Giải thuật và lập trình
LÊ MINH HOÀNG
BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ: GIẢI THUẬT VÀ LẬP TRÌNH
Bài giảng chuyên đề
Đại học Sư phạm Hà Nội, 1999-2002
Try not to become a man of success
but rather to become a man of value.
Albert Einstein
i
MỤC LỤC
PHẦN 1. BÀI TOÁN LIỆT KÊ ......................................................................... 1
§1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP................................................................2
1.1. CHỈNH HỢP LẶP....................................................................................................................................... 2
1.2. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP........................................................................................................................ 2
1.3. HOÁN VỊ .................................................................................................................................................... 2
1.4. TỔ HỢP....................................................................................................................................................... 3
§2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATION) ....................................................................................4
2.1. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N................................................................................................... 5
2.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ ..................................................................................................... 6
2.3. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ ........................................................................................................................... 8
§3. THUẬT TOÁN QUAY LUI ..........................................................................................................12
3.1. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N ........................................................................................... 12
3.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ ................................................................................................... 13
3.3. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K ............................................................................. 15
3.4. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ .................................................................................................................... 16
3.5. BÀI TOÁN XẾP HẬU.............................................................................................................................. 18
§4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN...........................................................................................................24
4.1. BÀI TOÁN TỐI ƯU.................................................................................................................................. 24
4.2. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP............................................................................................................................ 24
4.3. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN.................................................................................................... 24
4.4. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH ................................................................................................................. 25
4.5. DÃY ABC ................................................................................................................................................. 27
PHẦN 2. CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT ..................................... 33
§1. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN HỌC.........................34
1.1. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN............................................................................................................................ 34
1.2. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN ............................................................................. 34
1.3. TÌM THUẬT TOÁN ................................................................................................................................. 35
1.4. LẬP TRÌNH .............................................................................................................................................. 37
1.5. KIỂM THỬ................................................................................................................................................ 37
1.6. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH...................................................................................................................... 38
§2. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT ...........................................................40
2.1. GIỚI THIỆU.............................................................................................................................................. 40
2.2. CÁC KÝ PHÁP ĐỂ ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN............................................................. 40
2.3. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT............................................................ 42
2.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO....................................................... 45
2.5. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN.................................................................................................... 46
ii
§3. ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY ......................................................................................... 50
3.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY........................................................................................................................50
3.2. GIẢI THUẬT ĐỆ QUY.............................................................................................................................50
3.3. VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY ..........................................................................................................51
3.4. HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY .......................................................................................................................55
§4. CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN DANH SÁCH.................................................................... 58
4.1. KHÁI NIỆM DANH SÁCH ......................................................................................................................58
4.2. BIỂU DIỄN DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH....................................................................................58
§5. NGĂN XẾP VÀ HÀNG ĐỢI ........................................................................................................ 64
5.1. NGĂN XẾP (STACK)...............................................................................................................................64
5.2. HÀNG ĐỢI (QUEUE)...............................................................................................................................66
§6. CÂY (TREE).................................................................................................................................. 70
6.1. ĐỊNH NGHĨA............................................................................................................................................70
6.2. CÂY NHỊ PHÂN (BINARY TREE) .........................................................................................................71
6.3. BIỂU DIỄN CÂY NHỊ PHÂN ..................................................................................................................73
6.4. PHÉP DUYỆT CÂY NHỊ PHÂN..............................................................................................................74
6.5. CÂY K_PHÂN ..........................................................................................................................................76
6.6. CÂY TỔNG QUÁT...................................................................................................................................77
§7. KÝ PHÁP TIỀN TỐ, TRUNG TỐ VÀ HẬU TỐ ....................................................................... 79
7.1. BIỂU THỨC DƯỚI DẠNG CÂY NHỊ PHÂN .........................................................................................79
7.2. CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG MỘT BIỂU THỨC....................................................................................79
7.3. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC........................................................................................................79
7.4. CHUYỂN TỪ DẠNG TRUNG TỐ SANG DẠNG HẬU TỐ...................................................................83
7.5. XÂY DỰNG CÂY NHỊ PHÂN BIỂU DIỄN BIỂU THỨC......................................................................86
§8. SẮP XẾP (SORTING) .................................................................................................................. 87
8.1. BÀI TOÁN SẮP XẾP................................................................................................................................87
8.2. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHỌN (SELECTIONSORT)...............................................................89
8.3. THUẬT TOÁN SẮP XẾP NỔI BỌT (BUBBLESORT)...........................................................................90
8.4. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHÈN...................................................................................................90
8.5. SHELLSORT.............................................................................................................................................92
8.6. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU PHÂN ĐOẠN (QUICKSORT)............................................................93
8.7. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU VUN ĐỐNG (HEAPSORT) ................................................................99
8.8. SẮP XẾP BẰNG PHÉP ĐẾM PHÂN PHỐI (DISTRIBUTION COUNTING)......................................102
8.9. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA THUẬT TOÁN SẮP XẾP (STABILITY) .........................................................103
8.10. THUẬT TOÁN SẮP XẾP BẰNG CƠ SỐ (RADIX SORT).................................................................104
8.11. THUẬT TOÁN SẮP XẾP TRỘN (MERGESORT)..............................................................................109
8.12. CÀI ĐẶT ...............................................................................................................................................112
8.13. ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT......................................................................................................................119
§9. TÌM KIẾM (SEARCHING) ....................................................................................................... 124
9.1. BÀI TOÁN TÌM KIẾM...........................................................................................................................124
9.2. TÌM KIẾM TUẦN TỰ (SEQUENTIAL SEARCH) ...............................................................................124
9.3. TÌM KIẾM NHỊ PHÂN (BINARY SEARCH)........................................................................................124
9.4. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM (BINARY SEARCH TREE - BST).........................................................125
iii
9.5. PHÉP BĂM (HASH)............................................................................................................................... 130
9.6. KHOÁ SỐ VỚI BÀI TOÁN TÌM KIẾM................................................................................................ 130
9.7. CÂY TÌM KIẾM SỐ HỌC (DIGITAL SEARCH TREE - DST)............................................................ 131
9.8. CÂY TÌM KIẾM CƠ SỐ (RADIX SEARCH TREE - RST) .................................................................. 134
9.9. NHỮNG NHẬN XÉT CUỐI CÙNG ...................................................................................................... 139
PHẦN 3. QUY HOẠCH ĐỘNG .................................................................... 141
§1. CÔNG THỨC TRUY HỒI..........................................................................................................142
1.1. VÍ DỤ ...................................................................................................................................................... 142
1.2. CẢI TIẾN THỨ NHẤT........................................................................................................................... 143
1.3. CẢI TIẾN THỨ HAI............................................................................................................................... 144
1.4. CÀI ĐẶT ĐỆ QUY................................................................................................................................. 145
§2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG...................................................................................147
2.1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH ..................................................................................................................... 147
2.2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG................................................................................................ 147
§3. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG ............................................................................151
3.1. DÃY CON ĐƠN ĐIỆU TĂNG DÀI NHẤT........................................................................................... 151
3.2. BÀI TOÁN CÁI TÚI............................................................................................................................... 156
3.3. BIẾN ĐỔI XÂU...................................................................................................................................... 158
3.4. DÃY CON CÓ TỔNG CHIA HẾT CHO K............................................................................................ 162
3.5. PHÉP NHÂN TỔ HỢP DÃY MA TRẬN............................................................................................... 166
3.6. BÀI TẬP LUYỆN TẬP........................................................................................................................... 170
PHẦN 4. CÁC THUẬT TOÁN TRÊN ĐỒ THỊ .......................................... 175
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .......................................................................................................176
1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (GRAPH).......................................................................................................... 176
1.2. CÁC KHÁI NIỆM................................................................................................................................... 177
§2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH..................................................................................179
2.1. MA TRẬN KỀ (ADJACENCY MATRIX)............................................................................................. 179
2.2. DANH SÁCH CẠNH (EDGE LIST) ...................................................................................................... 180
2.3. DANH SÁCH KỀ (ADJACENCY LIST) ............................................................................................... 181
2.4. NHẬN XÉT............................................................................................................................................. 182
§3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM TRÊN ĐỒ THỊ ...................................................................184
3.1. BÀI TOÁN.............................................................................................................................................. 184
3.2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU SÂU (DEPTH FIRST SEARCH)...................................... 185
3.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU RỘNG (BREADTH FIRST SEARCH) ............................ 187
3.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA BFS VÀ DFS ................................................................................ 190
§4. TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ ..........................................................................................191
4.1. ĐỊNH NGHĨA ......................................................................................................................................... 191
4.2. TÍNH LIÊN THÔNG TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG ........................................................................... 192
iv
4.3. ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ VÀ THUẬT TOÁN WARSHALL ...........................................................................192
4.4. CÁC THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG MẠNH ........................................................................................195
§5. VÀI ỨNG DỤNG CỦA DFS và BFS ......................................................................................... 206
5.1. XÂY DỰNG CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ............................................................................................206
5.2. TẬP CÁC CHU TRÌNH CƠ SỞ CỦA ĐỒ THỊ......................................................................................209
5.3. BÀI TOÁN ĐỊNH CHIỀU ĐỒ THỊ ........................................................................................................209
5.4. LIỆT KÊ CÁC KHỚP VÀ CẦU CỦA ĐỒ THỊ......................................................................................213
§6. CHU TRÌNH EULER, ĐƯỜNG ĐI EULER, ĐỒ THỊ EULER............................................. 216
6.1. BÀI TOÁN 7 CÁI CẦU ..........................................................................................................................216
6.2. ĐỊNH NGHĨA..........................................................................................................................................216
6.3. ĐỊNH LÝ.................................................................................................................................................216
6.4. THUẬT TOÁN FLEURY TÌM CHU TRÌNH EULER...........................................................................217
6.5. CÀI ĐẶT .................................................................................................................................................218
6.6. THUẬT TOÁN TỐT HƠN......................................................................................................................220
§7. CHU TRÌNH HAMILTON, ĐƯỜNG ĐI HAMILTON, ĐỒ THỊ HAMILTON .................. 223
7.1. ĐỊNH NGHĨA..........................................................................................................................................223
7.2. ĐỊNH LÝ.................................................................................................................................................223
7.3. CÀI ĐẶT .................................................................................................................................................224
§8. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT..................................................................................... 228
8.1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ.........................................................................................................................228
8.2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT .................................................................................................228
8.3. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM - THUẬT TOÁN FORD BELLMAN.........230
8.4. TRƯỜNG HỢP TRỌNG SỐ TRÊN CÁC CUNG KHÔNG ÂM - THUẬT TOÁN DIJKSTRA...........232
8.5. THUẬT TOÁN DIJKSTRA VÀ CẤU TRÚC HEAP .............................................................................235
8.6. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH - SẮP XẾP TÔ PÔ..............................................238
8.7. ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA MỌI CẶP ĐỈNH - THUẬT TOÁN FLOYD...................................241
8.8. NHẬN XÉT .............................................................................................................................................243
§9. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT................................................................................... 248
9.1. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT ................................................................................................248
9.2. THUẬT TOÁN KRUSKAL (JOSEPH KRUSKAL - 1956) ...................................................................248
9.3. THUẬT TOÁN PRIM (ROBERT PRIM - 1957)....................................................................................253
§10. BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG...................................................................... 257
10.1. CÁC KHÁI NIỆM.................................................................................................................................257
10.2. MẠNG THẶNG DƯ VÀ ĐƯỜNG TĂNG LUỒNG ............................................................................260
10.3. THUẬT TOÁN FORD-FULKERSON (L.R.FORD & D.R.FULKERSON - 1962) .............................263
10.4. THUẬT TOÁN PREFLOW-PUSH (GOLDBERG - 1986) ..................................................................267
10.5. MỘT SỐ MỞ RỘNG.............................................................................................................................273
§11. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA .................................... 280
11.1. ĐỒ THỊ HAI PHÍA (BIPARTITE GRAPH) .........................................................................................280
11.2. BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI KHÔNG TRỌNG VÀ CÁC KHÁI NIỆM.....................................................280
11.3. THUẬT TOÁN ĐƯỜNG MỞ...............................................................................................................281
11.4. CÀI ĐẶT ...............................................................................................................................................282
v
§12. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC TIỂU TRÊN ĐỒ THỊ HAI
PHÍA - THUẬT TOÁN HUNGARI .................................................................................................288
12.1. BÀI TOÁN PHÂN CÔNG.................................................................................................................... 288
12.2. PHÂN TÍCH.......................................................................................................................................... 288
12.3. THUẬT TOÁN...................................................................................................................................... 289
12.4. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA....... 297
12.5. NÂNG CẤP........................................................................................................................................... 298
§13. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ.........................................................304
13.1. CÁC KHÁI NIỆM................................................................................................................................. 304
13.2. THUẬT TOÁN EDMONDS (1965) ..................................................................................................... 305
13.3. THUẬT TOÁN LAWLER (1973)......................................................................................................... 307
13.4. CÀI ĐẶT............................................................................................................................................... 309
13.5. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN............................................................................................................... 313
TÀI LIỆU ĐỌC THÊM.................................................................................. 315
vi
HÌNH VẼ
Hình 1: Cây tìm kiếm quay lui trong bài toán liệt kê dãy nhị phân .......................................................................13
Hình 2: Xếp 8 quân hậu trên bàn cờ 8x8 ...............................................................................................................19
Hình 3: Đường chéo ĐB-TN mang chỉ số 10 và đường chéo ĐN-TB mang chỉ số 0............................................19
Hình 4: Lưu đồ thuật giải (Flowchart)...................................................................................................................36
Hình 5: Ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn ................................................................................................................41
Hình 6: Tháp Hà Nội .............................................................................................................................................54
Hình 7: Cấu trúc nút của danh sách nối đơn ..........................................................................................................59
Hình 8: Danh sách nối đơn ....................................................................................................................................59
Hình 9: Cấu trúc nút của danh sách nối kép ..........................................................................................................61
Hình 10: Danh sách nối kép...................................................................................................................................61
Hình 11: Danh sách nối vòng một hướng ..............................................................................................................61
Hình 12: Danh sách nối vòng hai hướng ...............................................................................................................62
Hình 13: Dùng danh sách vòng mô tả Queue ........................................................................................................67
Hình 14: Di chuyển toa tàu....................................................................................................................................69
Hình 15: Di chuyển toa tàu (2) ..............................................................................................................................69
Hình 16: Cây..........................................................................................................................................................70
Hình 17: Mức của các nút trên cây ........................................................................................................................71
Hình 18: Cây biểu diễn biểu thức ..........................................................................................................................71
Hình 19: Các dạng cây nhị phân suy biến..............................................................................................................72
Hình 20: Cây nhị phân hoàn chỉnh và cây nhị phân đầy đủ...................................................................................72
Hình 21: Đánh số các nút của cây nhị phân đầy đủ để biểu diễn bằng mảng ........................................................73
Hình 22: Nhược điểm của phương pháp biểu diễn cây bằng mảng .......................................................................73
Hình 23: Cấu trúc nút của cây nhị phân.................................................................................................................74
Hình 24: Biểu diễn cây bằng cấu trúc liên kết .......................................................................................................74
Hình 25: Đánh số các nút của cây 3_phân để biểu diễn bằng mảng......................................................................76
Hình 26: Biểu diễn cây tổng quát bằng mảng........................................................................................................77
Hình 27: Cấu trúc nút của cây tổng quát................................................................................................................78
Hình 28: Biểu thức dưới dạng cây nhị phân ..........................................................................................................79
Hình 29: Vòng lặp trong của QuickSort ................................................................................................................94
Hình 30: Trạng thái trước khi gọi đệ quy ..............................................................................................................95
Hình 31: Heap......................................................................................................................................................100
Hình 32: Vun đống ..............................................................................................................................................100
Hình 33: Đảo giá trị k[1] cho k[n] và xét phần còn lại ........................................................................................101
Hình 34: Vun phần còn lại thành đống rồi lại đảo trị k[1] cho k[n-1] .................................................................101
Hình 35: Đánh số các bit .....................................................................................................................................104
Hình 36: Thuật toán sắp xếp trộn.........................................................................................................................109
Hình 37: Cài đặt các thuật toán sắp xếp với dữ liệu lớn ......................................................................................121
vii
Hình 38: Cây nhị phân tìm kiếm ......................................................................................................................... 126
Hình 39: Xóa nút lá ở cây BST ........................................................................................................................... 127
Hình 40. Xóa nút chỉ có một nhánh con trên cây BST ........................................................................................ 128
Hình 41: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực phải của cây con trái............................ 128
Hình 42: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực trái của cây con phải............................ 128
Hình 43: Đánh số các bit ..................................................................................................................................... 131
Hình 44: Cây tìm kiếm số học............................................................................................................................. 131
Hình 45: Cây tìm kiếm cơ số............................................................................................................................... 134
Hình 46: Với độ dài dãy bit z = 3, cây tìm kiếm cơ số gồm các khoá 2, 4, 5 và sau khi thêm giá trị 7............... 135
Hình 47: RST chứa các khoá 2, 4, 5, 7 và RST sau khi loại bỏ giá trị 7 ............................................................. 136
Hình 48: Cây tìm kiếm cơ số a) và Trie tìm kiếm cơ số b).................................................................................. 138
Hình 49: Hàm đệ quy tính số Fibonacci .............................................................................................................. 149
Hình 50: Tính toán và truy vết ............................................................................................................................ 152
Hình 51: Truy vết ................................................................................................................................................ 160
Hình 52: Ví dụ về mô hình đồ thị........................................................................................................................ 176
Hình 53: Phân loại đồ thị..................................................................................................................................... 177
Hình 54................................................................................................................................................................ 180
Hình 55................................................................................................................................................................ 181
Hình 56: Đồ thị và đường đi................................................................................................................................ 184
Hình 57: Cây DFS ............................................................................................................................................... 187
Hình 58: Cây BFS ............................................................................................................................................... 190
Hình 59: Đồ thị G và các thành phần liên thông G1, G2, G3 của nó .................................................................. 191
Hình 60: Khớp và cầu.......................................................................................................................................... 191
Hình 61: Liên thông mạnh và liên thông yếu ...................................................................................................... 192
Hình 62: Đồ thị đầy đủ ........................................................................................................................................ 193
Hình 63: Đơn đồ thị vô hướng và bao đóng của nó............................................................................................. 193
Hình 64: Ba dạng cung ngoài cây DFS ............................................................................................................... 197
Hình 65: Thuật toán Tarjan "bẻ" cây DFS........................................................................................................... 199
Hình 66: Đánh số lại, đảo chiều các cung và duyệt BFS với cách chọn các đỉnh xuất phát ngược lại với thứ tự
duyệt xong (thứ tự 11, 10... 3, 2, 1)........................................................................................................... 204
Hình 67: Đồ thị G và một số ví dụ cây khung T1, T2, T3 của nó ....................................................................... 208
Hình 68: Cây khung DFS (a) và cây khung BFS (b) (Mũi tên chỉ chiều đi thăm các đỉnh) ................................ 208
Hình 69: Phép định chiều DFS............................................................................................................................ 211
Hình 70: Phép đánh số và ghi nhận cung ngược lên cao nhất ............................................................................. 213
Hình 71: Mô hình đồ thị của bài toán bảy cái cầu ............................................................................................... 216
Hình 72................................................................................................................................................................ 217
Hình 73................................................................................................................................................................ 217
Hình 74................................................................................................................................................................ 223
Hình 75: Phép đánh lại chỉ số theo thứ tự tôpô ................................................................................................... 238
Hình 76: Hai cây gốc r1 và r2 và cây mới khi hợp nhất chúng............................................................................. 249
viii
Hình 77: Mạng với các khả năng thông qua (1 phát, 6 thu) và một luồng của nó với giá trị 7............................257
Hình 78: Mạng G và mạng thặng dư Gf tương ứng (ký hiệu f[u,v]:c[u,v] chỉ luồng f[u, v] và khả năng thông qua
c[u, v] trên cung (u, v)) ..............................................................................................................................261
Hình 79: Mạng thặng dư và đường tăng luồng ....................................................................................................262
Hình 80: Luồng trên mạng G trước và sau khi tăng.............................................................................................262
Hình 81: Mạng giả của mạng có nhiều điểm phát và nhiều điểm thu..................................................................273
Hình 82: Thay một đỉnh u bằng hai đỉnh uin, uout .................................................................................................274
Hình 83: Mạng giả của mạng có khả năng thông qua của các cung bị chặn hai phía ..........................................274
Hình 84: Đồ thị hai phía ......................................................................................................................................280
Hình 85: Đồ thị hai phía và bộ ghép M...............................................................................................................281
Hình 86: Mô hình luồng của bài toán tìm bộ ghép cực đại trên đồ thị hai phía...................................................285
Hình 87: Phép xoay trọng số cạnh.......................................................................................................................289
Hình 88: Thuật toán Hungari...............................................................................................................................292
Hình 89: Cây pha "mọc" lớn hơn sau mỗi lần xoay trọng số cạnh và tìm đường ................................................299
Hình 90: Đồ thị G và một bộ ghép M..................................................................................................................304
Hình 91: Phép chập Blossom...............................................................................................................................306
Hình 92: Nở Blossom để dò đường xuyên qua Blossom.....................................................................................306
ix
CHƯƠNG TRÌNH
P_1_02_1.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các dãy nhị phân độ dài n ....................................................................... 6
P_1_02_2.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các tập con k phần tử .............................................................................. 8
P_1_02_3.PAS * Thuật toán sinh liệt kê hoán vị .................................................................................................... 9
P_1_03_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các dãy nhị phân độ dài n ............................................................... 12
P_1_03_2.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các tập con k phần tử...................................................................... 14
P_1_03_3.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k ..................................................... 16
P_1_03_4.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các cách phân tích số ...................................................................... 17
P_1_03_5.PAS * Thuật toán quay lui giải bài toán xếp hậu ................................................................................. 21
P_1_04_1.PAS * Kỹ thuật nhánh cận dùng cho bài toán người du lịch................................................................ 26
P_1_04_2.PAS * Dãy ABC................................................................................................................................... 28
P_2_07_1.PAS * Tính giá trị biểu thức RPN........................................................................................................ 81
P_2_07_2.PAS * Chuyển biểu thức trung tố sang dạng RPN............................................................................... 84
P_2_08_1.PAS * Các thuật toán săp xếp............................................................................................................. 112
P_3_01_1.PAS * Đếm số cách phân tích số n..................................................................................................... 143
P_3_01_2.PAS * Đếm số cách phân tích số n..................................................................................................... 144
P_3_01_3.PAS * Đếm số cách phân tích số n..................................................................................................... 144
P_3_01_4.PAS * Đếm số cách phân tích số n..................................................................................................... 145
P_3_01_5.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy ................................................................................ 145
P_3_01_6.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy ................................................................................ 145
P_3_03_1.PAS * Tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất ........................................................................................ 152
P_3_03_2.PAS * Cải tiến thuật toán tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất ........................................................... 154
P_3_03_3.PAS * Bài toán cái túi ........................................................................................................................ 157
P_3_03_4.PAS * Biến đổi xâu ............................................................................................................................ 161
P_3_03_5.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k ............................................................................................... 163
P_3_03_6.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k ............................................................................................... 165
P_3_03_7.PAS * Nhân tối ưu dãy ma trận.......................................................................................................... 169
P_4_03_1.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu ........................................................................................ 185
P_4_03_2.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng ...................................................................................... 188
P_4_04_1.PAS * Thuật toán Warshall liệt kê các thành phần liên thông ........................................................... 195
P_4_04_2.PAS * Thuật toán Tarjan liệt kê các thành phần liên thông mạnh...................................................... 202
P_4_05_1.PAS * Liệt kê các khớp và cầu của đồ thị .......................................................................................... 214
P_4_06_1.PAS * Thuật toán Fleury tìm chu trình Euler..................................................................................... 218
P_4_06_2.PAS * Thuật toán hiệu quả tìm chu trình Euler.................................................................................. 221
P_4_07_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê chu trình Hamilton ....................................................................... 224
P_4_08_1.PAS * Thuật toán Ford-Bellman ........................................................................................................ 231
P_4_08_2.PAS * Thuật toán Dijkstra.................................................................................................................. 233
P_4_08_3.PAS * Thuật toán Dijkstra và cấu trúc Heap...................................................................................... 235
x
P_4_08_4.PAS * Đường đi ngắn nhất trên đồ thị không có chu trình.................................................................239
P_4_08_5.PAS * Thuật toán Floyd .....................................................................................................................242
P_4_09_1.PAS * Thuật toán Kruskal ..................................................................................................................250
P_4_09_2.PAS * Thuật toán Prim.......................................................................................................................254
P_4_10_1.PAS * Thuật toán Ford-Fulkerson......................................................................................................265
P_4_10_2.PAS * Thuật toán Preflow-push .........................................................................................................270
P_4_11_1.PAS * Thuật toán đường mở tìm bộ ghép cực đại..............................................................................283
P_4_12_1.PAS * Thuật toán Hungari..................................................................................................................295
P_4_12_2.PAS * Cài đặt phương pháp Kuhn-Munkres O(k3) ............................................................................300
P_4_13_1.PAS * Phương pháp Lawler áp dụng cho thuật toán Edmonds ..........................................................310
BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG
⎢⎣x⎥⎦ Floor of x: Số nguyên lớn nhất ≤ x
⎡⎢x⎤⎥ Ceiling of x: Số nguyên nhỏ nhất ≥ x
n k P Số chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử (= n!
(n − k)!
)
n
k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Binomial coefficient: Hệ số của hạng tử xk trong đa thức (1+x)n
= Số tổ hợp chập k của n phần tử = n!
k!(n − k)!
O(.) Ký pháp chữ O lớn
Θ(.) Ký pháp Θ lớn
Ω(.) Ký pháp Ω lớn
o(.) Ký pháp chữ o nhỏ
ω(.) ký pháp ω nhỏ
a [i..j] Các phần tử trong mảng a tính từ chỉ số i đến chỉ số j
n! n factorial: Giai thừa của n = 1.2.3...n
a ↑ b ab
a ↑↑ b {
...a a
b copies of a
a
a log x Logarithm to base a of x: Logarithm cơ số a của x (logaab = b)
lg x Logarithm nhị phân (cơ số 2) của x
ln x Logarithm tự nhiên (cơ số e) của x
*a
log x Số lần lấy logarithm cơ số a để thu được số ≤ 1 từ x ( *
alog (a ↑↑ b) = b )
lg* x *
2 log x
* ln x *
elog x
PHẦN 1. BÀI TOÁN LIỆT KÊ
Có một số bài toán trên thực tế yêu cầu chỉ rõ: trong một tập các đối
tượng cho trước có bao nhiêu đối tượng thoả mãn những điều kiện nhất
định. Bài toán đó gọi là bài toán đếm.
Trong lớp các bài toán đếm, có những bài toán còn yêu cầu chỉ rõ những
cấu hình tìm được thoả mãn điều kiện đã cho là những cấu hình nào. Bài
toán yêu cầu đưa ra danh sách các cấu hình có thể có gọi là bài toán liệt
kê.
Để giải bài toán liệt kê, cần phải xác định được một thuật toán để có thể
theo đó lần lượt xây dựng được tất cả các cấu hình đang quan tâm. Có
nhiều phương pháp liệt kê, nhưng chúng cần phải đáp ứng được hai yêu
cầu dưới đây:
• Không được lặp lại một cấu hình
• Không được bỏ sót một cấu hình
Có thể nói rằng, phương pháp liệt kê là phương kế cuối cùng để giải
được một số bài toán tổ hợp hiện nay. Khó khăn chính của phương pháp
này chính là sự bùng nổ tổ hợp dẫn tới sự đòi hỏi lớn về không gian và
thời gian thực hiện chương trình. Tuy nhiên cùng với sự phát triển của
máy tính điện tử, bằng phương pháp liệt kê, nhiều bài toán tổ hợp đã tìm
thấy lời giải. Qua đó, ta cũng nên biết rằng chỉ nên dùng phương pháp
liệt kê khi không còn một phương pháp nào khác tìm ra lời giải.
Chính những nỗ lực giải quyết các bài toán thực tế không dùng phương
pháp liệt kê đã thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành toán học.
2 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Cho S là một tập hữu hạn gồm n phần tử và k là một số tự nhiên.
Gọi X là tập các số nguyên dương từ 1 đến k: X = {1, 2, ..., k}
1.1. CHỈNH HỢP LẶP
Mỗi ánh xạ f: X → S. Cho tương ứng với mỗi i ∈ X, một và chỉ một phần tử f(i) ∈ S.
Được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của S.
Nhưng do X là tập hữu hạn (k phần tử) nên ánh xạ f có thể xác định qua bảng các giá trị f(1),
f(2), ..., f(k).
Ví dụ: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Một ánh xạ f có thể cho như sau:
i 1 2 3
f(i) E C E
Vậy có thể đồng nhất f với dãy giá trị (f(1), f(2), ..., f(k)) và coi dãy giá trị này cũng là một
chỉnh hợp lặp chập k của S. Như ví dụ trên (E, C, E) là một chỉnh hợp lặp chập 3 của S. Dễ
dàng chứng minh được kết quả sau bằng quy nạp hoặc bằng phương pháp đánh giá khả năng
lựa chọn:
Số chỉnh hợp lặp chập k của tập gồm n phần tử là nk
1.2. CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP
Khi f là đơn ánh có nghĩa là với ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói một cách dễ hiểu, khi
dãy giá trị f(1), f(2), ..., f(k) gồm các phần tử thuộc S khác nhau đôi một thì f được gọi là một
chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ một chỉnh hợp không lặp (C, A, E):
i 1 2 3
f(i) C A E
Số chỉnh hợp không lặp chập k của tập gồm n phần tử là:
n k
P n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!
(n k)!
= − − − + =
−
1.3. HOÁN VỊ
Khi k = n. Một chỉnh hợp không lặp chập n của S được gọi là một hoán vị các phần tử của S.
Ví dụ: một hoán vị: 〈A, D, C, E, B, F〉 của S = {A, B, C, D, E, F}
i 1 2 3 4 5 6
f(i) A D C E B F
Bài toán liệt kê 3
Lê Minh Hoàng
Để ý rằng khi k = n thì số phần tử của tập X = {1, 2, ..., n} đúng bằng số phần tử của S. Do
tính chất đôi một khác nhau nên dãy f(1), f(2), ..., f(n) sẽ liệt kê được hết các phần tử trong S.
Như vậy f là toàn ánh. Mặt khác do giả thiết f là chỉnh hợp không lặp nên f là đơn ánh. Ta có
tương ứng 1-1 giữa các phần tử của X và S, do đó f là song ánh. Vậy nên ta có thể định nghĩa
một hoán vị của S là một song ánh giữa {1, 2, ..., n} và S.
Số hoán vị của tập gồm n phần tử = số chỉnh hợp không lặp chập n = n!
1.4. TỔ HỢP
Một tập con gồm k phần tử của S được gọi là một tổ hợp chập k của S.
Lấy một tập con k phần tử của S, xét tất cả k! hoán vị của tập con này. Dễ thấy rằng các hoán
vị đó là các chỉnh hợp không lặp chập k của S. Ví dụ lấy tập {A, B, C} là tập con của tập S
trong ví dụ trên thì: 〈A, B, C〉, 〈C, A, B〉, 〈B, C, A〉, ... là các chỉnh hợp không lặp chập 3 của
S. Điều đó tức là khi liệt kê tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k thì mỗi tổ hợp chập k sẽ
được tính k! lần. Vậy số tổ hợp chập k của tập gồm n phần tử là
n! n
k!(n k)! k
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠
4 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§2. PHƯƠNG PHÁP SINH (GENERATION)
Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê tổ hợp đặt ra nếu như hai điều kiện
sau thoả mãn:
Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê. Từ đó có thể biết
đượccấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự đó.
Xây dựng được thuật toán từ một cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh ra được cấu hình
kế tiếp nó.
Phương pháp sinh có thể mô tả như sau:
〈Xây dựng cấu hình đầu tiên〉;
repeat
〈Đưa ra cấu hình đang có〉;
〈Từ cấu hình đang có sinh ra cấu hình kế tiếp nếu còn〉;
until 〈hết cấu hình〉;
Thứ tự từ điển
Trên các kiểu dữ liệu đơn giản chuẩn, người ta thường nói tới khái niệm thứ tự. Ví dụ trên
kiểu số thì có quan hệ: 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ..., trên kiểu ký tự Char thì cũng có quan hệ 'A' <
'B'; 'C' < 'c'...
Xét quan hệ thứ tự toàn phần "nhỏ hơn hoặc bằng" ký hiệu "≤" trên một tập hợp S, là quan hệ
hai ngôi thoả mãn bốn tính chất:
Với ∀a, b, c ∈ S
Tính phổ biến: Hoặc là a ≤ b, hoặc b ≤ a;
Tính phản xạ: a ≤ a
Tính phản đối xứng: Nếu a ≤ b và b ≤ a thì bắt buộc a = b.
Tính bắc cầu: Nếu có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong trường hợp a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hiệu "<" cho gọn, (ta ngầm hiểu các ký hiệu như
≥, >, khỏi phải định nghĩa)
Ví dụ như quan hệ "≤" trên các số nguyên cũng như trên các kiểu vô hướng, liệt kê là quan hệ
thứ tự toàn phần.
Trên các dãy hữu hạn, người ta cũng xác định một quan hệ thứ tự:
Xét a[1..n] và b[1..n] là hai dãy độ dài n, trên các phần tử của a và b đã có quan hệ thứ tự "≤".
Khi đó a ≤ b nếu như
Hoặc a[i] = b[i] với ∀i: 1 ≤ i ≤ n.
Hoặc tồn tại một số nguyên dương k: 1 ≤ k < n để:
a[1] = b[1]
a[2] = b[2]
Bài toán liệt kê 5
Lê Minh Hoàng
...
a[k-1] = b[k-1]
a[k] = b[k]
a[k+1] < b[k+1]
Trong trường hợp này, ta có thể viết a < b.
Thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển trên các dãy độ dài n.
Khi độ dài hai dãy a và b không bằng nhau, người ta cũng xác định được thứ tự từ điển. Bằng
cách thêm vào cuối dãy a hoặc dãy b những phần tử đặc biệt gọi là phần tử ∅ để độ dài của a
và b bằng nhau, và coi những phần tử ∅ này nhỏ hơn tất cả các phần tử khác, ta lại đưa về xác
định thứ tự từ điển của hai dãy cùng độ dài. Ví dụ:
〈1, 2, 3, 4〉 < 〈5, 6〉
〈a, b, c〉 < 〈a, b, c, d〉
'calculator' < 'computer'
2.1. SINH CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N
Một dãy nhị phân độ dài n là một dãy x[1..n] trong đó x[i] ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n).
Dễ thấy: một dãy nhị phân x độ dài n là biểu diễn nhị phân của một giá trị nguyên p(x) nào đó
nằm trong đoạn [0, 2n - 1]. Số các dãy nhị phân độ dài n = số các số tự nhiên ∈ [0, 2n - 1] = 2n.
Ta sẽ lập chương trình liệt kê các dãy nhị phân theo thứ tự từ điển có nghĩa là sẽ liệt kê lần
lượt các dãy nhị phân biểu diễn các số nguyên theo thứ tự 0, 1, ..., 2n-1.
Ví dụ: Khi n = 3, các dãy nhị phân độ dài 3 được liệt kê như sau:
p(x) 0 1 2 3 4 5 6 7
x 000 001 010 011 100 101 110 111
Như vậy dãy đầu tiên sẽ là 00...0 và dãy cuối cùng sẽ là 11...1. Nhận xét rằng nếu dãy x =
x[1..n] là dãy đang có và không phải dãy cuối cùng cần liệt kê thì dãy kế tiếp sẽ nhận được
bằng cách cộng thêm 1 ( theo cơ số 2 có nhớ) vào dãy hiện tại.
Ví dụ khi n = 8:
Dãy đang có: 10010000 Dãy đang có: 10010111
cộng thêm 1: + 1 cộng thêm 1: + 1
⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯
Dãy mới: 10010001 Dãy mới: 10011000
Như vậy kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình hiện tại có thể mô tả như sau: Xét từ cuối
dãy về đầu (xét từ hàng đơn vị lên), tìm số 0 gặp đầu tiên
6 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nếu thấy thì thay số 0 đó bằng số 1 và đặt tất cả các phần tử phía sau vị trí đó bằng 0.
Nếu không thấy thì thì toàn dãy là số 1, đây là cấu hình cuối cùng
Dữ liệu vào (Input): nhập từ file văn bản BSTR.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30
Kết quả ra (Output): ghi ra file văn bản BSTR.OUT các dãy nhị phân độ dài n.
BSTR.INP
3
BSTR.OUT
000
001
010
011
100
101
110
111
P_1_02_1.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các dãy nhị phân độ dài n
program Binary_Strings;
const
InputFile = 'BSTR.INP';
OutputFile = 'BSTR.OUT';
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, i: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
FillChar(x, SizeOf(x), 0); {Cấu hình ban đầu x=00..0}
repeat {Thuật toán sinh}
for i := 1 to n do Write(f, x[i]); {In ra cấu hình hiện tại}
WriteLn(f);
i := n; {x[i] là phần tử cuối dãy, lùi dần i cho tới khi gặp số 0 hoặc khi i = 0 thì dừng}
while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);
if i > 0 then {Chưa gặp phải cấu hình 11...1}
begin
x[i] := 1; {Thay x[i] bằng số 1}
FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); {Đặt x[i+1] = x[i+2] = ... = x[n] := 0}
end;
until i = 0; {Đã hết cấu hình}
Close(f);
end.
2.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ
Ta sẽ lập chương trình liệt kê các tập con k phần tử của tập {1, 2, ..., n} theo thứ tự từ điền
Ví dụ: với n = 5, k = 3, ta phải liệt kê đủ 10 tập con:
1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5}
6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5}
Như vậy tập con đầu tiên (cấu hình khởi tạo) là {1, 2, ..., k}.
Cấu hình kết thúc là {n - k + 1, n - k + 2, ..., n}.
Nhận xét: Ta sẽ in ra tập con bằng cách in ra lần lượt các phần tử của nó theo thứ tự tăng dần.
Biểu diễn mỗi tập con là một dãy x[1..k] trong đó x[1] < x[2] < ... < x[k]. Ta nhận thấy giới
Bài toán liệt kê 7
Lê Minh Hoàng
hạn trên (giá trị lớn nhất có thể nhận) của x[k] là n, của x[k-1] là n - 1, của x[k-2] là n - 2...
