Hasta ahora solo hemos comentado las medidas discretas, de conteo, pero llega el momento de tratar también las magnitudes continuas. Estas eran empleadas en la antigüedad en numerosas situaciones como medidas de longitudes y superficies de terrenos agrícolas; cálculos de pesos y volúmenes para administrar y contabilizar el grano o los diversos líquidos que se utilizaban; obtención de longitudes, áreas, volúmenes y pendientes de cuestas en las grandes construcciones civiles de la época, como mastabas y pirámides egipcias, zigurats mesopotámicos, canales de regadío o murallas; medidas astronómicas y un largo etcétera.

Si la medida de conteo es independiente del orden y la naturaleza de los objetos contados, además la medida continua es independiente por rotaciones, traslaciones o reflexiones32 que se apliquen sobre el objeto medido. Es así que la longitud de un segmento cualquiera no cambia si éste es rotado o cambiado de ubicación, y tampoco cambia si la calculamos sobre su imagen reflejada en un espejo. La medida continua tiene, en principio, algunas similitudes con la de conteo. Si en las medidas de conteo hay que determinar el cardinal de un conjunto, en las continuas hay que numerar cuántas veces una unidad de medida se repite en la magnitud a medir. Así, para medir una longitud se toma el metro unidad de medida y se cuenta cuántas veces se repite. Nuevamente, la operación aritmética no es imprescindible para medir, pues es suficiente con contar. En áreas y volúmenes el proceso es similar, ya que basta con tomar una unidad de medida de la dimensión adecuada. La operación aritmética no es necesaria, pero sí muy conveniente, no en vano fue la herramienta matemática más exitosa de la antigüedad (veremos que después vendrán otras más). Ya vimos cómo simplificaba el tratamiento de los números grandes, descomponiéndolos en una combinación de números pequeños, mucho más intuitivos y manejables??. Imaginemos ahora que queremos medir el área de un terreno agrícola de forma irregular. Si este terreno es extenso, el proceso de contar el número de cuadrados de la unidad de medida que lo cubren puede llegar a ser extremadamente tedioso. Sin embargo, la operación aritmética viene al rescate. Se aplica la regla de descomponer el complejo objeto de estudio en la suma de polígonos sencillos, intentando que el error cometido no sea muy grande en general. Luego sigue siendo fácil, pues la operación aritmética nuevamente simplifica el proceso. Para obtener la superficie de un rectángulo no es necesario contar tediosamente cuántos cuadrados unidad caben en esa superficie, pues basta con tomar la longitud de la base y la altura y multiplicarlos, como bien sabían los agrimensores del pasado. Para un triángulo el cálculo es similar: hay que multiplicar la semibase por la altura, siendo esta última una noción que tardó en ser asimilada, pues a menudo se tomaba uno de los lados en vez de la altura. En general, la operación aritmética debió parecerles algo sumamente útil, de hecho, en la mayoría de los textos geométricos encontrados —tanto tabletas mesopotámicas como papiros egipcios— se mostraban una profusión de cálculos de áreas de polígonos de formas cuadradas, rectangulares, trapezoidales, triangulares... Para ellos la Geometría era solo eso. A veces los problemas se complicaban y se representaban cuadriláteros de forma sólo aproximadamente trapezoidal. No se sabe si quizá estaban simplemente mal dibujados o que no encontraban obstáculo para aplicar la tosca fórmula de Superficie = (base1 + base2) / 2 x (altura1 + altura2) / 2, con la esperanza de que el error en la medida no fuera muy grande.

