La Incertidumbre es la falta de la certeza, del conocimiento incuestionable, perfecto y absoluto. La palabra está relacionada con la negación del latín certus, que significa cierto. Surge cuando la información disponible está dañada por ser escasa, contradictoria, imprecisa, subjetiva o en general imperfecta por algún motivo. Afecta a nuestras posibilidades de actuar racionalmente, dificultando la capacidad para tomar decisiones, realizar predicciones o controlar procesos.

El concepto de incertidumbre a menudo va de la mano con el de indeterminación, pero no son la misma cosa. El determinismo es una corriente de pensamiento de aplicación en múltiples ámbitos que plantea que los efectos quedan totalmente determinados por sus causas, de forma inevitable y casi mecánica. Así, el indeterminismo, definido como ausencia de determinismo, surge cuando no es posible predecir o establecer de forma inequívoca las consecuencias en las que desembocará una situación. En Matemáticas suele decirse que un problema queda indeterminado cuando las condiciones consideradas a priori no permiten identificar una solución única o unas pocas soluciones y, por el contrario, el problema permanece abierto con toda una familia de alternativas posibles. Esta falta de determinación de la solución de un problema a menudo no supone mayor dificultad y basta con añadir más condiciones —o ecuaciones— iniciales. Sin embargo, en otros casos supone una verdadera tragedia que sumerge al estudioso de las Matemáticas en una crisis de falta de certeza.

La incertidumbre y la aleatoriedad suelen acompañarse. Como consecuencia, a veces son términos que se confunden, porque lo aleatorio —es decir, lo que depende del azar— es claramente una fuente de incertidumbre. Esto llega hasta el punto de que hay quien considera que no puede haber incertidumbre sin aleatoriedad (1). En mi opinión no es así —como veremos en este libro—, pues la maligna incertidumbre puede manifestarse de múltiples maneras. Ponemos un par de ejemplos. Le pedimos a alguien que mida la altura de una persona y, al requerir el dato, recibimos una respuesta tan vaga como confusa: «Entre 180 y 210 centímetros». Otra respuesta podría ser incluso más ambigua: «Es alto», una restricción subjetiva. En los dos casos, tanto la imprecisión como la subjetividad, al igual que la aleatoriedad, añaden incertidumbre (2).

Otro concepto importante es el riesgo. Intuitivamente, es definido como el perjuicio potencial al que se está expuesto en una situación de incertidumbre; es decir, son las pérdidas o los daños que se pueden sufrir si se dan determinadas contingencias adversas. El riesgo es un término muy común en el lenguaje económico y financiero, ámbitos en los que se intenta mitigar, aunque no siempre con éxito. Riesgo e incertidumbre, aunque relacionados, son conceptos distintos. Así, una organización con una buena identificación de sus riesgos, una prudente elección de coberturas y una diversificación adecuada puede llegar a considerarse preparada frente a sus riesgos potenciales, incluso en un entorno de incertidumbre. Esta es la definición que será utilizada en este libro. Sin embargo, la realidad es que en general no existe acuerdo entre los economistas sobre la diferencia entre estos dos vocablos.

Una vez establecidas sucintamente las definiciones de las principales expresiones que emplearemos en el libro y sin ánimo de entrar en profundidad sobre ellas —pues algunas han producido intensos debates y controversias—, pasemos a hablar de Matemáticas.

La aparición de la incertidumbre es siempre motivo de profunda inquietud para los matemáticos, pues supone ver peligrar su mundo de seguridad y certeza. Ha sucedido algunas veces en la historia que las Matemáticas —ése santuario de la lógica y el rigor del pensamiento— se han visto sumergidas en el mar turbulento de los razonamientos inciertos. Paradójicamente, en estas situaciones, para poder seguir avanzando, se ha tenido que considerar la incertidumbre como algo ligado a las propias Matemáticas y proceder a «integrarla» en su cuerpo de conocimientos. No se me entienda mal, no hablo de que las ciencias exactas abandonen su rigor lógico. En absoluto. Al contrario. Lo que quiero expresar es que a veces ha sido necesario describir «lo incierto» desde la más exquisita y exhaustiva precisión matemática. Les pondré un ejemplo para que se me entienda mejor. Piensen en aquella ocasión que las Matemáticas tuvieron que definir con gran precisión el concepto de «imprecisión» (3), un aspecto muy ligado a la incertidumbre. ¿No fue acaso una situación sorprendente? O cuando se tuvieron que crear, para seguir avanzando, las nociones de «probable» o «casi por todas partes». En la mayoría de las situaciones los investigadores se enfrentaron a las matemáticas de la incertidumbre con la pretensión de no renunciar a un ápice del necesario rigor. Lo verdaderamente sorprendente es que  —y esto es muy llamativo— cuando las Matemáticas han incorporado en su cuerpo de conocimientos definiciones precisas de conceptos asociados a la incertidumbre, las teorías resultantes siempre se han coronado con grandes éxitos, siendo de aplicación muy fructífera en las ciencias experimentales.