Tổng quát: giới hạn trên của x[i] = n - k + i;
Còn tất nhiên, giới hạn dưới của x[i] (giá trị nhỏ nhất x[i] có thể nhận) là x[i-1] + 1.
Như vậy nếu ta đang có một dãy x đại diện cho một tập con, nếu x là cấu hình kết thúc có
nghĩa là tất cả các phần tử trong x đều đã đạt tới giới hạn trên thì quá trình sinh kết thúc, nếu
không thì ta phải sinh ra một dãy x mới tăng dần thoả mãn vừa đủ lớn hơn dãy cũ theo nghĩa
không có một tập con k phần tử nào chen giữa chúng khi sắp thứ tự từ điển.
Ví dụ: n = 9, k = 6. Cấu hình đang có x = 〈1, 2, 6, 7, 8, 9〉. Các phần tử x[3] đến x[6] đã đạt tới
giới hạn trên nên để sinh cấu hình mới ta không thể sinh bằng cách tăng một phần tử trong số
các x[6], x[5], x[4], x[3] lên được, ta phải tăng x[2] = 2 lên thành x[2] = 3. Được cấu hình mới
là x = 〈1, 3, 6, 7, 8, 9〉. Cấu hình này đã thoả mãn lớn hơn cấu hình trước nhưng chưa thoả
mãn tính chất vừa đủ lớn muốn vậy ta lại thay x[3], x[4], x[5], x[6] bằng các giới hạn dưới
của nó. Tức là:
x[3] := x[2] + 1 = 4
x[4] := x[3] + 1 = 5
x[5] := x[4] + 1 = 6
x[6] := x[5] + 1 = 7
Ta được cấu hình mới x = 〈1, 3, 4, 5, 6, 7〉 là cấu hình kế tiếp. Nếu muốn tìm tiếp, ta lại nhận
thấy rằng x[6] = 7 chưa đạt giới hạn trên, như vậy chỉ cần tăng x[6] lên 1 là được x = 〈1, 3, 4,
5, 6, 8〉.
Vậy kỹ thuật sinh tập con kế tiếp từ tập đã có x có thể xây dựng như sau:
Tìm từ cuối dãy lên đầu cho tới khi gặp một phần tử x[i] chưa đạt giới hạn trên n - k + i.
Nếu tìm thấy:
Tăng x[i] đó lên 1.
Đặt tất cả các phần tử phía sau x[i] bằng giới hạn dưới.
Nếu không tìm thấy tức là mọi phần tử đã đạt giới hạn trên, đây là cấu hình cuối cùng
Input: file văn bản SUBSET.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít
nhất một dấu cách
Output: file văn bản SUBSET.OUT các tập con k phần tử của tập {1, 2, ..., n}
SUBSET.INP
5 3
SUBSET.OUT
{1, 2, 3}
{1, 2, 4}
{1, 2, 5}
{1, 3, 4}
{1, 3, 5}
{1, 4, 5}
{2, 3, 4}
{2, 3, 5}
{2, 4, 5}
{3, 4, 5}
8 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
P_1_02_2.PAS * Thuật toán sinh liệt kê các tập con k phần tử
program Combination;
const
InputFile = 'SUBSET.INP';
OutputFile = 'SUBSET.OUT';
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, k, i, j: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, k);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
for i := 1 to k do x[i] := i; {x := 12...k (Cấu hình khởi tạo)}
repeat
{In ra cấu hình hiện tại}
Write(f, '{');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', ');
WriteLn(f, x[k], '}');
{Sinh tiếp}
i := k; {Xét từ cuối dãy lên tìm x[i] chưa đạt giới hạn trên n - k + i}
while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i);
if i > 0 then {Nếu chưa lùi đến 0 có nghĩa là chưa phải cấu hình kết thúc}
begin
Inc(x[i]); {Tăng x[i] lên 1, Đặt các phần tử đứng sau x[i] bằng giới hạn dưới của nó}
for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1;
end;
until i = 0; {Lùi đến tận 0 có nghĩa là tất cả các phần tử đã đạt giới hạn trên - hết cấu hình}
Close(f);
end.
2.3. LIỆT KÊ CÁC HOÁN VỊ
Ta sẽ lập chương trình liệt kê các hoán vị của {1, 2, ..., n} theo thứ tự từ điển.
Ví dụ với n = 4, ta phải liệt kê đủ 24 hoán vị:
1.1234 2.1243 3.1324 4.1342 5.1423 6.1432
7.2134 8.2143 9.2314 10.2341 11.2413 12.2431
13.3124 14.3142 15.3214 16.3241 17.3412 18.3421
19.4123 20.4132 21.4213 22.4231 23.4312 24.4321
Như vậy hoán vị đầu tiên sẽ là 〈1, 2, ..., n〉. Hoán vị cuối cùng là 〈n, n-1, ..., 1〉.
Hoán vị sẽ sinh ra phải lớn hơn hoán vị hiện tại, hơn thế nữa phải là hoán vị vừa đủ lớn hơn
hoán vị hiện tại theo nghĩa không thể có một hoán vị nào khác chen giữa chúng khi sắp thứ tự.
Giả sử hoán vị hiện tại là x = 〈3, 2, 6, 5, 4, 1〉, xét 4 phần tử cuối cùng, ta thấy chúng được xếp
giảm dần, điều đó có nghĩa là cho dù ta có hoán vị 4 phần tử này thế nào, ta cũng được một
hoán vị bé hơn hoán vị hiện tại. Như vậy ta phải xét đến x[2] = 2, thay nó bằng một giá trị
khác. Ta sẽ thay bằng giá trị nào?, không thể là 1 bởi nếu vậy sẽ được hoán vị nhỏ hơn, không
thể là 3 vì đã có x[1] = 3 rồi (phần tử sau không được chọn vào những giá trị mà phần tử trước
đã chọn). Còn lại các giá trị 4, 5, 6. Vì cần một hoán vị vừa đủ lớn hơn hiện tại nên ta chọn
x[2] = 4. Còn các giá trị (x[3], x[4], x[5], x[6]) sẽ lấy trong tập {2, 6, 5, 1}. Cũng vì tính vừa
đủ lớn nên ta sẽ tìm biểu diễn nhỏ nhất của 4 số này gán cho x[3], x[4], x[5], x[6] tức là 〈1, 2,
5, 6〉. Vậy hoán vị mới sẽ là 〈3, 4, 1, 2, 5, 6〉.
Bài toán liệt kê 9
Lê Minh Hoàng
Ta có nhận xét gì qua ví dụ này: Đoạn cuối của hoán vị hiện tại được xếp giảm dần, số x[5] =
4 là số nhỏ nhất trong đoạn cuối giảm dần thoả mãn điều kiện lớn hơn x[2] = 2. Nếu đổi chỗ
x[5] cho x[2] thì ta sẽ được x[2] = 4 và đoạn cuối vẫn được sắp xếp giảm dần. Khi đó muốn
biểu diễn nhỏ nhất cho các giá trị trong đoạn cuối thì ta chỉ cần đảo ngược đoạn cuối.
Trong trường hợp hoán vị hiện tại là 〈2, 1, 3, 4〉 thì hoán vị kế tiếp sẽ là 〈2, 1, 4, 3〉. Ta cũng
có thể coi hoán vị 〈2, 1, 3, 4〉 có đoạn cuối giảm dần, đoạn cuối này chỉ gồm 1 phần tử (4)
Vậy kỹ thuật sinh hoán vị kế tiếp từ hoán vị hiện tại có thể xây dựng như sau:
Xác định đoạn cuối giảm dần dài nhất, tìm chỉ số i của phần tử x[i] đứng liền trước đoạn cuối
đó. Điều này đồng nghĩa với việc tìm từ vị trí sát cuối dãy lên đầu, gặp chỉ số i đầu tiên thỏa
mãn x[i] < x[i+1].
Nếu tìm thấy chỉ số i như trên
Trong đoạn cuối giảm dần, tìm phần tử x[k] nhỏ nhất thoả mãn điều kiện x[k] > x[i]. Do
đoạn cuối giảm dần, điều này thực hiện bằng cách tìm từ cuối dãy lên đầu gặp chỉ số k
đầu tiên thoả mãn x[k] > x[i] (có thể dùng tìm kiếm nhị phân).
Đảo giá trị x[k] và x[i]
Lật ngược thứ tự đoạn cuối giảm dần (từ x[i+1] đến x[k]) trở thành tăng dần.
Nếu không tìm thấy tức là toàn dãy đã sắp giảm dần, đây là cấu hình cuối cùng
Input: file văn bản PERMUTE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12
Output: file văn bản PERMUTE.OUT các hoán vị của dãy (1, 2, ..., n)
PERMUTE.INP
3
PERMUTE.OUT
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
P_1_02_3.PAS * Thuật toán sinh liệt kê hoán vị
program Permutation;
const
InputFile = 'PERMUTE.INP';
OutputFile = 'PERMUTE.OUT';
max = 12;
var
n, i, k, a, b: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
f: Text;
procedure Swap(var X, Y: Integer); {Thủ tục đảo giá trị hai tham biến X, Y}
var
Temp: Integer;
begin
Temp := X; X := Y; Y := Temp;
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
10 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
for i := 1 to n do x[i] := i; {Khởi tạo cấu hình đầu: x[1] := 1; x[2] := 2; ..., x[n] := n}
repeat
for i := 1 to n do Write(f, x[i], ' '); {In ra cấu hình hoán vị hiện tại}
WriteLn(f);
i := n - 1;
while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i);
if i > 0 then {Chưa gặp phải hoán vị cuối (n, n-1, ..., 1)}
begin
k := n; {x[k] là phần tử cuối dãy}
while x[k] < x[i] do Dec(k); {Lùi dần k để tìm gặp x[k] đầu tiên lớn hơn x[i]}
Swap(x[k], x[i]); {Đổi chỗ x[k] và x[i]}
a := i + 1; b := n; {Lật ngược đoạn cuối giảm dần, a: đầu đoạn, b: cuối đoạn}
while a < b do
begin
Swap(x[a], x[b]); {Đảo giá trị x[a] và x[b]}
Inc(a); {Tiến a và lùi b, tiếp tục cho tới khi a, b chạm nhau}
Dec(b);
end;
end;
until i = 0; {Toàn dãy là dãy giảm dần - không sinh tiếp được - hết cấu hình}
Close(f);
end.
Bài tập:
Bài 1
Các chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường, đó là trường hợp n = 0
đối với chương trình liệt kê dãy nhị phân cũng như trong chương trình liệt kê hoán vị, trường
hợp k = 0 đối với chương trình liệt kê tổ hợp, hãy khắc phục điều đó.
Bài 2
Liệt kê các dãy nhị phân độ dài n có thể coi là liệt kê các chỉnh hợp lặp chập n của tập 2 phần
tử {0, 1}. Hãy lập chương trình:
Nhập vào hai số n và k, liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của {0, 1, ..., n -1}.
Hướng dẫn: thay hệ cơ số 2 bằng hệ cơ số n.
Bài 3
Hãy liệt kê các dãy nhị phân độ dài n mà trong đó cụm chữ số "01" xuất hiện đúng 2 lần.
Bài 4.
Nhập vào một danh sách n tên người. Liệt kê tất cả các cách chọn ra đúng k người trong số n
người đó.
Bài 5
Liệt kê tất cả các tập con của tập {1, 2, ..., n}. Có thể dùng phương pháp liệt kê tập con như
trên hoặc dùng phương pháp liệt kê tất cả các dãy nhị phân. Mỗi số 1 trong dãy nhị phân
tương ứng với một phần tử được chọn trong tập. Ví dụ với tập {1, 2, 3, 4} thì dãy nhị phân
1010 sẽ tương ứng với tập con {1, 3}. Hãy lập chương trình in ra tất cả các tập con của {1,
2, ..., n} theo hai phương pháp.
Bài 6
Nhập vào danh sách tên n người, in ra tất cả các cách xếp n người đó vào một bàn
Bài toán liệt kê 11
Lê Minh Hoàng
Bài 7
Nhập vào danh sách n bạn nam và n bạn nữ, in ra tất cả các cách xếp 2n người đó vào một bàn
tròn, mỗi bạn nam tiếp đến một bạn nữ.
Bài 8
Người ta có thể dùng phương pháp sinh để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k. Tuy nhiên
có một cách khác là liệt kê tất cả các tập con k phần tử của tập hợp, sau đó in ra đủ k! hoán vị
của nó. Hãy viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của {1, 2, ..., n} theo cả
hai cách.
Bài 9
Liệt kê tất cả các hoán vị chữ cái trong từ MISSISSIPPI theo thứ tự từ điển.
Bài 10
Liệt kê tất cả các cách phân tích số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương, hai cách
phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là một cách.
Cuối cùng, ta có nhận xét, mỗi phương pháp liệt kê đều có ưu, nhược điểm riêng và phương
pháp sinh cũng không nằm ngoài nhận xét đó. Phương pháp sinh không thể sinh ra được cấu
hình thứ p nếu như chưa có cấu hình thứ p - 1, chứng tỏ rằng phương pháp sinh tỏ ra ưu điểm
trong trường hợp liệt kê toàn bộ một số lượng nhỏ cấu hình trong một bộ dữ liệu lớn thì lại có
nhược điểm và ít tính phổ dụng trong những thuật toán duyệt hạn chế. Hơn thế nữa, không
phải cấu hình ban đầu lúc nào cũng dễ tìm được, không phải kỹ thuật sinh cấu hình kế tiếp
cho mọi bài toán đều đơn giản như trên (Sinh các chỉnh hợp không lặp chập k theo thứ tự từ
điển chẳng hạn). Ta sang một chuyên mục sau nói đến một phương pháp liệt kê có tính phổ
dụng cao hơn, để giải các bài toán liệt kê phức tạp hơn đó là: Thuật toán quay lui (Back
tracking).
12 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§3. THUẬT TOÁN QUAY LUI
Thuật toán quay lui dùng để giải bài toán liệt kê các cấu hình. Mỗi cấu hình được xây dựng
bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các khả năng.
Giả sử cấu hình cần liệt kê có dạng x[1..n], khi đó thuật toán quay lui thực hiện qua các bước:
1) Xét tất cả các giá trị x[1] có thể nhận, thử cho x[1] nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi giá
trị thử gán cho x[1] ta sẽ:
2) Xét tất cả các giá trị x[2] có thể nhận, lại thử cho x[2] nhận lần lượt các giá trị đó. Với mỗi
giá trị thử gán cho x[2] lại xét tiếp các khả năng chọn x[3] ... cứ tiếp tục như vậy đến bước:
...
n) Xét tất cả các giá trị x[n] có thể nhận, thử cho x[n] nhận lần lượt các giá trị đó, thông báo
cấu hình tìm được 〈x[1], x[2], ..., x[n]〉.
Trên phương diện quy nạp, có thể nói rằng thuật toán quay lui liệt kê các cấu hình n phần tử
dạng x[1..n] bằng cách thử cho x[1] nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi giá trị thử gán
cho x[1] bài toán trở thành liệt kê tiếp cấu hình n - 1 phần tử x[2..n].
Mô hình của thuật toán quay lui có thể mô tả như sau:
{Thủ tục này thử cho x[i] nhận lần lượt các giá trị mà nó có thể nhận}
procedure Try(i: Integer);
begin
for 〈mọi giá trị V có thể gán cho x[i]〉 do
begin
〈Thử cho x[i] := V〉;
if 〈x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình〉 then
〈Thông báo cấu hình tìm được〉
else
begin
〈Ghi nhận việc cho x[i] nhận giá trị V (nếu cần)〉;
Try(i + 1); {Gọi đệ quy để chọn tiếp x[i+1]}
〈Nếu cần, bỏ ghi nhận việc thử x[i] := V để thử giá trị khác〉;
end;
end;
end;
Thuật toán quay lui sẽ bắt đầu bằng lời gọi Try(1)
3.1. LIỆT KÊ CÁC DÃY NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI N
Input/Output với khuôn dạng như trong P_1_02_1.PAS
Biểu diễn dãy nhị phân độ dài N dưới dạng x[1..n]. Ta sẽ liệt kê các dãy này bằng cách thử
dùng các giá trị {0, 1} gán cho x[i]. Với mỗi giá trị thử gán cho x[i] lại thử các giá trị có thể
gán cho x[i+1].Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui có thể viết:
P_1_03_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các dãy nhị phân độ dài n
program BinaryStrings;
const
InputFile = 'BSTR.INP';
OutputFile = 'BSTR.OUT';
Bài toán liệt kê 13
Lê Minh Hoàng
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n: Integer;
f: Text;
procedure PrintResult; {In cấu hình tìm được, do thủ tục tìm đệ quy Try gọi khi tìm ra một cấu hình}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write(f, x[i]);
WriteLn(f);
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := 0 to 1 do {Xét các giá trị có thể gán cho x[i], với mỗi giá trị đó}
begin
x[i] := j; {Thử đặt x[i]}
if i = n then PrintResult {Nếu i = n thì in kết quả}
else Try(i + 1); {Nếu i chưa phải là phần tử cuối thì tìm tiếp x[i+1]}
end;
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n); {Nhập dữ liệu}
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Try(1); {Thử các cách chọn giá trị x[1]}
Close(f);
end.
Ví dụ: Khi n = 3, cây tìm kiếm quay lui như sau:
Try(1)
Try(2)
Try(2)
Try(3) Try(3) Try(3) Try(3)
000 001 010 011 100 101 110 111 Result
X1=0 X1=1
X2=0 X2=1 X2=0 X2=1
X3=0 X3=1
X3=0 X3=1 X3=0 X3=1 X3=0 X3=1
Hình 1: Cây tìm kiếm quay lui trong bài toán liệt kê dãy nhị phân
3.2. LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ
Input/Output có khuôn dạng như trong P_1_02_2.PAS
Để liệt kê các tập con k phần tử của tập S = {1, 2, ..., n} ta có thể đưa về liệt kê các cấu hình
x[1..n], ở đây các x[i] ∈ S và x[1] < x[2] < ... < x[k]. Ta có nhận xét:
14 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
x[k] ≤ n
x[k-1] ≤ x[k] - 1 ≤ n - 1
...
x[i] ≤ n - k + i
...
x[1] ≤ n - k + 1.
Từ đó suy ra x[i-1] + 1 ≤ x[i] ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k) ở đây ta giả thiết có thêm một số x[0] = 0
khi xét i = 1.
Như vậy ta sẽ xét tất cả các cách chọn x[1] từ 1 (=x[0] + 1) đến n - k + 1, với mỗi giá trị đó,
xét tiếp tất cả các cách chọn x[2] từ x[1] +1 đến n - k + 2, ... cứ như vậy khi chọn được đến
x[k] thì ta có một cấu hình cần liệt kê. Chương trình liệt kê bằng thuật toán quay lui như sau:
P_1_03_2.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các tập con k phần tử
program Combination;
const
InputFile = 'SUBSET.INP';
OutputFile = 'SUBSET.OUT';
max = 30;
var
x: array[0..max] of Integer;
n, k: Integer;
f: Text;
procedure PrintResult; (*In ra tập con {x[1], x[2], ..., x[k]}*)
var
i: Integer;
begin
Write(f, '{');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', ');
WriteLn(f, x[k], '}');
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn giá trị cho x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do
begin
x[i] := j;
if i = k then PrintResult
else Try(i + 1);
end;
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(F);
ReadLn(f, n, k);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
x[0] := 0;
Try(1);
Close(f);
end.
Bài toán liệt kê 15
Lê Minh Hoàng
Nếu để ý chương trình trên và chương trình liệt kê dãy nhị phân độ dài n, ta thấy về cơ bản
chúng chỉ khác nhau ở thủ tục Try(i) - chọn thử các giá trị cho xi, ở chương trình liệt kê dãy
nhị phân ta thử chọn các giá trị 0 hoặc 1 còn ở chương trình liệt kê các tập con k phần tử ta
thử chọn x[i] là một trong các giá trị nguyên từ x[i-1] + 1 đến n - k + i. Qua đó ta có thể thấy
tính phổ dụng của thuật toán quay lui: mô hình cài đặt có thể thích hợp cho nhiều bài toán,
khác với phương pháp sinh tuần tự, với mỗi bài toán lại phải có một thuật toán sinh kế tiếp
riêng làm cho việc cài đặt mỗi bài một khác, bên cạnh đó, không phải thuật toán sinh kế tiếp
nào cũng dễ cài đặt.
3.3. LIỆT KÊ CÁC CHỈNH HỢP KHÔNG LẶP CHẬP K
Để liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k của tập S = {1, 2, ..., n} ta có thể đưa về liệt kê các
cấu hình x[1..k] ở đây các x[i] ∈ S và khác nhau đôi một.
Như vậy thủ tục Try(i) - xét tất cả các khả năng chọn x[i] - sẽ thử hết các giá trị từ 1 đến n, mà
các giá trị này chưa bị các phần tử đứng trước chọn. Muốn xem các giá trị nào chưa được
chọn ta sử dụng kỹ thuật dùng mảng đánh dấu:
Khởi tạo một mảng c[1..n] mang kiểu logic boolean. Ở đây c[i] cho biết giá trị i có còn tự
do hay đã bị chọn rồi. Ban đầu khởi tạo tất cả các phần tử mảng c là TRUE có nghĩa là các
phần tử từ 1 đến n đều tự do.
Tại bước chọn các giá trị có thể của x[i] ta chỉ xét những giá trị j có c[j] = TRUE có nghĩa
là chỉ chọn những giá trị tự do.
Trước khi gọi đệ quy tìm x[i+1]: ta đặt giá trị j vừa gán cho x[i] là đã bị chọn có nghĩa là
đặt c[j] := FALSE để các thủ tục Try(i + 1), Try(i + 2)... gọi sau này không chọn phải giá
trị j đó nữa
Sau khi gọi đệ quy tìm x[i+1]: có nghĩa là sắp tới ta sẽ thử gán một giá trị khác cho x[i]
thì ta sẽ đặt giá trị j vừa thử đó thành tự do (c[j] := TRUE), bởi khi xi đã nhận một giá trị
khác rồi thì các phần tử đứng sau: x[i+1], x[i+2] ... hoàn toàn có thể nhận lại giá trị j đó.
Điều này hoàn toàn hợp lý trong phép xây dựng chỉnh hợp không lặp: x[1] có n cách chọn,
x[2] có n - 1 cách chọn, ...Lưu ý rằng khi thủ tục Try(i) có i = k thì ta không cần phải đánh
dấu gì cả vì tiếp theo chỉ có in kết quả chứ không cần phải chọn thêm phần tử nào nữa.
Input: file văn bản ARRANGE.INP chứa hai số nguyên dương n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 20) cách
nhau ít nhất một dấu cách
Output: file văn bản ARRANGE.OUT ghi các chỉnh hợp không lặp chập k của tập {1, 2, ...,
n}
ARRANGE.INP
3 2
ARRANGE.OUT
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
16 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
P_1_03_3.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các chỉnh hợp không lặp chập k
program Arrangement;
const
InputFile = 'ARRANGES.INP';
OutputFile = 'ARRANGES.OUT';
max = 20;
var
x: array[1..max] of Integer;
c: array[1..max] of Boolean;
n, k: Integer;
f: Text;
procedure PrintResult; {Thủ tục in cấu hình tìm được}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to k do Write(f, x[i], ' ');
WriteLn(f);
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := 1 to n do
if c[j] then {Chỉ xét những giá trị j còn tự do}
begin
x[i] := j;
if i = k then PrintResult {Nếu đã chọn được đến xk thì chỉ việc in kết quả}
else
begin
c[j] := False; {Đánh dấu: j đã bị chọn}
Try(i + 1); {Thủ tục này chỉ xét những giá trị còn tự do gán cho x[i+1]}
c[j] := True; {Bỏ đánh dấu: j lại là tự do, bởi sắp tới sẽ thử một cách chọn khác của x[i]}
end;
end;
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, k);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
FillChar(c, SizeOf(c), True); {Tất cả các số đều chưa bị chọn}
Try(1); {Thử các cách chọn giá trị của x[1]}
Close(f);
end.
Nhận xét: khi k = n thì đây là chương trình liệt kê hoán vị
3.4. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ
3.4.1. Bài toán
Cho một số nguyên dương n ≤ 30, hãy tìm tất cả các cách phân tích số n thành tổng của các số
nguyên dương, các cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là 1 cách.
3.4.2. Cách làm:
Ta sẽ lưu nghiệm trong mảng x, ngoài ra có một mảng t. Mảng t xây dựng như sau: t[i] sẽ là
tổng các phần tử trong mảng x từ x[1] đến x[i]: t[i] := x[1] + x[2] + ... + x[i].
Bài toán liệt kê 17
Lê Minh Hoàng
Khi liệt kê các dãy x có tổng các phần tử đúng bằng n, để tránh sự trùng lặp ta đưa thêm ràng
buộc x[i-1] ≤ x[i].
Vì số phần tử thực sự của mảng x là không cố định nên thủ tục PrintResult dùng để in ra 1
cách phân tích phải có thêm tham số cho biết sẽ in ra bao nhiêu phần tử.
Thủ tục đệ quy Try(i) sẽ thử các giá trị có thể nhận của x[i] (x[i] ≥ x[i - 1])
Khi nào thì in kết quả và khi nào thì gọi đệ quy tìm tiếp ?
Lưu ý rằng t[i - 1] là tổng của tất cả các phần tử từ x[1] đến x[i-1] do đó
Khi t[i] = n tức là (x[i] = n - t[i - 1]) thì in kết quả
Khi tìm tiếp, x[i+1] sẽ phải lớn hơn hoặc bằng x[i]. Mặt khác t[i+1] là tổng của các số từ
x[1] tới x[i+1] không được vượt quá n. Vậy ta có t[i+1] ≤ n ⇔ t[i-1] + x[i] + x[i+1] ≤ n ⇔
x[i] + x[i+1] ≤ n - t[i-1] tức là x[i] ≤ (n - t[i-1])/2. Ví dụ đơn giản khi n = 10 thì chọn x[1] =
6, 7, 8, 9 là việc làm vô nghĩa vì như vậy cũng không ra nghiệm mà cũng không chọn tiếp
x[2] được nữa.
Một cách dễ hiểu: ta gọi đệ quy tìm tiếp khi giá trị x[i] được chọn còn cho phép chọn thêm
một phần tử khác lớn hơn hoặc bằng nó mà không làm tổng vượt quá n. Còn ta in kết quả
chỉ khi x[i] mang giá trị đúng bằng số thiếu hụt của tổng i-1 phần tử đầu so với n.
Vậy thủ tục Try(i) thử các giá trị cho x[i] có thể viết như sau: (để tổng quát cho i = 1, ta đặt
x[0] = 1 và t[0] = 0).
Xét các giá trị của x[i] từ x[i - 1] đến (n - t[i-1]) div 2, cập nhật t[i] := t[i - 1] + x[i] và gọi
đệ quy tìm tiếp.
Cuối cùng xét giá trị x[i] = n - t[i-1] và in kết quả từ x[1] đến x[i].
Input: file văn bản ANALYSE.INP chứa số nguyên dương n ≤ 30
Output: file văn bản ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích số n.
ANALYSE.INP
6
ANALYSE.OUT
6 = 1+1+1+1+1+1
6 = 1+1+1+1+2
6 = 1+1+1+3
6 = 1+1+2+2
6 = 1+1+4
6 = 1+2+3
6 = 1+5
6 = 2+2+2
6 = 2+4
6 = 3+3
6 = 6
P_1_03_4.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê các cách phân tích số
program Analyses;
const
InputFile = 'ANALYSE.INP';
OutputFile = 'ANALYSE.OUT';
max = 30;
var
n: Integer;
x: array[0..max] of Integer;
18 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
t: array[0..max] of Integer;
f: Text;
procedure Init; {Khởi tạo}
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
x[0] := 1;
t[0] := 0;
end;
procedure PrintResult(k: Integer);
var
i: Integer;
begin
Write(f, n, ' = ');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], '+');
WriteLn(f, x[k]);
end;
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do {Trường hợp còn chọn tiếp x[i+1]}
begin
x[i] := j;
t[i] := t[i - 1] + j;
Try(i + 1);
end;
x[i] := n - T[i - 1]; {Nếu x[i] là phần tử cuối thì nó bắt buộc phải là n-T[i-1], in kết quả}
PrintResult(i);
end;
begin
Init;
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Try(1);
Close(f);
end.
Bây giờ ta xét tiếp một ví dụ kinh điển của thuật toán quay lui:
3.5. BÀI TOÁN XẾP HẬU
3.5.1. Bài toán
Xét bàn cờ tổng quát kích thước nxn. Một quân hậu trên bàn cờ có thể ăn được các quân khác
nằm tại các ô cùng hàng, cùng cột hoặc cùng đường chéo. Hãy tìm các xếp n quân hậu trên
bàn cờ sao cho không quân nào ăn quân nào.
Ví dụ một cách xếp với n = 8:
Bài toán liệt kê 19
Lê Minh Hoàng
Hình 2: Xếp 8 quân hậu trên bàn cờ 8x8
3.5.2. Phân tích
Rõ ràng n quân hậu sẽ được đặt mỗi con một hàng vì hậu ăn được ngang, ta gọi quân hậu sẽ
đặt ở hàng 1 là quân hậu 1, quân hậu ở hàng 2 là quân hậu 2... quân hậu ở hàng n là quân hậu
n. Vậy một nghiệm của bài toán sẽ được biết khi ta tìm ra được vị trí cột của những quân
hậu.
Nếu ta định hướng Đông (Phải), Tây (Trái), Nam (Dưới), Bắc (Trên) thì ta nhận thấy rằng:
Một đường chéo theo hướng Đông Bắc - Tây Nam (ĐB-TN) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các
ô đó có tính chất: Hàng + Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐB-TN ta có 1 hằng số C
và với một hằng số C: 2 ≤ C ≤ 2n xác định duy nhất 1 đường chéo ĐB-TN vì vậy ta có thể
đánh chỉ số cho các đường chéo ĐB- TN từ 2 đến 2n
Một đường chéo theo hướng Đông Nam - Tây Bắc (ĐN-TB) bất kỳ sẽ đi qua một số ô, các
ô đó có tính chất: Hàng - Cột = C (Const). Với mỗi đường chéo ĐN-TB ta có 1 hằng số C
và với một hằng số C: 1 - n ≤ C ≤ n - 1 xác định duy nhất 1 đường chéo ĐN-TB vì vậy ta
có thể đánh chỉ số cho các đường chéo ĐN- TB từ 1 - n đến n - 1.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
N
S
W E
Hình 3: Đường chéo ĐB-TN mang chỉ số 10 và đường chéo ĐN-TB mang chỉ số 0
20 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cài đặt:
Ta có 3 mảng logic để đánh dấu:
Mảng a[1..n]. a[i] = TRUE nếu như cột i còn tự do, a[i] = FALSE nếu như cột i đã bị một
quân hậu khống chế
Mảng b[2..2n]. b[i] = TRUE nếu như đường chéo ĐB-TN thứ i còn tự do, b[i] = FALSE
nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế.
Mảng c[1-n..n-1]. c[i] = TRUE nếu như đường chéo ĐN-TB thứ i còn tự do, c[i] = FALSE
nếu như đường chéo đó đã bị một quân hậu khống chế.
Ban đầu cả 3 mảng đánh dấu đều mang giá trị TRUE. (Các cột và đường chéo đều tự do)
Thuật toán quay lui:
Xét tất cả các cột, thử đặt quân hậu 1 vào một cột, với mỗi cách đặt như vậy, xét tất cả các
cách đặt quân hậu 2 không bị quân hậu 1 ăn, lại thử 1 cách đặt và xét tiếp các cách đặt
quân hậu 3...Mỗi cách đặt được đến quân hậu n cho ta 1 nghiệm
Khi chọn vị trí cột j cho quân hậu thứ i, thì ta phải chọn ô(i, j) không bị các quân hậu đặt
trước đó ăn, tức là phải chọn cột j còn tự do, đường chéo ĐB-TN (i+j) còn tự do, đường
chéo ĐN-TB(i-j) còn tự do. Điều này có thể kiểm tra (a[j] = b[i+j] = c[i-j] = TRUE)
Khi thử đặt được quân hậu thứ i vào cột j, nếu đó là quân hậu cuối cùng (i = n) thì ta có
một nghiệm. Nếu không:
Trước khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, ta đánh dấu cột và 2 đường chéo
bị quân hậu vừa đặt khống chế (a[j] = b[i+j] = c[i-j] := FALSE) để các lần gọi đệ quy
tiếp sau chọn cách đặt các quân hậu kế tiếp sẽ không chọn vào những ô nằm trên cột j
và những đường chéo này nữa.
Sau khi gọi đệ quy tìm cách đặt quân hậu thứ i + 1, có nghĩa là sắp tới ta lại thử một
cách đặt khác cho quân hậu thứ i, ta bỏ đánh dấu cột và 2 đường chéo bị quân hậu vừa
thử đặt khống chế (a[j] = b[i+j] = c[i-j] := TRUE) tức là cột và 2 đường chéo đó lại
thành tự do, bởi khi đã đặt quân hậu i sang vị trí khác rồi thì cột và 2 đường chéo đó
hoàn toàn có thể gán cho một quân hậu khác
Hãy xem lại trong các chương trình liệt kê chỉnh hợp không lặp và hoán vị về kỹ thuật đánh
dấu. Ở đây chỉ khác với liệt kê hoán vị là: liệt kê hoán vị chỉ cần một mảng đánh dấu xem giá
trị có tự do không, còn bài toán xếp hậu thì cần phải đánh dấu cả 3 thành phần: Cột, đường
chéo ĐB-TN, đường chéo ĐN- TB. Trường hợp đơn giản hơn: Yêu cầu liệt kê các cách đặt n
quân xe lên bàn cờ nxn sao cho không quân nào ăn quân nào chính là bài toán liệt kê hoán vị
Input: file văn bản QUEENS.INP chứa số nguyên dương n ≤ 12
Output: file văn bản QUEENS.OUT, mỗi dòng ghi một cách đặt n quân hậu
Bài toán liệt kê 21
Lê Minh Hoàng
QUEENS.INP
5
QUEENS.OUT
(1, 1); (2, 3); (3, 5); (4, 2); (5, 4);
(1, 1); (2, 4); (3, 2); (4, 5); (5, 3);
(1, 2); (2, 4); (3, 1); (4, 3); (5, 5);
(1, 2); (2, 5); (3, 3); (4, 1); (5, 4);
(1, 3); (2, 1); (3, 4); (4, 2); (5, 5);
(1, 3); (2, 5); (3, 2); (4, 4); (5, 1);
(1, 4); (2, 1); (3, 3); (4, 5); (5, 2);
(1, 4); (2, 2); (3, 5); (4, 3); (5, 1);
(1, 5); (2, 2); (3, 4); (4, 1); (5, 3);
(1, 5); (2, 3); (3, 1); (4, 4); (5, 2);
P_1_03_5.PAS * Thuật toán quay lui giải bài toán xếp hậu
program n_Queens;
const
InputFile = 'QUEENS.INP';
OutputFile = 'QUEENS.OUT';
max = 12;
var
n: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
a: array[1..max] of Boolean;
b: array[2..2 * max] of Boolean;
c: array[1 - max..max - 1] of Boolean;
f: Text;
procedure Init;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
FillChar(a, SizeOf(a), True); {Mọi cột đều tự do}
FillChar(b, SizeOf(b), True); {Mọi đường chéo Đông Bắc - Tây Nam đều tự do}
FillChar(c, SizeOf(c), True); {Mọi đường chéo Đông Nam - Tây Bắc đều tự do}
end;
procedure PrintResult;
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write(f, '(', i, ', ', x[i], '); ');
WriteLn(f);
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách đặt quân hậu thứ i vào hàng i}
var
j: Integer;
begin
for j := 1 to n do
if a[j] and b[i + j] and c[i - j] then {Chỉ xét những cột j mà ô (i, j) chưa bị khống chế}
begin
x[i] := j; {Thử đặt quân hậu i vào cột j}
if i = n then PrintResult
else
begin
a[j] := False; b[i + j] := False; c[i - j] := False; {Đánh dấu}
Try(i + 1); {Tìm các cách đặt quân hậu thứ i + 1}
a[j] := True; b[i + j] := True; c[i - j] := True; {Bỏ đánh dấu}
end;
end;
end;
begin
22 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Init;
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Try(1);
Close(f);
end.
Tên gọi thuật toán quay lui, đứng trên phương diện cài đặt có thể nên gọi là kỹ thuật vét cạn
bằng quay lui thì chính xác hơn, tuy nhiên đứng trên phương diện bài toán, nếu như ta coi
công việc giải bài toán bằng cách xét tất cả các khả năng cũng là 1 cách giải thì tên gọi Thuật
toán quay lui cũng không có gì trái logic. Xét hoạt động của chương trình trên cây tìm kiếm
quay lui ta thấy tại bước thử chọn x[i] nó sẽ gọi đệ quy để tìm tiếp x[i+1] có nghĩa là quá trình
sẽ duyệt tiến sâu xuống phía dưới đến tận nút lá, sau khi đã duyệt hết các nhánh, tiến trình lùi
lại thử áp đặt một giá trị khác cho x[i], đó chính là nguồn gốc của tên gọi "thuật toán quay lui"
Bài tập:
Bài 1
Một số chương trình trên xử lý không tốt trong trường hợp tầm thường (n = 0 hoặc k = 0), hãy
khắc phục các lỗi đó
Bài 2
Viết chương trình liệt kê các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử
Bài 3
Cho hai số nguyên dương l, n. Hãy liệt kê các xâu nhị phân độ dài n có tính chất, bất kỳ hai
xâu con nào độ dài l liền nhau đều khác nhau.
Bài 4
Với n = 5, k = 3, vẽ cây tìm kiếm quay lui của chương trình liệt kê tổ hợp chập k của tập {1,
2, ..., n}
Bài 5
Liệt kê tất cả các tập con của tập S gồm n số nguyên {S[1], S[2], ..., S[n]} nhập vào từ bàn
phím
Bài 6
Tương tự như bài 5 nhưng chỉ liệt kê các tập con có max - min ≤ T (T cho trước).
Bài 7
Một dãy x[1..n] gọi là một hoán vị hoàn toàn của tập {1, 2, ..., n} nếu nó là một hoán vị và
thoả mãn x[i] ≠ i với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Hãy viết chương trình liệt kê tất cả các hoán vị hoàn toàn
của tập trên (n vào từ bàn phím).
Bài 8
Sửa lại thủ tục in kết quả (PrintResult) trong bài xếp hậu để có thể vẽ hình bàn cờ và các cách
đặt hậu ra màn hình.