Sin embargo, algunas formas geométricas no eran fácilmente descomponibles en polígonos más pequeños. Me refiero, claro está, a las que tenían bordes curvados, entre ellas, el círculo. Fue así necesario encontrar fórmulas específicas para estas figuras. Para el círculo los mesopotámicos solían medir la totalidad del perímetro c, para después aplicar la fórmula c2/12, que es correcta salvo por el hecho de asumir33 implícitamente π = 3; por su parte, los egipcios tomaban el diámetro d, para aplicar una expresión un poco más avanzada (8/9 x d)2, con π = 256/81, aproximadamente 3,1605. Los egipcios además se atrevieron con los volúmenes de cierta complejidad como el del tronco de cono, o una fórmula correcta (algo sorprendente, dado el nivel de sus matemáticas) para el tronco de pirámide, (a2+ ab + b2 ) x h/3, con h la altura, a la arista inferior de la base y b la arista superior34.

Como sabemos, medir magnitudes continuas supone contar cuántas veces la unidad de medida cabe en la magnitud a medir. Y aquí surge el problema, pues a nadie se le escapa que, al finalizar el proceso, rara vez nuestra unidad de medida coincidirá exactamente n veces con la totalidad de la magnitud a medir: siempre quedará un irritante resto, una porción inferior a la unidad de medida que no habremos sido capaces de medir. Sabremos entonces que la magnitud mide más de n veces la unidad de medida y menos que n+1 veces, pero poco más. Este resto, este remanente, este «error», hará que no tengamos la certeza absoluta en nuestra medición. La incertidumbre aparece en escena. El error, entendido como la parte de la magnitud no explicada con nuestras matemáticas, comenzará a ser estudiado. Este elemento será un personaje que nos acompañará durante todo el libro, pues el problema de entender su naturaleza es una cuestión aún no resuelta, ni siquiera en nuestro tecnológico y avanzado siglo XXI. Quizá ellos no eran conscientes de su importancia, pero los agrimensores, comerciantes y funcionarios que realizaron las primeras medidas continuas, empezaban a lidiar con el error, este importante concepto.

Se desarrollaron métodos para gestionar la incertidumbre. El error era más pequeño que la unidad de medida y, claro, se podía estimar de manera grosera que este incómodo resto suponía una porción de la unidad de medida, como la mitad o dos tercios o tres cuartos: nacía el concepto de fracción. Así, el resultado de una medición podía ser, por ejemplo, 3+¾ unidades. Otros, más finos, elegirían emplear una subunidad de medida más pequeña, que sí pudiera medir el «error». Al medir con la subunidad de medida seguía quedando un nuevo error, pero más pequeño, inferior a la subunidad; es decir, se reducía la incertidumbre. Era un proceso iterativo, pues tomando subunidades de medida cada vez más pequeñas se podía alcanzar tanta precisión como fuera necesaria. El resultado podía ser, por ejemplo, 3,84 unidades; es decir, 3 unidades + 8 subunidades diez veces más pequeñas + 4 subunidades cien veces más pequeñas.

De esta manera, en las medidas continuas proliferaron la utilización de fracciones y distintas unidades de medida de diferentes tamaños. También se dió lugar al empleo de números racionales con parte decimal (o hexadecimal en el caso mesopotámico). En cualquier caso, sea como fuere, era obvio que ℕ, el conjunto de los números naturales, se mostraba insuficiente para recoger el resultado de estas medidas continuas. Había que ir más allá y ampliar este conjunto a otros más generales. Y las fracciones y el empleo de subunidades fueron la clave para este alumbramiento.

Expliquemos brevemente las fracciones egipcias. El sistema numérico era un sencillo planteamiento aditivo decimal, basado en los siguientes signos (versión jeroglífica):

𓏺 =1; 𓎆 = 10; 𓍢 = 100; 𓆼 =1.000;
𓂭 = 10.000;𓆐 = 100.000 y 𓁏 = 1.000.000.

De esta manera, 36.457 = 𓂯 𓇁 𓍥 𓎊 𓐀 = 3 x 10.000 + 6 x 1.000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 7.

