Bonjour à tous, installez-vous, sortez vos affaires, on commence !

Alors, les puissances correspondent à un état philosophique concernant le Yin et le Yang.

Non, c'est une blague. J'ai un peu du mal à expliquer : mettre "en puissance" un nombre, c'est multiplier ce nombre par lui-même autant de fois que l'indique la puissance en exposant.

Pour commencer, voici un exemple avec la puissance 2 :

4² = 4x4 = 16.

Dans ce cas précis, on dira "4 au carré" plutôt que "4 puissance 2". Comme vous pouvez le voir, lorsqu'on met un chiffre "au carré", on multiplie ce chiffre par lui-même. Voilà d'autres exemples avec d'autres nombres :

5² = 5x5 = 25   |   1² = 1x1 = 1   |   0,5² = 0,5x0,5 = 0.25   |   10² = 10x10 = 100.

Voilà, vous comprenez ?

Ensuite, on peut augmenter le nombre en exposant (cette image explique très bien ce mot) :

Admettons par exemple qu'on écrit un petit 3 à la place du 2 (on dit qu'on met le chiffre "au cube"). Voici un exemple :

3^3 = 3x3x3 = 27.

Sur ordinateur, il n'existe pas de touche "exposant" pour tous les nombres, seulement pour le 2, alors on peut aussi représenter les puissances avec un accent circonflexe. Mais à l'écrit sur un cahier, il faut bien sûr écrire le 3 (ou tout autre nombre) en exposant comme le 2.

Pour les autres puissances, on suit la même logique :

6^5 = 6x6x6x6x6 = 7 776   |   2^8 = 2x2x2x2x2x2x2x2 = 256   etc...

À partir du chiffre 4 en exposant, on lit la formule ainsi : 6^4 → 6 exposant 4 ou 6 puissance 4.

L'exposant met en puissance que ce qui se trouve juste avant lui :

-3² = -(3x3) = -9   |   (-3)² = (-3)x(-3) = +9   |   (3+7)² = 10² = 100.

Bien sûr, on peut aussi mettre des chiffres négatifs à la place de la puissance. Dans ce cas, il faut multiplier l'inverse du nombre mis en puissance.

2^-2 = 1/2 x 1/2 = 0.25   |   4^-3 = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64.

Voilà ! Mais ce n'est pas fini...

Admettons maintenant qu'on tombe sur les cas suivants (qui, je vous l'accorde, n'arrivent pratiquement pas) :

3^(2+1)   |   4^(5x2)

Il suffit tout simplement de faire l'opération entre les parenthèses ou en exposant !

3^(2+1) = 3^3 = 27   |   4^(5x2) = 4^10 = 1 048 576.

Vous avez tout compris jusque-là ? N'hésitez pas à poser vos petites questions dans les commentaires !

Pour finir ce cours, je vais vous expliquer les puissances de 10.

Les puissances de 10 servent à réduire l'écriture de grands nombres. On les utilise énormément en physique-chimie par exemple, pour exprimer certaines longueurs ou autre.

Voici quelques exemples simples :

10^1 = 10   |   10^2 = 10x10 = 100   |   10^5 = 10x10x10x10x10 = 100 000

Avec 10, on met autant de zéros derrière le 1 qu'indique le nombre en exposant :

1 000 000 000 = 10^9 car il y a neuf 0 après le 1.

100 000 000 000 000 = 10^14 car il y a quatorze 0 après le 1.

Maintenant on va pouvoir utiliser cette connaissance pour simplifier d'autres grands nombres.

Prenons le nombre suivant : 384 400. Si on veut le simplifier avec la puissance de 10, on compte le nombre de chiffres après le premier : 3 4 8 4 0 0, ce qui nous fait 5 chiffres. Le 5 va être mis en exposant derrière le 10. Ensuite, on prend le premier chiffre, puis on le multiplie par 10^*nombre de chiffres après le premier*, ici en l'occurrence 5.

348 400 = 3,48 x 10^5.

On appelle cette représentation des nombres la notation scientifique. Ici, on a choisi de réduire la précision à deux chiffres après la virgule, mais ça peut varier.

Si on vérifie notre calcul : 3,48x10^5 = 3,48x10 000 = 348 000.

Ce n'est pas tout à fait le chiffre qu'on avait au départ, mais en physique, souvent, la précision n'est pas très importante. Pour être exact, on aurait dû écrire 3,484x10^5.

Tout le monde comprend ?

/!\ Il faut mettre un chiffre devant une puissance de 10. Si vous mettez un nombre au-dessus de 10, ce sera toujours juste, certes, mais vous pouvez encore augmenter de 1 votre nombre en exposant. Exemple :

15x10^7 = 1,5x10^8   |   124x10^13 = 1,24x10^15.

Il faut donc absolument avoir un chiffre devant la puissance de 10.

Maintenant encore quelques petits exemples pour simplifier des grands nombres :

49 017 496 027 : 10 chiffres après le 4, ce qui nous donne 4,90x10^10.

5 086 620 000 000 : 12 chiffres après la virgule, ce qui nous donne 5,09x10^12 (notez l'arrondi).

4,96x10^14 = 4,96x100 000 000 000 000 = 496 000 000 000 000.

Il est important de comprendre que la notation scientifique n'est pas utilisée en mathématiques car elle n'est souvent pas aussi précise que le nombre de départ, mais en physique par contre, la plupart du temps, on n'accorde pas beaucoup d'importance aux valeurs exactes si elles sont très grandes. Par exemple, la vitesse de la lumière est simplifiée par 300 000 000 m/s alors qu'elle est en réalité de 299 792 458 m/s.

Voici quelques petits exercices d'entrainement pour être sûr que vous avez compris (mettez vos réponses en commentaire !) :

1,75x10^9 = ?

5,05x10^30 = ?

6,02x10^23 = ?

907 568 344 = ?

1 456 390 000 000 000 = ?

23 840 098 004 000 000 000 000 = ?

Voilà, c'est la fin de ce long cours, j'espère avoir bien expliqué, dites-moi si je dois préciser quelque chose ou si c'est tout bon !

Vous pouvez ranger vos affaires !

Roukika.