Bài toán liệt kê 23
Lê Minh Hoàng
Bài 9
Mã đi tuần: Cho bàn cờ tổng quát kích thước nxn và một quân Mã, hãy chỉ ra một hành trình
của quân Mã xuất phát từ ô đang đứng đi qua tất cả các ô còn lại của bàn cờ, mỗi ô đúng 1 lần.
Bài 10
Chuyển tất cả các bài tập trong bài trước đang viết bằng sinh tuần tự sang quay lui.
Bài 11
Xét sơ đồ giao thông gồm n nút giao thông đánh số từ 1 tới n và m đoạn đường nối chúng,
mỗi đoạn đường nối 2 nút giao thông. Hãy nhập dữ liệu về mạng lưới giao thông đó, nhập số
hiệu hai nút giao thông s và d. Hãy in ra tất cả các cách đi từ s tới d mà mỗi cách đi không
được qua nút giao thông nào quá một lần.
24 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§4. KỸ THUẬT NHÁNH CẬN
4.1. BÀI TOÁN TỐI ƯU
Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm thoả mãn một số điều
kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài
toán tối ưu thuộc về lĩnh vực quy hoạch toán học. Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong
nhiều trường hợp chúng ta chưa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài
toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình liệt kê toàn bộ các
cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất. Việc liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng
các phương pháp liệt kê: Sinh tuần tự và tìm kiếm quay lui. Dưới đây ta sẽ tìm hiểu phương
pháp liệt kê bằng thuật toán quay lui để tìm nghiệm của bài toán tối ưu.
4.2. SỰ BÙNG NỔ TỔ HỢP
Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên 1 cây phân cấp. Nếu giả thiết rằng ứng với mỗi
nút tương ứng với một giá trị được chọn cho x[i] sẽ ứng với chỉ 2 nút tương ứng với 2 giá trị
mà x[i+1] có thể nhận thì cây n cấp sẽ có tới 2n nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với
dữ liệu đầu vào n. Chính vì vậy mà nếu như ta có thao tác thừa trong việc chọn x[i] thì sẽ phải
trả giá rất lớn về chi phí thực thi thuật toán bởi quá trình tìm kiếm lòng vòng vô nghĩa trong
các bước chọn kế tiếp x[i+1], x[i+2], ... Khi đó, một vấn đề đặt ra là trong quá trình liệt kê lời
giải ta cần tận dụng những thông tin đã tìm được để loại bỏ sớm những phương án chắc chắn
không phải tối ưu. Kỹ thuật đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui.
4.3. MÔ HÌNH KỸ THUẬT NHÁNH CẬN
Dựa trên mô hình thuật toán quay lui, ta xây dựng mô hình sau:
procedure Init;
begin
〈Khởi tạo một cấu hình bất kỳ BESTCONFIG〉;
end;
{Thủ tục này thử chọn cho x[i] tất cả các giá trị nó có thể nhận}
procedure Try(i: Integer);
begin
for 〈Mọi giá trị V có thể gán cho x[i]〉 do
begin
〈Thử cho x[i] := V〉;
if 〈Việc thử trên vẫn còn hi vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BESTCONFIG〉 then
if 〈x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình〉 then
〈Cập nhật BESTCONFIG〉
else
begin
〈Ghi nhận việc thử x[i] = V nếu cần〉;
Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp x[i+1]}
〈Bỏ ghi nhận việc thử cho x[i] = V (nếu cần)〉;
end;
end;
end;
Bài toán liệt kê 25
Lê Minh Hoàng
begin
Init;
Try(1);
〈Thông báo cấu hình tối ưu BESTCONFIG〉;
end.
Kỹ thuật nhánh cận thêm vào cho thuật toán quay lui khả năng đánh giá theo từng bước, nếu
tại bước thứ i, giá trị thử gán cho x[i] không có hi vọng tìm thấy cấu hình tốt hơn cấu hình
BESTCONFIG thì thử giá trị khác ngay mà không cần phải gọi đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận
kết quả làm gì. Nghiệm của bài toán sẽ được làm tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt
hơn BESTCONFIG - tất nhiên), ta không in kết quả ngay mà sẽ cập nhật BESTCONFIG bằng
cấu hình mới vừa tìm được
4.4. BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH
4.4.1. Bài toán
Cho n thành phố đánh số từ 1 đến n và m tuyến đường giao thông hai chiều giữa chúng, mạng
lưới giao thông này được cho bởi bảng C cấp nxn, ở đây C[i, j] = C[j, i] = Chi phí đi đoạn
đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j. Giả thiết rằng C[i, i] = 0 với ∀i, C[i, j] = +∞
nếu không có đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j.
Một người du lịch xuất phát từ thành phố 1, muốn đi thăm tất cả các thành phố còn lại mỗi
thành phố đúng 1 lần và cuối cùng quay lại thành phố 1. Hãy chỉ ra cho người đó hành trình
với chi phí ít nhất. Bài toán đó gọi là bài toán người du lịch hay bài toán hành trình của một
thương gia (Traveling Salesman)
4.4.2. Cách giải
Hành trình cần tìm có dạng x[1..n + 1] trong đó x[1] = x[n + 1] = 1 ở đây giữa x[i] và x[i+1]:
hai thành phố liên tiếp trong hành trình phải có đường đi trực tiếp (C[i, j] ≠ +∞) và ngoại trừ
thành phố 1, không thành phố nào được lặp lại hai lần. Có nghĩa là dãy x[1..n] lập thành 1
hoán vị của (1, 2, ..., n).
Duyệt quay lui: x[2] có thể chọn một trong các thành phố mà x[1] có đường đi tới (trực tiếp),
với mỗi cách thử chọn x[2] như vậy thì x[3] có thể chọn một trong các thành phố mà x[2] có
đường đi tới (ngoài x[1]). Tổng quát: x[i] có thể chọn 1 trong các thành phố chưa đi qua mà
từ x[i-1] có đường đi trực tiếp tới (1 ≤ i ≤ n).
Nhánh cận: Khởi tạo cấu hình BestConfig có chi phí = +∞. Với mỗi bước thử chọn x[i] xem
chi phí đường đi cho tới lúc đó có < Chi phí của cấu hình BestConfig?, nếu không nhỏ hơn thì
thử giá trị khác ngay bởi có đi tiếp cũng chỉ tốn thêm. Khi thử được một giá trị x[n] ta kiểm
tra xem x[n] có đường đi trực tiếp về 1 không ? Nếu có đánh giá chi phí đi từ thành phố 1 đến
thành phố x[n] cộng với chi phí từ x[n] đi trực tiếp về 1, nếu nhỏ hơn chi phí của đường đi
BestConfig thì cập nhật lại BestConfig bằng cách đi mới.
Sau thủ tục tìm kiếm quay lui mà chi phí của BestConfig vẫn bằng +∞ thì có nghĩa là nó
không tìm thấy một hành trình nào thoả mãn điều kiện đề bài để cập nhật BestConfig, bài toán
26 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
không có lời giải, còn nếu chi phí của BestConfig < +∞ thì in ra cấu hình BestConfig - đó là
hành trình ít tốn kém nhất tìm được
Input: file văn bản TOURISM.INP
Dòng 1: Chứa số thành phố n (1 ≤ n ≤ 20) và số tuyến đường m trong mạng lưới giao
thông
m dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi số hiệu hai thành phố có đường đi trực tiếp và chi phí đi
trên quãng đường đó (chi phí này là số nguyên dương ≤ 100)
Output: file văn bản TOURISM.OUT, ghi hành trình tìm được.
1 2
4 3
1 2 1
3
4
2
TOURISM.INP
4 6
1 2 3
1 3 2
1 4 1
2 3 1
2 4 2
3 4 4
TOURISM.OUT
1->3->2->4->1
Cost: 6
P_1_04_1.PAS * Kỹ thuật nhánh cận dùng cho bài toán người du lịch
program TravellingSalesman;
const
InputFile = 'TOURISM.INP';
OutputFile = 'TOURISM.OUT';
max = 20;
maxC = 20 * 100 + 1;{+∞}
var
C: array[1..max, 1..max] of Integer; {Ma trận chi phí}
X, BestWay: array[1..max + 1] of Integer; {X để thử các khả năng, BestWay để ghi nhận nghiệm}
T: array[1..max + 1] of Integer; {T[i] để lưu chi phí đi từ X[1] đến X[i]}
Free: array[1..max] of Boolean; {Free để đánh dấu, Free[i]= True nếu chưa đi qua tp i}
m, n: Integer;
MinSpending: Integer; {Chi phí hành trình tối ưu}
procedure Enter;
var
i, j, k: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, m);
for i := 1 to n do {Khởi tạo bảng chi phí ban đầu}
for j := 1 to n do
if i = j then C[i, j] := 0 else C[i, j] := maxC;
for k := 1 to m do
begin
ReadLn(f, i, j, C[i, j]);
C[j, i] := C[i, j]; {Chi phí như nhau trên 2 chiều}
end;
Close(f);
end;
procedure Init; {Khởi tạo}
begin
FillChar(Free, n, True);
Free[1] := False; {Các thành phố là chưa đi qua ngoại trừ thành phố 1}
X[1] := 1; {Xuất phát từ thành phố 1}
T[1] := 0; {Chi phí tại thành phố xuất phát là 0}
Bài toán liệt kê 27
Lê Minh Hoàng
MinSpending := maxC;
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn xi}
var
j: Integer;
begin
for j := 2 to n do {Thử các thành phố từ 2 đến n}
if Free[j] then {Nếu gặp thành phố chưa đi qua}
begin
X[i] := j; {Thử đi}
T[i] := T[i - 1] + C[x[i - 1], j]; {Chi phí := Chi phí bước trước + chi phí đường đi trực tiếp}
if T[i] < MinSpending then {Hiển nhiên nếu có điều này thì C[x[i - 1], j] < +∞ rồi}
if i < n then {Nếu chưa đến được x[n]}
begin
Free[j] := False; {Đánh dấu thành phố vừa thử}
Try(i + 1); {Tìm các khả năng chọn x[i+1]}
Free[j] := True; {Bỏ đánh dấu}
end
else
if T[n] + C[x[n], 1] < MinSpending then {Từ x[n] quay lại 1 vẫn tốn chi phí ít hơn trước}
begin {Cập nhật BestConfig}
BestWay := X;
MinSpending := T[n] + C[x[n], 1];
end;
end;
end;
procedure PrintResult;
var
i: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
if MinSpending = maxC then WriteLn(f, 'NO SOLUTION')
else
for i := 1 to n do Write(f, BestWay[i], '->');
WriteLn(f, 1);
WriteLn(f, 'Cost: ', MinSpending);
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Try(2);
PrintResult;
end.
Trên đây là một giải pháp nhánh cận còn rất thô sơ giải bài toán người du lịch, trên thực tế
người ta còn có nhiều cách đánh giá nhánh cận chặt hơn nữa. Hãy tham khảo các tài liệu khác
để tìm hiểu về những phương pháp đó.
4.5. DÃY ABC
Cho trước một số nguyên dương N (N ≤ 100), hãy tìm một xâu chỉ gồm các ký tự A, B, C
thoả mãn 3 điều kiện:
Có độ dài N
Hai đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau (đoạn con là một dãy ký tự liên tiếp của xâu)
28 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Có ít ký tự C nhất.
Cách giải:
Không trình bày, đề nghị tự xem chương trình để hiểu, chỉ chú thích kỹ thuật nhánh cận như
sau:
Nếu dãy X[1..n] thoả mãn 2 đoạn con bất kỳ liền nhau đều khác nhau, thì trong 4 ký tự liên
tiếp bất kỳ bao giờ cũng phải có 1 ký tự "C". Như vậy với một dãy con gồm k ký tự liên tiếp
của dãy X thì số ký tự C trong dãy con đó bắt buộc phải ≥ k div 4.
Tại bước thử chọn X[i], nếu ta đã có T[i] ký tự "C" trong đoạn đã chọn từ X[1] đến X[i], thì
cho dù các bước đệ quy tiếp sau làm tốt như thế nào chăng nữa, số ký tự "C" sẽ phải chọn
thêm bao giờ cũng ≥ (n - i) div 4. Tức là nếu theo phương án chọn X[i] như thế này thì số ký
tự "C" trong dãy kết quả (khi chọn đến X[n]) cho dù có làm tốt đến đâu cũng ≥ T[i] + (n - i)
div 4. Ta dùng con số này để đánh giá nhánh cận, nếu nó nhiều hơn số ký tự "C" trong
BestConfig thì chắc chắn có làm tiếp cũng chỉ được một cấu hình tồi tệ hơn, ta bỏ qua ngay
cách chọn này và thử phương án khác.
Input: file văn bản ABC.INP chứa số nguyên dương n ≤ 100
Output: file văn bản ABC.OUT ghi xâu tìm được
ABC.INP
10
ABC.OUT
ABACABCBAB
"C" Letter Count : 2
P_1_04_2.PAS * Dãy ABC
program ABC_STRING;
const
InputFile = 'ABC.INP';
OutputFile = 'ABC.OUT';
max = 100;
var
N, MinC: Integer;
X, Best: array[1..max] of 'A'..'C';
T: array[0..max] of Integer; {T[i] cho biết số ký tự "C" trong đoạn từ X[1] đến X[i]}
f: Text;
{Hàm Same(i, l) cho biết xâu gồm l ký tự kết thúc tại X[i] có trùng với xâu l ký tự liền trước nó không ?}
function Same(i, l: Integer): Boolean;
var
j, k: Integer;
begin
j := i - l; {j là vị trí cuối đoạn liền trước đoạn đó}
for k := 0 to l - 1 do
if X[i - k] <> X[j - k] then
begin
Same := False; Exit;
end;
Same := True;
end;
{Hàm Check(i) cho biết X[i] có làm hỏng tính không lặp của dãy X[1..i] hay không}
function Check(i: Integer): Boolean;
var
l: Integer;
begin
Bài toán liệt kê 29
Lê Minh Hoàng
for l := 1 to i div 2 do {Thử các độ dài l}
if Same(i, l) then {Nếu có xâu độ dài l kết thúc bởi X[i] bị trùng với xâu liền trước}
begin
Check := False; Exit;
end;
Check := True;
end;
{Giữ lại kết quả vừa tìm được vào BestConfig (MinC và mảng Best)}
procedure KeepResult;
begin
MinC := T[N];
Best := X;
end;
{Thuật toán quay lui có nhánh cận}
procedure Try(i: Integer); {Thử các giá trị có thể của X[i]}
var
j: 'A'..'C';
begin
for j := 'A' to 'C' do {Xét tất cả các giá trị}
begin
X[i] := j;
if Check(i) then {Nếu thêm giá trị đó vào không làm hỏng tính không lặp}
begin
if j = 'C' then T[i] := T[i - 1] + 1 {Tính T[i] qua T[i - 1]}
else T[i] := T[i - 1];
if T[i] + (N - i) div 4 < MinC then {Đánh giá nhánh cận}
if i = N then KeepResult
else Try(i + 1);
end;
end;
end;
procedure PrintResult;
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to N do Write(f, Best[i]);
WriteLn(f);
WriteLn(f, '"C" Letter Count : ', MinC);
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, N);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
T[0] := 0;
MinC := N; {Khởi tạo cấu hình BestConfig ban đầu rất tồi}
Try(1);
PrintResult;
Close(f);
end.
Nếu ta thay bài toán là tìm xâu ít ký tự 'B' nhất mà vẫn viết chương trình tương tự như trên thì
chương trình sẽ chạy chậm hơn chút ít. Lý do: thủ tục Try ở trên sẽ thử lần lượt các giá trị 'A',
'B', rồi mới đến 'C'. Có nghĩa ngay trong cách tìm, nó đã tiết kiệm sử dụng ký tự 'C' nhất nên
trong phần lớn các bộ dữ liệu nó nhanh chóng tìm ra lời giải hơn so với bài toán tương ứng
tìm xâu ít ký tự 'B' nhất. Chính vì vậy mà nếu như đề bài yêu cầu ít ký tự 'B' nhất ta cứ lập
chương trình làm yêu cầu ít ký tự 'C' nhất, chỉ có điều khi in kết quả, ta đổi vai trò 'B', 'C' cho
30 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
nhau. Đây là một ví dụ cho thấy sức mạnh của thuật toán quay lui khi kết hợp với kỹ thuật
nhánh cận, nếu viết quay lui thuần tuý hoặc đánh giá nhánh cận không tốt thì với N = 100, tôi
cũng không đủ kiên nhẫn để đợi chương trình cho kết quả (chỉ biết rằng > 3 giờ). Trong khi
đó khi N = 100, với chương trình trên chỉ chạy hết hơn 3 giây cho kết quả là xâu 27 ký tự 'C'.
Nói chung, ít khi ta gặp bài toán mà chỉ cần sử dụng một thuật toán, một mô hình kỹ thuật cài
đặt là có thể giải được. Thông thường các bài toán thực tế đòi hỏi phải có sự tổng hợp, pha
trộn nhiều thuật toán, nhiều kỹ thuật mới có được một lời giải tốt. Không được lạm dụng một
kỹ thuật nào và cũng không xem thường một phương pháp nào khi bắt tay vào giải một bài
toán tin học. Thuật toán quay lui cũng không phải là ngoại lệ, ta phải biết phối hợp một cách
uyển chuyển với các thuật toán khác thì khi đó nó mới thực sự là một công cụ mạnh.
Bài tập:
Bài 1
Một dãy dấu ngoặc hợp lệ là một dãy các ký tự "(" và ")" được định nghĩa như sau:
i. Dãy rỗng là một dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu 0
ii. Nếu A là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k thì (A) là dãy dấu ngoặc hợp lệ độ sâu k + 1
iii. Nếu A và B là hay dãy dấu ngoặc hợp lệ với độ sâu lần lượt là p và q thì AB là dãy dấu
ngoặc hợp lệ độ sâu là max(p, q)
Độ dài của một dãy ngoặc là tổng số ký tự "(" và ")"
Ví dụ: Có 5 dãy dấu ngoặc hợp lệ độ dài 8 và độ sâu 3:
1. ((()()))
2. ((())())
3. ((()))()
4. (()(()))
5. ()((()))
Bài toán đặt ra là khi cho biết trước hai số nguyên dương n và k. Hãy liệt kê hết các dãy
ngoặc hợp lệ có độ dài là n và độ sâu là k (làm được với n càng lớn càng tốt).
Bài 2
Cho một bãi mìn kích thước mxn ô vuông, trên một ô có thể có chứa một quả mìn hoặc không,
để biểu diễn bản đồ mìn đó, người ta có hai cách:
Cách 1: dùng bản đồ đánh dấu: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j)
ghi số 1 nếu ô đó có mìn, ghi số 0 nếu ô đó không có mìn
Cách 2: dùng bản đồ mật độ: sử dụng một lưới ô vuông kích thước mxn, trên đó tại ô (i, j) ghi
một số trong khoảng từ 0 đến 8 cho biết tổng số mìn trong các ô lân cận với ô (i, j) (ô lân cận
với ô (i, j) là ô có chung với ô (i, j) ít nhất 1 đỉnh).
Giả thiết rằng hai bản đồ được ghi chính xác theo tình trạng mìn trên hiện trường.
Về nguyên tắc, lúc cài bãi mìn phải vẽ cả bản đồ đánh dấu và bản đồ mật độ, tuy nhiên sau
một thời gian dài, khi người ta muốn gỡ mìn ra khỏi bãi thì vấn đề hết sức khó khăn bởi bản
đồ đánh dấu đã bị thất lạc !!. Công việc của các lập trình viên là: Từ bản đồ mật độ, hãy tái
tạo lại bản đồ đánh dấu của bãi mìn.
Bài toán liệt kê 31
Lê Minh Hoàng
Dữ liệu: Vào từ file văn bản MINE.INP, các số trên 1 dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách
Dòng 1: Ghi 2 số nguyên dương m, n (2 ≤ m, n ≤ 30)
m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ mật độ theo đúng thứ tự từ trái
qua phải.
Kết quả: Ghi ra file văn bản MINE.OUT, các số trên 1 dòng ghi cách nhau ít nhất 1 dấu
cách
Dòng 1: Ghi tổng số lượng mìn trong bãi
m dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi n số trên hàng i của bản đồ đánh dấu theo đúng thứ tự từ
trái qua phải.
Ví dụ:
MINE.INP
10 15
0 3 2 3 3 3 5 3 4 4 5 4 4 4 3
1 4 3 5 5 4 5 4 7 7 7 5 6 6 5
1 4 3 5 4 3 5 4 4 4 4 3 4 5 5
1 4 2 4 4 5 4 2 4 4 3 2 3 5 4
1 3 2 5 4 4 2 2 3 2 3 3 2 5 2
2 3 2 3 3 5 3 2 4 4 3 4 2 4 1
2 3 2 4 3 3 2 3 4 6 6 5 3 3 1
2 6 4 5 2 4 1 3 3 5 5 5 6 4 3
4 6 5 7 3 5 3 5 5 6 5 4 4 4 3
2 4 4 4 2 3 1 2 2 2 3 3 3 4 2
MINE.OUT
80
1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
PHẦN 2. CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ
GIẢI THUẬT
Hạt nhân của các chương trình máy tính là sự lưu trữ và xử lý thông tin.
Việc tổ chức dữ liệu như thế nào có ảnh hưởng rất lớn đến cách thức xử
lý dữ liệu đó cũng như tốc độ thực thi và sự chiếm dụng bộ nhớ của
chương trình. Việc đặc tả bằng các cấu trúc tổng quát (generic structures)
và các kiểu dữ liệu trừu tượng (abstract data types) còn cho phép người
lập trình có thể dễ dàng hình dung ra các công việc cụ thể và giảm bớt
công sức trong việc chỉnh sửa, nâng cấp và sử dụng lại các thiết kế đã có.
Mục đích của phần này là cung cấp những hiểu biết nền tảng trong việc
thiết kế một chương trình máy tính, để thấy rõ được sự cần thiết của việc
phân tích, lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp cho từng bài toán cụ thể;
đồng thời khảo sát một số cấu trúc dữ liệu và thuật toán kinh điển mà lập
trình viên nào cũng cần phải nắm vững.
34 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§1. CÁC BƯỚC CƠ BẢN KHI TIẾN HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIN
HỌC
1.1. XÁC ĐỊNH BÀI TOÁN
Input → Process → Output
(Dữ liệu vào → Xử lý → Kết quả ra)
Việc xác định bài toán tức là phải xác định xem ta phải giải quyết vấn đề gì?, với giả thiết nào
đã cho và lời giải cần phải đạt những yêu cầu gì. Khác với bài toán thuần tuý toán học chỉ cần
xác định rõ giả thiết và kết luận chứ không cần xác định yêu cầu về lời giải, đôi khi những bài
toán tin học ứng dụng trong thực tế chỉ cần tìm lời giải tốt tới mức nào đó, thậm chí là tồi ở
mức chấp nhận được. Bởi lời giải tốt nhất đòi hỏi quá nhiều thời gian và chi phí.
Ví dụ:
Khi cài đặt các hàm số phức tạp trên máy tính. Nếu tính bằng cách khai triển chuỗi vô hạn thì
độ chính xác cao hơn nhưng thời gian chậm hơn hàng tỉ lần so với phương pháp xấp xỉ. Trên
thực tế việc tính toán luôn luôn cho phép chấp nhận một sai số nào đó nên các hàm số trong
máy tính đều được tính bằng phương pháp xấp xỉ của giải tích số
Xác định đúng yêu cầu bài toán là rất quan trọng bởi nó ảnh hưởng tới cách thức giải quyết và
chất lượng của lời giải. Một bài toán thực tế thường cho bởi những thông tin khá mơ hồ và
hình thức, ta phải phát biểu lại một cách chính xác và chặt chẽ để hiểu đúng bài toán.
Ví dụ:
Bài toán: Một dự án có n người tham gia thảo luận, họ muốn chia thành các nhóm và mỗi
nhóm thảo luận riêng về một phần của dự án. Nhóm có bao nhiêu người thì được trình lên bấy
nhiêu ý kiến. Nếu lấy ở mỗi nhóm một ý kiến đem ghép lại thì được một bộ ý kiến triển khai
dự án. Hãy tìm cách chia để số bộ ý kiến cuối cùng thu được là lớn nhất.
Phát biểu lại: Cho một số nguyên dương n, tìm các phân tích n thành tổng các số nguyên
dương sao cho tích của các số đó là lớn nhất.
Trên thực tế, ta nên xét một vài trường hợp cụ thể để thông qua đó hiểu được bài toán rõ hơn
và thấy được các thao tác cần phải tiến hành. Đối với những bài toán đơn giản, đôi khi chỉ cần
qua ví dụ là ta đã có thể đưa về một bài toán quen thuộc để giải.
1.2. TÌM CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN BÀI TOÁN
Khi giải một bài toán, ta cần phải định nghĩa tập hợp dữ liệu để biểu diễn tình trạng cụ thể.
Việc lựa chọn này tuỳ thuộc vào vấn đề cần giải quyết và những thao tác sẽ tiến hành trên dữ
liệu vào. Có những thuật toán chỉ thích ứng với một cách tổ chức dữ liệu nhất định, đối với
những cách tổ chức dữ liệu khác thì sẽ kém hiệu quả hoặc không thể thực hiện được. Chính vì
vậy nên bước xây dựng cấu trúc dữ liệu không thể tách rời bước tìm kiếm thuật toán giải
quyết vấn đề.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 35
Lê Minh Hoàng
Các tiêu chuẩn khi lựa chọn cấu trúc dữ liệu
Cấu trúc dữ liệu trước hết phải biểu diễn được đầy đủ các thông tin nhập và xuất của bài
toán
Cấu trúc dữ liệu phải phù hợp với các thao tác của thuật toán mà ta lựa chọn để giải quyết
bài toán.
Cấu trúc dữ liệu phải cài đặt được trên máy tính với ngôn ngữ lập trình đang sử dụng
Đối với một số bài toán, trước khi tổ chức dữ liệu ta phải viết một đoạn chương trình nhỏ để
khảo sát xem dữ liệu cần lưu trữ lớn tới mức độ nào.
1.3. TÌM THUẬT TOÁN
Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy thao tác
trên cấu trúc dữ liệu sao cho: Với một bộ dữ liệu vào, sau một số hữu hạn bước thực hiện các
thao tác đã chỉ ra, ta đạt được mục tiêu đã định.
Các đặc trưng của thuật toán
1.3.1. Tính đơn nghĩa
Ở mỗi bước của thuật toán, các thao tác phải hết sức rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng,
lộn xộn, tuỳ tiện, đa nghĩa.
Không nên lẫn lộn tính đơn nghĩa và tính đơn định: Người ta phân loại thuật toán ra làm hai
loại: Đơn định (Deterministic) và Ngẫu nhiên (Randomized). Với hai bộ dữ liệu giống nhau
cho trước làm input, thuật toán đơn định sẽ thi hành các mã lệnh giống nhau và cho kết quả
giống nhau, còn thuật toán ngẫu nhiên có thể thực hiện theo những mã lệnh khác nhau và cho
kết quả khác nhau. Ví dụ như yêu cầu chọn một số tự nhiên x: a ≤ x ≤ b, nếu ta viết x := a hay
x := b hay x := (a + b) div 2, thuật toán sẽ luôn cho một giá trị duy nhất với dữ liệu vào là hai
số tự nhiên a và b. Nhưng nếu ta viết x := a + Random(b - a + 1) thì sẽ có thể thu được các kết
quả khác nhau trong mỗi lần thực hiện với input là a và b tuỳ theo máy tính và bộ tạo số ngẫu
nhiên.
1.3.2. Tính dừng
Thuật toán không được rơi vào quá trình vô hạn, phải dừng lại và cho kết quả sau một số hữu
hạn bước.
1.3.3. Tính đúng
Sau khi thực hiện tất cả các bước của thuật toán theo đúng quá trình đã định, ta phải được kết
quả mong muốn với mọi bộ dữ liệu đầu vào. Kết quả đó được kiểm chứng bằng yêu cầu bài
toán.
1.3.4. Tính phổ dụng
Thuật toán phải dễ sửa đổi để thích ứng được với bất kỳ bài toán nào trong một lớp các bài
toán và có thể làm việc trên các dữ liệu khác nhau.
36 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
1.3.5. Tính khả thi
Kích thước phải đủ nhỏ: Ví dụ: Một thuật toán sẽ có tính hiệu quả bằng 0 nếu lượng bộ
nhớ mà nó yêu cầu vượt quá khả năng lưu trữ của hệ thống máy tính.
Thuật toán phải chuyển được thành chương trình: Ví dụ một thuật toán yêu cầu phải biểu
diễn được số vô tỉ với độ chính xác tuyệt đối là không hiện thực với các hệ thống máy tính
hiện nay
Thuật toán phải được máy tính thực hiện trong thời gian cho phép, điều này khác với lời
giải toán (Chỉ cần chứng minh là kết thúc sau hữu hạn bước). Ví dụ như xếp thời khoá biểu
cho một học kỳ thì không thể cho máy tính chạy tới học kỳ sau mới ra được.
Ví dụ:
Input: 2 số nguyên tự nhiên a và b không đồng thời bằng 0
Output: Ước số chung lớn nhất của a và b
Thuật toán sẽ tiến hành được mô tả như sau: (Thuật toán Euclide)
Bước 1 (Input): Nhập a và b: Số tự nhiên
Bước 2: Nếu b ≠ 0 thì chuyển sang bước 3, nếu không thì bỏ qua bước 3, đi làm bước 4
Bước 3: Đặt r := a mod b; Đặt a := b; Đặt b := r; Quay trở lại bước 2.
Bước 4 (Output): Kết luận ước số chung lớn nhất phải tìm là giá trị của a. Kết thúc thuật toán.
Begin
Input: a, b
b > 0 ?
r := a mod b;
a := b;
b := r
Output a;
End
No
Yes
Hình 4: Lưu đồ thuật giải (Flowchart)
Khi mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên, ta không cần phải quá chi tiết các bước và tiến
trình thực hiện mà chỉ cần mô tả một cách hình thức đủ để chuyển thành ngôn ngữ lập trình.
Viết sơ đồ các thuật toán đệ quy là một ví dụ.
Đối với những thuật toán phức tạp và nặng về tính toán, các bước và các công thức nên mô tả
một cách tường minh và chú thích rõ ràng để khi lập trình ta có thể nhanh chóng tra cứu.
Đối với những thuật toán kinh điển thì phải thuộc. Khi giải một bài toán lớn trong một thời
gian giới hạn, ta chỉ phải thiết kế tổng thể còn những chỗ đã thuộc thì cứ việc lắp ráp vào.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 37
Lê Minh Hoàng
Tính đúng đắn của những mô-đun đã thuộc ta không cần phải quan tâm nữa mà tập trung giải
quyết các phần khác.
1.4. LẬP TRÌNH
Sau khi đã có thuật toán, ta phải tiến hành lập trình thể hiện thuật toán đó. Muốn lập trình đạt
hiệu quả cao, cần phải có kỹ thuật lập trình tốt. Kỹ thuật lập trình tốt thể hiện ở kỹ năng viết
chương trình, khả năng gỡ rối và thao tác nhanh. Lập trình tốt không phải chỉ cần nắm vững
ngôn ngữ lập trình là đủ, phải biết cách viết chương trình uyển chuyển, khôn khéo và phát
triển dần dần để chuyển các ý tưởng ra thành chương trình hoàn chỉnh. Kinh nghiệm cho thấy
một thuật toán hay nhưng do cài đặt vụng về nên khi chạy lại cho kết quả sai hoặc tốc độ
chậm.
Thông thường, ta không nên cụ thể hoá ngay toàn bộ chương trình mà nên tiến hành theo
phương pháp tinh chế từng bước (Stepwise refinement):
Ban đầu, chương trình được thể hiện bằng ngôn ngữ tự nhiên, thể hiện thuật toán với các
bước tổng thể, mỗi bước nêu lên một công việc phải thực hiện.
Một công việc đơn giản hoặc là một đoạn chương trình đã được học thuộc thì ta tiến hành
viết mã lệnh ngay bằng ngôn ngữ lập trình.
Một công việc phức tạp thì ta lại chia ra thành những công việc nhỏ hơn để lại tiếp tục với
những công việc nhỏ hơn đó.
Trong quá trình tinh chế từng bước, ta phải đưa ra những biểu diễn dữ liệu. Như vậy cùng với
sự tinh chế các công việc, dữ liệu cũng được tinh chế dần, có cấu trúc hơn, thể hiện rõ hơn
mối liên hệ giữa các dữ liệu.
Phương pháp tinh chế từng bước là một thể hiện của tư duy giải quyết vấn đề từ trên xuống,
giúp cho người lập trình có được một định hướng thể hiện trong phong cách viết chương trình.
Tránh việc mò mẫm, xoá đi viết lại nhiều lần, biến chương trình thành tờ giấy nháp.
1.5. KIỂM THỬ
1.5.1. Chạy thử và tìm lỗi
Chương trình là do con người viết ra, mà đã là con người thì ai cũng có thể nhầm lẫn. Một
chương trình viết xong chưa chắc đã chạy được ngay trên máy tính để cho ra kết quả mong
muốn. Kỹ năng tìm lỗi, sửa lỗi, điều chỉnh lại chương trình cũng là một kỹ năng quan trọng
của người lập trình. Kỹ năng này chỉ có được bằng kinh nghiệm tìm và sửa chữa lỗi của chính
mình.
Có ba loại lỗi:
Lỗi cú pháp: Lỗi này hay gặp nhất nhưng lại dễ sửa nhất, chỉ cần nắm vững ngôn ngữ lập
trình là đủ. Một người được coi là không biết lập trình nếu không biết sửa lỗi cú pháp.
Lỗi cài đặt: Việc cài đặt thể hiện không đúng thuật toán đã định, đối với lỗi này thì phải
xem lại tổng thể chương trình, kết hợp với các chức năng gỡ rối để sửa lại cho đúng.
38 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Lỗi thuật toán: Lỗi này ít gặp nhất nhưng nguy hiểm nhất, nếu nhẹ thì phải điều chỉnh lại
thuật toán, nếu nặng thì có khi phải loại bỏ hoàn toàn thuật toán sai và làm lại từ đầu.
1.5.2. Xây dựng các bộ test
Có nhiều chương trình rất khó kiểm tra tính đúng đắn. Nhất là khi ta không biết kết quả đúng
là thế nào?. Vì vậy nếu như chương trình vẫn chạy ra kết quả (không biết đúng sai thế nào) thì
việc tìm lỗi rất khó khăn. Khi đó ta nên làm các bộ test để thử chương trình của mình.
Các bộ test nên đặt trong các file văn bản, bởi việc tạo một file văn bản rất nhanh và mỗi lần
chạy thử chỉ cần thay tên file dữ liệu vào là xong, không cần gõ lại bộ test từ bàn phím. Kinh
nghiệm làm các bộ test là:
Bắt đầu với một bộ test nhỏ, đơn giản, làm bằng tay cũng có được đáp số để so sánh với kết
quả chương trình chạy ra.
Tiếp theo vẫn là các bộ test nhỏ, nhưng chứa các giá trị đặc biệt hoặc tầm thường. Kinh
nghiệm cho thấy đây là những test dễ sai nhất.
Các bộ test phải đa dạng, tránh sự lặp đi lặp lại các bộ test tương tự.
Có một vài test lớn chỉ để kiểm tra tính chịu đựng của chương trình mà thôi. Kết quả có đúng
hay không thì trong đa số trường hợp, ta không thể kiểm chứng được với test này.
Lưu ý rằng chương trình chạy qua được hết các test không có nghĩa là chương trình đó đã
đúng. Bởi có thể ta chưa xây dựng được bộ test làm cho chương trình chạy sai. Vì vậy nếu có
thể, ta nên tìm cách chứng minh tính đúng đắn của thuật toán và chương trình, điều này
thường rất khó.
1.6. TỐI ƯU CHƯƠNG TRÌNH
Một chương trình đã chạy đúng không có nghĩa là việc lập trình đã xong, ta phải sửa đổi lại
một vài chi tiết để chương trình có thể chạy nhanh hơn, hiệu quả hơn. Thông thường, trước
khi kiểm thử thì ta nên đặt mục tiêu viết chương trình sao cho đơn giản, miễn sao chạy ra kết
quả đúng là được, sau đó khi tối ưu chương trình, ta xem lại những chỗ nào viết chưa tốt thì
tối ưu lại mã lệnh để chương trình ngắn hơn, chạy nhanh hơn. Không nên viết tới đâu tối ưu
mã đến đó, bởi chương trình có mã lệnh tối ưu thường phức tạp và khó kiểm soát.
Việc tối ưu chương trình nên dựa trên các tiêu chuẩn sau:
1.6.1. Tính tin cậy
Chương trình phải chạy đúng như dự định, mô tả đúng một giải thuật đúng. Thông thường khi
viết chương trình, ta luôn có thói quen kiểm tra tính đúng đắn của các bước mỗi khi có thể.
1.6.2. Tính uyển chuyển
Chương trình phải dễ sửa đổi. Bởi ít có chương trình nào viết ra đã hoàn hảo ngay được mà
vẫn cần phải sửa đổi lại. Chương trình viết dễ sửa đổi sẽ làm giảm bớt công sức của lập trình
viên khi phát triển chương trình.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 39
Lê Minh Hoàng
1.6.3. Tính trong sáng
Chương trình viết ra phải dễ đọc dễ hiểu, để sau một thời gian dài, khi đọc lại còn hiểu mình
làm cái gì?. Để nếu có điều kiện thì còn có thể sửa sai (nếu phát hiện lỗi mới), cải tiến hay
biến đổi để được chương trình giải quyết bài toán khác. Tính trong sáng của chương trình phụ
thuộc rất nhiều vào công cụ lập trình và phong cách lập trình.
1.6.4. Tính hữu hiệu
Chương trình phải chạy nhanh và ít tốn bộ nhớ, tức là tiết kiệm được cả về không gian và thời
gian. Để có một chương trình hữu hiệu, cần phải có giải thuật tốt và những tiểu xảo khi lập
trình. Tuy nhiên, việc áp dụng quá nhiều tiểu xảo có thể khiến chương trình trở nên rối rắm,
khó hiểu khi sửa đổi. Tiêu chuẩn hữu hiệu nên dừng lại ở mức chấp nhận được, không quan
trọng bằng ba tiêu chuẩn trên. Bởi phần cứng phát triển rất nhanh, yêu cầu hữu hiệu không
cần phải đặt ra quá nặng.