En general, las fracciones en Egipto eran expresadas como fracciones unitarias, utilizando el jeroglífico llamado «de la boca» 𓂋, que podía interpretarse como «una parte de»35. Así:
𓂋 𓂋 𓂋
𓎆 𓍢 𓍢𓎆
eran «una parte de 10», «una parte de 100» y «una parte de 110», respectivamente. Es decir, 1/10, 1/100 y 1/110. No obstante, existían algunas expresiones específicas para fracciones muy utilizadas: 𓐝 = ½; 𓂌 = ⅔ y 𓂍 = ¾.

Salvo las excepciones comentadas, en general las fracciones se expresaban como la suma de fracciones unitarias. Así, para expresar 17/24 los egipcios habrían escrito ⅓ ¼ ⅛, ya que la suma de estas fracciones es 17/24. Es decir, lo habrían expresado así:

𓂋 𓂋 𓂋
𓏼 𓏽 𓐁

En Mesopotamia también había signos, en este caso cuneiformes, para representar fracciones, como el 𒈦, que tomaba el valor ½. Sin embargo, los números babilonios fueron más allá. El sistema posicional empleado por los matemáticos de Babilonia que vimos en el capítulo anterior ofrecía más posibilidades, no de añadir signos con valores fraccionales, sino de representar expresiones racionales con un planteamiento posicional sofisticado. Así, de la misma forma que nosotros hablamos del número 3,5 (= 3 + 5 / 10) ellos podían expresar 𒐈 𒌍 (= 3 + 30 / 60), entendiéndose por el contexto (no tenían coma) que se trataba de una expresión sexagesimal análoga a la de nuestros decimales modernos.

El número racional positivo se convirtió en el «instrumento de medida» de las magnitudes continuas del mundo antiguo. ℚ+ (no tenían negativos) fue el objeto con el que se describía cualquier medida continua, el recipiente en el que tenían cabida todas las posibles medidas realizadas, cualesquiera que fuera su naturaleza, no en vano ℕ ⊂ ℚ+.

Pero ahora pensemos en un detalle. La mayoría de los modelos matemáticos que los científicos construyen para conocer la naturaleza con cierto éxito a menudo tienen un fundamento cuantitativo y, por ello, toman datos a priori y los procesan para realizar predicciones cuantitativas. De hecho, para construir los propios modelos se miden ciertos parámetros que calibran o ajustan dichos modelos. Es decir, el «lenguage» con el que se mide —en este caso ℚ+— termina contaminando todas las matemáticas que conforman el modelo con el que se pretende describir la realidad. Dicho de otro modo, los mimbres con los que se construye un cesto determinan su naturaleza —aunque no debemos dejar a un lado que la manera de entretejer esos mimbres también es relevante—. Además, si los datos de entrada del modelo están expresados con un «lenguage», es previsible que las predicciones de salida del modelo estén expresadas de la misma manera.

Teniendo un sistema numérico tan competente, no extraña que los mesopotámicos iniciaran con el tiempo la construcción de modelos científicos dotados de cierta complejidad. Los supersticiosos reyes del imperio asirio poseían gran interés por la adivinación, la interpretación de los presagios y la astrología. Sea como fuere, lo interesante de una situación en principio tan poco científica es que se reforzó la Astronomía. De esta manera, aunque el firmamento ya era observado en la Babilonia del II milenio a. C., en algún momento de la primera mitad del milenio I a. C. se inicia la observación minuciosa, regular y sistemática de los cielos, en la que se anotaban periódicamente las posiciones de los astros.

Un caso especialmente sensible era la observación de eclipses de Sol y Luna, habitualmente un signo de muy mal presagio, así que durante siglos los eclipses fueron registrados con toda la precisión posible.

