thực sự tăng nếu và chỉ nếu x<y kéo theo f(x)<f(y) với mọi x,y thuộc miền xác định của f. Tương tự, hàm f đc gọi là thực sự giảm nếu và chỉ nếu x<y kéo theo f(x)>f(y) với mọi x,y thuộc miền xác định của f.

5.      Hàm f từ A đến B đc gọi là hàm toàn ánh nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tử b thuộc B đều tồn tại ít nhất  một phần tử a thuộc A sao cho f(a)=b

6.      Hàm f đc gọi là một song ánh nếu và chỉ  nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.

7.      Cho f là một song ánh từ tập A đến tập B. Hàm ngược của f là hàm gán cho mỗi phần tử b thuộc B phần tử duy nhất a thuộc A sao cho f(a)=b. Hàm ngược của f kí hiệu là f -1. Ta có f -1(b)=a nếu f(a)=b.

8.      Hàm sàn gán cho số thực x số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hay bằng x. giá trị của hàm sàn tại điểm x đc ký hiệu là └ x┘. hàm trần gán cho số nguyên x số nguyên nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hay bằng x. giá trị của hàm trần tại x đc kí hiệu là┌x┐.

III. Phép đếm.

1.      Quy tắc cộng: giả sử có 2 công việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ 2 có thể làm bằng n2 cách và hai công viêc này ko thể làm đồng thời thì sẽ có n1+n2 cách làm 1 trong 2 việc đó.

2.      Quy tắc nhân: giả sử một nhiệm vụ nào đó đc tách ra làm hai việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ 2 có thể làm bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã đc làm. Khi đó sẽ có n1.n2 cách thực hiện nhiệm vụ này.

3.      Nguyên lý bù trừ: Cho A1 và A2 là hai tập hợp. Gọi T1 là việc chọn lấy một phần tử của A1 , còn T2 là việc chọn lấy một phần tử của A2. Có |A1| cách làm việc T1 và có |A2| cách làm việc T2 và |A1∩A2| cách làm đồng thời cả 2 việc. Ta có số cách làm viêc T1 hoặc T2  bằng tổng số cách làm việc  T1 và số cách làm việc T2 trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. nên số cách làm việc T1 hoặc việc T2 là :

|A1 U A2| = | A1| + | A2| - | A1∩A2 |

4.      Một hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử này. Một chỉnh hợp chập r của tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của tập hợp này.

                    Định lý:Số chỉnh hợp chập r của một tập hợp có n phần tử là: A rn  =

            Chứng minh: Ta sẽ sử dụng quy tắc nhân để chứng minh định lý này. Giả sử tập S có n phần tử. Phần tử đầu tiên của chỉnh hợp đc chọn trong n phần tử của S nên có n cách chọn. Phần tử thứ hai đc chọn trong n-1 phần tử còn lại của S nên có n-1 cách chọn. Tương tự, phần tử thứ ba có n-2 cách chọn, và cứ như vậy phần tử thứ r có n-r+1 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta đc:   n(n-1)(n-2)….(n-r+1) chỉnh hợp chập r của tập S.

5.      Một tổ hợp chập r của một tập hợp gồm n phần tử là một cách chọn r phần tử của tập hợp đã cho ko quan tâm tới thứ tự. như vậy, một tổ hợp chập r chính là một tập con gồm r phần tử của tập ban đầu.

         Định lý : Số tổ hợp chập r của tập gồm n phần tử (0≤ r ≤ n )bằng: C rn =

            Chứng minh:  Giả sử tập S có n phần tử. Từ mỗi tổ hợp chập r của S, sắp thứ tự cho r phần tử này sẽ cho r! chỉnh hợp chập r của S. Ta có Cnr tổ hợp chập r của S và có Arn chỉnh hợp chập r của S nên:  Arn  = Cnr .r!

 Từ đó suy ra:  Cnr =  =