Từ những phân tích ở trên, chúng ta nhận thấy rằng việc làm ra một chương trình đòi hỏi rất
nhiều công đoạn và tiêu tốn khá nhiều công sức. Chỉ một công đoạn không hợp lý sẽ làm tăng
chi phí viết chương trình. Nghĩ ra cách giải quyết vấn đề đã khó, biến ý tưởng đó thành hiện
thực cũng không dễ chút nào.
Những cấu trúc dữ liệu và giải thuật đề cập tới trong chuyên đề này là những kiến thức rất phổ
thông, một người học lập trình không sớm thì muộn cũng phải biết tới. Chỉ hy vọng rằng khi
học xong chuyên đề này, qua những cấu trúc dữ liệu và giải thuật hết sức mẫu mực, chúng ta
rút ra được bài học kinh nghiệm: Đừng bao giờ viết chương trình khi mà chưa suy xét kỹ
về giải thuật và những dữ liệu cần thao tác, bởi như vậy ta dễ mắc phải hai sai lầm trầm
trọng: hoặc là sai về giải thuật, hoặc là giải thuật không thể triển khai nổi trên một cấu trúc dữ
liệu không phù hợp. Chỉ cần mắc một trong hai lỗi đó thôi thì nguy cơ sụp đổ toàn bộ chương
trình là hoàn toàn có thể, càng cố chữa càng bị rối, khả năng hầu như chắc chắn là phải làm lại
từ đầu(*).
(*) Tất nhiên, cẩn thận đến đâu thì cũng có xác suất rủi ro nhất định, ta hiểu được mức độ tai hại của hai lỗi này để hạn
chế nó càng nhiều càng tốt
40 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§2. PHÂN TÍCH THỜI GIAN THỰC HIỆN GIẢI THUẬT
2.1. GIỚI THIỆU
Với một bài toán không chỉ có một giải thuật. Chọn một giải thuật đưa tới kết quả nhanh nhất
là một đòi hỏi thực tế. Như vậy cần có một căn cứ nào đó để nói rằng giải thuật này nhanh
hơn giải thuật kia ?.
Thời gian thực hiện một giải thuật bằng chương trình máy tính phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố.
Một yếu tố cần chú ý nhất đó là kích thước của dữ liệu đưa vào. Dữ liệu càng lớn thì thời gian
xử lý càng chậm, chẳng hạn như thời gian sắp xếp một dãy số phải chịu ảnh hưởng của số
lượng các số thuộc dãy số đó. Nếu gọi n là kích thước dữ liệu đưa vào thì thời gian thực hiện
của một giải thuật có thể biểu diễn một cách tương đối như một hàm của n: T(n).
Phần cứng máy tính, ngôn ngữ viết chương trình và chương trình dịch ngôn ngữ ấy đều ảnh
hưởng tới thời gian thực hiện. Những yếu tố này không giống nhau trên các loại máy, vì vậy
không thể dựa vào chúng khi xác định T(n). Tức là T(n) không thể biểu diễn bằng đơn vị thời
gian giờ, phút, giây được. Tuy nhiên, không phải vì thế mà không thể so sánh được các giải
thuật về mặt tốc độ. Nếu như thời gian thực hiện một giải thuật là T1(n) = n2 và thời gian thực
hiện của một giải thuật khác là T2(n) = 100n thì khi n đủ lớn, thời gian thực hiện của giải thuật
T2 rõ ràng nhanh hơn giải thuật T1. Khi đó, nếu nói rằng thời gian thực hiện giải thuật tỉ lệ
thuận với n hay tỉ lệ thuận với n2 cũng cho ta một cách đánh giá tương đối về tốc độ thực hiện
của giải thuật đó khi n khá lớn. Cách đánh giá thời gian thực hiện giải thuật độc lập với máy
tính và các yếu tố liên quan tới máy tính như vậy sẽ dẫn tới khái niệm gọi là độ phức tạp tính
toán của giải thuật.
2.2. CÁC KÝ PHÁP ĐỂ ĐÁNH GIÁ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN
Cho một giải thuật thực hiện trên dữ liệu với kích thước n. Giả sử T(n) là thời gian thực hiện
một giải thuật đó, g(n) là một hàm xác định dương với mọi n. Khi đó ta nói độ phức tạp tính
toán của giải thuật là:
Θ(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c1, c2 và n0 sao cho c1.g(n) ≤ f(n) ≤ c2.g(n) với mọi n
≥ n0. Ký pháp này được gọi là ký pháp Θ lớn (big-theta notation). Trong ký pháp Θ lớn,
hàm g(.) được gọi là giới hạn chặt (asymptotically tight bound) của hàm T(.)
O(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho T(n) ≤ c.g(n) với mọi n ≥ n0. Ký
pháp này được gọi là ký pháp chữ O lớn (big-oh notation). Trong ký pháp chữ O lớn, hàm
g(.) được gọi là giới hạn trên (asymptotic upper bound) của hàm T(.)
Ω(g(n)) nếu tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho c.g(n) ≤ T(n) với mọi n ≥ n0. Ký
hiệu này gọi là ký pháp Ω lớn (big-omega notation). Trong ký pháp Ω lớn, hàm g(.) được
gọi là giới hạn dưới (asymptotic lower bound) của hàm T(.)
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 41
Lê Minh Hoàng
Hình 5 là biểu diễn đồ thị của ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn. Dễ thấy rằng T(n) = Θ(g(n))
nếu và chỉ nếu T(n) = O(g(n)) và T(n) = Ω(g(n)).
n n n
n0
c2.g(n)
T(n)
c1.g(n)
T(n)
c.g(n)
n0
T(n)
c.g(n)
n0
T(n)= Θ(g(n)) T(n)= Ο(g(n)) T(n)= Ω(g(n))
Hình 5: Ký pháp Θ lớn, Ο lớn và Ω lớn
Ta nói độ phức tạp tính toán của giải thuật là
o(g(n)) nếu với mọi hằng số dương c, tồn tại một hằng số dương n0 sao cho T(n) ≤ c.g(n)
với mọi n ≥ n0. Ký pháp này gọi là ký pháp chữ o nhỏ (little-oh notation).
ω(g(n)) nếu với mọi hằng số dương c, tồn tại một hằng số dương n0 sao cho c.g(n) ≤ T(n)
với mọi n ≥ n0. Ký pháp này gọi là ký pháp ω nhỏ (little-omega notation)
Ví dụ nếu T(n) = n2 + 1, thì:
T(n) = O(n2). Thật vậy, chọn c = 2 và n0 = 1. Rõ ràng với mọi n ≥ 1, ta có:
T(n)=n2+1≤ 2n2=2.g(n)
T(n) ≠ o(n2). Thật vậy, chọn c = 1. Rõ ràng không tồn tại n để: n2 +1≤ n2 , tức là không tồn
tại n0 thoả mãn định nghĩa của ký pháp chữ o nhỏ.
Lưu ý rằng không có ký pháp θ nhỏ
Một vài tính chất:
Tính bắc cầu (transitivity): Tất cả các ký pháp nêu trên đều có tính bắc cầu:
Nếu f(n) = Θ(g(n)) và g(n) = Θ(h(n)) thì f(n) = Θ(h(n)).
Nếu f(n) = O(g(n)) và g(n) = O(h(n)) thì f(n) = O(h(n)).
Nếu f(n) = Ω(g(n)) và g(n) = Ω(h(n)) thì f(n) = Ω(h(n)).
Nếu f(n) = o(g(n)) và g(n) = o(h(n)) thì f(n) = o(h(n)).
Nếu f(n) = ω(g(n)) và g(n) = ω(h(n)) thì f(n) = ω(h(n)).
Tính phản xạ (reflexivity): Chí có các ký pháp "lớn" mới có tính phản xạ:
f(n) = Θ(f(n)).
f(n) = O(f(n)).
f(n) = Ω(f(n)).
Tính đối xứng (symmetry): Chỉ có ký pháp Θ lớn có tính đối xứng:
42 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
f(n) = Θ(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = Θ(f(n)).
Tính hoá vị đối xứng (transpose symmetry):
f(n) = O(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = Ω(f(n)).
f(n) = o(g(n)) nếu và chỉ nếu g(n) = ω(f(n)).
Để dễ nhớ ta coi các ký pháp Ο, Ω, Θ, ο, ω lần lượt tương ứng với các phép so sánh ≤, ≥, =, <,
>. Từ đó suy ra các tính chất trên.
2.3. XÁC ĐỊNH ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA GIẢI THUẬT
Việc xác định độ phức tạp tính toán của một giải thuật bất kỳ có thể rất phức tạp. Tuy nhiên
độ phức tạp tính toán của một số giải thuật trong thực tế có thể tính bằng một số qui tắc đơn
giản.
2.3.1. Qui tắc bỏ hằng số
Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện T(n) = O(c1.f(n)) với c1 là một hằng số dương
thì có thể coi đoạn chương trình đó có độ phức tạp tính toán là O(f(n)).
Chứng minh:
T(n) = O(c1.f(n)) nên ∃c0 > 0 và ∃n0 > 0 để T(n) ≤ c0.c1.f(n) với ∀n ≥ n0. Đặt C = c0.c1 và
dùng định nghĩa, ta có T(n) = O(f(n)).
Qui tắc này cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω.
2.3.2. Quy tắc lấy max
Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện T(n) = O(f(n) + g(n)) thì có thể coi đoạn
chương trình đó có độ phức tạp tính toán O(max(f(n), g(n))).
Chứng minh
T(n) = O(f(n) + g(n)) nên ∃C > 0 và ∃n0 > 0 để T(n) ≤ C.f(n) + C.g(n), ∀n ≥ n0.
Vậy T(n) ≤ C.f(n) + C.g(n) ≤ 2C.max(f(n), g(n)) (∀n ≥ n0).
Từ định nghĩa suy ra T(n) = O(max(f(n), g(n))).
Quy tắc này cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω.
2.3.3. Quy tắc cộng
Nếu đoạn chương trình P1 có thời gian thực hiện T1(n) =O(f(n)) và đoạn chương trình P2 có
thời gian thực hiện là T2(n) = O(g(n)) thì thời gian thực hiện P1 rồi đến P2 tiếp theo sẽ là
T1(n) + T2(n) = O(f(n) + g(n))
Chứng minh:
T1(n) = O(f(n)) nên ∃ n1 > 0 và c1 > 0 để T1(n) ≤ c1.f(n) với ∀ n ≥ n1.
T2(n) = O(g(n)) nên ∃ n2 > 0 và c2 > 0 để T2(n) ≤ c2.g(n) với ∀ n ≥ n2.
Chọn n0 = max(n1, n2) và c = max(c1, c2) ta có:
Với ∀ n ≥ n0:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 43
Lê Minh Hoàng
T1(n) + T2(n) ≤ c1.f(n) + c2.g(n) ≤ c.f(n) + c.g(n) ≤ c.(f(n) + g(n))
Vậy T1(n) + T2(n) = O(f(n) + g(n)).
Quy tắc cộng cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω.
2.3.4. Quy tắc nhân
Nếu đoạn chương trình P có thời gian thực hiện là T(n) = O(f(n)). Khi đó, nếu thực hiện k(n)
lần đoạn chương trình P với k(n) = O(g(n)) thì độ phức tạp tính toán sẽ là O(g(n).f(n))
Chứng minh:
Thời gian thực hiện k(n) lần đoạn chương trình P sẽ là k(n)T(n). Theo định nghĩa:
∃ ck ≥ 0 và nk > 0 để k(n) ≤ ck(g(n)) với ∀ n ≥ nk
∃ cT ≥ 0 và nT > 0 để T(n) ≤ cT(f(n)) với ∀ n ≥ nT
Vậy với ∀ n ≥ max(nT, nk) ta có k(n).T(n) ≤ cT.ck(g(n).f(n))
Quy tắc nhân cũng đúng với các ký pháp Ω, Θ, ο và ω.
2.3.5. Định lý Master (Master Theorem)
Cho a ≥ 1 và b >1 là hai hằng số, f(n) là một hàm. T(n) là một hàm xác định trên tập các số tự
nhiên được định nghĩa như sau:
T(n) = aT(n/b) + f(n)
Ở đây n/b có thể hiểu là ⎣n/b⎦ hay ⎡n/b⎤. Khi đó:
Nếu f (n) = O(nlogb a−ε ) với hằng số ε>0, thì T(n) = Θ(nlogb a )
Nếu f (n) = Θ(nlogb a ) thì T(n) = Θ(nlogb a lg n)
Nếu f (n) = Ω(nlogb a+ε ) với hằng số ε>0 và a.f (n / b) ≤ c.f (n) với hằng số c < 1 và n đủ lớn
thì T(n) = Θ(f (n))
Định lý Master là một định lý quan trọng trong việc phân tích độ phức tạp tính toán của các
giải thuật lặp hay đệ quy. Tuy nhiên việc chứng minh định lý khá dài dòng, ta có thể tham
khảo trong các tài liệu khác.
2.3.6. Một số tính chất
Ta quan tâm chủ yếu tới các ký pháp "lớn". Rõ ràng ký pháp Θ là "chặt" hơn ký pháp O và Ω
theo nghĩa: Nếu độ phức tạp tính toán của giải thuật có thể viết là Θ(f(n)) thì cũng có thể viết
là O(f(n)) cũng như Ω(f(n)). Dưới đây là một số cách biểu diễn độ phức tạp tính toán qua ký
pháp Θ.
Nếu một thuật toán có thời gian thực hiện là P(n), trong đó P(n) là một đa thức bậc k thì độ
phức tạp tính toán của thuật toán đó có thể viết là Θ(nk).
44 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nếu một thuật toán có thời gian thực hiện là logaf(n). Với b là một số dương, ta nhận thấy
logaf(n) = logab.logbf(n). Tức là: Θ(logaf(n)) = Θ(logbf(n)). Vậy ta có thể nói rằng độ phức
tạp tính toán của thuật toán đó là Θ(log f(n)) mà không cần ghi cơ số của logarit.
Nếu một thuật toán có độ phức tạp là hằng số, tức là thời gian thực hiện không phụ thuộc
vào kích thước dữ liệu vào thì ta ký hiệu độ phức tạp tính toán của thuật toán đó là Θ(1).
Dưới đây là một số hàm số hay dùng để ký hiệu độ phức tạp tính toán và bảng giá trị của
chúng để tiện theo dõi sự tăng của hàm theo đối số n.
lgn n nlgn n2 n3 2n
0 1 0 1 1 2
1 2 2 4 8 4
2 4 8 16 64 16
3 8 24 64 512 256
4 16 64 256 4096 65536
5 32 160 1024 32768 2147483648
Ví dụ:
Thuật toán tính tổng các số từ 1 tới n:
Nếu viết theo sơ đồ như sau:
Input n;
S := 0;
for i := 1 to n do S := S + i;
Output S;
Các đoạn chương trình ở các dòng 1, 2 và 4 có độ phức tạp tính toán là Θ(1). Vòng lặp ở dòng
3 lặp n lần phép gán S := S + i, nên thời gian tính toán tỉ lệ thuận với n. Tức là độ phức tạp
tính toán là Θ(n). Dùng quy tắc cộng và quy tắc lấy max, ta suy ra độ phức tạp tính toán của
giải thuật trên là Θ(n).
Còn nếu viết theo sơ đồ như sau:
Input n;
S := n * (n - 1) div 2;
Output S;
Thì độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là Θ(1), thời gian tính toán không phụ thuộc vào
n.
2.3.7. Phép toán tích cực
Dựa vào những nhận xét đã nêu ở trên về các quy tắc khi đánh giá thời gian thực hiện giải
thuật, ta chú ý đặc biệt đến một phép toán mà ta gọi là phép toán tích cực trong một đoạn
chương trình. Đó là một phép toán trong một đoạn chương trình mà số lần thực hiện
không ít hơn các phép toán khác.
Xét hai đoạn chương trình tính ex bằng công thức gần đúng:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 45
Lê Minh Hoàng
2 n n i
x
i 0
e 1 x x ... x x
1! 2! n! = i!
≈ + + + + = Σ với x và n cho trước.
{Chương trình 1: Tính riêng từng hạng tử rồi cộng lại}
program Exp1;
var
i, j, n: Integer;
x, p, S: Real;
begin
Write('x, n = '); ReadLn(x, n);
S := 0;
for i := 0 to n do
begin
p := 1;
for j := 1 to i do p := p * x / j;
S := S + p;
end;
WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4);
end.
{Tính hạng tử sau qua hạng tử trước}
program Exp2;
var
i, n: Integer;
x, p, S: Real;
begin
Write('x, n = '); ReadLn(x, n);
S := 1; p := 1;
for i := 1 to n do
begin
p := p * x / i;
S := S + p;
end;
WriteLn('exp(', x:1:4, ') = ', S:1:4);
end.
Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là:
p := p * x / j;
Số lần thực hiện phép toán này là:
0 + 1 + 2 + ... + n = n(n - 1)/2 lần.
Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là Θ(n2)
Ta có thể coi phép toán tích cực ở đây là:
p := p * x / i;
Số lần thực hiện phép toán này là n.
Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là Θ(n).
2.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN VỚI TÌNH TRẠNG DỮ LIỆU VÀO
Có nhiều trường hợp, thời gian thực hiện giải thuật không phải chỉ phụ thuộc vào kích thước
dữ liệu mà còn phụ thuộc vào tình trạng của dữ liệu đó nữa. Chẳng hạn thời gian sắp xếp một
dãy số theo thứ tự tăng dần mà dãy đưa vào chưa có thứ tự sẽ khác với thời gian sắp xếp một
dãy số đã sắp xếp rồi hoặc đã sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Lúc này, khi phân tích thời gian
thực hiện giải thuật ta sẽ phải xét tới trường hợp tốt nhất, trường hợp trung bình và trường
hợp xấu nhất.
Phân tích thời gian thực hiện giải thuật trong trường hợp xấu nhất (worst-case analysis):
Với một kích thước dữ liệu n, tìm T(n) là thời gian lớn nhất khi thực hiện giải thuật trên
mọi bộ dữ liệu kích thước n và phân tích thời gian thực hiện giải thuật dựa trên hàm T(n).
Phân tích thời gian thực hiện giải thuật trong trường hợp tốt nhất (best-case analysis): Với
một kích thước dữ liệu n, tìm T(n) là thời gian ít nhất khi thực hiện giải thuật trên mọi bộ
dữ liệu kích thước n và phân tích thời gian thực hiện giải thuật dựa trên hàm T(n).
Phân tích thời gian trung bình thực hiện giải thuật (average-case analysis): Giả sử rằng dữ
liệu vào tuân theo một phân phối xác suất nào đó (chẳng hạn phân bố đều nghĩa là khả
năng chọn mỗi bộ dữ liệu vào là như nhau) và tính toán giá trị kỳ vọng (trung bình) của
thời gian chạy cho mỗi kích thước dữ liệu n (T(n)), sau đó phân tích thời gian thực hiện
giải thuật dựa trên hàm T(n).
Khi khó khăn trong việc xác định độ phức tạp tính toán trung bình (bởi việc xác định T(n)
trung bình thường phải dùng tới những công cụ toán phức tạp), người ta thường chỉ đánh giá
độ phức tạp tính toán trong trường hợp xấu nhất.
46 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Không nên lẫn lộn các cách phân tích trong trường hợp xấu nhất, trung bình, và tốt nhất với
các ký pháp biểu diễn độ phức tạp tính toán, đây là hai khái niệm hoàn toàn phân biệt.
Trên phương diện lý thuyết, đánh giá bằng ký pháp Θ(.) là tốt nhất, tuy vậy việc đánh giá
bằng ký pháp Θ(.) đòi hỏi phải đánh giá bằng cả ký pháp O(.) lẫn Ω(.). Dẫn tới việc phân tích
khá phức tạp, gần như phải biểu diễn chính xác thời gian thực hiện giải thuật qua các hàm giải
tích. Vì vậy trong những thuật toán về sau, phần lớn tôi sẽ dùng ký pháp T(n) = O(f(n)) với
f(n) là hàm tăng chậm nhất có thể (nằm trong tầm hiểu biết của mình).
2.5. CHI PHÍ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN
Khái niệm độ phức tạp tính toán đặt ra không chỉ dùng để đánh giá chi phí thực hiện một giải
thuật về mặt thời gian mà là để đánh giá chi phí thực hiện giải thuật nói chung, bao gồm cả
chi phí về không gian (lượng bố nhớ cần sử dụng). Tuy nhiên ở trên ta chỉ đưa định nghĩa về
độ phức tạp tính toán dựa trên chi phí về thời gian cho dễ trình bày. Việc đánh giá độ phức tạp
tính toán theo các tiêu chí khác cũng tương tự nếu ta biểu diễn được mức chi phí theo một
hàm T(.) của kích thước dữ liệu vào. Nếu phát biểu rằng độ phức tạp tính toán của một giải
thuật là Θ(n2) về thời gian và Θ(n) về bộ nhớ cũng không có gì sai về mặt ngữ nghĩa cả.
Thông thường,
Nếu ta đánh giá được độ phức tạp tính toán của một giải thuật qua ký pháp Θ, có thể coi
phép đánh giá này là đủ chặt và không cần đánh giá qua những ký pháp khác nữa.
Nếu không:
Để nhấn mạnh đến tính "tốt" của một giải thuật, các ký pháp O, o thường được sử dụng.
Nếu đánh giá được qua O thì không cần đánh giá qua o. Ý nói: Chi phí thực hiện thuật
toán tối đa là..., ít hơn...
Để đề cập đến tính "tồi" của một giải thuật, các ký pháp Ω, ω thường được sử dụng.
Nếu đánh giá được qua Ω thì không cần đánh giá qua ω. Ý nói: Chi phí thực hiện thuật
toán tối thiểu là..., cao hơn ...
Bài tập
Bài 1
Có 16 giải thuật với chi phí lần lượt là g1(.), g2(.), ..., g16(.) được liệt kê dưới đây
2100100 , ( 2)lg n , n2 , n!, 3n ,
n
k 1
k
= Σ,
lg* n
,
lg(n!) ,
1, lg*(lg n) ,
ln n
,
nlg(lg n) ,
(
lg n)lg n
,
2n ,
n lgn ,
n
k 1
1
k =
Σ
Ở đây n là kích thước dữ liệu vào.
(Ta dùng ký hiệu lgx chỉ logarithm nhị phân (cơ số 2) của x chứ không phải là logarithm thập
phân theo hệ thống ký hiệu của Nga. Hàm lg*x cho giá trị bằng số lần lấy logarithm nhị phân
để thu được giá trị ≤ 1 từ số x. Ví dụ: lg*2 = 1, lg*4 = 2, lg*16 = 3, lg*65536 = 4...)
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 47
Lê Minh Hoàng
Hãy xếp lại các giải thuật theo chiều tăng của độ phức tạp tính toán. Có nghĩa là tìm một thứ
tự gi[1], gi[2]..., gi[16] sao cho gi[1] = O(gi[2]), gi[2] = O(gi[3]), ..., gi[15] = O(gi[16]). Chỉ rõ các giải
thuật nào là "tương đương" về độ phức tạp tính toán theo nghĩa gi[j]=Θ(gi[j+1]).
Đáp án:
1, 2100100
lg* n , lg* (lg n)
ln n ,
n
k 1
1
k =
Σ
( 2)lg n
n lgn , lg(n!)
n2 ,
n
k 1
k
= Σ
(lg n)lg n , nlg(lg n)
2n
3n
n!
Bài 2
Xác định độ phức tạp tính toán của những giải thuật sau bằng ký pháp Θ:
a) Đoạn chương trình tính tổng hai đa thức:
P(x) = amxm + am-1xm-1 + ... + a1x + a0 và Q(x) = bnxn + an-1xn-1 + ... + b1x + b0
Để được đa thức
R(x) = cpxp + cp-1xp-1 + ... + c1x + c0
if m < n then p := m else p := n; {p = min(m, n)}
for i := 0 to p do c[i] := a[i] + b[i];
if p < m then
for i := p + 1 to m do c[i] := a[i]
else
for i := p + 1 to n do c[i] := b[i];
while (p > 0) and (c[p] = 0) do p := p - 1;
b) Đoạn chương trình tính tích hai đa thức:
P(x) = amxm + am-1xm-1 + ... + a1x + a0 và Q(x) = bnxn + an-1xn-1 + ... + b1x + b0
Để được đa thức
R(x) = cpxp + cp-1xp-1 + ... + c1x + c0
p := m + n;
for i := 0 to p do c[i] := 0;
for i := 0 to m do
for j := 0 to n do
48 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
c[i + j] := c[i + j] + a[i] * b[j];
Đáp án
a)Θ(max(m, n)); b) Θ(m.n)
Bài 3
Chỉ ra rằng cách nói "Độ phức tạp tính toán của giải thuật A tối thiểu phải là O(n2)" là không
thực sự chính xác.
(ký pháp O không liên quan gì đến chuyện đánh giá "tối thiểu" cả).
Bài 4
Giải thích tại sao không có ký pháp θ(f(n)) để chỉ những hàm vừa là o(f(n)) vừa là ω(f(n)).
(Vì không có hàm nào vừa là o(f(n)) vừa là ω(f(n)))
Bài 5
Chứng minh rằng
n! = o(nn)
n! = ω(2n)
lg(n!) = Θ(nlgn)
Hướng dẫn: Dùng công thức xấp xỉ của Stirling:
n n! 2 n n 1 1
e n
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = π ⎜ ⎟ ⎜ +Θ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
Bài 5
Chỉ ra chỗ sai trong chứng minh sau
Giả sử một giải thuật có thời gian thực hiện T(n) cho bởi
1, if n 1
T(n)
2.T( n/2 )+n, if n>1
≤ ⎧⎪
= ⎨
⎩⎪ ⎡⎢ ⎤⎥
Khi đó T(n) là Ω(nlgn) và T(n) cũng là O(n)!!!
Chứng minh
T(n) = Ω(nlgn). Thật vậy, ta hoàn toàn có thể chọn một số dương c đủ nhỏ để T(n) ≥ c.n.lgn
với ∀ n ≤ 3 (chẳng hạn chọn c = 0.1). Ta sẽ chứng minh T(n) ≥ c.n.lgn cũng đúng với n > 3
bằng phương pháp quy nạp: nếu T(⎡n/2⎤) ≥ c.⎡n/2⎤.lg⎡n/2⎤ thì T(n) ≥ c.n.lgn.
T(n) = 2.T( ⎡n/2⎤) + n
≥ 2.c. ⎡n/2⎤.lg(⎡n/2⎤) + n
≥ 2.c.(n/2).lg(n/2) + n
= c.n.lg(n/2) + n
= c.n.lgn - c.n.lg2 + n
= c.n.lgn + (1-c).n
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 49
Lê Minh Hoàng
≥ c.n.lgn (Với cách chọn hằng số c ≤ 1)
T(n) = O(n). Thật vậy, ta lại có thể chọn một số dương c đủ lớn để T(n) ≤ c.n với ∀n ≤ 3. Từ
đó:
T(n) = 2.T( ⎡n/2⎤) + n
≤ 2.c. ⎡n/2⎤ + n
≤ c.(n + 1) + n (= nhị thức bậc nhất của n)
= O(n)
Ta được một kết quả "thú vị": Từ nlgn = O(T(n)) và T(n) = O(n), theo luật bắc cầu ta suy ra:
nlgn = O(n) !!!wow!!!
50 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§3. ĐỆ QUY VÀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY
3.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐỆ QUY
Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tượng khác
cùng dạng với chính nó bằng quy nạp.
Ví dụ: Đặt hai chiếc gương cầu đối diện nhau. Trong chiếc gương thứ nhất chứa hình chiếc
gương thứ hai. Chiếc gương thứ hai lại chứa hình chiếc gương thứ nhất nên tất nhiên nó chứa
lại hình ảnh của chính nó trong chiếc gương thứ nhất... Ở một góc nhìn hợp lý, ta có thể thấy
một dãy ảnh vô hạn của cả hai chiếc gương.
Một ví dụ khác là nếu người ta phát hình trực tiếp phát thanh viên ngồi bên máy vô tuyến
truyền hình, trên màn hình của máy này lại có chính hình ảnh của phát thanh viên đó ngồi bên
máy vô tuyến truyền hình và cứ như thế...
Trong toán học, ta cũng hay gặp các định nghĩa đệ quy:
Giai thừa của n (n!): Nếu n = 0 thì n! = 1; nếu n > 0 thì n! = n.(n-1)!
Ký hiệu số phần tử của một tập hợp hữu hạn S là |S|: Nếu S = ∅ thì |S| = 0; Nếu S ≠ ∅ thì
tất có một phần tử x ∈ S, khi đó |S| = |S\{x}| + 1. Đây là phương pháp định nghĩa tập các
số tự nhiên.
3.2. GIẢI THUẬT ĐỆ QUY
Nếu lời giải của một bài toán P được thực hiện bằng lời giải của bài toán P' có dạng giống như
P thì đó là một lời giải đệ quy. Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ
quy. Mới nghe thì có vẻ hơi lạ nhưng điểm mấu chốt cần lưu ý là: P' tuy có dạng giống như P,
nhưng theo một nghĩa nào đó, nó phải "nhỏ" hơn P, dễ giải hơn P và việc giải nó không cần
dùng đến P.
Trong Pascal, ta đã thấy nhiều ví dụ của các hàm và thủ tục có chứa lời gọi đệ quy tới chính
nó, bây giờ, ta tóm tắt lại các phép đệ quy trực tiếp và tương hỗ được viết như thế nào:
Định nghĩa một hàm đệ quy hay thủ tục đệ quy gồm hai phần:
Phần neo (anchor): Phần này được thực hiện khi mà công việc quá đơn giản, có thể giải
trực tiếp chứ không cần phải nhờ đến một bài toán con nào cả.
Phần đệ quy: Trong trường hợp bài toán chưa thể giải được bằng phần neo, ta xác định
những bài toán con và gọi đệ quy giải những bài toán con đó. Khi đã có lời giải (đáp số)
của những bài toán con rồi thì phối hợp chúng lại để giải bài toán đang quan tâm.
Phần đệ quy thể hiện tính "quy nạp" của lời giải. Phần neo cũng rất quan trọng bởi nó quyết
định tới tính hữu hạn dừng của lời giải.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 51
Lê Minh Hoàng
3.3. VÍ DỤ VỀ GIẢI THUẬT ĐỆ QUY
3.3.1. Hàm tính giai thừa
function Factorial(n: Integer): Integer; {Nhận vào số tự nhiên n và trả về n!}
begin
if n = 0 then Factorial := 1 {Phần neo}
else Factorial := n * Factorial(n - 1); {Phần đệ quy}
end;
Ở đây, phần neo định nghĩa kết quả hàm tại n = 0, còn phần đệ quy (ứng với n > 0) sẽ định
nghĩa kết quả hàm qua giá trị của n và giai thừa của n - 1.
Ví dụ: Dùng hàm này để tính 3!, trước hết nó phải đi tính 2! bởi 3! được tính bằng tích của 3 *
2!. Tương tự để tính 2!, nó lại đi tính 1! bởi 2! được tính bằng 2 * 1!. Áp dụng bước quy nạp
này thêm một lần nữa, 1! = 1 * 0!, và ta đạt tới trường hợp của phần neo, đến đây từ giá trị 1
của 0!, nó tính được 1! = 1*1 = 1; từ giá trị của 1! nó tính được 2!; từ giá trị của 2! nó tính
được 3!; cuối cùng cho kết quả là 6:
3! = 3 * 2!
↓
2! = 2 * 1!
↓
1! = 1 * 0!
↓
0! = 1
3.3.2. Dãy số Fibonacci
Dãy số Fibonacci bắt nguồn từ bài toán cổ về việc sinh sản của các cặp thỏ. Bài toán đặt ra
như sau:
Các con thỏ không bao giờ chết
Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ mới sẽ sinh ra một cặp thỏ con (một đực, một cái)
Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại sinh được một cặp con mới
Giả sử từ đầu tháng 1 có một cặp mới ra đời thì đến giữa tháng thứ n sẽ có bao nhiêu cặp.
Ví dụ, n = 5, ta thấy:
Giữa tháng thứ 1: 1 cặp (ab) (cặp ban đầu)
Giữa tháng thứ 2: 1 cặp (ab) (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ)
Giữa tháng thứ 3: 2 cặp (AB)(cd) (cặp ban đầu đẻ ra thêm 1 cặp con)
Giữa tháng thứ 4: 3 cặp (AB)(cd)(ef) (cặp ban đầu tiếp tục đẻ)
Giữa tháng thứ 5: 5 cặp (AB)(CD)(ef)(gh)(ik) (cả cặp (AB) và (CD) cùng đẻ)
Bây giờ, ta xét tới việc tính số cặp thỏ ở tháng thứ n: F(n)
Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ n - 1 đều sinh ra một cặp thỏ con thì số cặp thỏ ở tháng thứ n sẽ
là:
F(n) = 2 * F(n - 1)
52 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nhưng vấn đề không phải như vậy, trong các cặp thỏ ở tháng thứ n - 1, chỉ có những cặp thỏ
đã có ở tháng thứ n - 2 mới sinh con ở tháng thứ n được thôi. Do đó F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
(= số cũ + số sinh ra). Vậy có thể tính được F(n) theo công thức sau:
F(n) = 1 nếu n ≤ 2
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) nếu n > 2
function F(n: Integer): Integer; {Tính số cặp thỏ ở tháng thứ n}
begin
if n ≤ 2 then F := 1 {Phần neo}
else F := F(n - 1) + F(n - 2); {Phần đệ quy}
end;
3.3.3. Giả thuyết của Collatz
Collatz đưa ra giả thuyết rằng: với một số nguyên dương X, nếu X chẵn thì ta gán X := X div
2; nếu X lẻ thì ta gán X := X * 3 + 1. Thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1.
Ví du: X = 10, các bước tiến hành như sau:
1. X = 10 (chẵn) ⇒ X := 10 div 2; (5)
2. X = 5 (lẻ) ⇒ X := 5 * 3 + 1; (16)
3. X = 16 (chẵn) ⇒ X := 16 div 2; (8)
4. X = 8 (chẵn) ⇒ X := 8 div 2 (4)
5. X = 4 (chẵn) ⇒ X := 4 div 2 (2)
6. X = 2 (chẵn) ⇒ X := 2 div 2 (1)
Cứ cho giả thuyết Collatz là đúng đắn, vấn đề đặt ra là: Cho trước số 1 cùng với hai phép toán
* 2 và div 3, hãy sử dụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1 thành một giá trị
nguyên dương X cho trước.
Ví dụ: X = 10 ta có 1 * 2 * 2 * 2 * 2 div 3 * 2 = 10.
Dễ thấy rằng lời giải của bài toán gần như thứ tự ngược của phép biến đổi Collatz: Để biểu
diễn số X > 1 bằng một biểu thức bắt đầu bằng số 1 và hai phép toán "* 2", "div 3". Ta chia
hai trường hợp:
Nếu X chẵn, thì ta tìm cách biểu diễn số X div 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối
Nếu X lẻ, thì ta tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán div 3 vào cuối
procedure Solve(X: Integer); {In ra cách biểu diễn số X}
begin
if X = 1 then Write(X) {Phần neo}
else {Phần đệ quy}
if X mod 2 = 0 then {X chẵn}
begin
Solve(X div 2); {Tìm cách biểu diễn số X div 2}
Write(' * 2'); {Sau đó viết thêm phép toán * 2}
end
else {X lẻ}
begin
Solve(X * 3 + 1); {Tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1}
Write(' div 3'); {Sau đó viết thêm phép toán div 3}
end;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 53
Lê Minh Hoàng
end;
Trên đây là cách viết đệ quy trực tiếp, còn có một cách viết đệ quy tương hỗ như sau:
procedure Solve(X: Integer); forward; {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X: Khai báo trước, đặc tả sau}
procedure SolveOdd(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X > 1 trong trường hợp X lẻ}
begin
Solve(X * 3 + 1);
Write(' div 3');
end;
procedure SolveEven(X: Integer); {Thủ tục tìm cách biểu diễn số X trong trường hợp X chẵn}
begin
Solve(X div 2);
Write(' * 2');
end;
procedure Solve(X: Integer); {Phần đặc tả của thủ tục Solve đã khai báo trước ở trên}
begin
if X = 1 then Write(X)
else
if X mod 2 = 1 then SolveOdd(X)
else SolveEven(X);
end;
Trong cả hai cách viết, để tìm biểu diễn số X theo yêu cầu chỉ cần gọi Solve(X) là xong. Tuy
nhiên trong cách viết đệ quy trực tiếp, thủ tục Solve có lời gọi tới chính nó, còn trong cách
viết đệ quy tương hỗ, thủ tục Solve chứa lời gọi tới thủ tục SolveOdd và SolveEven, hai thủ
tục này lại chứa trong nó lời gọi ngược về thủ tục Solve.
Đối với những bài toán nêu trên, việc thiết kế các giải thuật đệ quy tương ứng khá thuận lợi vì
cả hai đều thuộc dạng tính giá trị hàm mà định nghĩa quy nạp của hàm đó được xác định dễ
dàng.
Nhưng không phải lúc nào phép giải đệ quy cũng có thể nhìn nhận và thiết kế dễ dàng như
vậy. Thế thì vấn đề gì cần lưu tâm trong phép giải đệ quy?. Có thể tìm thấy câu trả lời qua
việc giải đáp các câu hỏi sau:
Có thể định nghĩa được bài toán dưới dạng phối hợp của những bài toán cùng loại nhưng
nhỏ hơn hay không ? Khái niệm "nhỏ hơn" là thế nào ?
Trường hợp đặc biệt nào của bài toán sẽ được coi là trường hợp tầm thường và có thể giải
ngay được để đưa vào phần neo của phép giải đệ quy
3.3.4. Bài toán Tháp Hà Nội
Đây là một bài toán mang tính chất một trò chơi, tương truyền rằng tại ngôi đền Benares có ba
cái cọc kim cương. Khi khai sinh ra thế giới, thượng đế đặt n cái đĩa bằng vàng chồng lên
nhau theo thứ tự giảm dần của đường kính tính từ dưới lên, đĩa to nhất được đặt trên một
chiếc cọc.
54 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
1 2 3
Hình 6: Tháp Hà Nội
Các nhà sư lần lượt chuyển các đĩa sang cọc khác theo luật:
Khi di chuyển một đĩa, phải đặt nó vào một trong ba cọc đã cho
Mỗi lần chỉ có thể chuyển một đĩa và phải là đĩa ở trên cùng
Tại một vị trí, đĩa nào mới chuyển đến sẽ phải đặt lên trên cùng
Đĩa lớn hơn không bao giờ được phép đặt lên trên đĩa nhỏ hơn (hay nói cách khác: một đĩa
chỉ được đặt trên cọc hoặc đặt trên một đĩa lớn hơn)
Ngày tận thế sẽ đến khi toàn bộ chồng đĩa được chuyển sang một cọc khác.