Aunque incorporaré mucha historia de las Matemáticas en este libro, no se pretende escribir un libro con toda la historia del pensamiento matemático, tampoco sería posible detallarla en un solo volumen, por su extensión y enorme complejidad. No obstante, para comprender cómo se ha lidiado con la incertidumbre matemática a lo largo de los siglos, en múltiples casos será necesario entrar de lleno en algunos de los principales hitos del pensamiento de nuestra civilización. En general, los hechos históricos serán presentados siguiendo un orden cronológico, aunque a veces nos veremos obligados a adelantarnos o a retrasarnos en la línea del tiempo. Asimismo, en esta revisión histórica del concepto de la incertidumbre tendré predilección por las matemáticas que han sido útiles y han estado relacionadas con las herramientas intelectuales empleadas en desarrollar las teorías científicas más importantes de la ciencia.

Las Matemáticas a lo largo de la historia se han enfrentado a problemas progresivamente más complejos. Esta situación ha impactado en un paulatino incremento de su sofisticación técnica a medida que la incertidumbre de los problemas ha sido cada vez más pronunciada. Comenzaremos el libro con esos desafíos de incertidumbre suave del pasado que entonces conmocionaron a la comunidad matemática y que hoy —muchos siglos más tarde y desde nuestra mentalidad moderna— nos parecen fácilmente salvables; después, nos iremos adentrando en escenarios progresivamente más complejos, para terminar con situaciones que actualmente permanecen abiertas por no estar todavía resueltas.

A menudo, las crisis de incertidumbre matemática han afectado a otras ramas del saber. Me refiero —claro está— a la revolución cuántica que se produjo en la Física de los inicios del siglo XX, en la que tendremos que señalar el interesante concepto de «Observable». Será necesario analizar la incertidumbre que nos ofrece la Mecánica Cuántica, ésa que tanto escandalizó a Albert Einstein. Por supuesto —que no nos quede ninguna duda—, el universo sí juega a los dados (4). Pero este libro es un libro de la incertidumbre en las Matemáticas, y esa incertidumbre cuántica será interpretada en un contexto más amplio que el que ofrece la Física.

Asimismo, trataremos temas de Economía y Finanzas, los reinos de la incertidumbre extrema (5), en los que el universo no solo juega a los dados, sino a otros muchos juegos que no son solo de azar (6). Así, también tendremos un momento para detenernos en la crisis financiera que asoló la economía del inicio de este turbulento siglo XXI. En lo tocante a la incertidumbre, recordemos que la distribución normal ha salido de este periodo un tanto debilitada. Dedicaremos algunas páginas a los mercados financieros, ese mundo profundamente no gaussiano, de valores extremos y cisnes negros. Por desgracia, esta crisis de incertidumbre extrema no ha visto aún su desenlace y actualmente no se dispone de respuestas para las cuestiones que ha planteado.

Decía Lotfi Zadeh —ese gran intelectual, creador de la teoría de los Conjuntos Borrosos— que la incertidumbre es un atributo de la información (7). Por consiguiente, la medición —es decir, el mecanismo por el cual el científico obtiene información de la naturaleza— será un proceso considerado esencial en este libro. De hecho, esa vinculación hace que a menudo las crisis de certeza que han tensionado las Matemáticas hayan surgido en los problemas de medida de magnitudes. La medición de la diagonal del cuadrado por los pitagóricos o la extensión realizada por Lebesgue de la integral para llevarla a «medir» a una mayor generalidad de funciones desembocaron en una mejor comprensión de los fundamentos en los que se asientan las matemáticas de la incertidumbre (8).

Como sabemos, medir es comparar una magnitud con una unidad de medida para poder evaluarla, es decir, asignarle un valor. En principio parece sencillo, pues basta con determinar cuántas veces la unidad de medida se encuentra en la magnitud que está siendo objeto de la medida. Sin embargo, en la práctica la respuesta a esta cuestión es cualquier cosa menos obvia, porque medir es también sumergirse en el océano profundo de las Matemáticas. De hecho, la historia de la manera de medir es la historia de muchos conceptos matemáticos, es incluso parte de la historia de la humanidad.

El libro se estructura en cuatro partes, organizadas según la intensidad de la incertidumbre a la que los matemáticos se han visto enfrentados.

Se comienza con el relato de las primeras matemáticas, las más sencillas, y cómo fueron desarrolladas para dar respuesta a los problemas que entonces se planteaban esas sociedades. A medida que estos colectivos de personas fueron sofisticándose, como consecuencia, demandaron soluciones a problemas paulatinamente más complejos. Aunque hoy parecen toscas, las primeras matemáticas fueron sumamente exitosas, permitiendo la construcción de gigantescas obras públicas y realizando predicciones astronómicas que entonces debieron parecer asombrosas. Era inevitable que, en aquellas sociedades en desarrollo, las Matemáticas se vieran impregnadas de religiosidad y un cierto misticismo mágico.

