Sempet nemu pembahasan lebih banyak bilangan asli atau bilangan genap di suatu tempat, tapi sebelumnya, tentu kita harus tau dulu bilangan asli dan bilangan genap (positif) itu isinya apa aja, tapi saya rasa orang-orang juga udah tau, sih.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, ... } dan B = {2, 4, 6, 8, 10, ... }, maka A adalah himpunan semua bilangan asli dan B adalah himpunan semua bilangan genap.

Terus mana yang lebih banyak antara A sama B?

Lumayan banyak yang jawab A, padahal sebenernya banyaknya itu sama aja. Kalau secara intuisi, nggak heran juga kenapa banyak orang yang mikir himpunan A isinya lebih banyak, soalnya kan 2, 4, 6, 8, dst. itu lompat satu-satu kalau dibandingin sama anggota-anggota di A.

Terus gimana cara ngebuktiin kalau himpunan A dan himpunan B itu isinya sama banyak?

Kalau misalnya kalian udah belajar fungsi atau pemetaan (kalau nggak salah SMP juga udah diajarin), sebenernya buktinya cukup sederhana. Kalau masih belum kepikiran, kira-kira seperti inilah sketsa buktinya.

Misalkan f(x) = 2x adalah pemetaan dari A ke B.

Artinya?

Perhatiin kalau
x = 1, berarti 2x = 2(1) = 2
x = 2, berarti 2x = 2(2) = 4
x = 3, berarti 2x = 2(3) = 6
x = 4, berarti 2x = 2(4) = 8
dst.

Jadi,
kalau kita pilih 1 di A, kita punya temennya di B, yaitu 2
kalau kita pilih 2 di A, kita punya temennya di B, yaitu 4
kalau kita pilih 3 di A, kita punya temennya di B, yaitu 6
kalau kita pilih 4 di A, kita punya temennya di B, yaitu 8
dst.

Dengan kata lain? Stiap elemen di A pasti punya temennya di B.

Nah, begitu juga sebaliknya. Perhatiin kalau fungsi inversnya itu g(x) = x/2 dari B ke A.

Artinya?

Kalau x = 2, berarti x/2 = 2/2 = 1
Kalau x = 4, berarti x/2 = 4/2 = 2
Kalau x = 6, berarti x/2 = 6/2 = 3
Kalau x = 8, berarti x/2 = 8/2 = 4
dst.

Dengan cara yang sama, setiap kita ambil angka di B, kita pasti punya temennya di A.

Karena setiap anggota di A punya temen di B dan begitu pula sebaliknya, nggak mungkin dong ada anggota yang kelewat yang nggak punya temen di himpunan lainnya? Artinya, pasti isinya sama banyak, karena kalau nggak sama banyak, pasti ada seenggaknya satu anggota yang nggak punya temen.

Kalau misalnya masih bingung, kira-kira kayak gini contoh gampangnya:

Misalkan X = {1, 2, 3} dan Y = {2, 4}. Jelas X isinya lebih banyak dari Y. Tapi apa yang ngebuat kita yakin?

Kalau kita pilih 1 di X, terus pilih 2 di Y, berarti sisanya {2, 3} dan {4}
Terus kita pilih 2 di X dan pilih 4 di Y, berarti sisanya {3} dan {}
Nah, 3 nggak ada temennya, kan? Jadi udah pasti X isinya lebih banyak dari Y.

Nah, karena di antara bilangan asli dan bilangan genap itu ternyata semua anggota ada temennya, berarti pasti jumlah anggotanya harus sama banyaknya.

Salah satu alesan yang ngebuat matematika unik itu menurut saya, ya itu, karena intuisi secara kasat mata nggak langsung cukup. Padahal kalau dipikir, memang {2, 4, 6, 8, ... } itu anggotanya lompat satu-satu, seolah-olah ngebuat jumlah mereka lebih sedikit dibandingkan dengan {1, 2, 3, 4, ... }, tapi ternyata bisa dibuktikan kalau jumlah mereka ternyata 'banyaknya' sama.