Trong trường hợp có 2 đĩa, cách làm có thể mô tả như sau:
Chuyển đĩa nhỏ sang cọc 3, đĩa lớn sang cọc 2 rồi chuyển đĩa nhỏ từ cọc 3 sang cọc 2.
Những người mới bắt đầu có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng khi số đĩa là ít, nhưng
họ sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi số các đĩa nhiều hơn. Tuy nhiên, với tư duy quy nạp toán học
và một máy tính thì công việc trở nên khá dễ dàng:
Có n đĩa.
Nếu n = 1 thì ta chuyển đĩa duy nhất đó từ cọc 1 sang cọc 2 là xong.
Giả sử rằng ta có phương pháp chuyển được n - 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, thì cách chuyển
n - 1 đĩa từ cọc x sang cọc y (1 ≤ x, y ≤ 3) cũng tương tự.
Giả sử ràng ta có phương pháp chuyển được n - 1 đĩa giữa hai cọc bất kỳ. Để chuyển n đĩa
từ cọc x sang cọc y, ta gọi cọc còn lại là z (=6 - x - y). Coi đĩa to nhất là ... cọc, chuyển n -
1 đĩa còn lại từ cọc x sang cọc z, sau đó chuyển đĩa to nhất đó sang cọc y và cuối cùng lại
coi đĩa to nhất đó là cọc, chuyển n - 1 đĩa còn lại đang ở cọc z sang cọc y chồng lên đĩa to
nhất.
Cách làm đó được thể hiện trong thủ tục đệ quy dưới đây:
procedure Move(n, x, y: Integer); {Thủ tục chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y}
begin
if n = 1 then WriteLn('Chuyển 1 đĩa từ ', x, ' sang ', y)
else {Để chuyển n > 1 đĩa từ cọc x sang cọc y, ta chia làm 3 công đoạn}
begin
Move(n - 1, x, 6 - x - y); {Chuyển n - 1 đĩa từ cọc x sang cọc trung gian}
Move(1, x, y); {Chuyển đĩa to nhất từ x sang y}
Move(n - 1, 6 - x - y, y); {Chuyển n - 1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc y}
end;
end;
Chương trình chính rất đơn giản, chỉ gồm có 2 việc: Nhập vào số n và gọi Move(n, 1, 2).
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 55
Lê Minh Hoàng
3.4. HIỆU LỰC CỦA ĐỆ QUY
Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy đệ quy là một công cụ mạnh để giải các bài toán. Có những
bài toán mà bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu.
Chẳng hạn bài toán tính giai thừa hay tính số Fibonacci. Tuy vậy, đệ quy vẫn có vai trò xứng
đáng của nó, có nhiều bài toán mà việc thiết kế giải thuật đệ quy đơn giản hơn nhiều so với lời
giải lặp và trong một số trường hợp chương trình đệ quy hoạt động nhanh hơn chương trình
viết không có đệ quy. Giải thuật cho bài Tháp Hà Nội và thuật toán sắp xếp kiểu phân đoạn
(QuickSort) mà ta sẽ nói tới trong các bài sau là những ví dụ.
Có một mối quan hệ khăng khít giữa đệ quy và quy nạp toán học. Cách giải đệ quy cho một
bài toán dựa trên việc định rõ lời giải cho trường hợp suy biến (neo) rồi thiết kế làm sao để lời
giải của bài toán được suy ra từ lời giải của bài toán nhỏ hơn cùng loại như thế. Tương tự như
vậy, quy nạp toán học chứng minh một tính chất nào đó ứng với số tự nhiên cũng bằng cách
chứng minh tính chất đó đúng với một số trường hợp cơ sở (thường người ta chứng minh nó
đúng với 0 hay đúng với 1) và sau đó chứng minh tính chất đó sẽ đúng với n bất kỳ nếu nó đã
đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n.
Do đó ta không lấy làm ngạc nhiên khi thấy quy nạp toán học được dùng để chứng minh các
tính chất có liên quan tới giải thuật đệ quy. Chẳng hạn: Chứng minh số phép chuyển đĩa để
giải bài toán Tháp Hà Nội với n đĩa là 2n-1:
Rõ ràng là tính chất này đúng với n = 1, bởi ta cần 21 - 1 = 1 lần chuyển đĩa để thực hiện yêu
cầu
Với n > 1; Giả sử rằng để chuyển n - 1 đĩa giữa hai cọc ta cần 2n-1 - 1 phép chuyển đĩa, khi đó
để chuyển n đĩa từ cọc x sang cọc y, nhìn vào giải thuật đệ quy ta có thể thấy rằng trong
trường hợp này nó cần (2n-1 - 1) + 1 + (2n-1 - 1) = 2n - 1 phép chuyển đĩa. Tính chất được
chứng minh đúng với n
Vậy thì công thức này sẽ đúng với mọi n.
Thật đáng tiếc nếu như chúng ta phải lập trình với một công cụ không cho phép đệ quy,
nhưng như vậy không có nghĩa là ta bó tay trước một bài toán mang tính đệ quy. Mọi giải
thuật đệ quy đều có cách thay thế bằng một giải thuật không đệ quy (khử đệ quy), có thể nói
được như vậy bởi tất cả các chương trình con đệ quy sẽ đều được trình dịch chuyển thành
những mã lệnh không đệ quy trước khi giao cho máy tính thực hiện.
Việc tìm hiểu cách khử đệ quy một cách "máy móc" như các chương trình dịch thì chỉ cần
hiểu rõ cơ chế xếp chồng của các thủ tục trong một dây chuyền gọi đệ quy là có thể làm được.
Nhưng muốn khử đệ quy một cách tinh tế thì phải tuỳ thuộc vào từng bài toán mà khử đệ quy
cho khéo. Không phải tìm đâu xa, những kỹ thuật giải công thức truy hồi bằng quy hoạch
động là ví dụ cho thấy tính nghệ thuật trong những cách tiếp cận bài toán mang bản chất đệ
quy để tìm ra một giải thuật không đệ quy đầy hiệu quả.
Bài tập
56 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Bài 1
Viết một hàm đệ quy tính ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a, b không đồng thời
bằng 0, chỉ rõ đâu là phần neo, đâu là phần đệ quy.
Bài 2
Viết một hàm đệ quy tính
n
k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
theo công thức truy hồi sau:
n n
1
0 n
n n 1 n 1;
k:0<k<n
k k 1 k
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎨
⎪⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎪⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ∀ ⎩⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠
(Ở đây tôi dùng ký hiệu
n
k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
thay cho kn
C thuộc hệ thống ký hiệu của Nga)
Bài 3
Nêu rõ các bước thực hiện của giải thuật cho bài Tháp Hà Nội trong trường hợp n = 3.
Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội không đệ quy
Lời giải:
Có nhiều cách giải, ở đây tôi viết một cách "lạ" nhất với mục đích giải trí, các bạn tự tìm hiểu
tại sao nó hoạt động đúng:
program HanoiTower;
const
max = 30;
var
Stack: array[1..3, 0..max] of Integer;
nd: array[1..3] of Integer;
RotatedList: array[0..2, 1..2] of Integer;
n: Integer;
i: LongInt;
procedure Init;
var
i: Integer;
begin
Stack[1, 0] := n + 1; Stack[2, 0] := n + 1; Stack[3, 0] := n + 1;
for i := 1 to n do Stack[1, i] := n + 1 - i;
nd[1] := n; nd[2] := 0; nd[3] := 0;
if Odd(n) then
begin
RotatedList[0][1] := 1; RotatedList[0][2] := 2;
RotatedList[1][1] := 1; RotatedList[1][2] := 3;
RotatedList[2][1] := 2; RotatedList[2][2] := 3;
end
else
begin
RotatedList[0][1] := 1; RotatedList[0][2] := 3;
RotatedList[1][1] := 1; RotatedList[1][2] := 2;
RotatedList[2][1] := 2; RotatedList[2][2] := 3;
end;
end;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 57
Lê Minh Hoàng
procedure DisplayStatus;
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to 3 do
Writeln('Peg ', i, ': ', nd[i], ' disks');
end;
procedure MoveDisk(x, y: Integer);
begin
if Stack[x][nd[x]] < Stack[y][nd[y]] then
begin
Writeln('Move one disk from ', x, ' to ', y);
Stack[y][nd[y] + 1] := Stack[x][nd[x]];
Inc(nd[y]);
Dec(nd[x]);
end
else
begin
Writeln('Move one disk from ', y, ' to ', x);
Stack[x][nd[x] + 1] := Stack[y][nd[y]];
Inc(nd[x]);
Dec(nd[y]);
end;
end;
begin
Write('n = '); Readln(n);
Init;
DisplayStatus;
for i := 1 to 1 shl n - 1 do
MoveDisk(RotatedList[(i - 1) mod 3][1], RotatedList[(i - 1) mod 3][2]);
DisplayStatus;
end.
58 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§4. CẤU TRÚC DỮ LIỆU BIỂU DIỄN DANH SÁCH
4.1. KHÁI NIỆM DANH SÁCH
Danh sách là một tập sắp thứ tự các phần tử cùng một kiểu. Đối với danh sách, người ta có
một số thao tác: Tìm một phần tử trong danh sách, chèn một phần tử vào danh sách, xoá một
phần tử khỏi danh sách, sắp xếp lại các phần tử trong danh sách theo một trật tự nào đó v.v...
4.2. BIỂU DIỄN DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH
Việc cài đặt một danh sách trong máy tính tức là tìm một cấu trúc dữ liệu cụ thể mà máy tính
hiểu được để lưu các phần tử của danh sách đồng thời viết các đoạn chương trình con mô tả
các thao tác cần thiết đối với danh sách.
4.2.1. Cài đặt bằng mảng một chiều
Khi cài đặt danh sách bằng một mảng, thì có một biến nguyên n lưu số phần tử hiện có trong
danh sách. Nếu mảng được đánh số bắt đầu từ 1 thì các phần tử trong danh sách được cất giữ
trong mảng bằng các phần tử được đánh số từ 1 tới n.
Chèn phần tử vào mảng:
Mảng ban đầu:
A B C D E F G H I J K L
p
Nếu muốn chèn một phần tử V vào mảng tại vị trí p, ta phải:
Dồn tất cả các phần tử từ vị trí p tới tới vị trí n về sau một vị trí:
A B C D E F
p
G H I J K L
Đặt giá trị V vào vị trí p:
A B C D E F
p
V G H I J K L
Tăng n lên 1
Xoá phần tử khỏi mảng
Mảng ban đầu:
A B C D E F G H I J K L
p
Muốn xoá phần tử thứ p của mảng mà vẫn giữ nguyên thứ tự các phần tử còn lại, ta phải:
Dồn tất cả các phần tử từ vị trí p + 1 tới vị trí n lên trước một vị trí:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 59
Lê Minh Hoàng
A B C D E F H I J K L
p
Giảm n đi 1
A B C D E F H I J K L
p
Trong trường hợp cần xóa một phần tử mà không cần duy trì thứ tự của các phần tử khác, ta
chỉ cần đảo giá trị của phần tử cần xóa cho phần tử cuối cùng rồi giảm số phần tử của mảng (n)
đi 1.
4.2.2. Cài đặt bằng danh sách nối đơn
Danh sách nối đơn gồm các nút được nối với nhau theo một chiều. Mỗi nút là một bản ghi
(record) gồm hai trường:
Trường thứ nhất chứa giá trị lưu trong nút đó
Trường thứ hai chứa liên kết (con trỏ) tới nút kế tiếp, tức là chứa một thông tin đủ để biết
nút kế tiếp nút đó trong danh sách là nút nào, trong trường hợp là nút cuối cùng (không có
nút kế tiếp), trường liên kết này được gán một giá trị đặc biệt.
Data Giá trị
Liên kết
Hình 7: Cấu trúc nút của danh sách nối đơn
Nút đầu tiên trong danh sách được gọi là chốt của danh sách nối đơn (Head). Để duyệt danh
sách nối đơn, ta bắt đầu từ chốt, dựa vào trường liên kết để đi sang nút kế tiếp, đến khi gặp giá
trị đặc biệt (duyệt qua nút cuối) thì dừng lại
A B C D E
Head
Hình 8: Danh sách nối đơn
Chèn phần tử vào danh sách nối đơn:
Danh sách ban đầu:
A B C D E
Head
q p
Muốn chèn thêm một nút chứa giá trị V vào vị trí của nút p, ta phải:
60 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Tạo ra một nút mới NewNode chứa giá trị V:
V
Tìm nút q là nút đứng trước nút p trong danh sách (nút có liên kết tới p).
Nếu tìm thấy thì chỉnh lại liên kết: q liên kết tới NewNode, NewNode liên kết tới p
A
Head
B C
V
q
D
p
E
Nếu không có nút đứng trước nút p trong danh sách thì tức là p = Head, ta chỉnh lại liên
kết: NewNode liên kết tới Head (cũ) và đặt lại Head = NewNode
Xoá phần tử khỏi danh sách nối đơn:
Danh sách ban đầu:
A B C D E
Head
q p
Muốn huỷ nút p khỏi danh sách nối đơn, ta phải:
Tìm nút q là nút đứng liền trước nút p trong danh sách (nút có liên kết tới p)
Nếu tìm thấy thì chỉnh lại liên kết: q liên kết thẳng tới nút liền sau p, khi đó quá trình
duyệt danh sách bắt đầu từ Head khi duyệt tới q sẽ nhảy qua không duyệt p nữa. Trên
thực tế khi cài đặt bằng các biến động và con trỏ, ta nên có thao tác giải phóng bộ nhớ
đã cấp cho nút p
A B C D E
Head
q p
Nếu không có nút đứng trước nút p trong danh sách thì tức là p = Head, ta chỉ việc đặt
lại Head bằng nút đứng kế tiếp Head (cũ) trong danh sách. Sau đó có thể giải phóng bộ
nhớ cấp cho nút p (Head cũ)
4.2.3. Cài đặt bằng danh sách nối kép
Danh sách nối kép gồm các nút được nối với nhau theo hai chiều. Mỗi nút là một bản ghi
(record) gồm ba trường:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 61
Lê Minh Hoàng
Trường thứ nhất chứa giá trị lưu trong nút đó
Trường thứ hai (Next) chứa liên kết (con trỏ) tới nút kế tiếp, tức là chứa một thông tin đủ
để biết nút kế tiếp nút đó là nút nào, trong trường hợp là nút cuối cùng (không có nút kế
tiếp), trường liên kết này được gán một giá tị đặc biệt.
Trường thứ ba (Prev) chứa liên kết (con trỏ) tới nút liền trước, tức là chứa một thông tin đủ
để biết nút đứng trước nút đó trong danh sách là nút nào, trong trường hợp là nút đầu tiên
(không có nút liền trước) trường này được gán một giá trị đặc biệt.
Data Giá trị
Liên kết trước
Liên kết sau
Hình 9: Cấu trúc nút của danh sách nối kép
Khác với danh sách nối đơn, danh sách nối kép có hai chốt: Nút đầu tiên trong danh sách
được gọi là First, nút cuối cùng trong danh sách được gọi là Last. Để duyệt danh sách nối kép,
ta có hai cách: Hoặc bắt đầu từ First, dựa vào liên kết Next để đi sang nút kế tiếp, đến khi gặp
giá trị đặc biệt (duyệt qua nút cuối) thì dừng lại. Hoặc bắt đầu từ Last, dựa vào liên kết Prev
để đi sang nút liền trước, đến khi gặp giá trị đặc biệt (duyệt qua nút đầu) thì dừng lại
A B C D E
First
Last
Hình 10: Danh sách nối kép
Việc chèn / xoá vào danh sách nối kép cũng đơn giản chỉ là kỹ thuật chỉnh lại các mối liên kết
giữa các nút cho hợp lý, ta coi như bài tập.
4.2.4. Cài đặt bằng danh sách nối vòng một hướng
Trong danh sách nối đơn, phần tử cuối cùng trong danh sách có trường liên kết được gán một
giá trị đặc biệt (thường sử dụng nhất là giá trị nil). Nếu ta cho trường liên kết của phần tử cuối
cùng trỏ thẳng về phần tử đầu tiên của danh sách thì ta sẽ được một kiểu danh sách mới gọi là
danh sách nối vòng một hướng.
A B C D E
Hình 11: Danh sách nối vòng một hướng
62 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Đối với danh sách nối vòng, ta chỉ cần biết một nút bất kỳ của danh sách là ta có thể duyệt
được hết các nút trong danh sách bằng cách đi theo hướng của các liên kết. Chính vì lý do này,
khi chèn xoá vào danh sách nối vòng, ta không phải xử lý các trường hợp riêng khi chèn xoá
tại vị trí của chốt
4.2.5. Cài đặt bằng danh sách nối vòng hai hướng
Danh sách nối vòng một hướng chỉ cho ta duyệt các nút của danh sách theo một chiều, nếu cài
đặt bằng danh sách nối vòng hai hướng thì ta có thể duyệt các nút của danh sách cả theo chiều
ngược lại nữa. Danh sách nối vòng hai hướng có thể tạo thành từ danh sách nối kép nếu ta cho
trường Prev của nút First trỏ thẳng tới nút Last còn trường Next của nút Last thì trỏ thẳng về
nút First.
A B C D E
Hình 12: Danh sách nối vòng hai hướng
Bài tập
Bài 1
Lập chương trình quản lý danh sách học sinh, tuỳ chọn loại danh sách cho phù hợp, chương
trình có những chức năng sau: (Hồ sơ một học sinh giả sử có: Tên, lớp, số điện thoại, điểm
TB ...)
Cho phép nhập danh sách học sinh từ bàn phím hay từ file.
Cho phép in ra danh sách học sinh gồm có tên và xếp loại
Cho phép in ra danh sách học sinh gồm các thông tin đầy đủ
Cho phép nhập vào từ bàn phím một tên học sinh và một tên lớp, tìm xem có học sinh có tên
nhập vào trong lớp đó không ?. Nếu có thì in ra số điện thoại của học sinh đó
Cho phép vào một hồ sơ học sinh mới từ bàn phím, bổ sung học sinh đó vào danh sách học
sinh, in ra danh sách mới.
Cho phép nhập vào từ bàn phím tên một lớp, loại bỏ tất cả các học sinh của lớp đó khỏi danh
sách, in ra danh sách mới.
Có chức năng sắp xếp danh sách học sinh theo thứ tự giảm dần của điểm trung bình
Cho phép nhập vào hồ sơ một học sinh mới từ bàn phím, chèn học sinh đó vào danh sách mà
không làm thay đổi thứ tự đã sắp xếp, in ra danh sách mới.
Cho phép lưu trữ lại trên đĩa danh sách học sinh khi đã thay đổi.
Bài 2
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 63
Lê Minh Hoàng
Có n người đánh số từ 1 tới n ngồi quanh một vòng tròn (n ≤ 10000), cùng chơi một trò chơi:
Một người nào đó đếm 1, người kế tiếp, theo chiều kim đồng hồ đếm 2... cứ như vậy cho tới
người đếm đến một số nguyên tố thì phải ra khỏi vòng tròn, người kế tiếp lại đếm bắt đầu từ 1:
Hãy lập chương trình
Nhập vào 2 số n và S từ bàn phím
Cho biết nếu người thứ nhất là người đếm 1 thì người còn lại cuối cùng trong vòng tròn là
người thứ mấy
Cho biết nếu người còn lại cuối cùng trong vòng tròn là người thứ k thì người đếm 1 là
người nào?.
Giải quyết hai yêu cầu trên trong trường hợp: đầu tiên trò chơi được đếm theo chiều kim đồng
hồ, khi có một người bị ra khỏi cuộc chơi thì vẫn là người kế tiếp đếm 1 nhưng quá trình đếm
ngược lại (tức là ngược chiều kim đồng hồ)
64 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§5. NGĂN XẾP VÀ HÀNG ĐỢI
5.1. NGĂN XẾP (STACK)
Ngăn xếp là một kiểu danh sách được trang bị hai phép toán bổ sung một phần tử vào cuối
danh sách và loại bỏ một phần tử cũng ở cuối danh sách.
Có thể hình dung ngăn xếp như hình ảnh một chồng đĩa, đĩa nào được đặt vào chồng sau cùng
sẽ nằm trên tất cả các đĩa khác và sẽ được lấy ra đầu tiên. Vì nguyên tắc"vào sau ra trước" đó,
Stack còn có tên gọi là danh sách kiểu LIFO (Last In First Out) và vị trí cuối danh sách được
gọi là đỉnh (Top) của Stack.
5.1.1. Mô tả Stack bằng mảng
Khi mô tả Stack bằng mảng:
Việc bổ sung một phần tử vào Stack tương đương với việc thêm một phần tử vào cuối
mảng.
Việc loại bỏ một phần tử khỏi Stack tương đương với việc loại bỏ một phần tử ở cuối
mảng.
Stack bị tràn khi bổ sung vào mảng đã đầy
Stack là rỗng khi số phần tử thực sự đang chứa trong mảng = 0.
program StackByArray;
const
max = 10000;
var
Stack: array[1..max] of Integer;
Top: Integer; {Top lưu chỉ số phẩn tử cuối trong Stack}
procedure StackInit; {Khởi tạo Stack rỗng}
begin
Top := 0;
end;
procedure Push(V: Integer); {Đẩy một giá trị V vào Stack}
begin
if Top = max then WriteLn('Stack is full') {Nếu Stack đã đầy thì không đẩy được thêm vào nữa}
else
begin
Inc(Top); Stack[Top] := V; {Nếu không thì thêm một phần tử vào cuối mảng}
end;
end;
function Pop: Integer; {Lấy một giá trị ra khỏi Stack, trả về trong kết quả hàm}
begin
if Top = 0 then WriteLn('Stack is empty') {Stack đang rỗng thì không lấy được}
else
begin
Pop := Stack[Top]; Dec(Top); {Lấy phần tử cuối ra khỏi mảng}
end;
end;
begin
StackInit;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 65
Lê Minh Hoàng
〈Test〉; {Đưa một vài lệnh để kiểm tra hoạt động của Stack}
end.
Khi cài đặt bằng mảng, tuy các thao tác đối với Stack viết hết sức đơn giản nhưng ở đây ta
vẫn chia thành các chương trình con, mỗi chương trình con mô tả một thao tác, để từ đó về
sau, ta chỉ cần biết rằng chương trình của ta có một cấu trúc Stack, còn ta mô phỏng cụ thể
như thế nào thì không cần phải quan tâm nữa, và khi cài đặt Stack bằng các cấu trúc dữ liệu
khác, chỉ cần sửa lại các thủ tục StackInit, Push và Pop mà thôi.
5.1.2. Mô tả Stack bằng danh sách nối đơn kiểu LIFO
Khi cài đặt Stack bằng danh sách nối đơn kiểu LIFO, thì Stack bị tràn khi vùng không gian
nhớ dùng cho các biến động không còn đủ để thêm một phần tử mới. Tuy nhiên, việc kiểm tra
điều này rất khó bởi nó phụ thuộc vào máy tính và ngôn ngữ lập trình. Ví dụ như đối với
Turbo Pascal, khi Heap còn trống 80 Bytes thì cũng chỉ đủ chỗ cho 10 biến, mỗi biến 6 Bytes
mà thôi. Mặt khác, không gian bộ nhớ dùng cho các biến động thường rất lớn nên cài đặt dưới
đây ta bỏ qua việc kiểm tra Stack tràn.
program StackByLinkedList;
type
PNode = ^TNode; {Con trỏ tới một nút của danh sách}
TNode = record {Cấu trúc một nút của danh sách}
Value: Integer;
Link: PNode;
end;
var
Top: PNode; {Con trỏ đỉnh Stack}
procedure StackInit; {Khởi tạo Stack rỗng}
begin
Top := nil;
end;
procedure Push(V: Integer); {Đẩy giá trị V vào Stack ⇔ thêm nút mới chứa V và nối nút đó vào danh sách}
var
P: PNode;
begin
New(P); P^.Value := V; {Tạo ra một nút mới}
P^.Link := Top; Top := P; {Móc nút đó vào danh sách}
end;
function Pop: Integer; {Lấy một giá trị ra khỏi Stack, trả về trong kết quả hàm}
var
P: PNode;
begin
if Top = nil then WriteLn('Stack is empty')
else
begin
Pop := Top^.Value; {Gán kết quả hàm}
P := Top^.Link; {Giữ lại nút tiếp theo Top^ (nút được đẩy vào danh sách trước nút Top^)}
Dispose(Top); Top := P; {Giải phóng bộ nhớ cấp cho Top^, cập nhật lại Top mới}
end;
end;
begin
StackInit;
〈Test〉; {Đưa một vài lệnh để kiểm tra hoạt động của Stack}
end.
66 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
5.2. HÀNG ĐỢI (QUEUE)
Hàng đợi là một kiểu danh sách được trang bị hai phép toán bổ sung một phần tử vào cuối
danh sách (Rear) và loại bỏ một phần tử ở đầu danh sách (Front).
Có thể hình dung hàng đợi như một đoàn người xếp hàng mua vé: Người nào xếp hàng trước
sẽ được mua vé trước. Vì nguyên tắc"vào trước ra trước" đó, Queue còn có tên gọi là danh
sách kiểu FIFO (First In First Out).
5.2.1. Mô tả Queue bằng mảng
Khi mô tả Queue bằng mảng, ta có hai chỉ số Front và Rear, Front lưu chỉ số phần tử đầu
Queue còn Rear lưu chỉ số cuối Queue, khởi tạo Queue rỗng: Front := 1 và Rear := 0;
Để thêm một phần tử vào Queue, ta tăng Rear lên 1 và đưa giá trị đó vào phần tử thứ Rear.
Để loại một phần tử khỏi Queue, ta lấy giá trị ở vị trí Front và tăng Front lên 1.
Khi Rear tăng lên hết khoảng chỉ số của mảng thì mảng đã đầy, không thể đẩy thêm phần
tử vào nữa.
Khi Front > Rear thì tức là Queue đang rỗng
Như vậy chỉ một phần của mảng từ vị trí Front tới Rear được sử dụng làm Queue.
program QueueByArray;
const
max = 10000;
var
Queue: array[1..max] of Integer;
Front, Rear: Integer;
procedure QueueInit; {Khởi tạo một hàng đợi rỗng}
begin
Front := 1; Rear := 0;
end;
procedure Push(V: Integer); {Đẩy V vào hàng đợi}
begin
if Rear = max then WriteLn('Overflow')
else
begin
Inc(Rear);
Queue[Rear] := V;
end;
end;
function Pop: Integer; {Lấy một giá trị khỏi hàng đợi, trả về trong kết quả hàm}
begin
if Front > Rear then WriteLn('Queue is Empty')
else
begin
Pop := Queue[Front];
Inc(Front);
end;
end;
begin
QueueInit;
〈Test〉; {Đưa một vài lệnh để kiểm tra hoạt động của Queue}
end.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 67
Lê Minh Hoàng
5.2.2. Mô tả Queue bằng danh sách vòng
Xem lại chương trình cài đặt Stack bằng một mảng kích thước tối đa 10000 phần tử, ta thấy
rằng nếu như ta làm 6000 lần Push rồi 6000 lần Pop rồi lại 6000 lần Push thì vẫn không có
vấn đề gì xảy ra. Lý do là vì chỉ số Top lưu đỉnh của Stack sẽ được tăng lên 6000 rồi lại giảm
đến 0 rồi lại tăng trở lại lên 6000. Nhưng đối với cách cài đặt Queue như trên thì sẽ gặp thông
báo lỗi tràn mảng, bởi mỗi lần Push, chỉ số cuối hàng đợi Rear cũng tăng lên và không bao
giờ bị giảm đi cả. Đó chính là nhược điểm mà ta nói tới khi cài đặt: Chỉ có các phần tử từ vị
trí Front tới Rear là thuộc Queue, các phần tử từ vị trí 1 tới Front - 1 là vô nghĩa.
Để khắc phục điều này, ta mô tả Queue bằng một danh sách vòng (biểu diễn bằng mảng hoặc
cấu trúc liên kết), coi như các phần tử của mảng được xếp quanh vòng theo một hướng nào đó.
Các phần tử nằm trên phần cung tròn từ vị trí Front tới vị trí Rear là các phần tử của Queue.
Có thêm một biến n lưu số phần tử trong Queue. Việc thêm một phần tử vào Queue tương
đương với việc ta dịch chỉ số Rear theo vòng một vị trí rồi đặt giá trị mới vào đó. Việc loại bỏ
một phần tử trong Queue tương đương với việc lấy ra phần tử tại vị trí Front rồi dịch chỉ số
Front theo vòng.
First
Last
...
... ...
Hình 13: Dùng danh sách vòng mô tả Queue
Lưu ý là trong thao tác Push và Pop phải kiểm tra Queue tràn hay Queue cạn nên phải cập
nhật lại biến n. (Ở đây dùng thêm biến n cho dễ hiểu còn trên thực tế chỉ cần hai biến Front và
Rear là ta có thể kiểm tra được Queue tràn hay cạn rồi)
program QueueByCList;
const
max = 10000;
var
Queue: array[0..max - 1] of Integer;
i, n, Front, Rear: Integer;
procedure QueueInit; {Khởi tạo Queue rỗng}
begin
Front := 0; Rear := max - 1; n := 0;
end;
procedure Push(V: Integer); {Đẩy giá trị V vào Queue}
begin
if n = max then WriteLn('Queue is Full')
else
begin
Rear := (Rear + 1) mod max; {Rear chạy theo vòng tròn}
Queue[Rear] := V;
68 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Inc(n);
end;
end;
function Pop: Integer; {Lấy một phần tử khỏi Queue, trả về trong kết quả hàm}
begin
if n = 0 then WriteLn('Queue is Empty')
else
begin
Pop := Queue[Front];
Front := (Front + 1) mod max; {Front chạy theo vòng tròn}
Dec(n);
end;
end;
begin
QueueInit;
〈Test〉; {Đưa một vài lệnh để kiểm tra hoạt động của Queue}
end.
5.2.3. Mô tả Queue bằng danh sách nối đơn kiểu FIFO
Tương tự như cài đặt Stack bằng danh sách nối đơn kiểu LIFO, ta cũng không kiểm tra Queue
tràn trong trường hợp mô tả Queue bằng danh sách nối đơn kiểu FIFO.
program QueueByLinkedList;
type
PNode = ^TNode; {Kiểu con trỏ tới một nút của danh sách}
TNode = record {Cấu trúc một nút của danh sách}
Value: Integer;
Link: PNode;
end;
var
Front, Rear: PNode; {Hai con trỏ tới nút đầu và nút cuối của danh sách}
procedure QueueInit; {Khởi tạo Queue rỗng}
begin
Front := nil;
end;
procedure Push(V: Integer); {Đẩy giá trị V vào Queue}
var
P: PNode;
begin
New(P); P^.Value := V; {Tạo ra một nút mới}
P^.Link := nil;
if Front = nil then Front := P {Móc nút đó vào danh sách}
else Rear^.Link := P;
Rear := P; {Nút mới trở thành nút cuối, cập nhật lại con trỏ Rear}
end;
function Pop: Integer; {Lấy giá trị khỏi Queue, trả về trong kết quả hàm}
var
P: PNode;
begin
if Front = nil then WriteLn('Queue is empty')
else
begin
Pop := Front^.Value; {Gán kết quả hàm}
P := Front^.Link; {Giữ lại nút tiếp theo Front^ (Nút được đẩy vào danh sách ngay sau Front^)}
Dispose(Front); Front := P; {Giải phóng bộ nhớ cấp cho Front^, cập nhật lại Front mới}
end;
end;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 69
Lê Minh Hoàng
begin
QueueInit;
〈Test〉; {Đưa một vài lệnh để kiểm tra hoạt động của Queue}
end.
Bài tập
Bài 1
Tìm hiểu cơ chế xếp chồng của thủ tục đệ quy, phương pháp dùng ngăn xếp để khử đệ quy.
Viết chương trình mô tả cách đổi cơ số từ hệ thập phân sang hệ cơ số R dùng ngăn xếp
Bài 2
Hình 14 là cơ cấu đường tàu tại một ga xe lửa
1
A
B
C
2 ... n
Hình 14: Di chuyển toa tàu
Ban đầu ở đường ray A chứa các toa tàu đánh số từ 1 tới n theo thứ tự từ trái qua phải, người
ta muốn chuyển các toa đó sang đường ray C để được một thứ tự mới là một hoán vị của (1,
2, ..., n) theo quy tắc: chỉ được đưa các toa tàu chạy theo đường ray theo hướng mũi tên, có
thể dùng đoạn đường ray B để chứa tạm các toa tàu trong quá trình di chuyển.
a) Hãy nhập vào hoán vị cần có, cho biết có phương án chuyển hay không, và nếu có hãy đưa
ra cách chuyển:
Ví dụ: n = 4; Thứ tự cần có (1, 4, 3, 2)
1)A → C; 2)A → B; 3)A → B; 4)A → C; 5)B → C; 6)B → C
b) Những hoán vị nào của thứ tự các toa là có thể tạo thành trên đoạn đường ray C với luật di
chuyển như trên
Bài 3
Tương tự như bài trên, nhưng với sơ đồ đường ray sau:
1
A
B
C
2 ... n
Hình 15: Di chuyển toa tàu (2)
70 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§6. CÂY (TREE)
6.1. ĐỊNH NGHĨA
Cấu trúc dữ liệu trừu tượng ta quan tâm tới trong mục này là cấu trúc cây. Cây là một cấu trúc
dữ liệu gồm một tập hữu hạn các nút, giữa các nút có một quan hệ phân cấp gọi là quan hệ
"cha - con". Có một nút đặc biệt gọi là gốc (root).
Có thể định nghĩa cây bằng các đệ quy như sau:
Mỗi nút là một cây, nút đó cũng là gốc của cây ấy
Nếu n là một nút và n1, n2, ..., nk lần lượt là gốc của các cây T1, T2, ..., Tk; các cây này đôi
một không có nút chung. Thì nếu cho nút n trở thành cha của các nút n1, n2, ..., nk ta sẽ
được một cây mới T. Cây này có nút n là gốc còn các cây T1, T2, ..., Tk trở thành các cây
con (subtree) của gốc.
Để tiện, người ta còn cho phép tồn tại một cây không có nút nào mà ta gọi là cây rỗng (null
tree).
Xét cây trong Hình 16:
A
B C D
E F G H I
J K
Hình 16: Cây
A là cha của B, C, D, còn G, H, I là con của D
Số các con của một nút được gọi là cấp của nút đó, ví dụ cấp của A là 3, cấp của B là 2, cấp
của C là 0.
Nút có cấp bằng 0 được gọi là nút lá (leaf) hay nút tận cùng. Ví dụ như ở trên, các nút E, F, C,
G, J, K và I là các nút là. Những nút không phải là lá được gọi là nút nhánh (branch)
Cấp cao nhất của một nút trên cây gọi là cấp của cây đó, cây ở hình trên là cây cấp 3.
Gốc của cây người ta gán cho số mức là 1, nếu nút cha có mức là i thì nút con sẽ có mức là i +
1. Mức của cây trong Hình 16 được chỉ ra trong Hình 17:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 71
Lê Minh Hoàng
A
B C D
E F G H I
J K
1
2
3
4
Hình 17: Mức của các nút trên cây
Chiều cao (height) hay chiều sâu (depth) của một cây là số mức lớn nhất của nút có trên cây
đó. Cây ở trên có chiều cao là 4
Một tập hợp các cây phân biệt được gọi là rừng (forest), một cây cũng là một rừng. Nếu bỏ
nút gốc trên cây thì sẽ tạo thành một rừng các cây con.
Ví dụ:
Mục lục của một cuốn sách với phần, chương, bài, mục v.v... có cấu trúc của cây
Cấu trúc thư mục trên đĩa cũng có cấu trúc cây, thư mục gốc có thể coi là gốc của cây đó
với các cây con là các thư mục con và tệp nằm trên thư mục gốc.
Gia phả của một họ tộc cũng có cấu trúc cây.
Một biểu thức số học gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cũng có thể lưu trữ trong
một cây mà các toán hạng được lưu trữ ở các nút lá, các toán tử được lưu trữ ở các nút
nhánh, mỗi nhánh là một biểu thức con.
*
+ -
/ C D E
A B
(A / B + C) * (D - E)
Hình 18: Cây biểu diễn biểu thức
6.2. CÂY NHỊ PHÂN (BINARY TREE)
Cây nhị phân là một dạng quan trọng của cấu trúc cây. Nó có đặc điểm là mọi nút trên cây chỉ
có tối đa hai nhánh con. Với một nút thì người ta cũng phân biệt cây con trái và cây con phải
của nút đó. Cây nhị phân là cây có tính đến thứ tự của các nhánh con.
Cần chú ý tới một số dạng đặc biệt của cây nhị phân
72 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Các cây nhị phân trong Hình 19 được gọi là cây nhị phân suy biến (degenerate binary tree),
các nút không phải là lá chỉ có một nhánh con. Cây a) được gọi là cây lệch phải, cây b) được
gọi là cây lệch trái, cây c) và d) được gọi là cây zíc-zắc.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
a) b) c) d)
Hình 19: Các dạng cây nhị phân suy biến
Các cây trong Hình 20 được gọi là cây nhị phân hoàn chỉnh (complete binary tree): Nếu
chiều cao của cây là h thì mọi nút có mức < h - 1 đều có đúng 2 nút con. Còn nếu mọi nút có
mức ≤ h - 1 đều có đúng 2 nút con như trường hợp cây f) ở trên thì cây đó được gọi là cây nhị
phân đầy đủ (full binary tree). Cây nhị phân đầy đủ là trường hợp riêng của cây nhị phân
hoàn chỉnh.
2
4 5 6 7
3
1
4 5 5
2
4 5 6 7
3
1
e) f)
Hình 20: Cây nhị phân hoàn chỉnh và cây nhị phân đầy đủ
Ta có thể thấy ngay những tính chất sau bằng phép chứng minh quy nạp:
Trong các cây nhị phân có cùng số lượng nút như nhau thì cây nhị phân suy biến có chiều
cao lớn nhất, còn cây nhị phân hoàn chỉnh thì có chiều cao nhỏ nhất.
Số lượng tối đa các nút trên mức i của cây nhị phân là 2i-1, tối thiểu là 1 (i ≥ 1).
Số lượng tối đa các nút trên một cây nhị phân có chiều cao h là 2h-1, tối thiểu là h (h ≥ 1).