La segunda parte continúa con la aparición de la originalidad del pensamiento griego, fundamentado en el rigor y la demostración matemática. Sin embargo, esta nueva forma de matematizar desembocará en la primera crisis de la incertidumbre que vamos a tratar. Aunque la solución al problema de los inconmensurables se atisbará enseguida, el daño ya estaba hecho y sólo tras muchos siglos de trabajo se encontrará la forma de gestionar la incertidumbre matemática. Como resultado, su majestad el número real será entronizado como indiscutible «instrumento de medida», es decir, el resultado de las mediciones será siempre descrito con este objeto matemático. Fruto de este original planteamiento se crearán teorías de la importancia del llamado Cálculo Infinitesimal, que cosechará un éxito atronador, con numerosas aplicaciones en las ciencias experimentales, especialmente en la Mecánica Clásica.

La tercera está dedicada a la medida de probabilidad. Tras un bosquejo sobre los inicios de este concepto, asistiremos durante los siglos XIX y XX al destronamiento como «instrumento de medida» del número real, para ser sustituido por otro objeto más complejo y sofisticado llamado variable aleatoria, con mayor capacidad para describir la incertidumbre asociada al proceso de medida. Llevada de la mano por la Estadística, la probabilidad entrará en casi todas las ciencias experimentales estableciéndose como una herramienta indispensable. Aunque en general será una revolución tranquila, sin estridencias, su desembarco en algunos casos coincidirá con un momento de gran estruendo, como fue el caso de la Mecánica Cuántica, en la que la probabilidad será imprescindible para la comprensión de lo «Observable».

La cuarta y última sección es la más intrigante, porque es un apartado que permanece abierto. Está dedicado a intuir dónde podrían entreverse nuevas manifestaciones de incertidumbre matemática. Se estudiarán diversos temas como la controversia sobre el devenir de la información en los agujeros negros, el caos, la complejidad, la entropía, las integrales de camino, los conjuntos borrosos y el riesgo de modelo. Prestaremos también gran atención a esa crisis de los mercados con la que se estrenó este atribulado siglo XXI, en la que los modelos financieros de probabilidades mostraron su clamorosa incapacidad para gestionar la incertidumbre y el riesgo. Las limitaciones de la gaussiana, la presencia de valores extremos y cisnes negros quizá sean manifestaciones de una incertidumbre extrema que va más allá y es más profunda que la aleatoriedad convencional. Es posible que el número aleatorio clásico —tal como hoy lo entendemos— haya comenzado a pedir el relevo por otro objeto más elaborado.

A modo de conclusión, como aprendizaje de este relato, sugerimos replantearnos eso que llamamos incertidumbre matemática, considerándolo como un concepto más global que la mera probabilidad en el que la información subjetiva sea otro de los aspectos esenciales a tener en cuenta. De esta manera, proponemos desarrollar un tipo de incertidumbre fuerte basado en la verosimilitud, un concepto popularizado por el estadístico Ronald Fisher en el comienzo del siglo XX que debería recibir más atención en la comunidad matemática.

1. «The conclusion is that measurements of uncertainty must obey the rules of the probability calculus. Other rules, like those of fuzzy logic or possibility theory, dependent on maxima and minima, rather than sums and products, are out». The Philosophy of Statistics. Dennis V. Lindey, 2000.
2. En el modelo Dempster-Shafer —aplicado en IA, sistemas expertos y muchos otros ámbitos— se diferencia entre la incertidumbre por disonancia, de carácter probabilístico, y la incertidumbre no específica, asociada a la especificación imprecisa de los datos («Entre 180 y 210 centímetros»). Otros autores también hablan de incertidumbre borrosa («Es alto»).
3. Este concepto impulsó los primeros estudios topológicos de la recta real.
4. «"Dios no juega a los dados" era una frase que se le oía mucho en la discusión. Por ello Einstein no se encontraba a gusto con las relaciones de incertidumbre e intentaba idear experimentos en los que no valieran estas relaciones». La parte y el todo, conversando en torno a la física atómica, de Werner Heisenberg, descubridor de Mecánica Cuántica, incluyendo su famosa relación de incertidumbre.
5. «En resumen: en este ensayo (personal), yergo la cabeza y proclamo, en contra de muchos de nuestros hábitos de pensamiento, que nuestro mundo está dominado por lo extremo, lo desconocido y lo muy improbable [...]». El cisne negro. Nassim Nicholas Taleb.
6. No en vano, una de las herramientas más útiles para entender los fenómenos microeconómicos es la llamada Teoría de Juegos.
7. Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU)—An Outline. Lotfi A. Zadeh, 2005.
8. Me refiero al nacimiento de la Teoría de la Medida, que permitió una mejor comprensión del concepto de probabilidad.