Todo lo que ha llegado a preocupar a la tierra de Acad... Se producirá un eclipse de Luna y Sol en el mes III. Estos signos son de mala suerte para Acad... [...]. 36

Una forma simple de predecir un eclipse es sabiendo que seis meses sinódicos (a veces cinco) después de un eclipse hay una posibilidad de que se produzca otro. Esto es lo que se llama una Posibilidad de Eclipse (PE). Bien, pues cada 38 de estas PEs las posiciones relativas de la Tierra, el Sol y la Luna son muy similares a las del eclipse original y la probabilidad de un eclipse es mucho más elevada. Este periodo de 38 PEs es llamado ciclo Saros y abarca unos 18 años (223 meses sinódicos). Tras varios siglos de observación, los mesopotámicos de la segunda parte del primer milenio a. C. conocieron bien el ciclo Saros y fueron capaces de construir modelos matemáticos lineales para ajustar los tiempos de los posibles eclipses empleando diversos métodos, como líneas rectas en zig-zag37.

Es conocido que el célebre filósofo griego Tales de Mileto predijo un eclipse en el año 585 a. C.. Sin duda, debió tener acceso al magnífico sistema de números racionales con los resultados deducidos de las observaciones astronómicas recopiladas durante muchas décadas por los «magos del oriente».

El impacto de la tradición astronómica mesopotámica sexagesimal fue muy profundo. En el siglo II d. C., cuando Ptolomeo escribe el Almagesto, lo hace expresando las fracciones de sus precisas medidas astronómicas empleando un sistema posicional sexagesimal muy superior al griego. Este tratado se conservó, produciendo una enorme influencia en el mundo occidental y es uno de los motivos por los que actualmente representamos las expresiones racionales de ángulos y tiempo empleando sesenta minutos y sesenta segundos 38.

Pero si en los griegos influyó la Astronomía de Mesopotamia, también lo hizo la medida de longitudes y áreas de la Geometría de Egipto, si atendemos a las palabras de Heródoto de Halicarnaso, el conocido historiador griego. Él lo explicaba así en el siglo V a. C.:

Los sacerdotes también me dijeron que este rey repartió el suelo entre todos los egipcios, concediendo a cada habitante un lote cuadrangular de extensión uniforme; y, con arreglo a esta distribución, fijó sus ingresos, al imponer el pago de un tributo anual. Ahora bien, si el río se le llevaba a alguien parte de su lote, el damnificado acudía al rey y le explicaba lo sucedido; entonces el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y medir la disminución que había sufrido el terreno para que, en lo sucesivo, pagara una parte proporcional del tributo impuesto. Y, a mi juicio, para este menester se inventó la geometría, que pasó luego a Grecia. Pues el polo, el gnomon y la división del día en doce partes lo aprendieron de los babilonios 39.

Números racionales

ℚ, el conjunto de los números racionales, posee propiedades notables. Quizá la más importante es que es denso. Eso quiere decir que, por cercanos que estén dos números racionales distintos p < q, siempre es posible encontrar otro racional r (de hecho, hay infinitos), tales que:

p < r < q

La densidad de ℚ puede derivarse de la propiedad arquimediana bocetada en el capítulo anterior. Para dos racionales distintos p < q siempre existe un número natural n tal que 1/(q - p) < n y 1/n < q - p. Así, haciendo r = p + 1/n se deduce p < r = p + 1/n < p + q - p = p.

Esta propiedad es muy interesante porque si se está midiendo una magnitud y sabemos que p es menor que la magnitud a medir y q es mayor, siempre se puede tomar un r intermedio que se acerque a la solución y reduzca el error. Y el proceso se puede repetir indefinidamente hasta que el error sea insignificante. Es decir, por pequeño que sea el error ε > 0 en un proceso de medida, siempre existirá un número natural n > 1/ε, tal que la fracción racional 1/n < ε. Siempre, por tanto, podrá tomarse una subunidad de medida suficientemente pequeña para reducir el error.