Cây nhị phân hoàn chỉnh có n nút thì chiều cao của nó là h = ⎣lg(n)⎦ + 1.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 73
Lê Minh Hoàng
6.3. BIỂU DIỄN CÂY NHỊ PHÂN
6.3.1. Biểu diễn bằng mảng
Nếu có một cây nhị phân đầy đủ, ta có thể dễ dàng đánh số cho các nút trên cây đó theo thứ tự
lần lượt từ mức 1 trở đi, hết mức này đến mức khác và từ trái sang phải đối với các nút ở mỗi
mức.
B
C D F G
E
A
1
2 3
4 5 6 7
Hình 21: Đánh số các nút của cây nhị phân đầy đủ để biểu diễn bằng mảng
Với cách đánh số này, con của nút thứ i sẽ là các nút thứ 2i và 2i + 1. Cha của nút thứ j là nút j
div 2. Từ đó có thể lưu trữ cây bằng một mảng T, nút thứ i của cây được lưu trữ bằng
phần tử T[i].
Với cây nhị phân đầy đủ ở Hình 21 thì khi lưu trữ bằng mảng, ta sẽ được mảng như sau:
A
1
B
2
E
3
C
4
D
5
F
6
G
7
Trong trường hợp cây nhị phân không đầy đủ, ta có thể thêm vào một số nút giả để được cây
nhị phân đầy đủ, và gán những giá trị đặc biệt cho những phần tử trong mảng T tương ứng với
những nút này. Hoặc dùng thêm một mảng phụ để đánh dấu những nút nào là nút giả tự ta
thêm vào. Chính vì lý do này nên với cây nhị phân không đầy đủ, ta sẽ gặp phải sự lãng phí
bộ nhớ vì có thể sẽ phải thêm rất nhiều nút giả vào thì mới được cây nhị phân đầy đủ.
Ví dụ với cây lệch trái, ta phải dùng một mảng 31 phần tử để lưu cây nhị phân chỉ gồm 5 nút
A
B
C
D
E
A B C D E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ...
...
Hình 22: Nhược điểm của phương pháp biểu diễn cây bằng mảng
74 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
6.3.2. Biểu diễn bằng cấu trúc liên kết.
Khi biểu diễn cây nhị phân bằng cấu trúc liên kết, mỗi nút của cây là một bản ghi (record)
gồm 3 trường:
Trường Info: Chứa giá trị lưu tại nút đó
Trường Left: Chứa liên kết (con trỏ) tới nút con trái, tức là chứa một thông tin đủ để biết
nút con trái của nút đó là nút nào, trong trường hợp không có nút con trái, trường này được
gán một giá trị đặc biệt.
Trường Right: Chứa liên kết (con trỏ) tới nút con phải, tức là chứa một thông tin đủ để biết
nút con phải của nút đó là nút nào, trong trường hợp không có nút con phải, trường này
được gán một giá trị đặc biệt.
INFO
Liên kết trái Liên kếtphải
Hình 23: Cấu trúc nút của cây nhị phân
Đối với cây ta chỉ cần phải quan tâm giữ lại nút gốc, bởi từ nút gốc, đi theo các hướng liên kết
Left, Right ta có thể duyệt mọi nút khác.
A
B C
D E F G
H I J K L
Hình 24: Biểu diễn cây bằng cấu trúc liên kết
6.4. PHÉP DUYỆT CÂY NHỊ PHÂN
Phép xử lý các nút trên cây mà ta gọi chung là phép thăm (Visit) các nút một cách hệ thống
sao cho mỗi nút chỉ được thăm một lần gọi là phép duyệt cây.
Giả sử rằng nếu như một nút không có nút con trái (hoặc nút con phải) thì liên kết Left (Right)
của nút đó được liên kết thẳng tới một nút đặc biệt mà ta gọi là NIL (hay NULL), nếu cây
rỗng thì nút gốc của cây đó cũng được gán bằng NIL. Khi đó có ba cách duyệt cây hay được
sử dụng:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 75
Lê Minh Hoàng
6.4.1. Duyệt theo thứ tự trước (preorder traversal)
Trong phép duyệt theo thứ tự trước thì giá trị trong mỗi nút bất kỳ sẽ được liệt kê trước giá trị
lưu trong hai nút con của nó, có thể mô tả bằng thủ tục đệ quy sau:
procedure Visit(N); {Duyệt nhánh cây nhận N là nút gốc của nhánh đó}
begin
if N ≠ nil then
begin
<Output trường Info của nút N>
Visit(Nút con trái của N);
Visit(Nút con phải của N);
end;
end;
Quá trình duyệt theo thứ tự trước bắt đầu bằng lời gọi Visit(nút gốc).
Như cây ở Hình 24, nếu ta duyệt theo thứ tự trước thì các giá trị sẽ lần lượt được liệt kê theo
thứ tự:
A B D H I E J C F K G L
6.4.2. Duyệt theo thứ tự giữa (inorder traversal)
Trong phép duyệt theo thứ tự giữa thì giá trị trong mỗi nút bất kỳ sẽ được liệt kê sau giá trị
lưu ở nút con trái và được liệt kê trước giá trị lưu ở nút con phải của nút đó, có thể mô tả bằng
thủ tục đệ quy sau:
procedure Visit(N); {Duyệt nhánh cây nhận N là nút gốc của nhánh đó}
begin
if N ≠ nil then
begin
Visit(Nút con trái của N);
<Output trường Info của nút N>
Visit(Nút con phải của N);
end;
end;
Quá trình duyệt theo thứ tự giữa cũng bắt đầu bằng lời gọi Visit(nút gốc).
Như cây ở Hình 24, nếu ta duyệt theo thứ tự giữa thì các giá trị sẽ lần lượt được liệt kê theo
thứ tự:
H D I B E J A K F C G L
6.4.3. Duyệt theo thứ tự sau (postorder traversal)
Trong phép duyệt theo thứ tự sau thì giá trị trong mỗi nút bất kỳ sẽ được liệt kê sau giá trị lưu
ở hai nút con của nút đó, có thể mô tả bằng thủ tục đệ quy sau:
procedure Visit(N); {Duyệt nhánh cây nhận N là nút gốc của nhánh đó}
begin
if N ≠ nil then
begin
Visit(Nút con trái của N);
Visit(Nút con phải của N);
<Output trường Info của nút N>
end;
end;
Quá trình duyệt theo thứ tự sau cũng bắt đầu bằng lời gọi Visit(nút gốc).
76 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cũng với cây ở Hình 24, nếu ta duyệt theo thứ tự sau thì các giá trị sẽ lần lượt được liệt kê
theo thứ tự:
H I D J E B K F L G C A
6.5. CÂY K_PHÂN
Cây K_phân là một dạng cấu trúc cây mà mỗi nút trên cây có tối đa K nút con (có tính đến
thứ tự của các nút con).
6.5.1. Biểu diễn cây K_phân bằng mảng
Cũng tương tự như việc biểu diễn cây nhị phân, người ta có thể thêm vào cây K_phân một số
nút giả để cho mỗi nút nhánh của cây K_phân đều có đúng K nút con, các nút con được xếp
thứ tự từ nút con thứ nhất tới nút con thứ K, sau đó đánh số các nút trên cây K_phân bắt đầu
từ 0 trở đi, bắt đầu từ mức 1, hết mức này đến mức khác và từ "trái qua phải" ở mỗi mức.
Theo cách đánh số này, nút con thứ j của nút i là: i * K + j. Nút cha của nút x là nút (x - 1) div
K. Ta có thể dùng một mảng T đánh số từ 0 để lưu các giá trị trên các nút: Giá trị tại nút thứ i
được lưu trữ ở phần tử T[i].
A
B
F
J
C
D
E
G H I
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7 8 9
10
11
12
A
0
B
1
F
2
J
3
C
4
D
5
E
6
G
7
H
8
I
9
K
10
L
11
M
12
Hình 25: Đánh số các nút của cây 3_phân để biểu diễn bằng mảng
6.5.2. Biểu diễn cây K_phân bằng cấu trúc liên kết
Khi biểu diễn cây K_phân bằng cấu trúc liên kết, mỗi nút của cây là một bản ghi (record) gồm
hai trường:
Trường Info: Chứa giá trị lưu trong nút đó.
Trường Links: Là một mảng gồm K phần tử, phần tử thứ i chứa liên kết (con trỏ) tới nút
con thứ i, trong trường hợp không có nút con thứ i thì Links[i] được gán một giá trị đặc
biệt.
Đối với cây K_ phân, ta cũng chỉ cần giữ lại nút gốc, bởi từ nút gốc, đi theo các hướng liên
kết có thể đi tới mọi nút khác.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 77
Lê Minh Hoàng
6.6. CÂY TỔNG QUÁT
Trong thực tế, có một số ứng dụng đòi hỏi một cấu trúc dữ liệu dạng cây nhưng không có ràng
buộc gì về số con của một nút trên cây, ví dụ như cấu trúc thư mục trên đĩa hay hệ thống đề
mục của một cuốn sách. Khi đó, ta phải tìm cách mô tả một cách khoa học cấu trúc dữ liệu
dạng cây tổng quát. Cũng như trường hợp cây nhị phân, người ta thường biểu diễn cây tổng
quát bằng hai cách: Lưu trữ kế tiếp bằng mảng và lưu trữ bằng cấu trúc liên kết.
6.6.1. Biểu diễn cây tổng quát bằng mảng
Để lưu trữ cây tổng quát bằng mảng, trước hết, ta đánh số các nút trên cây bắt đầu từ 1 theo
một thứ tự tuỳ ý. Giả sử cây có n nút thì ta sử dụng:
Một mảng Info[1..n], trong đó Info[i] là giá trị lưu trong nút thứ i.
Một mảng Children được chia làm n đoạn, đoạn thứ i gồm một dãy liên tiếp các phần tử là
chỉ số các nút con của nút i. Như vậy mảng Children sẽ chứa tất cả chỉ số của mọi nút con
trên cây (ngoại trừ nút gốc) nên nó sẽ gồm n - 1 phần tử, lưu ý rằng khi chia mảng
Children làm n đoạn thì sẽ có những đoạn rỗng (tương ứng với danh sách các nút con của
một nút lá)
Một mảng Head[1..n + 1], để đánh dấu vị trí cắt đoạn trong mảng Children: Head[i] là vị
trí đứng liền trước đoạn thứ i, hay nói cách khác: Đoạn con tính từ chỉ số Head[i] + 1 đến
Head[i] của mảng Children chứa chỉ số các nút con của nút thứ i. Khi Head[i] = Head[i+1]
có nghĩa là đoạn thứ i rỗng. Quy ước: Head[n+1] = n - 1.
Một biến lưu chỉ số của nút gốc.
Ví dụ:
A
B
F
I
C
D
E J
K
L
G H
1
2
3
4
5
6 7 8
9
10
11
12
B
1
F
2
C
3
I
4
D
5
E
6
G
7
H
8
A
9
J
10
K
11
L
12
Info:
3
1
5
2
6
3
7
4
8
5
10
6
11
7
12
8
1
9
2
10
4
11
Children:
1 (B) 2 (F) 4 (I) 9 (A)
0
1
3
2
5
3
5
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
9
11
10
11
11
11
12
Head: 11
13
Hình 26: Biểu diễn cây tổng quát bằng mảng
78 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
6.6.2. Lưu trữ cây tổng quát bằng cấu trúc liên kết
Khi lưu trữ cây tổng quát bằng cấu trúc liên kết, mỗi nút là một bản ghi (record) gồm ba
trường:
Trường Info: Chứa giá trị lưu trong nút đó.
Trường FirstChild: Chứa liên kết (con trỏ) tới nút con đầu tiên của nút đó (con cả), trong
trường hợp là nút lá (không có nút con), trường này được gán một giá trị đặc biệt.
Trường Sibling: Chứa liên kết (con trỏ) tới nút em kế cận bên phải (nút cùng cha với nút
đang xét, khi sắp thứ tự các con thì nút đó đứng liền sau nút đang xét). Trong trường hợp
không có nút em kế cận bên phải, trường này được gán một giá trị đặc biệt.
INFO
FirstChild
Sibling
Hình 27: Cấu trúc nút của cây tổng quát
Dễ thấy được tính đúng đắn của phương pháp biểu diễn, bởi từ một nút N bất kỳ, ta có thể đi
theo liên kết FirstChild để đến nút con cả, nút này chính là chốt của một danh sách nối đơn
các nút con của nút N: từ nút con cả, đi theo liên kết Sibling, ta có thể duyệt tất cả các nút con
của nút N.
Bài tập
Bài 1
Viết chương trình mô tả cây nhị phân dùng cấu trúc liên kết, mỗi nút chứa một số nguyên, và
viết các thủ tục duyệt trước, giữa, sau.
Bài 2
Chứng minh rằng nếu cây nhị phân có x nút lá và y nút cấp 2 thì x = y + 1
Bài 3
Chứng minh rằng nếu ta biết dãy các nút được thăm của một cây nhị phân khi duyệt theo thứ
tự trước và thứ tự giữa thì có thể dựng được cây nhị phân đó. Điều này con đúng nữa không
đối với thứ tự trước và thứ tự sau? Với thứ tự giữa và thứ tự sau.
Bài 4
Viết các thủ tục duyệt trước, giữa, sau không đệ quy.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 79
Lê Minh Hoàng
§7. KÝ PHÁP TIỀN TỐ, TRUNG TỐ VÀ HẬU TỐ
7.1. BIỂU THỨC DƯỚI DẠNG CÂY NHỊ PHÂN
Chúng ta có thể biểu diễn các biểu thức số học gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia bằng
một cây nhị phân, trong đó các nút lá biểu thị các hằng hay các biến (các toán hạng), các nút
không phải là lá biểu thị các toán tử (phép toán số học chẳng hạn). Mỗi phép toán trong một
nút sẽ tác động lên hai biểu thức con nằm ở cây con bên trái và cây con bên phải của nút đó.
Ví dụ: Cây biểu diễn biểu thức (6 / 2 + 3) * (7 - 4)
*
+ -
/ 3 7 4
6 2
Hình 28: Biểu thức dưới dạng cây nhị phân
7.2. CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG MỘT BIỂU THỨC
Với cây nhị phân biểu diễn biểu thức trong Hình 28,
Nếu duyệt theo thứ tự trước, ta sẽ được * + / 6 2 3 - 7 4, đây là dạng tiền tố (prefix) của
biểu thức. Trong ký pháp này, toán tử được viết trước hai toán hạng tương ứng, người ta
còn gọi ký pháp này là ký pháp Ba lan.
Nếu duyệt theo thứ tự giữa, ta sẽ được 6 / 2 + 3 * 7 - 4. Ký pháp này hơi mập mờ vì thiếu
dấu ngoặc. Nếu thêm vào thủ tục duyệt inorder việc bổ sung các cặp dấu ngoặc vào mỗi
biểu thức con sẽ thu được biểu thức (((6 / 2) + 3) * (7 - 4)). Ký pháp này gọi là dạng trung
tố (infix) của một biểu thức (Thực ra chỉ cần thêm các dấu ngoặc đủ để tránh sự mập mờ
mà thôi, không nhất thiết phải thêm vào đầy đủ các cặp dấu ngoặc).
Nếu duyệt theo thứ tự sau, ta sẽ được 6 2 / 3 + 7 4 - *, đây là dạng hậu tố (postfix) của
biểu thức. Trong ký pháp này toán tử được viết sau hai toán hạng, người ta còn gọi ký pháp
này là ký pháp nghịch đảo Balan (Reverse Polish Notation - RPN)
Chỉ có dạng trung tố mới cần có dấu ngoặc, dạng tiền tố và hậu tố không cần phải có dấu
ngoặc.
7.3. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Có một vấn đề cần lưu ý là khi máy tính giá trị một biểu thức số học gồm các toán tử hai ngôi
(toán tử gồm hai toán hạng như +, -, *, /) thì máy chỉ thực hiện được phép toán đó với hai toán
80 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
hạng. Nếu biểu thức phức tạp thì máy phải chia nhỏ và tính riêng từng biểu thức trung gian,
sau đó mới lấy giá trị tìm được để tính tiếp. Ví dụ như biểu thức 1 + 2 + 4 máy sẽ phải tính 1
+ 2 trước được kết quả là 3 sau đó mới đem 3 cộng với 4 chứ không thể thực hiện phép cộng
một lúc ba số được.
Khi lưu trữ biểu thức dưới dạng cây nhị phân thì ta có thể coi mỗi nhánh con của cây đó mô
tả một biểu thức trung gian mà máy cần tính khi xử lý biểu thức lớn. Như ví dụ trên, máy sẽ
phải tính hai biểu thức 6 / 2 + 3 và 7 - 4 trước khi làm phép tính nhân cuối cùng. Để tính biểu
thức 6 / 2 + 3 thì máy lại phải tính biểu thức 6 / 2 trước khi đem cộng với 3.
Vậy để tính một biểu thức lưu trữ trong một nhánh cây nhị phân gốc ở nút n, máy sẽ tính gần
giống như hàm đệ quy sau:
function Calculate(n): Value; {Tính biểu thức con trong nhánh cây gốc n}
begin
if <Nút n chứa không phải là một toán tử> then
Calculate := <Giá trị chứa trong nút n>
else {Nút n chứa một toán tử R}
begin
x := Calculate(nút con trái của n);
y := Calculate(nút con phải của n);
Calculate := x R y;
end;
end.
(Trong trường hợp lập trình trên các hệ thống song song, việc tính giá trị biểu thức ở cây con
trái và cây con phải có thể tiến hành đồng thời làm giảm đáng kể thời gian tính toán biểu
thức).
Để ý rằng khi tính toán biểu thức, máy sẽ phải quan tâm tới việc tính biểu thức ở hai nhánh
con trước, rồi mới xét đến toán tử ở nút gốc. Điều đó làm ta nghĩ tới phép cây theo thứ tự sau
và ký pháp hậu tố. Trong những năm đầu 1950, nhà lô-gic học người Balan Jan Lukasiewicz
đã chứng minh rằng biểu thức hậu tố không cần phải có dấu ngoặc vẫn có thể tính được một
cách đúng đắn bằng cách đọc lần lượt biểu thức từ trái qua phải và dùng một Stack để lưu
các kết quả trung gian:
Bước 1: Khởi tạo một Stack rỗng
Bước 2: Đọc lần lượt các phần tử của biểu thức RPN từ trái qua phải (phần tử này có thể là
hằng, biến hay toán tử) với mỗi phần tử đó, ta kiểm tra:
Nếu phần tử này là một toán hạng thì đẩy giá trị của nó vào Stack.
Nếu phần tử này là một toán tử ®, ta lấy từ Stack ra hai giá trị (y và x) sau đó áp dụng toán
tử ® đó vào hai giá trị vừa lấy ra, đẩy kết quả tìm được (x ® y) vào Stack (ra hai vào một).
Bước 3: Sau khi kết thúc bước 2 thì toàn bộ biểu thức đã được đọc xong, trong Stack chỉ còn
duy nhất một phần tử, phần tử đó chính là giá trị của biểu thức.
Ví dụ: Tính biểu thức 10 2 / 3 + 7 4 - * (tương ứng với biểu thức (10 / 2 + 3) * (7 - 4)
Đọc Xử lý Stack
10 Đẩy vào Stack 10
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 81
Lê Minh Hoàng
Đọc Xử lý Stack
2 Đẩy vào Stack 10, 2
/ Lấy 2 và 10 khỏi Stack, Tính được 10 / 2 = 5, đẩy 5 vào Stack 5
3 Đẩy vào Stack 5, 3
+ Lấy 3 và 5 khỏi Stack, tính được 5 + 3 = 8, đẩy 8 vào Stack 8
7 Đẩy vào Stack 8, 7
4 Đẩy vào Stack 8, 7, 4
- Lấy 4 và 7 khỏi Stack, tính được 7 - 4 = 3, đẩy 3 vào Stack 8, 3
* Lấy 3 và 8 khỏi Stack, tính được 8 * 3 = 24, đẩy 24 vào Stack 24
Ta được kết quả là 24
Dưới đây ta sẽ viết một chương trình đơn giản tính giá trị biểu thức RPN. Chương trình sẽ
nhận Input là biểu thức RPN gồm các số thực và các toán tử + - * / và cho Output là kết quả
biểu thức đó.
Quy định khuôn dạng bắt buộc là hai số liền nhau trong biểu thức RPN phải viết cách nhau ít
nhất một dấu cách. Để quá trình đọc một phần tử trong biểu thức RPN được dễ dàng hơn, sau
bước nhập liệu, ta có thể hiệu chỉnh đôi chút biểu thức RPN về khuôn dạng dễ đọc nhất.
Chẳng hạn như thêm và bớt một số dấu cách trong Input để mỗi phần tử (toán hạng, toán tử)
đều cách nhau đúng một dấu cách, thêm một dấu cách vào cuối biểu thức RPN. Khi đó quá
trình đọc lần lượt các phần tử trong biểu thức RPN có thể làm như sau:
T := '';
for p := 1 to Length(RPN) do {Xét các ký tự trong biểu thức RPN từ trái qua phải}
if RPN[p] ≠ ' ' then T := T + RPN[p] {Nếu RPN[p] không phải dấu cách thì nối ký tự đó vào T}
else {Nếu RPN[p] là dấu cách thì phần tử đang đọc đã đọc xong, tiếp theo sẽ là phần tử khác}
begin
<Xử lý phần tử T>
T := ''; {Chuẩn bị đọc phần tử mới}
end;
Để đơn giản, chương trình không kiểm tra lỗi viết sai biểu thức RPN, việc đó chỉ là thao tác tỉ
mỉ chứ không phức tạp lắm, chỉ cần xem lại thuật toán và cài thêm các mô-đun bắt lỗi tại mỗi
bước.
Input
Enter RPN Expression: 10 2/3 + 4 7 -*
Output
10 2 / 3 + 4 7 - * = 24.0000
P_2_07_1.PAS * Tính giá trị biểu thức RPN
{$N+, E+}
program CalculateRPNExpression;
const
Opt = ['+', '-', '*', '/'];
var
T, RPN: String;
Stack: array[1..255] of Extended;
p, Top: Integer;
{Các thao tác đối với Stack}
procedure StackInit;
begin
Top := 0;
82 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
end;
procedure Push(V: Extended);
begin
Inc(Top); Stack[Top] := V;
end;
function Pop: Extended;
begin
Pop := Stack[Top]; Dec(Top);
end;
procedure Refine(var S: String); {Hiệu chỉnh biểu thức RPN về khuôn dạng dễ đọc nhất}
var
i: Integer;
begin
S := S + ' ';
for i := Length(S) - 1 downto 1 do {Thêm những dấu cách giữa toán hạng và toán tử}
if (S[i] in Opt) or (S[i + 1] in Opt) then
Insert(' ', S, i + 1);
for i := Length(S) - 1 downto 1 do {Xoá những dấu cách thừa}
if (S[i] = ' ') and (S[i + 1] = ' ') then Delete(S, i + 1, 1);
end;
procedure Process(T: String); {Xử lý phần tử T đọc được từ biểu thức RPN}
var
x, y: Extended;
e: Integer;
begin
if not (T[1] in Opt) then {T là toán hạng}
begin
Val(T, x, e); Push(x); {Đổi T thành số và đẩy giá trị đó vào Stack}
end
else {T là toán tử}
begin
y := Pop; x := Pop; {Ra hai}
case T[1] of
'+': x := x + y;
'-': x := x - y;
'*': x := x * y;
'/': x := x / y;
end;
Push(x); {Vào một}
end;
end;
begin
Write('Enter RPN Expression: '); ReadLn(RPN);
Refine(RPN);
StackInit;
T := '';
for p := 1 to Length(RPN) do {Xét các ký tự của biểu thức RPN từ trái qua phải}
if RPN[p] <> ' ' then T := T + RPN[p] {nếu không phải dấu cách thì nối nó vào sau xâu T}
else {Nếu gặp dấu cách}
begin
Process(T); {Xử lý phần tử vừa đọc xong}
T := ''; {Đặt lại T để chuẩn bị đọc phần tử mới}
end;
WriteLn(RPN, ' = ', Pop:0:4); {In giá trị biểu thức RPN được lưu trong Stack}
end.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 83
Lê Minh Hoàng
7.4. CHUYỂN TỪ DẠNG TRUNG TỐ SANG DẠNG HẬU TỐ
Có thể nói rằng việc tính toán biểu thức viết bằng ký pháp nghịch đảo Balan là khoa học hơn,
máy móc, và đơn giản hơn việc tính toán biểu thức viết bằng ký pháp trung tố. Chỉ riêng việc
không phải xử lý dấu ngoặc đã cho ta thấy ưu điểm của ký pháp RPN. Chính vì lý do này, các
chương trình dịch vẫn cho phép lập trình viên viết biểu thức trên ký pháp trung tố theo thói
quen, nhưng trước khi dịch ra các lệnh máy thì tất cả các biểu thức đều được chuyển về dạng
RPN. Vấn đề đặt ra là phải có một thuật toán chuyển biểu thức dưới dạng trung tố về dạng
RPN một cách hiệu quả, và dưới đây ta trình bày thuật toán đó:
Thuật toán sử dụng một Stack để chứa các toán tử và dấu ngoặc mở. Thủ tục Push(V) để đẩy
một phần tử vào Stack, hàm Pop để lấy ra một phần tử từ Stack, hàm Get để đọc giá trị phần
tử nằm ở đỉnh Stack mà không lấy phần tử đó ra. Ngoài ra mức độ ưu tiên của các toán tử
được quy định bằng hàm Priority như sau: Ưu tiên cao nhất là dấu "*" và "/" với Priority là 2,
tiếp theo là dấu "+" và "-" với Priority là 1, ưu tiên thấp nhất là dấu ngoặc mở "(" với Priority
là 0.
Stack := ∅;
for <Phần tử T đọc được từ biểu thức infix> do
{T có thể là hằng, biến, toán tử hoặc dấu ngoặc được đọc từ biểu thức infix theo thứ tự từ trái qua phải}
case T of
'(': Push(T);
')':
repeat
x := Pop;
if x ≠ '(' then Output(x);
until x = '(';
'+', '-', '*', '/':
begin
while (Stack ≠ ∅) and (Priority(T) ≤ Priority(Get)) do Output(Pop);
Push(T);
end;
else Output(T);
end;
while (Stack ≠ ∅) do Output(Pop);
Ví dụ với biểu thức trung tố (2 * 3 + 7 / 8) * (5 - 1)
Đọc Xử lý Stack Output
( Đẩy vào Stack (
2 Hiển thị ( 2
* Phép "*" được ưu tiên hơn "(" ở đỉnh Stack, đẩy "*" vào Stack (*
3 Hiển thị (* 2 3
+ Phép "+" ưu tiên không cao hơn "*" ở đỉnh Stack.
Lấy ra và hiển thị "*".
So sánh tiếp:
Phép "+" ưu tiên cao hơn "(" ở đỉnh Stack, đẩy "+" vào Stack
(+ 2 3 *
7 Hiển thị (+ 2 3 * 7
84 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Đọc Xử lý Stack Output
/ Phép "/" ưu tiên hơn "+" ở đỉnh Stack là, đẩy "/" vào Stack (+/
8 Hiển thị (+/ 2 3 * 7 8
) Lấy ra và hiển thị các phần tử trong Stack tới khi lấy phải dấu "(" ∅ 2 3 * 7 8 / +
* Stack đang là rỗng, đẩy * vào Stack *
( Đẩy vào Stack *(
5 Hiển thị *( 2 3 * 7 8 / + 5
- Phép "-" ưu tiên hơn "(" ở đỉnh Stack, đẩy "-" vào Stack *(-
1 Hiển thị *(- 2 3 * 7 8 / + 5 1
) Lấy ra và hiển thị các phần tử trong Stack tới khi lấy phải dấu "(" * 2 3 * 7 8 / + 5 1 -
Hết Lấy ra và hiển thị hết các phần tử còn lại trong Stack 2 3 * 7 8 / + 5 1 - *
Dưới đây là chương trình chuyển biểu thức viết ở dạng trung tố sang dạng RPN. Biểu thức
trung tố đầu vào sẽ được hiệu chỉnh sao cho mỗi thành phần của nó được cách nhau đúng một
dấu cách, và thêm một dấu cách vào cuối cho dễ tách các phần tử ra để xử lý. Vì Stack chỉ
dùng để chứa các toán tử và dấu ngoặc mở nên có thể mô tả Stack dưới dạng xâu ký tự cho
đơn giản.
Ví dụ về Input / Output của chương trình:
Input
Infix: (10*3 + 7 /8) * (5-1)
Output
Refined: ( 10 * 3 + 7 / 8 ) * ( 5 - 1 )
RPN: 10 3 * 7 8 / + 5 1 - *
P_2_07_2.PAS * Chuyển biểu thức trung tố sang dạng RPN
program ConvertInfixToRPN;
const
Opt = ['(', ')', '+', '-', '*', '/'];
var
T, Infix, Stack: String; {Stack dùng để chứa toán tử và dấu ngoặc mở nên dùng String cho tiện}
p: Integer;
{Các thao tác đối với Stack}
procedure StackInit;
begin
Stack := '';
end;
procedure Push(V: Char);
begin
Stack := Stack + V;
end;
function Pop: Char;
begin
Pop := Stack[Length(Stack)];
Dec(Stack[0]);
end;
function Get: Char;
begin
Get := Stack[Length(Stack)];
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 85
Lê Minh Hoàng
end;
procedure Refine(var S: String); {Hiệu chỉnh biểu thức trung tố về khuôn dạng dễ đọc nhất}
var
i: Integer;
begin
S := S + ' ';
for i := Length(S) - 1 downto 1 do {Thêm những dấu cách trước và sau mỗi toán tử và dấu ngoặc}
if (S[i] in Opt) or (S[i + 1] in Opt) then
Insert(' ', S, i + 1);
for i := Length(S) - 1 downto 1 do {Xoá những dấu cách thừa}
if (S[i] = ' ') and (S[i + 1] = ' ') then Delete(S, i + 1, 1);
end;
function Priority(Ch: Char): Integer; {Hàm lấy mức độ ưu tiên của Ch}
begin
case ch of
'*', '/': Priority := 2;
'+', '-': Priority := 1;
'(': Priority := 0;
end;
end;
procedure Process(T: String); {Xử lý một phần tử đọc được từ biểu thức trung tố}
var
c, x: Char;
begin
c := T[1];
if not (c in Opt) then Write(T, ' ')
else
case c of
'(': Push(c);
')': repeat
x := Pop;
if x <> '(' then Write(x, ' ');
until x = '(';
'+', '-', '*', '/':
begin
while (Stack <> '') and (Priority(c) <= Priority(Get)) do
Write(Pop, ' ');
Push(c);
end;
end;
end;
begin
Write('Infix = '); ReadLn(Infix);
Refine(Infix);
WriteLn('Refined: ', Infix);
Write('RPN: ');
T := '';
for p := 1 to Length(Infix) do
if Infix[p] <> ' ' then T := T + Infix[p]
else
begin
Process(T);
T := '';
end;
while Stack <> '' do Write(Pop, ' ');
WriteLn;
end.
86 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
7.5. XÂY DỰNG CÂY NHỊ PHÂN BIỂU DIỄN BIỂU THỨC
Ngay trong phần đầu tiên, chúng ta đã biết rằng các dạng biểu thức trung tố, tiền tố và hậu tố
đều có thể được hình thành bằng cách duyệt cây nhị phân biểu diễn biểu thức đó theo các trật
tự khác nhau. Vậy tại sao không xây dựng ngay cây nhị phân biểu diễn biểu thức đó rồi thực
hiện các công việc tính toán ngay trên cây?. Khó khăn gặp phải chính là thuật toán xây dựng
cây nhị phân trực tiếp từ dạng trung tố có thể kém hiệu quả, trong khi đó từ dạng hậu tố lại có
thể khôi phục lại cây nhị phân biểu diễn biểu thức một cách rất đơn giản, gần giống như quá
trình tính toán biểu thức hậu tố:
Bước 1: Khởi tạo một Stack rỗng dùng để chứa các nút trên cây
Bước 2: Đọc lần lượt các phần tử của biểu thức RPN từ trái qua phải (phần tử này có thể là
hằng, biến hay toán tử) với mỗi phần tử đó:
Tạo ra một nút mới N chứa phần tử mới đọc được
Nếu phần tử này là một toán tử, lấy từ Stack ra hai nút (theo thứ tự là y và x), sau đó đem
liên kết trái của N trỏ đến x, đem liên kết phải của N trỏ đến y.
Đẩy nút N vào Stack
Bước 3: Sau khi kết thúc bước 2 thì toàn bộ biểu thức đã được đọc xong, trong Stack chỉ còn
duy nhất một phần tử, phần tử đó chính là gốc của cây nhị phân biểu diễn biểu thức.
Bài tập
Bài 1
Viết chương trình chuyển biểu thức trung tố có cả những phép toán một ngôi sang dạng RPN
bao gồm: Phép lấy số đối (-x), phép luỹ thừa xy (x^y), lời gọi hàm số học (sqrt, exp, abs v.v...)
Bài 2
Viết chương trình chuyển biểu thức logic dạng trung tố sang dạng RPN. Ví dụ:
Chuyển: a and b or c and d thành: a b and c d and or
Bài 3
Chuyển các biểu thức sau đây ra dạng RPN
a) A * (B + C) b) A + B / C + D
c) A * (B + -C) d) A - (B + C)d/e
e) A and B or C f) A and (B or not C)
g) (A or B) and (C or (D and not E)) h) (A = B) or (C = D)
i) (A < 9) and (A > 3) or not (A > 0)
j) ((A > 0) or (A < 0)) and (B * B - 4 * A * C < 0)
Bài 4
Viết chương trình tính biểu thức logic dạng RPN với các toán tử and, or, not và các toán hạng
là TRUE hay FALSE.
Bài 5
Viết chương trình hoàn chỉnh tính giá trị biểu thức trung tố.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 87
Lê Minh Hoàng
§8. SẮP XẾP (SORTING)
8.1. BÀI TOÁN SẮP XẾP
Sắp xếp là quá trình bố trí lại các phần tử của một tập đối tượng nào đó theo một thứ tự nhất
định. Chẳng hạn như thứ tự tăng dần (hay giảm dần) đối với một dãy số, thứ tự từ điển đối với
các từ v.v... Yêu cầu về sắp xếp thường xuyên xuất hiện trong các ứng dụng Tin học với các
mục đích khác nhau: sắp xếp dữ liệu trong máy tính để tìm kiếm cho thuận lợi, sắp xếp các
kết quả xử lý để in ra trên bảng biểu v.v...
Nói chung, dữ liệu có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau, nhưng ở đây ta quy ước: Một
tập các đối tượng cần sắp xếp là tập các bản ghi (records), mỗi bản ghi bao gồm một số
trường (fields) khác nhau. Nhưng không phải toàn bộ các trường dữ liệu trong bản ghi đều
được xem xét đến trong quá trình sắp xếp mà chỉ là một trường nào đó (hay một vài trường
nào đó) được chú ý tới thôi. Trường như vậy ta gọi là khoá (key). Sắp xếp sẽ được tiến hành
dựa vào giá trị của khoá này.
Ví dụ: Hồ sơ tuyển sinh của một trường Đại học là một danh sách thí sinh, mỗi thí sinh có tên,
số báo danh, điểm thi. Khi muốn liệt kê danh sách những thí sinh trúng tuyển tức là phải sắp
xếp các thí sinh theo thứ tự từ điểm cao nhất tới điểm thấp nhất. Ở đây khoá sắp xếp chính là
điểm thi.
STT SBD Họ và tên Điểm thi
1 A100 Nguyễn Văn A 20
2 B200 Trần Thị B 25
3 X150 Phạm Văn C 18
4 G180 Đỗ Thị D 21
Khi sắp xếp, các bản ghi trong bảng sẽ được đặt lại vào các vị trí sao cho giá trị khoá tương
ứng với chúng có đúng thứ tự đã ấn định. Vì kích thước của toàn bản ghi có thể rất lớn, nên
nếu việc sắp xếp thực hiện trực tiếp trên các bản ghi sẽ đòi hỏi sự chuyển đổi vị trí của các
bản ghi, kéo theo việc thường xuyên phải di chuyển, copy những vùng nhớ lớn, gây ra những
tổn phí thời gian khá nhiều. Thường người ta khắc phục tình trạng này bằng cách xây dựng
một bảng khoá: Mỗi bản ghi trong bảng ban đầu sẽ tương ứng với một bản ghi trong bảng
khoá. Bảng khoá cũng gồm các bản ghi nhưng mỗi bản ghi chỉ gồm có hai trường:
Trường thứ nhất chứa khoá
Trường thứ hai chứa liên kết tới một bản ghi trong bảng ban đầu, tức là chứa một thông tin đủ
để biết bản ghi tương ứng với nó trong bảng ban đầu là bản ghi nào.
Sau đó, việc sắp xếp được thực hiện trực tiếp trên bảng khoá, trong quá trình sắp xếp, bảng
chính không hề bị ảnh hưởng gì, việc truy cập vào một bản ghi nào đó của bảng chính vẫn
88 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
có thể thực hiện được bằng cách dựa vào trường liên kết của bản ghi tương ứng thuộc bảng
khoá.
Như ở ví dụ trên, ta có thể xây dựng bảng khoá gồm 2 trường, trường khoá chứa điểm và
trường liên kết chứa số thứ tự của người có điểm tương ứng trong bảng ban đầu:
Điểm thi STT
20 1
25 2
18 3
21 4
Sau khi sắp xếp theo trật tự điểm cao nhất tới điểm thấp nhất, bảng khoá sẽ trở thành:
Điểm thi STT
25 2
21 4
20 1
18 3
Dựa vào bảng khoá, ta có thể biết được rằng người có điểm cao nhất là người mang số thứ tự
2, tiếp theo là người mang số thứ tự 4, tiếp nữa là người mang số thứ tự 1, và cuối cùng là
người mang số thứ tự 3, còn muốn liệt kê danh sách đầy đủ thì ta chỉ việc đối chiếu với bảng
ban đầu và liệt kê theo thứ tự 2, 4, 1, 3.
