Vous avez certainement vu les nombres relatifs avec ma collègue Lina_love_leopardus. Moi, le professeur Corblanc,j'irais plus loin en vous expliquant les groupes de nombres.

Tout d'abord, ceux que nous connaissons :

- Les nombres naturels (ℕ) :

Les nombres naturels sont tous les nombre entiers situés au dessus de zéro, en gros, ce sont les positifs.

Les relatifs (ℤ) :

Les nombres relatifs sont l'ensemble des nombres entiers : De (-∞)  à (+∞).

Pour la petite histoire, saviez-vous qu'en Europe, les nombres négatifs étaient considérés comme des nombres absurdes, et qu'il a fallu près de mille ans pour qu'on puisse accepter des nombres plus petits que zéro ! En effet, cette idée de négatifs était violemment réfutée par l'Ecole Pythagoricienne, ce qui a provoqué ce retard par rapport aux Indiens qui ont accepté ça depuis le XIe siècle !

Mais revenons, à nos nombres :

Décimaux (𝔻) et Rationnels (ℚ) :

Les décimaux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme a/10^n, dans laquelle a et n sont des entiers relatifs.

Par exemple : 1/8, 7/8, 1/2...

Attention : 1/3 n'est pas un décimal, puisqu'on ne peut pas en définir le "a", étant donné que sa partie décimale n'a pas de fin.

Les rationnels sont l'ensemble des entiers relatifs et les décimaux, pouvant s'exprimer sous la forme a/b, dans laquelle "a" est un entier relatif et "b" un entier relatif excepté zéro (l'ensemble des relatifs excepté zéro s'écrit Z*).

Par exemple : 1/3, -2/5, 2, etc...

- Irrationnels (ℚ'), Réels (ℝ), et Complexes (ℂ) : 

C'est un petit peu plus compliqué que le reste donc ouvrez vos oreilles :

Les irrationnels, c'est ce qui manque dans une droite graduée :

Je vous explique : imaginez une droite graduée. Vous y mettez les naturels, les relatifs, les décimaux et les rationnels. Vous vous rendrez certainement compte qu'il y a des endroits vides.

Ce vide, ce sont les irrationnels.

Pour vous visualiser : Imaginez un carré de côté 1 unité. Tracez-en une diagonale, et essayez de la mesurer.

Vous trouverez environ 1,41 unité.

C'est là le problème : environ

Cette longueur est mathématiquement, géométriquement, fonctionnellement... Incalculable de manière précise.

Pourtant, cette diagonale est bien devant vous, bien jolie, bien finie, mais... le problème avec les irrationnels, c'est qu'ils ont une partie décimale illimitée. Cette longueur s'écrit √2.

Vous me direz : "Mais, comment il peut être aussi complexe alors qu'on peut le tracer ?"

 Eh bien, c'est ça qui fait toute l'irrationalité de ce nombre ! C'est cet aspect géométriquement fini et cet aspect mathématiquement infini qui fait de lui un irrationnel !

Et il y en a d'autres : la racine carrée de 5, de 11, e, ou π !

Oui, oui, π !

Cette valeur qu'on connaît depuis la maternelle est un irrationnelle !

Vous vous dites certainement : "Alors 1/3 est irrationnel, puisque ses décimales sont infinies !"

Non, pas du tout !

Les nombres décimaux sont représentés par un critère précis qui les différencie des irrationnels.

Un nombre décimal se définit par une fréquence, une suite de nombres qui se répète dans ses décimales.

Pour 1/3, la fréquence est 3 puisque 1/3 = 0,33333333... 

Ou pour 1/7, sa fréquence est 142857 puisque 1/7 = 0,142857 142857 142...

Cependant, aucune fréquence n'est définie pour ces nombres irrationnels, et c'est ça qui les différencie.

Compris ?

Les réels, eux, sont l'ensemble des nombres. Rationnels, irrationnels, relatifs, décimaux...

C'est l'ensemble des nombres dénombrables ou traçables. En gros, c'est un ensemble qui englobe tous les ensembles qu'on a vus jusque là. Facile.

Et maintenant, les complexes.

Même si les irrationnels, bien qu'infinis, peuvent être tracés, ce n'est pas le cas de ceux-ci.

Les nombres complexes (aussi appelés nombres imaginaires) sont des nombres qui ne sont pas sensés exister. 

Il est impossible de les tracer sur une droite, ou d'en définir la valeur numérale exacte.

Le plus célèbre est i, le nombre imaginaire égal à  √-1, soit la racine carrée de -1.

Mais ce nombre n'est pas mathématiquement viable puisqu'une loi mathématique est :

x² > 0

Autrement dit : un nombre au carré est forcément positif. Or i² = -1.

A quoi ça sert, me direz vous ?

Eh bien, en physique, on s'en sert pour résoudre des équations, en mathématiques, on s'en sert pour faire de la trigonométrie, par exemple.

Mais vous verrez ça plus tard, j'imagine que vous avez assez mal à la tête comme ça. Ces nombres méritent certainement leur leçon à eux seuls !

Allez, au revoir !