Definiendo los enteros como ℤ = { n - m | n y m ∈̵̵̶̴ ℕ }, los racionales pueden ser construidos haciendo:

ℚ = { n/m | n y m ∈̵̵̶̴ ℤ y m ≠ 0}

Se verifica entonces que:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

En general, la expresión decimal de un número racional es finita o repetida periódicamente. Así, ¼ = 0,25 y ⅓ = 0,33333... = 0,3̑. Nunca ocurrirá en un número racional que su expresión sea infinita y no periódica.

El cardinal infinito de los enteros y los racionales sigue siendo «el infinito más pequeño», es decir, ℵ0.

ℵ0 = |ℕ| = |ℤ| = |ℚ|

Desde el punto de vista algebraico, ℕ es cerrado para suma y multiplicación, es decir, el resultado de sumar o multiplicar dos números naturales será otro natural. ℤ será cerrado además para la resta y ℚ, además, para las divisiones (con denominador no nulo).

Brack-Bernsen, Lis; Steele, John M.. Eclipse Prediction and the Length of the Saros in Babylonian Astronomy. Centaurus, vol. 47. 2005.
Colebroke, Henry Thomas. Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhaskara. 1817.
Corry, Leo. Breve historia de los números. Real Sociedad Matemática Española y SM. 2001.
De Cruz, Helen. Why are some numerical concepts more successful than others? An evolutionary perspective on the history of number concepts. Evolution and Human Behavior, 27. 2006.
Joseph, George Gheverghese. The enormity of zero. Revista brasileira de História da Matemática, Vol. 2 núm. 4. 2003.
Heródoto de Halicarnaso. Historia I. Libro II. Gredos. 1982.
Kline, Morris. El pensamiento des la Antigüedad a nuestros días, I. Alianza Universidad. 1992.
Nickiforov, Michael G. On the discovery of the saros. 2010.
Ossendrijver, Mathieu. The Moon and Planets in Ancient Mesopotamia. 2020.
Ritter, Jim. Closing the Eye of Horus: The Rise and Fall of 'Horus-eye Fractions'. Under one sky. 2002.
Schwartz, Randy. A Classic from China: The Nine Chapters. Schoolcraft College Department of Mathematics. The Right Angle. Vol. 16, No. 2. October 2008.
Struik, Dirk. J.. A concise history of Mathematics. 1954.
Vyawahare, Anant W.; Agrawal, Rishi Kumar. A history of negative numbers. 2008.

32. Aplicaciones llamadas isometrías porque conservan las distancias.
33. Sin embargo, en algún texto mesopotámico se compara el perímetro de un hexágono con la longitud de la circunferencia inscrita, en un cálculo que portaba un valor implícito para π de 3 ⅛, es decir, de 3,125. Ver Morris Kline.
34. Aunque no es fácil adivinar las intenciones de personas que vivieron hace varios milenios, siempre pensé que el enorme esfuerzo empleado en construir las poderosas pirámides no fue solo físico; durante siglos los escribas ingenieros se esforzaron en desarrollar métodos más eficientes de construcción de la mano de unas incipientes matemáticas que debieron ser objeto de un gran esfuerzo de investigación y desarrollo.
35. Con un origen más antiguo que la notación basada en el «jeroglífico de la boca» 𓂋, para las medidas de capacidad se proponía una notación basada en 𓂀, el llamado «Ojo de Horus», con los valores 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 y 1/64. Es un planteamiento cuestionado y criticado por el experto James Ritter. Ver Closing the Eye of Horus: The Rise and Fall of 'Horus-eye Fractions'.
36. On the discovery of the saros. Nickiforov. 2010.
37. En este sentido es muy probable que la famosa predicción de Tales de Mileto de un eclipse solar del 25 de mayo de 585 a. C. le deba mucho a los conocimientos de Babilonia.
38. La expresión de racionales en forma decimal es muy posterior a la forma hexadecimal. Puede ser encontrada en los textos árabes del siglo X d. C. escritos por Al-Uqlidisi.
39. Historia I. Heródoto. Libro II. Gredos. 1982.