Có thể còn cải tiến tốt hơn dựa vào nhận xét sau: Trong bảng khoá, nội dung của trường khoá
hoàn toàn có thể suy ra được từ trường liên kết bằng cách: Dựa vào trường liên kết, tìm tới
bản ghi tương ứng trong bảng chính rồi truy xuất trường khoá trong bảng chính. Như ví dụ
trên thì người mang số thứ tự 1 chắc chắn sẽ phải có điểm thi là 20, còn người mang số thứ tự
3 thì chắc chắn phải có điểm thi là 18. Vậy thì bảng khoá có thể loại bỏ đi trường khoá mà chỉ
giữ lại trường liên kết. Trong trường hợp các phần tử trong bảng ban đầu được đánh số từ 1
tới n và trường liên kết chính là số thứ tự của bản ghi trong bảng ban đầu như ở ví dụ trên,
người ta gọi kỹ thuật này là kỹ thuật sắp xếp bằng chỉ số: Bảng ban đầu không hề bị ảnh
hưởng gì cả, việc sắp xếp chỉ đơn thuần là đánh lại chỉ số cho các bản ghi theo thứ tự sắp xếp.
Cụ thể hơn:
Nếu r[1..n] là các bản ghi cần sắp xếp theo một thứ tự nhất định thì việc sắp xếp bằng chỉ số
tức là xây dựng một dãy Index[1..n] mà ở đây:
Index[j] = Chỉ số của bản ghi sẽ đứng thứ j khi sắp thứ tự
(Bản ghi r[index[j]] sẽ phải đứng sau j - 1 bản ghi khác khi sắp xếp)
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 89
Lê Minh Hoàng
Do khoá có vai trò đặc biệt như vậy nên sau này, khi trình bày các giải thuật, ta sẽ coi khoá
như đại diện cho các bản ghi và để cho đơn giản, ta chỉ nói tới giá trị của khoá mà thôi. Các
thao tác trong kỹ thuật sắp xếp lẽ ra là tác động lên toàn bản ghi giờ đây chỉ làm trên khoá.
Còn việc cài đặt các phương pháp sắp xếp trên danh sách các bản ghi và kỹ thuật sắp xếp
bằng chỉ số, ta coi như bài tập.
Bài toán sắp xếp giờ đây có thể phát biểu như sau:
Xét quan hệ thứ tự toàn phần "nhỏ hơn hoặc bằng" ký hiệu "≤" trên một tập hợp S, là quan hệ
hai ngôi thoả mãn bốn tính chất:
Với ∀a, b, c ∈ S
Tính phổ biến: Hoặc là a ≤ b, hoặc b ≤ a;
Tính phản xạ: a ≤ a
Tính phản đối xứng: Nếu a ≤ b và b ≤ a thì bắt buộc a = b.
Tính bắc cầu: Nếu có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong trường hợp a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hiệu "<" cho gọn
Cho một dãy k[1..n] gồm n khoá. Giữa hai khoá bất kỳ có quan hệ thứ tự toàn phần "≤". Xếp
lại dãy các khoá đó để được dãy khoá thoả mãn k[1]≤ k[2] ≤ ...≤ k[n].
Giả sử cấu trúc dữ liệu cho dãy khoá được mô tả như sau:
const
n = ...; {Số khoá trong dãy khoá, có thể khai báo dưới dạng biến số nguyên để tuỳ biến hơn}
type
TKey = ...; {Kiểu dữ liệu một khoá}
TArray = array[1..n] of TKey;
var
k: TArray; {Dãy khoá}
Thì những thuật toán sắp xếp dưới đây được viết dưới dạng thủ tục sắp xếp dãy khoá k, kiểu
chỉ số đánh cho từng khoá trong dãy có thể coi là số nguyên Integer.
8.2. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHỌN (SELECTIONSORT)
Một trong những thuật toán sắp xếp đơn giản nhất là phương pháp sắp xếp kiểu chọn. Ý tưởng
cơ bản của cách sắp xếp này là:
Ở lượt thứ nhất, ta chọn trong dãy khoá k[1..n] ra khoá nhỏ nhất (khoá ≤ mọi khoá khác) và
đổi giá trị của nó với k[1], khi đó giá trị khoá k[1] trở thành giá trị khoá nhỏ nhất.
Ở lượt thứ hai, ta chọn trong dãy khoá k[2..n] ra khoá nhỏ nhất và đổi giá trị của nó với k[2].
...
Ở lượt thứ i, ta chọn trong dãy khoá k[i..n] ra khoá nhỏ nhất và đổi giá trị của nó với k[i].
...
Làm tới lượt thứ n - 1, chọn trong hai khoá k[n-1], k[n] ra khoá nhỏ nhất và đổi giá trị của nó
với k[n-1].
90 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure SelectionSort;
var
i, j, jmin: Integer;
begin
for i := 1 to n - 1 do {Làm n - 1 lượt}
begin
{Chọn trong số các khoá trong đoạn k[i..n] ra khoá k[jmin] nhỏ nhất}
jmin := i;
for j := i + 1 to n do
if k[j] < k[jmin] then jmin := j;
if jmin ≠ i then
<Đảo giá trị của k[jmin] cho k[i]>
end;
end;
Đối với phương pháp kiểu lựa chọn, có thể coi phép so sánh (k[j] < k[jmin]) là phép toán tích
cực để đánh giá hiệu suất thuật toán về mặt thời gian. Ở lượt thứ i, để chọn ra khoá nhỏ nhất
bao giờ cũng cần n - i phép so sánh, số lượng phép so sánh này không hề phụ thuộc gì vào
tình trạng ban đầu của dãy khoá cả. Từ đó suy ra tổng số phép so sánh sẽ phải thực hiện là:
(n - 1) + (n - 2) + ... + 1 = n * (n - 1) / 2
Vậy thuật toán sắp xếp kiểu chọn có độ phức tạp tính toán là O(n2)
8.3. THUẬT TOÁN SẮP XẾP NỔI BỌT (BUBBLESORT)
Trong thuật toán sắp xếp nổi bọt, dãy các khoá sẽ được duyệt từ cuối dãy lên đầu dãy (từ k[n]
về k[1]), nếu gặp hai khoá kế cận bị ngược thứ tự thì đổi chỗ của chúng cho nhau. Sau lần
duyệt như vậy, khoá nhỏ nhất trong dãy khoá sẽ được chuyển về vị trí đầu tiên và vấn đề trở
thành sắp xếp dãy khoá từ k[2] tới k[n]:
procedure BubbleSort;
var
i, j: Integer;
begin
for i := 2 to n do
for j := n downto i do {Duyệt từ cuối dãy lên, làm nổi khoá nhỏ nhất trong đoạn k[i-1, n] về vị trí i-1}
if k[j] < k[j-1] then
<Đảo giá trị k[j] và k[j-1]>
end;
Đối với thuật toán sắp xếp nổi bọt, có thể coi phép toán tích cực là phép so sánh k[j] < k[j-1].
Và số lần thực hiện phép so sánh này là:
(n - 1) + (n - 2) + ... + 1 = n * (n - 1) / 2
Vậy thuật toán sắp xếp nổi bọt cũng có độ phức tạplà O(n2). Bất kể tình trạng dữ liệu vào như
thế nào.
8.4. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU CHÈN
Xét dãy khoá k[1..n]. Ta thấy dãy con chỉ gồm mỗi một khoá là k[1] có thể coi là đã sắp xếp
rồi. Xét thêm k[2], ta so sánh nó với k[1], nếu thấy k[2] < k[1] thì chèn nó vào trước k[1]. Đối
với k[3], ta lại xét dãy chỉ gồm 2 khoá k[1], k[2] đã sắp xếp và tìm cách chèn k[3] vào dãy
khoá đó để được thứ tự sắp xếp. Một cách tổng quát, ta sẽ sắp xếp dãy k[1..i] trong điều kiện
dãy k[1..i-1] đã sắp xếp rồi bằng cách chèn k[i] vào dãy đó tại vị trí đúng khi sắp xếp.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 91
Lê Minh Hoàng
procedure InsertionSort;
var
i, j: Integer;
tmp: TKey; {Biến giữ lại giá trị khoá chèn}
begin
for i := 2 to n do {Chèn giá trị k[i] vào dãy k[1..i-1] để toàn đoạn k[1..i] trở thành đã sắp xếp}
begin
tmp := k[i]; {Giữ lại giá trị k[i]}
j := i - 1;
while (j > 0) and (tmp < k[j]) do {So sánh giá trị cần chèn với lần lượt các khoá k[j] (i-1≥j≥0)}
begin
k[j+1] := k[j]; {Đẩy lùi giá trị k[j] về phía sau một vị trí, tạo ra "khoảng trống" tại vị trí j}
j := j - 1;
end;
k[j+1] := tmp; {Đưa giá trị chèn vào "khoảng trống" mới tạo ra}
end;
end;
Đối với thuật toán sắp xếp kiểu chèn, thì chi phí thời gian thực hiện thuật toán phụ thuộc vào
tình trạng dãy khoá ban đầu. Nếu coi phép toán tích cực ở đây là phép so sánh tmp < k[j] thì:
Trường hợp tốt nhất ứng với dãy khoá đã sắp xếp rồi, mỗi lượt chỉ cần 1 phép so sánh, và như
vậy tổng số phép so sánh được thực hiện là n - 1. Phân tích trong trường hợp tốt nhất, độ phức
tạp tính toán của InsertionSort là Θ(n)
Trường hợp tồi tệ nhất ứng với dãy khoá đã có thứ tự ngược với thứ tự cần sắp thì ở lượt thứ i,
cần có i - 1 phép so sánh và tổng số phép so sánh là:
(n - 1) + (n - 2) + ... + 1 = n * (n - 1) / 2.
Vậy phân tích trong trường hợp tốt nhất, độ phức tạp tính toán của InsertionSort là Θ(n2)
Trường hợp các giá trị khoá xuất hiện một cách ngẫu nhiên, ta có thể coi xác suất xuất hiện
mỗi khoá là đồng khả năng, thì có thể coi ở lượt thứ i, thuật toán cần trung bình i / 2 phép so
sánh và tổng số phép so sánh là:
(1 / 2) + (2 / 2) + ... + (n / 2) = (n + 1) * n / 4.
Vậy phân tích trong trường hợp trung bình, độ phức tạp tính toán của InsertionSort là Θ(n2).
Nhìn về kết quả đánh giá, ta có thể thấy rằng thuật toán sắp xếp kiểu chèn tỏ ra tốt hơn so với
thuật toán sắp xếp chọn và sắp xếp nổi bọt. Tuy nhiên, chi phí thời gian thực hiện của thuật
toán sắp xếp kiểu chèn vẫn còn khá lớn.
Có thể cải tiến thuật toán sắp xếp chèn nhờ nhận xét: Khi dãy khoá k[1..i-1] đã được sắp xếp
thì việc tìm vị trí chèn có thể làm bằng thuật toán tìm kiếm nhị phân và kỹ thuật chèn có thể
làm bằng các lệnh dịch chuyển vùng nhớ cho nhanh. Tuy nhiên điều đó cũng không làm giảm
đi độ phức tạp của thuật toán bởi trong trường hợp xấu nhất, ta phải mất n - 1 lần chèn và lần
chèn thứ i ta phải dịch lùi i khoá để tạo ra khoảng trống trước khi đẩy giá trị khoá chèn vào
chỗ trống đó.
92 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure InsertionSortwithBinarySearching;
var
i, inf, sup, median: Integer;
tmp: TKey;
begin
for i := 2 to n do
begin
tmp := k[i]; {Giữ lại giá trị k[i]}
inf := 1; sup := i - 1; {Tìm chỗ chèn giá trị tmp vào đoạn từ k[inf] tới k[sup+1]}
repeat {Sau mỗi vòng lặp này thì đoạn tìm bị co lại một nửa}
median := (inf + sup) div 2; {Xét chỉ số nằm giữa chỉ số inf và chỉ số sup}
if tmp < k[median] then sup := median - 1
else inf := median + 1;
until inf > sup; { Kết thúc vòng lặp thì inf = sup + 1 chính là vị trí chèn}
<Dịch các khoá từ k[inf] tới k[i-1] lùi sau một vị trí>
k[inf] := tmp; {Đưa giá trị tmp vào "khoảng trống" mới tạo ra}
end;
end;
8.5. SHELLSORT
Nhược điểm của thuật toán sắp xếp kiểu chèn thể hiện khi mà ta luôn phải chèn một khóa vào
vị trí gần đầu dãy. Trong trường hợp đó, người ta sử dụng phương pháp ShellSort.
Xét dãy khoá: k[1..n]. Với một số nguyên dương h: 1 ≤ h ≤ n, ta có thể chia dãy đó thành h
dãy con:
Dãy con 1: k[1], k[1+h], k[1 + 2h], ...
Dãy con 2: k[2], k[2+h], k[2 + 2h], ...
...
Dãy con h: k[h], k[2h], k[3h], ...
Ví dụ như dãy (4, 6, 7, 2, 3, 5, 1, 9, 8); n = 9; h = 3. Có 3 dãy con.
Dãy khoá chính: 4 6 7 2 3 5 1 9 8
Dãy con 1: 4 2 1
Dãy con 2: 6 3 9
Dãy con 3: 7 5 8
Những dãy con như vậy được gọi là dãy con xếp theo độ dài bước h. Tư tưởng của thuật toán
ShellSort là: Với một bước h, áp dụng thuật toán sắp xếp kiểu chèn từng dãy con độc lập để
làm mịn dần dãy khoá chính. Rồi lại làm tương tự đối với bước h div 2 ... cho tới khi h = 1 thì
ta được dãy khoá sắp xếp.
Như ở ví dụ trên, nếu dùng thuật toán sắp xếp kiểu chèn thì khi gặp khoá k[7] = 1, là khoá nhỏ
nhất trong dãy khoá, nó phải chèn vào vị trí 1, tức là phải thao tác trên 6 khoá đứng trước nó.
Nhưng nếu coi 1 là khoá của dãy con 1 thì nó chỉ cần chèn vào trước 2 khoá trong dãy con đó
mà thôi. Đây chính là nguyên nhân ShellSort hiệu quả hơn sắp xếp chèn: Khoá nhỏ được
nhanh chóng đưa về gần vị trí đúng của nó.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 93
Lê Minh Hoàng
procedure ShellSort;
var
i, j, h: Integer;
tmp: TKey;
begin
h := n div 2;
while h <> 0 do {Làm mịn dãy với độ dài bước h}
begin
for i := h + 1 to n do
begin {Sắp xếp chèn trên dãy con a[i-h], a[i], a[i+h], a[i+2h], ...}
tmp := k[i]; j := i - h;
while (j > 0) and (k[j] > tmp) do
begin
k[j+h] := k[j];
j := j - h;
end;
k[j+h] := tmp;
end;
h := h div 2;
end;
end;
Trên đây là phiên bản nguyên thuỷ của ShellSort do D.L.Shell đưa ra năm 1959. Độ dài bước
được đem div 2 sau mỗi lần lặp. Dễ thấy rằng để ShellSort hoạt động đúng thì chỉ cần dãy
bước h giảm dần về 1 sau mỗi bước lặp là được, đã có một số nghiên cứu về việc chọn dãy
bước h cho ShellSort nhằm tăng hiệu quả của thuật toán.
ShellSort hoạt động nhanh và dễ cài đặt, tuy vậy việc đánh giá độ phức tạp tính toán của
ShellSort là tương đối khó, ta chỉ thừa nhận các kết quả sau đây:
Nếu các bước h được chọn theo thứ tự ngược từ dãy 1, 3, 7, 15, ..., 2i-1, ... thì độ phức tạp
tính toán của ShellSort là O(n3/2).
Nếu các bước h được chọn theo thứ tự ngược từ dãy 1, 8, 23, 77, ..., 4i+1 + 3.2i + 1, ... thì độ
phức tạp tính toán của ShellSort là O(n4/3).
Nếu các bước h được chọn theo thứ tự ngược từ dãy 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, ..., 2i3j, ... (dãy
tăng dần của các phần tử dạng 2i3j) thì độ phức tạp tính toán của ShellSort là O(n(logn)2).
8.6. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU PHÂN ĐOẠN (QUICKSORT)
8.6.1. Tư tưởng của QuickSort
QuickSort - thuật toán được đề xuất bởi C.A.R. Hoare - là một phương pháp sắp xếp tốt nhất,
nghĩa là dù dãy khoá thuộc kiểu dữ liệu có thứ tự nào, QuickSort cũng có thể sắp xếp được và
chưa có một thuật toán sắp xếp tổng quát nào nhanh hơn QuickSort về mặt tốc độ trung bình
(theo tôi biết). Hoare đã mạnh dạn lấy chữ "Quick" để đặt tên cho thuật toán.
Ý tưởng chủ đạo của phương pháp có thể tóm tắt như sau: Sắp xếp dãy khoá k[1..n] thì có thể
coi là sắp xếp đoạn từ chỉ số 1 tới chỉ số n trong dãy khoá đó. Để sắp xếp một đoạn trong dãy
khoá, nếu đoạn đó có ít hơn 2 khoá thì không cần phải làm gì cả, còn nếu đoạn đó có ít nhất 2
khoá, ta chọn một khoá ngẫu nhiên nào đó của đoạn làm "chốt" (Pivot). Mọi khoá nhỏ hơn
khoá chốt được xếp vào vị trí đứng trước chốt, mọi khoá lớn hơn khoá chốt được xếp vào vị
trí đứng sau chốt. Sau phép hoán chuyển như vậy thì đoạn đang xét được chia làm hai đoạn
94 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
khác rỗng mà mọi khoá trong đoạn đầu đều ≤ chốt và mọi khoá trong đoạn sau đều ≥ chốt.
Hay nói cách khác: Mỗi khoá trong đoạn đầu đều ≤ mọi khoá trong đoạn sau. Và vấn đề trở
thành sắp xếp hai đoạn mới tạo ra (có độ dài ngắn hơn đoạn ban đầu) bằng phương pháp
tương tự.
procedure QuickSort;
procedure Partition(L, H: Integer); {Sắp xếp dãy khoá k[L..H]}
var
i, j: Integer;
Pivot: TKey; {Biến lưu giá trị khoá chốt}
begin
if L ≥ H then Exit; {Nếu đoạn chỉ có ≤ 1 khoá thì không phải làm gì cả}
Pivot := k[Random(H - L + 1) + L]; {Chọn một khoá ngẫu nhiên trong đoạn làm khoá chốt}
i := L; j := H; {i := vị trí đầu đoạn; j := vị trí cuối đoạn}
repeat
while k[i] < Pivot do i := i + 1; {Tìm từ đầu đoạn khoá ≥ khoá chốt}
while k[j] > Pivot do j := j - 1; {Tìm từ cuối đoạn khoá ≤ khoá chốt}
{Đến đây ta tìm được hai khoá k[i] và k[j] mà k[i] ≥ key ≥ k[j]}
if i ≤ j then
begin
if i < j then {Nếu chỉ số i đứng trước chỉ số j thì đảo giá trị hai khoá k[i] và k[j]}
〈Đảo giá trị k[i] và k[j]〉; {Sau phép đảo này ta có: k[i] ≤ key ≤ k[j]}
i := i + 1; j := j - 1;
end;
until i > j;
Partition(L, j); Partition(i, H); {Sắp xếp hai đoạn con mới tạo ra}
end;
begin
Partition(1, n);
end;
Ta thử phân tích xem tại sao đoạn chương trình trên hoạt động đúng: Xét vòng lặp
repeat...until trong lần lặp đầu tiên, vòng lặp while thứ nhất chắc chắn sẽ tìm được khoá k[i]
≥ khoá chốt bởi chắc chắn tồn tại trong đoạn một khoá bằng khóa chốt. Tương tự như vậy,
vòng lặp while thứ hai chắc chắn tìm được khoá k[j] ≤ khoá chốt. Nếu như khoá k[i] đứng
trước khoá k[j] thì ta đảo giá trị hai khoá, cho i tiến và j lùi. Khi đó ta có nhận xét rằng mọi
khoá đứng trước vị trí i sẽ phải ≤ khoá chốt và mọi khoá đứng sau vị trí j sẽ phải ≥ khoá chốt.
kL ... ... ... ki ... ... ... kj ... ... ... kH
≤ Khoá chốt ≥ Khoá chốt
Hình 29: Vòng lặp trong của QuickSort
Điều này đảm bảo cho vòng lặp repeat...until tại bước sau, hai vòng lặp while...do bên trong
chắc chắn lại tìm được hai khoá k[i] và k[j] mà k[i] ≥ khoá chốt ≥ k[j], nếu khoá k[i] đứng
trước khoá k[j] thì lại đảo giá trị của chúng, cho i tiến lên một vị trí và j lùi về một vị trí. Vậy
vòng lặp repeat...until sẽ đảm bảo tại mỗi bước:
Hai vòng lặp while...do bên trong luôn tìm được hai khoá k[i], k[j] mà k[i] ≥ khoá chốt ≥
k[j]. Không có trường hợp hai chỉ số i, j chạy ra ngoài đoạn (luôn luôn có L ≤ i, j ≤ H).
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 95
Lê Minh Hoàng
Sau mỗi phép hoán chuyển, mọi khoá đứng trước vị trí i luôn ≤ khoá chốt và mọi khoá
đứng sau vị trí j luôn ≥ khoá chốt.
Vòng lặp repeat ...until sẽ kết thúc khi mà chỉ số i đứng phía sau chỉ số j (Hình 30).
kL ... ... ... kj ... ... ... ki ... ... ... kH
≤ Khoá chốt
≥ Khoá chốt
Hình 30: Trạng thái trước khi gọi đệ quy
Theo những nhận xét trên, nếu có một khoá nằm giữa k[j] và k[i] thì khoá đó phải đúng bằng
khoá chốt và nó đã được đặt ở vị trí đúng của nó, nên có thể bỏ qua khoá này mà chỉ xét hai
đoạn ở hai đầu. Công việc còn lại là gọi đệ quy để làm tiếp với đoạn từ k[L] tới k[j] và đoạn
từ k[i] tới k[H]. Hai đoạn này ngắn hơn đoạn đang xét bởi vì L ≤ j < i ≤ H. Vậy thuật toán
không bao giờ bị rơi vào quá trình vô hạn mà sẽ dừng và cho kết quả đúng đắn.
Xét về độ phức tạp tính toán, trường hợp tốt nhất là tại mỗi bước chọn chốt để phân đoạn, ta
chọn đúng trung vị của dãy khoá (giá trị sẽ đứng giữa dãy khi sắp thứ tự), khi đó độ phức tạp
tính toán của QuickSort là Θ(nlgn). Trường hợp tồi tệ nhất là tại mỗi bước chọn chốt để phân
đoạn, ta chọn đúng vào khoá lớn nhất hoặc nhỏ nhất của dãy khoá, tạo ra một đoạn gồm 1
khoá và đoạn còn lại gồm n - 1 khoá, khi đó độ phức tạp tính toán của QuickSort là Θ(n2).
Thời gian thực hiện giải thuật QuickSort trung bình là Θ(nlgn). Việc chứng minh các kết quả
này phải sử dụng những công cụ toán học phức tạp, ta thừa nhận những điều nói trên.
8.6.2. Trung vị và thứ tự thống kê (median and order statistics)
Việc chọn chốt cho phép phân đoạn quyết định hiệu quả của QuickSort, nếu chọn chốt không
tốt, rất có thể việc phân đoạn bị suy biến thành trường hợp xấu khiến QuickSort hoạt động
chậm và tràn ngăn xếp chương trình con khi gặp phải dây chuyền đệ qui quá dài. Những ví dụ
sau đây cho thấy với một chiến lược chọn chốt tồi có thể dễ dàng tìm ra những bộ dữ liệu
khiến QuickSort hoạt động chậm.
Với m khá lớn:
Nếu như chọn chốt là khoá đầu đoạn (Pivot := k[L]) hay chọn chốt là khoá cuối đoạn
(Pivot := k[H]) thì QuickSort sẽ trở thành "Slow"Sort với dãy (1, 2, ..., m).
Nếu như chọn chốt là khoá giữa đoạn (Pivot := k[(L+H) div 2]) thì QuickSort cũng trở
thành "Slow"Sort với dãy (1, 2, ..., m-1, m, m, m-1, ..., 2, 1).
Trong trường hợp chọn chốt là khoá nằm ở vị trí ngẫu nhiên trong đoạn, thật khó có thể
tìm ra một bộ dữ liệu khiến cho QuickSort hoạt động chậm. Nhưng ta cũng cần hiểu rằng
với mọi thuật toán tạo số ngẫu nhiên, trong m! dãy hoán vị của dãy (1, 2, ... m) thế nào
cũng có một dãy làm QuickSort bị suy biến, tuy nhiên xác suất xảy ra dãy này quá nhỏ và
cũng rất khó để chỉ ra nên việc sử dụng cách chọn chốt là khoá nằm ở vị trí ngẫu nhiên có
thể coi là an toàn với các trường hợp suy biến của QuickSort.
96 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Phần "trung vị và thứ tự thống kê" này được trình bày trong nội dung thảo luận về QuickSort
bởi nó cung cấp một chiến lược chọn chốt "đẹp" trên lý thuyết, nghĩa là trong trường hợp xấu
nhất, độ phức tạp tính toán của QuickSort cũng chỉ là O(nlgn) mà thôi. Để giải quyết vấn đề
suy biến của QuickSort, ta xét bài toán tìm trung vị của dãy khoá và bài toán tổng quát hơn:
Bài toán thứ tự thống kê (Order statistics).
Bài toán: Cho dãy khoá k1, k2, ..., kn, hãy chỉ ra khoá sẽ đứng thứ p trong dãy khi sắp thứ tự.
Khi p = n div 2 thì bài toán thứ tự thống kê trở thành bài toán tìm trung vị của dãy khoá. Sau
đây ta sẽ nói về một số cách giải quyết bài toán thứ tự thống kê với mục tiêu cuối cùng là tìm
ra một thuật toán để giải bài toán này với độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất là O(n)
Cách tệ nhất mà ai cũng có thể nghĩ tới là sắp xếp lại toàn bộ dãy k và đưa ra khoá đứng thứ p
của dãy đã sắp. Trong các thuật toán sắp xếp tổng quát mà ta thảo luận trong bài, không thuật
toán nào cho phép thực hiện việc này với độ phức tạp xấu nhất và trung bình là Θ(n) cả.
Cách thứ hai là sửa đổi một chút thủ tục Partition của QuickSort: thủ tục Partition chọn khoá
chốt và chia đoạn đang xét làm hai đoạn con (thực ra là ba): Các khoá của đoạn đầu ≤ chốt,
các khoá của đoạn giữa = chốt, các khoá của đoạn sau ≥ chốt. Khi đó ta hoàn toàn có thể xác
định được khoá cần tìm nằm ở đoạn nào. Nếu khoá đó nằm ở đoạn giữa thì ta chỉ việc trả về
giá trị khoá chốt. Nếu khoá đó nằm ở đoạn đầu hay đoạn sau thì chỉ cần gọi đệ quy làm tương
tự với một trong hai đoạn đó chứ không cần gọi đệ quy để sắp xếp cả hai đoạn như QuickSort.
{
Input: Dãy khoá k[1..n], số p (1 ≤ p ≤ n)
Output: Giá trị khoá đứng thứ p trong dãy sau khi sắp thứ tự được trả về trong lời gọi hàm Select(1, n)
}
function Select(L, H: Integer): TKey; {Tìm trong đoạn k[L..H]}
var
Pivot: TKey;
i, j: Integer;
begin
Pivot := k[Random(H - L + 1) + L];
i := L; j := H;
repeat
while k[i] < Pivot do i := i + 1;
while k[j] > Pivot do j := j - 1;
if i ≤ j then
begin
if i < j then 〈Đảo giá trị k[i] và k[j]〉;
i := i + 1; j := j - 1;
end;
until i > j;
{Xác định khoá cần tìm nằm ở đoạn nào}
if p ≤ j then Select := Select(L, j) {Khoá cần tìm nằm trong đoạn đầu}
else
if p ≥ i then Select := Select(i, H) {Khoá cần tìm nằm trong đoạn sau}
else Select := Pivot; {Khoá cần tìm nằm ở đoạn giữa, chỉ cần trả về Pivot}
end;
Cách thứ hai tốt hơn cách thứ nhất khi phân tích độ phức tạp trung bình về thời gian thực
hiện giải thuật (Có thể chứng minh được là O(n)). Tuy nhiên trong trường hợp xấu nhất, giải
thuật này vẫn có độ phức tạp O(n2) khi cần chỉ ra khoá lớn nhất của dãy khoá và chốt Pivot
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 97
Lê Minh Hoàng
được chọn luôn là khoá nhỏ nhất của đoạn k[L..H]. Ta vẫn phải hướng tới một thuật toán tốt
hơn nữa.
Cách thứ ba: Sự bí hiểm của số 5.
Ta sẽ viết một hàm Select(L, H, p) trả về khoá sẽ đứng thứ p khi sắp xếp dãy khoá k[L..H].
Nếu dãy này có ít hơn 50 khoá, thuật toán sắp xếp kiểu chèn sẽ được áp dụng trên dãy khoá
này và sau đó giá trị k[L + p - 1] sẽ được trả về trong kết quả hàm Select.
Nếu dãy này có ≥ 50 khoá, ta chia các khoá k[L..H] thành các nhóm 5 khoá:
k[L + 0..L + 4]
k[L + 5..L + 9]
...
Nếu cuối cùng quá trình chia nhóm còn lại ít hơn 5 khoá (do độ dài đoạn k[L..H] không chia
hết cho 5), ta bỏ qua không xét những khoá dư thừa này.
Với mỗi nhóm 5 khoá kể trên, ta tìm trung vị của nhóm (gọi tắt là trung vị nhóm - khoá đứng
thứ 3 khi sắp thứ tự 5 khoá) và đẩy trung vị nhóm ra đầu đoạn k[L..H] theo thứ tư:
Trung vị của k[L + 0..L + 4] sẽ được đảo giá trị cho k[L]
Trung vị của k[L + 5..L + 9] sẽ được đảo giá trị cho k[L + 1]
...
Giả sử trung vị của nhóm cuối cùng sẽ được đảo giá trị cho k[j].
Sau khi các trung vị nhóm đã tập trung về các vị trí k[L..j], ta đặt Pivot bằng trung vị của các
trung vị nhóm bằng một lệnh gọi đệ quy hàm Select:
Pivot := Select(L, j, (j - L + 1) div 2);
Tiếp tục các lệnh của hàm Select như thế nào sẽ bàn sau, bây giờ ta giả sử hàm Select hoạt
động đúng để xét một tính chất quan trọng của Pivot:
Nếu độ dài đoạn k[L..H] là η thì có η div 5 nhóm, nên cũng có η div 5 trung vị nhóm. Pivot là
trung vị của các trung vị nhóm nên Pivot phải lớn hơn hay bằng (η div 5) div 2 trung vị nhóm,
mỗi trung vị nhóm lại lớn hơn hay bằng 2 khoá khác của nhóm. Vậy có thể suy ra rằng Pivot
lớn hơn hay bằng (η div 5 div 2 * 3) khoá của đoạn k[L..H]. Lập luận tương tự, ta có Pivot
nhỏ hơn hay bằng (η div 5 div 2 * 3) khoá khác của đoạn k[L..H]. Với n ≥ 50, ta có η div 5
div 2 * 3 ≥ η/4. Suy ra:
Có ít nhất η/4 khoá nhỏ hơn hay bằng Pivot ⇒ có nhiều nhất 3η/4 khoá lớn hơn Pivot
Có ít nhất η/4 khoá lớn hơn hay bằng Pivot ⇒ có nhiều nhất 3η/4 khoá nhỏ hơn Pivot
Ta quay lại xây dựng tiếp hàm Select, khi đã có Pivot, ta có thể đếm được bao nhiêu khoá
trong đoạn k[L..H] nhỏ hơn Pivot, bao nhiêu khoá bằng Pivot và bao nhiêu khoá lớn hơn
Pivot, từ đó xác định được giá trị cần tìm nhỏ hơn, lớn hơn, hay bằng Pivot. Nếu giá trị cần
tìm bằng Pivot thì chỉ cần trả về Pivot trong kết quả hàm. Nếu giá trị cần tìm nhỏ hơn Pivot, ta
dồn tất cả các khoá nhỏ hơn Pivot trong đoạn k[L..H] về đầu đoạn và gọi đệ quy tìm tiếp với
98 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
đoạn đầu này (Chú ý rằng độ dài đoạn được xét tiếp trong lời gọi đệ quy không quá ¾ lần độ
dài đoạn k[L..H]), vấn đề tương tự đối với trường hợp giá trị cần tìm lớn hơn Pivot.
procedure InsertionSort(L, H: Integer);
begin
〈Dùng InsertionSort sắp xếp dãy k[L..H]〉;
end;
function Select(L, H, p: Integer): TKey; {Hàm trả về khoá nhỏ thứ p trong dãy khoá k[L..H]}
var
i, j, cL, cE: Integer;
Pivot: TKey;
begin
if H - L < 49 then {Nếu độ dài đoạn ít hơn 50 khoá}
begin
InsertionSort(L, H); {Thực hiện sắp xếp chèn}
Select := k[L + p - 1]; {Và trả về phần tử nhỏ thứ p}
Exit;
end;
j := L - 1; i := L;
repeat {Tìm trung vị của k[i, i + 4] chuyển về đầu đoạn}
InsertionSort(i, i + 4);
j := j + 1;
〈Đảo giá trị k[i + 2] cho k[j]〉;
i := i + 5;
until i + 5 > H;
Pivot := Select(L, j, (j - L + 1) div 2);
cL := 0; cE := 0; {đếm cL: số phần tử nhỏ hơn Pivot, cE: số phần tử bằng Pivot trong dãy k[L, H]}
for i := L to H do
if k[i] < Pivot then cL := cL + 1;
else if k[i] = Pivot then cE := cE + 1;
if (cL < p) and (p <= cL + cE) then {Giá trị cần tìm bằng Pivot}
begin
Select := Pivot;
Exit;
end;
j := L - 1;
if p <= cL then {Giá trị cần tìm nhỏ hơn Pivot}
begin
for i := L to H do {Dồn các khoá nhỏ hơn Pivot về đầu đoạn}
if k[i] < Pivot then
begin
j := j + 1;
〈Đảo giá trị k[i] cho k[j]〉;
end;
Select := Select(L, j, p); {Gọi đệ quy tìm tiếp trong đoạn k[L..j]}
end
else {Giá trị cần tìm lớn hơn Pivot}
begin
for i := L to H do {Dồn các khoá lớn hơn Pivot về đầu đoạn}
if k[i] > Pivot then
begin
j := j + 1;
〈Đảo giá trị k[i] cho k[j]〉;
end;
Select := Select(L, j, p - cL - cE); {Gọi đệ quy tìm tiếp trong đoạn k[L..j]}
end;
end;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 99
Lê Minh Hoàng
Ta sẽ chỉ ra rằng độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là O(n) trong trường hợp xấu nhất.
Nếu gọi T(n) là thời gian thực hiện hàm Select trong trường hợp xấu nhất với độ dài dãy khoá
k[L..H] bằng n. Ta có:
1
2
c , if n 50
T(n) c .n T n T 3n
5 4
≤ ⎧⎪
≤ ⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bởi khi n ≤ 50 thì thuật toán sắp xếp chèn sẽ được thực hiện, có thể coi đoạn chương trình này
kết thúc trong thời gian c1 với c1 là một hằng số đủ lớn. Khi n > 50, nhìn vào các đoạn mã
trong hàm Select, lệnh Pivot := Select(L, j, (j - L + 1) div 2) có thời gian thực hiện T(n div 5).
Lệnh Select := Select(L, j, ...) có thời gian thực hiện không quá T(3n/4) do tính chất của Pivot.
Thời gian thực hiện các lệnh khác trong hàm Select tổng lại có thể coi là không quá c2.n với c2
là một hằng số đủ lớn. Đặt c = max(c1, 20c2), ta có:
Với 1 ≤ n ≤ 50, rõ ràng T(n) ≤ c1 ≤ c.n. Giả thiết quy nạp rằng T(m) ≤ c.m với ∀m < n, ta sẽ
chứng minh T(n) ≤ c.n, thật vậy:
2
T(n) c .n c. n c. 3n c. 1 .n c.1 .n c. 3 .n c.n
5 4 20 5 4
≤ + + ≤ + + =
Ta có điều phải chứng minh: T(n) = O(n). Sự bí ẩn của việc chọn số 5 cho kích thước nhóm
đã được giải thích (1/5 + 3/4 < 1)
8.6.3. Kết luận:
Có thể giải bài toán thứ tự thống kê bằng thuật toán có độ phức tạp O(n) trong trường hợp
xấu nhất.
Có thể cài đặt thuật toán QuickSort với độ phức tạp O(nlgn) trong trường hợp xấu nhất bởi
tại mỗi lần phân đoạn của QuickSort ta có thể tìm được trung vị của dãy trong thời gian
O(n) bằng việc giải quyết bài toán thứ tự thống kê
Cho tới thời điểm này, khi giải mọi bài toán có chứa thủ tục sắp xếp, có thể coi là có cách
cài đặt để thời gian thực hiện thủ tục sắp xếp đó là O(nlgn) với mọi tình trạng dữ liệu.
8.7. THUẬT TOÁN SẮP XẾP KIỂU VUN ĐỐNG (HEAPSORT)
HeapSort được đề xuất bởi J.W.J.Williams năm 1981, thuật toán không những đóng góp một
phương pháp sắp xếp hiệu quả mà còn xây dựng một cấu trúc dữ liệu quan trọng để biểu diễn
hàng đợi có độ ưu tiên: Cấu trúc dữ liệu Heap.
8.7.1. Đống (heap)
Đống là một dạng cây nhị phân hoàn chỉnh đặc biệt mà giá trị lưu tại mọi nút có độ ưu tiên
cao hơn hay bằng giá trị lưu trong hai nút con của nó. Trong thuật toán sắp xếp kiểu vun đống,
ta coi quan hệ "ưu tiên hơn hay bằng" là quan hệ "lớn hơn hay bằng": ≥
100 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
10
9 6
7 8 4 1
3 2 5
Hình 31: Heap
8.7.2. Vun đống
Trong bài §6, ta đã biết một dãy khoá k[1..n] là biểu diễn của một cây nhị phân hoàn chỉnh mà
k[i] là giá trị lưu trong nút thứ i, nút con của nút thứ i là nút 2i và nút 2i + 1, nút cha của nút
thứ j là nút j div 2. Vấn đề đặt ra là sắp lại dãy khoá đã cho để nó biểu diễn một đống.
Vì cây nhị phân chỉ gồm có một nút hiển nhiên là đống, nên để vun một nhánh cây gốc r
thành đống, ta có thể coi hai nhánh con của nó (nhánh gốc 2r và 2r + 1) đã là đống rồi và
thực hiện thuật toán vun đống từ dưới lên (bottom-up) đối với cây: Gọi h là chiều cao của cây,
nút ở mức h (nút lá) đã là gốc một đống, ta vun lên để những nút ở mức h - 1 cũng là gốc của
đống, ... cứ như vậy cho tới nút ở mức 1 (nút gốc) cũng là gốc của đống.
Thuật toán vun thành đống đối với cây gốc r, hai nhánh con của r đã là đống rồi:
Giả sử ở nút r chứa giá trị V. Từ r, ta cứ đi tới nút con chứa giá trị lớn nhất trong 2 nút con,
cho tới khi gặp phải một nút c mà mọi nút con của c đều chứa giá trị ≤ V (nút lá cũng là
trường hợp riêng của điều kiện này). Dọc trên đường đi từ r tới c, ta đẩy giá trị chứa ở nút con
lên nút cha và đặt giá trị V vào nút c.
4
10 9
7 8 6 1
3 5 2
10
8 9
7 4 6 1
3 5 2
Hình 32: Vun đống
8.7.3. Tư tưởng của HeapSort
Đầu tiên, dãy khoá k[1..n] được vun từ dưới lên để nó biểu diễn một đống, khi đó khoá k[1]
tương ứng với nút gốc của đống là khoá lớn nhất, ta đảo giá trị khoá đó cho k[n] và không
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 101
Lê Minh Hoàng
tính tới k[n] nữa (Hình 33). Còn lại dãy khoá k[1..n-1] tuy không còn là biểu diễn của một
đống nữa nhưng nó lại biểu diễn cây nhị phân hoàn chỉnh mà hai nhánh cây ở nút thứ 2 và nút
thứ 3 (hai nút con của nút 1) đã là đống rồi. Vậy chỉ cần vun một lần, ta lại được một đống,
đảo giá trị k[1] cho k[n-1] và tiếp tục cho tới khi đống chỉ còn lại 1 nút (Hình 34).
Ví dụ:
10
8 9
7 4 6 1
3 5 2
2
8 9
7 4 6 1
3 5 10
Hình 33: Đảo giá trị k[1] cho k[n] và xét phần còn lại
8 6
7 4 2 1
3 5
9
8 6
7 4 2 1
3 9
5
Hình 34: Vun phần còn lại thành đống rồi lại đảo trị k[1] cho k[n-1]
Thuật toán HeapSort có hai thủ tục chính:
Thủ tục Adjust(root, endnode) vun cây gốc root thành đống trong điều kiện hai cây gốc
2.root và 2.root +1 đã là đống rồi. Các nút từ endnode + 1 tới n đã nằm ở vị trí đúng và
không được tính tới nữa.
Thủ tục HeapSort mô tả lại quá trình vun đống và chọn khoá theo ý tưởng trên:
102 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure HeapSort;
var
r, i: Integer;
procedure Adjust(root, endnode: Integer); {Vun cây gốc Root thành đống}
var
c: Integer;
Key: TKey; {Biến lưu giá trị khoá ở nút Root}
begin
Key := k[root];
while root * 2 ≤ endnode do {Chừng nào root chưa phải là lá}
begin
c := Root * 2; {Xét nút con trái của Root, so sánh với giá trị nút con phải, chọn ra nút mang giá trị lớn nhất}
if (c < endnode) and (k[c] < k[c+1]) then c := c + 1;
if k[c] ≤ Key then Break; {Cả hai nút con của Root đều mang giá trị ≤ Key thì dừng ngay}
k[root] := k[c]; root := c; {Chuyển giá trị từ nút con c lên nút cha root và đi xuống xét nút con c}
end;
k[root] := Key; {Đặt giá trị Key vào nút root}
end;
begin {Bắt đầu thuật toán HeapSort}
for r := n div 2 downto 1 do Adjust(r, n); {Vun cây từ dưới lên tạo thành đống}
for i := n downto 2 do
begin
〈Đảo giá trị k[1] và k[i]〉; {Khoá lớn nhất được chuyển ra cuối dãy}
Adjust(1, i - 1); {Vun phần còn lại thành đống}
end;
end;
Về độ phức tạp của thuật toán, ta đã biết rằng cây nhị phân hoàn chỉnh có n nút thì chiều cao
của nó là [lg(n)] + 1. Cứ cho là trong trường hợp xấu nhất thủ tục Adjust phải thực hiện tìm
đường đi từ nút gốc tới nút lá ở xa nhất thì đường đi tìm được cũng chỉ dài bằng chiều cao của
cây nên thời gian thực hiện một lần gọi Adjust là O(lgn). Từ đó có thể suy ra, trong trường
hợp xấu nhất, độ phức tạp của HeapSort cũng chỉ là O(nlgn). Việc đánh giá thời gian thực
hiện trung bình phức tạp hơn, ta chỉ ghi nhận một kết quả đã chứng minh được là độ phức tạp
trung bình của HeapSort cũng là O(nlgn).
8.8. SẮP XẾP BẰNG PHÉP ĐẾM PHÂN PHỐI (DISTRIBUTION COUNTING)
Có một thuật toán sắp xếp đơn giản cho trường hợp đặc biệt: Dãy khoá k[1..n] là các số
nguyên nằm trong khoảng từ 0 tới M (TKey = 0..M).
Ta dựng dãy c[0..M] các biến đếm, ở đây c[V] là số lần xuất hiện giá trị V trong dãy khoá:
for V := 0 to M do c[V] := 0; {Khởi tạo dãy biến đếm}
for i := 1 to n do c[k[i]] := c[k[i]] + 1;
Ví dụ với dãy khoá: 1, 2, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 3 (n = 10, M = 3), sau bước đếm ta có:
c[0] = 2; c[1] = 3; c[2] = 2; c[3] = 3.
Dựa vào dãy biến đếm, ta hoàn toàn có thể biết được: sau khi sắp xếp thì giá trị V phải nằm từ
vị trí nào tới vị trí nào. Như ví dụ trên thì giá trị 0 phải nằm từ vị trí 1 tới vị trí 2; giá trị 1 phải
đứng liên tiếp từ vị trí 3 tới vị trí 5; giá trị 2 đứng ở vị trí 6 và 7 còn giá trị 3 nằm ở ba vị trí
cuối 8, 9, 10:
0 0 1 1 1 2 2 3 3 3
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 103
Lê Minh Hoàng
Tức là sau khi sắp xếp:
Giá trị 0 đứng trong đoạn từ vị trí 1 tới vị trí c[0].
Giá trị 1 đứng trong đoạn từ vị trí c[0]+1 tới vị trí c[0]+c[1].
Giá trị 2 đứng trong đoạn từ vị trí c[0]+c[1]+1 tới vị trí c[0]+c[1] c[2].
...
Giá trị v trong đoạn đứng từ vị trí c[0]+... +c[v-1]+1 tới vị trí c[0]+...+ c[v].
...
Để ý vị trí cuối của mỗi đoạn, nếu ta tính lại dãy c như sau:
for V := 1 to M do c[V] := c[V-1] + c[V]
Thì c[V] là vị trí cuối của đoạn chứa giá trị V trong dãy khoá đã sắp xếp.
Muốn dựng lại dãy khoá sắp xếp, ta thêm một dãy khoá phụ x[1..n]. Sau đó duyệt lại dãy khoá
k, mỗi khi gặp khoá mang giá trị V ta đưa giá trị đó vào khoá x[c[V]] và giảm c[V] đi 1.
for i := n downto 1 do
begin
V := k[i];
X[c[V]] := k[i]; c[V] := c[V] - 1;
end;
Khi đó dãy khoá x chính là dãy khoá đã được sắp xếp, công việc cuối cùng là gán giá trị dãy
khoá x cho dãy khoá k.
procedure DistributionCounting; {TKey = 0..M}
var
c: array[0..M] of Integer; {Dãy biến đếm số lần xuất hiện mỗi giá trị}
x: TArray; {Dãy khoá phụ}
i: Integer;
V: TKey;
begin
for V := 0 to M do c[V] := 0; {Khởi tạo dãy biến đếm}
for i := 1 to n do c[k[i]] := c[k[i]] + 1; {Đếm số lần xuất hiện các giá trị}
for V := 1 to M do c[V] := c[V-1] + c[V]; {Tính vị trí cuối mỗi đoạn}
for i := n downto 1 do
begin
V := k[i];
x[c[V]] := k[i]; c[V] := c[V] - 1;
end;
k := x; {Sao chép giá trị từ dãy khoá x sang dãy khoá k}
end;
Rõ ràng độ phức tạp của phép đếm phân phối là O(M + n)). Nhược điểm của phép đếm phân
phối là khi M quá lớn thì cho dù n nhỏ cũng không thể làm được.
Có thể có thắc mắc tại sao trong thao tác dựng dãy khoá x, phép duyệt dãy khoá k theo thứ tự
nào thì kết quả sắp xếp cũng vẫn đúng, vậy tại sao ta lại chọn phép duyệt ngược từ dưới lên?.
Để trả lời câu hỏi này, ta phải phân tích thêm một đặc trưng của các thuật toán sắp xếp:
8.9. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA THUẬT TOÁN SẮP XẾP (STABILITY)
Một phương pháp sắp xếp được gọi là ổn định nếu nó bảo toàn thứ tự ban đầu của các bản
ghi mang khoá bằng nhau trong danh sách. Ví dụ như ban đầu danh sách sinh viên được xếp
theo thứ tự tên alphabet, thì khi sắp xếp danh sách sinh viên theo thứ tự giảm dần của điểm thi,
104 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
những sinh viên bằng điểm nhau sẽ được dồn về một đoạn trong danh sách và vẫn được giữ
nguyên thứ tự tên alphabet.
Hãy xem lại nhưng thuật toán sắp xếp ở trước, trong những thuật toán đó, thuật toán sắp xếp
nổi bọt, thuật toán sắp xếp chèn và phép đếm phân phối là những thuật toán sắp xếp ổn định,
còn những thuật toán sắp xếp khác (và nói chung những thuật toán sắp xếp đòi hỏi phải đảo
giá trị 2 bản ghi ở vị trí bất kỳ) là không ổn định.
Với phép đếm phân phối ở mục trước, ta nhận xét rằng nếu hai bản ghi có khoá sắp xếp bằng
nhau thì khi đưa giá trị vào dãy bản ghi phụ, bản ghi nào vào trước sẽ nằm phía sau. Vậy nên
ta sẽ đẩy giá trị các bản ghi vào dãy phụ theo thứ tự ngược để giữ được thứ tự tương đối ban
đầu.
Nói chung, mọi phương pháp sắp xếp tổng quát cho dù không ổn định thì đều có thể biến đổi
để nó trở thành ổn định, phương pháp chung nhất được thể hiện qua ví dụ sau:
Giả sử ta cần sắp xếp các sinh viên trong danh sách theo thứ tự giảm dần của điểm bằng một
thuật toán sắp xếp ổn định. Ta thêm cho mỗi sinh viên một khoá Index là thứ tự ban đầu của
anh ta trong danh sách. Trong thuật toán sắp xếp được áp dụng, cứ chỗ nào cần so sánh hai
sinh viên A và B xem ai phải đứng trước, trước hết ta quan tâm tới điểm số: Nếu điểm của A
khác điểm của B thì người nào điểm cao hơn sẽ đứng trước, nếu điểm số bằng nhau thì người
nào có Index nhỏ hơn sẽ đứng trước.
Trong một số bài toán, tính ổn định của thuật toán sắp xếp quyết định tới cả tính đúng đắn của
toàn thuật toán lớn. Chính tính "nhanh" của QuickSort và tính ổn định của phép đếm phân
phối là cơ sở nền tảng cho hai thuật toán sắp xếp cực nhanh trên các dãy khoá số mà ta sẽ
trình bày dưới đây.
8.10. THUẬT TOÁN SẮP XẾP BẰNG CƠ SỐ (RADIX SORT)
Bài toán đặt ra là: Cho dãy khoá là các số tự nhiên k[1..n] hãy sắp xếp chúng theo thứ tự
không giảm. (Trong trường hợp ta đang xét, TKey là kiểu số tự nhiên)
8.10.1. Sắp xếp cơ số theo kiểu hoán vị các khoá (Radix Exchange Sort)
Hãy xem lại thuật toán QuickSort, tại bước phân đoạn nó phân đoạn đang xét thành hai đoạn
thoả mãn mỗi khoá trong đoạn đầu ≤ mọi khoá trong đoạn sau và thực hiện tương tự trên hai
đoạn mới tạo ra, việc phân đoạn được tiến hành với sự so sánh các khoá với giá trị một khoá
chốt.
Đối với các số nguyên thì ta có thể coi mỗi số nguyên là một dãy z bit đánh số từ bit 0 (bit ở
hàng đơn vị) tới bit z - 1 (bit cao nhất).
Ví dụ:
1 0 1 1
3 2 1 0
11 =
bit
(z = 4)
Hình 35: Đánh số các bit
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 105
Lê Minh Hoàng
Vậy thì tại bước phân đoạn dãy khoá từ k[1] tới k[n], ta có thể đưa những khoá có bit cao nhất
là 0 về đầu dãy, những khoá có bit cao nhất là 1 về cuối dãy. Dễ thấy rằng những khoá bắt đầu
bằng bit 0 sẽ phải nhỏ hơn những khoá bắt đầu bằng bit 1. Tiếp tục quá trình phân đoạn với
hai đoạn dãy khoá: Đoạn gồm các khoá có bit cao nhất là 0 và đoạn gồm các khoá có bit cao
nhất là 1. Với những khoá thuộc cùng một đoạn thì có bit cao nhất giống nhau, nên ta có thể
áp dụng quá trình phân đoạn tương tự trên theo bit thứ z - 2 và cứ tiếp tục như vậy ...
Quá trình phân đoạn kết thúc nếu như đoạn đang xét là rỗng hay ta đã tiến hành phân đoạn
đến tận bit đơn vị, tức là tất cả các khoá thuộc một trong hai đoạn mới tạo ra đều có bit đơn vị
bằng nhau (điều này đồng nghĩa với sự bằng nhau ở tất cả những bit khác, tức là bằng nhau về
giá trị khoá).
Ví dụ:
Xét dãy khoá: 1, 3, 7, 6, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Tương ứng với các dãy 3 bit:
001 011 111 110 101 010 011 100 100 101 110 111
Trước hết ta chia đoạn dựa vào bit 2 (bit cao nhất):
001 011 011 010 101 110 111 100 100 101 110 111
Sau đó chia tiếp hai đoạn tạo ra dựa vào bit 1:
001 011 011 010 101 101 100 100 111 110 110 111
Cuối cùng, chia tiếp những đoạn tạo ra dựa vào bit 0:
001 010 011 011 100 100 101 101 110 110 111 111
Ta được dãy khoá tương ứng: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7 là dãy khoá sắp xếp.
Quá trình chia đoạn dựa vào bit b có thể chia thành một đoạn rỗng và một đoạn gồm toàn bộ
các khoá còn lại, nhưng việc chia đoạn không bao giờ bị rơi vào quá trình đệ quy vô hạn bởi
những lần đệ quy tiếp theo sẽ phân đoạn dựa vào bit b - 1, b - 2 ...và nếu xét đến bit 0 sẽ phải
dừng lại. Công việc còn lại là cố gắng hiểu đoạn chương trình sau và phân tích xem tại sao nó
hoạt động đúng:
106 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure RadixExchangeSort;
var
z: Integer; {Độ dài dãy bit biểu diễn mỗi khoá}
procedure Partition(L, H, b: Integer); {Phân đoạn [L, H] dựa vào bit b}
var
i, j: Integer;
begin
if L ≥ H then Exit;
i := L; j := H;
repeat
{Hai vòng lặp trong dưới đây luôn cầm canh i < j}
while (i < j) and (Bit b của k[i] = 0) do i := i + 1; {Tìm khoá có bit b = 1 từ đầu đoạn}
while (i < j) and (Bit b của k[j] = 1) do j := j - 1; {Tìm khoá có bit b = 0 từ cuối đoạn}
〈Đảo giá trị k[i] cho k[j]〉;
until i = j;
if <Bit b của k[j] = 0> then j := j + 1; {j là điểm bắt đầu của đoạn có bit b là 1}
if b > 0 then {Chưa xét tới bit đơn vị}
begin
Partition(L, j - 1, b - 1); Partition(j, R, b - 1);
end;
end;
begin
〈Dựa vào giá trị lớn nhất của dãy khoá, xác định z là độ dài dãy bit biểu diễn mỗi khoá〉;
Partition(1, n, z - 1);
end;
Với Radix Exchange Sort, ta hoàn toàn có thể làm trên hệ cơ số R khác chứ không nhất thiết
phải làm trên hệ nhị phân (ý tưởng cũng tương tự như trên), tuy nhiên quá trình phân đoạn sẽ
không phải chia làm 2 mà chia thành R đoạn. Về độ phức tạp của thuật toán, ta thấy để phân
đoạn bằng một bit thì thời gian sẽ là C.n để chia tất cả các đoạn cần chia bằng bit đó (C là
hằng số). Vậy tổng thời gian phân đoạn bằng z bit sẽ là C.n.z. Trong trường hợp xấu nhất, độ
phức tạp của Radix Exchange Sort là O(n.z). Và độ phức tạp trung bình của Radix Exchange
Sort là O(n.min(z, lgn)).
Nói chung, Radix Exchange Sort cài đặt như trên chỉ thể hiện tốc độ tối đa trên các hệ thống
cho phép xử lý trực tiếp trên các bit: Hệ thống phải cho phép lấy một bit ra dễ dàng và thao
tác với thời gian nhanh hơn hẳn so với thao tác trên Byte và Word. Khi đó Radix Exchange
Sort sẽ tốt hơn nhiều QuickSort. (Ta thử lập trình sắp xếp các dãy nhị phân độ dài z theo thứ
tự từ điển để khảo sát). Trên các máy tính hiện nay chỉ cho phép xử lý trực tiếp trên Byte (hay
Word, DWord v.v...), việc tách một bit ra khỏi Byte đó để xử lý lại rất chậm và làm ảnh
hưởng không nhỏ tới tốc độ của Radix Exchange Sort. Chính vì vậy, tuy đây là một phương
pháp hay, nhưng khi cài đặt cụ thể thì tốc độ cũng chỉ ngang ngửa chứ không thể qua mặt
QuickSort được.
8.10.2. Sắp xếp cơ số trực tiếp (Straight Radix Sort)
Ta sẽ trình bày phương pháp sắp xếp cơ số trực tiếp bằng một ví dụ: Sắp xếp dãy khoá:
925 817 821 638 639 744 742 563 570 166
Trước hết, ta sắp xếp dãy khoá này theo thứ tự tăng dần của chữ số hàng đơn vị bằng một
thuật toán sắp xếp khác, được dãy khoá:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 107
Lê Minh Hoàng
570 821 742 563 744 925 166 817 638 639
Sau đó, ta sắp xếp dãy khoá mới tạo thành theo thứ tự tăng dần của chữ số hàng chục bằng
một thuật toán sắp xếp ổn định, được dãy khoá:
817 821 925 638 639 742 744 563 166 570
Vì thuật toán sắp xếp ta sử dụng là ổn định, nên nếu hai khoá có chữ số hàng chục giống nhau
thì khoá nào có chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn sẽ đứng trước. Nói như vậy có nghĩa là dãy khoá
thu được sẽ có thứ tự tăng dần về giá trị tạo thành từ hai chữ số cuối.
Cuối cùng, ta sắp xếp lại dãy khoá theo thứ tự tăng dần của chữ số hàng trăm cũng bằng một
thuật toán sắp xếp ổn định, thu được dãy khoá:
166 563 570 638 639 742 744 817 821 925
Lập luận tương tự như trên dựa vào tính ổn định của phép sắp xếp, dãy khoá thu được sẽ có
thứ tự tăng dần về giá trị tạo thành bởi cả ba chữ số, đó là dãy khoá đã sắp.
Nhận xét:
Ta hoàn toàn có thể coi số chữ số của mỗi khoá là bằng nhau, như ví dụ trên nếu có số 15
trong dãy khoá thì ta có thể coi nó là 015.
Cũng từ ví dụ, ta có thể thấy rằng số lượt thao tác sắp xếp phải áp dụng đúng bằng số chữ số
tạo thành một khoá. Với một hệ cơ số lớn, biểu diễn một giá trị khoá sẽ phải dùng ít chữ số
hơn. Ví dụ số 12345 trong hệ thập phân phải dùng tới 5 chữ số, còn trong hệ cơ số 1000 chỉ
cần dùng 2 chữ số AB mà thôi, ở đây A là chữ số mang giá trị 12 còn B là chữ số mang giá trị
345.
Tốc độ của sắp xếp cơ số trực tiếp phụ thuộc rất nhiều vào thuật toán sắp xếp ổn định tại mỗi
bước. Không có một lựa chọn nào khác tốt hơn phép đếm phân phối. Tuy nhiên, phép đếm
phân phối có thể không cài đặt được hoặc kém hiệu quả nếu như tập giá trị khoá quá rộng,
không cho phép dựng ra dãy các biến đếm hoặc phải sử dụng dãy biến đếm quá dài (Điều này
xảy ra nếu chọn hệ cơ số quá lớn).
Một lựa chọn khôn ngoan là nên chọn hệ cơ số thích hợp cho từng trường hợp cụ thể để dung
hoà tới mức tối ưu nhất ba mục tiêu:
Việc lấy ra một chữ số của một số được thực hiện dễ dàng
Sử dụng ít lần gọi phép đếm phân phối.
Phép đếm phân phối thực hiện nhanh
108 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure StraightRadixSort;
const
radix = ...; {Tuỳ chọn hệ cơ số radix cho hợp lý}
var
t: TArray; {Dãy khoá phụ}
p: Integer;
nDigit: Integer; {Số chữ số cho một khoá, đánh số từ chữ số thứ 0 là hàng đơn vị đến chữ số thứ nDigit - 1}
Flag: Boolean; {Flag = True thì sắp dãy k, ghi kết quả vào dãy t; Flag = False thì sắp dãy t, ghi kq vào k}
function GetDigit(Num: TKey; p: Integer): Integer; {Lấy chữ số thứ p của số Num (0≤p<nDigit)}
begin
GetDigit := Num div radixp mod radix; {Trường hợp cụ thể có thể có cách viết tốt hơn}
end;
{Sắp xếp ổn định dãy số x theo thứ tự tăng dần của chữ số thứ p, kết quả sắp xếp được chứa vào dãy số y}
procedure DCount(var x, y: TArray; p: Integer); {Thuật toán đếm phân phối, sắp từ x sang y}
var
c: array[0..radix - 1] of Integer; {c[d] là số lần xuất hiện chữ số d tại vị trí p}
i, d: Integer;
begin
for d := 0 to radix - 1 do c[d] := 0;
for i := 1 to n do
begin
d := GetDigit(x[i], p); c[d] := c[d] + 1;
end;
for d := 1 to radix - 1 do c[d] := c[d-1] + c[d]; {các c[d] trở thành các mốc cuối đoạn}
for i := n downto 1 do {Điền giá trị vào dãy y}
begin
d := GetDigit(x[i], p);
y[c[d]] := x[i]; c[d] := c[d] - 1;
end;
end;
begin {Thuật toán sắp xếp cơ số trực tiếp}
〈Dựa vào giá trị lớn nhất trong dãy khoá, xác định nDigit là số chữ số phải dùng cho mỗi khoá trong hệ radix〉;
Flag := True;
for p := 0 to nDigit - 1 do {Xét từ chữ số hàng đơn vị lên, sắp xếp ổn định theo chữ số thứ p}
begin
if Flag then DCount(k, t, p) else DCount(t, k, p);
Flag := not Flag; {Đảo cờ, dùng k tính t rồi lại dùng t tính k ...}
end;
if not Flag then k := t; {Nếu kết quả cuối cùng đang ở trong t thì sao chép giá trị từ t sang k}
end;
Xét phép đếm phân phối, ta đã biết độ phức tạp của nó là O(max(radix, n)). Mà radix là một
hằng số tự ta chọn từ trước, nên khi n lớn, độ phức tạp của phép đếm phân phối là O(n). Thuật
toán sử dụng nDigit lần phép đếm phân phối nên có thể thấy độ phức tạp của thuật toán là
O(n.nDigit) bất kể dữ liệu đầu vào.
Ta có thể coi sắp xếp cơ số trực tiếp là một mở rộng của phép đếm phân phối, khi dãy số chỉ
toàn các số có 1 chữ số (trong hệ radix) thì đó chính là phép đếm phân phối. Sự khác biệt ở
đây là: Sắp xếp cơ số trực tiếp có thể thực hiện với các khoá mang giá trị lớn; còn phép đếm
phân phối chỉ có thể làm trong trường hợp các khoá mang giá trị nhỏ, bởi nó cần một lượng
bộ nhớ đủ rộng để giăng ra dãy biến đếm số lần xuất hiện cho từng giá trị.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 109
Lê Minh Hoàng
8.11. THUẬT TOÁN SẮP XẾP TRỘN (MERGESORT)
Thuật toán sắp xếp trộn (MergeSort hay Collation Sort) là một trong những thuật toán sắp xếp
cổ điển nhất, được đề xuất bởi J.von Neumann năm 1945. Cho tới nay, người ta vẫn coi
MergeSort là một thuật toán sắp xếp ngoài mẫu mực, được đưa vào giảng dạy rộng rãi và
được tích hợp trong nhiều phần mềm thương mại.
8.11.1. Phép trộn 2 đường
Phép trộn 2 đường là phép hợp nhất hai dãy khoá đã sắp xếp để ghép lại thành một dãy khoá
có kích thước bằng tổng kích thước của hai dãy khoá ban đầu và dãy khoá tạo thành cũng có
thứ tự sắp xếp. Nguyên tắc thực hiện của nó khá đơn giản: so sánh hai khoá đứng đầu hai dãy,
chọn ra khoá nhỏ nhất và đưa nó vào miền sắp xếp (một dãy khoá phụ có kích thước bằng
tổng kích thước hai dãy khoá ban đầu) ở vị trí thích hợp. Sau đó, khoá này bị loại ra khỏi dãy
khoá chứa nó. Quá trình tiếp tục cho tới khi một trong hai dãy khoá đã cạn, khi đó chỉ cần
chuyển toàn bộ dãy khoá còn lại ra miền sắp xếp là xong.
Ví dụ: Với hai dãy khoá: (1, 3, 10, 11) và (2, 4, 9)
Dãy 1 Dãy 2 Khoá nhỏ nhất trong 2 dãy Miền sắp xếp
(1, 3, 10, 11) (2, 4, 9) 1 (1)
(3, 10, 11) (2, 4, 9) 2 (1, 2)
(3, 10, 11) (4, 9) 3 (1, 2, 3)
(10, 11) (4, 9) 4 (1, 2, 3, 4)
(10, 11) (9) 9 (1, 2, 3, 4, 9)
(10, 11) ∅ Dãy 2 là ∅, đưa nốt dãy 1 vào miền sắp
xếp
(1, 2, 3, 4, 9, 10, 11)
8.11.2. Sắp xếp bằng trộn 2 đường trực tiếp
Ta có thể coi mỗi khoá trong dãy khoá k[1..n] là một mạch với độ dài 1, dĩ nhiên các mạch độ
dài 1 có thể coi là đã được sắp. Nếu trộn hai mạch liên tiếp lại thành một mạch có độ dài 2, ta
lại được dãy gồm các mạch đã được sắp. Cứ tiếp tục như vậy, số mạch trong dãy sẽ giảm dần
sau mỗi lần trộn (Hình 36)
3 6 5 4 9 8 1 0 2 7
3 6 4 5 8 9 0 1 2 7
3 4 5 6 0 1 8 9 2 7
0 1 3 4 5 6 8 9 2 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Hình 36: Thuật toán sắp xếp trộn
Để tiến hành thuật toán sắp xếp trộn hai đường trực tiếp, ta viết các thủ tục:
110 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Thủ tục Merge(var x, y: TArray; a, b, c: Integer); thủ tục này trộn mạch x[a..b] với mạch
x[b+1..c] để được mạch y[a..c].
Thủ tục MergeByLength(var x, y: TArray; len: Integer); thủ tục này trộn lần lượt các cặp
mạch theo thứ tự:
Trộn mạch x[1..len] và x[len+1..2len] thành mạch y[1..2len].
Trộn mạch x[2len+1..3len] và x[3len+1..4len] thành mạch y[2len+1..4len].
...
Lưu ý rằng đến cuối cùng ta có thể gặp hai trường hợp: Hoặc còn lại hai mạch mà mạch thứ
hai có độ dài < len. Hoặc chỉ còn lại một mạch. Trường hợp thứ nhất ta phải quản lý chính xác
các chỉ số để thực hiện phép trộn, còn trường hợp thứ hai thì không được quên thao tác đưa
thẳng mạch duy nhất còn lại sang dãy y.
Cuối cùng là thủ tục MergeSort, thủ tục này cần một dãy khoá phụ t[1..n]. Trước hết ta gọi
MergeByLength(k, t, 1) để trộn hai khoá liên tiếp của k thành một mạch trong t, sau đó lại gọi
MergeByLength(t, k, 2) để trộn hai mạch liên tiếp trong t thành một mạch trong k, rồi lại gọi
MergeByLength(k, t, 4) để trộn hai mạch liên tiếp trong k thành một mạch trong t ...Như vậy
k và t được sử dụng với vai trò luân phiên: một dãy chứa các mạch và một dãy dùng để trộn
các cặp mạch liên tiếp để được mạch lớn hơn.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 111
Lê Minh Hoàng
procedure MergeSort;
var
t: TArray; {Dãy khoá phụ}
len: Integer;
Flag: Boolean; {Flag = True: trộn các mạch trong k vào t; Flag = False: trộn các mạch trong t vào k}
procedure Merge(var X, Y: TArray; a, b, c: Integer);{Trộn X[a..b] và X[b+1..c]}
var
i, j, p: Integer;
begin
{Chỉ số p chạy trong miền sắp xếp, i chạy theo mạch thứ nhất, j chạy theo mạch thứ hai}
p := a; i := a; j := b + 1;
while (i ≤ b) and (j ≤ c) then {Chừng nào cả hai mạch đều chưa xét hết}
begin
if X[i] ≤ X[j] then {So sánh hai khoá nhỏ nhất trong hai mạch mà chưa bị đưa vào miền sắp xếp}
begin
Y[p] := X[i]; i := i + 1; {Đưa x[i] vào miền sắp xếp và cho i chạy}
end
else
begin
Y[p] := X[j]; j := j + 1; {Đưa x[j] vào miền sắp xếp và cho j chạy}
end;
p := p + 1;
end;
if i ≤ b then Y[p..c] := X[i..b] {Mạch 2 hết trước, Đưa phần cuối của mạch 1 vào miến sắp xếp}
else Y[p..c] := X[j..c]; {Mạch 1 hết trước, Đưa phần cuối của mạch 2 vào miến sắp xếp}
end;
procedure MergeByLength(var X, Y: TArray; len: Integer);
begin
a := 1; b := len; c := 2 * len;
while c ≤ n do {Trộn hai mạch x[a..b] và x[b+1..c] đều có độ dài len}
begin
Merge(X, Y, a, b, c);
a := a + 2 * len; b := b + 2 * len; c := c + 2 * len; {Dịch các chỉ số a, b, c về sau 2.len vị trí}
end;
if b < n then Merge(X, Y, a, b, n) {Còn lại hai mạch mà mạch thứ hai có độ dài ngắn hơn len}
else
if a ≤ n then Y[a..n] := X[a..n] {Còn lại một mạch thì đưa thẳng mạch đó sang miền y}
end;
begin {Thuật toán sắp xếp trộn}
Flag := True;
len := 1;
while len < n do
begin
if Flag then MergeByLength(k, t, len) else MergeByLength(t, k, len);
len := len * 2;
Flag := not Flag; {Đảo cờ để luân phiên vai trò của k và t}
end;
if not Flag then k := t; {Nếu kết quả cuối cùng đang nằm trong t thì sao chép kết quả vào k}
end;
Về độ phức tạp của thuật toán, ta thấy rằng trong thủ tục Merge, phép toán tích cực là thao tác
đưa một khoá vào miền sắp xếp. Mỗi lần gọi thủ tục MergeByLength, tất cả các khoá trong
dãy khoá được chuyển hoàn toàn sang miền sắp xếp, nên độ phức tạp của thủ tục
MergeByLength là O(n). Thủ tục MergeSort có vòng lặp thực hiện không quá ⎡lgn⎤ lời gọi
MergeByLength bởi biến len sẽ được tăng theo cấp số nhân công bội 2. Từ đó suy ra độ phức
tạp của MergeSort là O(nlgn) bất chấp trạng thái dữ liệu vào.
112 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cùng là những thuật toán sắp xếp tổng quát với độ phức tạp trung bình như nhau, nhưng
không giống như QuickSort hay HeapSort, MergeSort có tính ổn định. Nhược điểm của
MergeSort là nó phải dùng thêm một vùng nhớ để chứa dãy khoá phụ có kích thước bằng dãy
khoá ban đầu.
Người ta còn có thể lợi dụng được trạng thái dữ liệu vào để khiến MergeSort chạy nhanh hơn:
ngay từ đầu, ta không coi mỗi khoá của dãy khoá là một mạch mà coi những đoạn đã được
sắp trong dãy khoá là một mạch. Bởi một dãy khoá bất kỳ có thể coi là gồm các mạch đã sắp
xếp nằm liên tiếp nhau. Khi đó người ta gọi phương pháp này là phương pháp trộn hai
đường tự nhiên.
Tổng quát hơn nữa, thay vì phép trộn hai mạch, người ta có thể sử dụng phép trộn k mạch, khi
đó ta được thuật toán sắp xếp trộn k đường.
8.12. CÀI ĐẶT
Ta sẽ cài đặt tất cả các thuật toán sắp xếp nêu trên, với dữ liệu vào được đặt trong file văn bản
SORT.INP chứa không nhiều hơn 15000 khoá và giá trị mỗi khoá là số tự nhiên không quá
15000. Kết quả được ghi ra file văn bản SORT.OUT chứa dãy khoá được sắp, mỗi khoá trên
một dòng.
SORT.INP
1 4 3 2 5
7 9 8
10 6
SORT.OUT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Chương trình có giao diện dưới dạng menu, mỗi chức năng tương ứng với một thuật toán sắp
xếp. Tại mỗi thuật toán sắp xếp, ta thêm một vài lệnh đo thời gian thực tế của nó (chỉ đo thời
gian thực hiện giải thuật, không tính thời gian nhập liệu và in kết quả).
Ở thuật toán Radix Exchange Sort, ta chọn hệ nhị phân. Ở thuật toán Straight Radix Sort, ta
sử dụng hệ cơ số 256, khi đó một giá trị số tự nhiên x ≤ 15000 sẽ được biểu diễn bằng hai chữ
số trong hệ 256:
Chữ số hàng đơn vị là x mod 256 = x mod 28 = x and 255 = x and $FF;
Chữ số còn lại (= chữ số ở hàng cao nhất) là x div 256 = x div 28 = x shr 8;
P_2_08_1.PAS * Các thuật toán săp xếp
{$M 65520 0 655360}
program SortingAlgorithmsDemo;
uses crt;
const
InputFile = 'SORT.INP';
OutputFile = 'SORT.OUT';
max = 15000;
maxV = 15000;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 113
Lê Minh Hoàng
Frequency = 1193180 / 65536; {Tần số nhịp đồng hồ ≈ 18.2 lần/giây}
nMenu = 12;
SMenu: array[0..nMenu] of String =
(
' 0. Display Input',
' 1. SelectionSort',
' 2. BubbleSort',
' 3. InsertionSort',
' 4. InsertionSort with binary searching',
' 5. ShellSort',
' 6. QuickSort',
' 7. HeapSort',
' 8. Distribution Counting',
' 9. Radix Exchange Sort',
' 10. Straight Radix Sort',
' 11. MergeSort',
' 12. Exit'
);
type
TArr = array[1..max] of Integer;
TCount = array[0..maxV] of Integer;
var
k: TArr;
n: Integer;
selected: Integer;
StTime: LongInt;
Time: LongInt absolute 0:$46C; {Biến tính nhịp đồng hồ}
procedure Enter; {Nhập dữ liệu, thủ tục này được gọi trước khi bắt đầu một thuật toán sắp xếp}
var
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
n := 0;
while not SeekEof(f) do
begin
Inc(n); Read(f, k[n]);
end;
Close(f);
StTime := Time; {Nhập dữ liệu xong tính thời gian ngay, thuật toán sắp xếp sẽ thực hiện ngay lập tức}
end;
procedure PrintInput; {In dữ liệu}
var
i: Integer;
begin
Enter;
for i := 1 to n do Write(k[i]:8);
Write('Press any key to return to menu...');
ReadKey
end;
procedure PrintResult; {In kết quả}
var
f: Text;
i: Integer;
ch: Char;
begin
Writeln('Running Time = ', (Time - StTime) / Frequency:1:10, ' (s)'); {Trước hết in ra thời gian chạy}
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
for i := 1 to n do Writeln(f, k[i]);
Close(f);
Write('Press <P> to print Output, another key to return to menu...');
114 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
ch := ReadKey; Writeln(ch);
if Upcase(ch) = 'P' then
begin
for i := 1 to n do Write(k[i]:8);
Writeln;
Write('Press any key to return to menu...');
ReadKey;
end;
end;
procedure Swap(var x, y: Integer);
var
t: Integer;
begin
t := x; x := y; y := t;
end;
{------------------ Sorting Algorithms ------------------}
{ SelectionSort}
procedure SelectionSort;
var
i, j, jmin: Integer;
begin
Enter;
for i := 1 to n - 1 do
begin
jmin := i;
for j := i + 1 to n do
if k[j] < k[jmin] then jmin := j;
if jmin <> i then Swap(k[i], k[jmin]);
end;
PrintResult;
end;
{ BubbleSort}
procedure BubbleSort;
var
i, j: Integer;
begin
Enter;
for i := 2 to n do
for j := n downto i do
if k[j - 1] > k[j] then Swap(k[j - 1], k[j]);
PrintResult;
end;
{ InsertionSort}
procedure InsertionSort;
var
i, j, tmp: Integer;
begin
Enter;
for i := 2 to n do
begin
tmp := k[i]; j := i - 1;
while (j > 0) and (tmp < k[j]) do
begin
k[j + 1] := k[j];
Dec(j);
end;
k[j + 1] := tmp;
end;
PrintResult;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 115
Lê Minh Hoàng
end;
{ InsertionSort with Binary searching}
procedure AdvancedInsertionSort;
var
i, inf, sup, median, tmp: Integer;
begin
Enter;
for i := 2 to n do
begin
tmp := k[i];
inf := 1; sup := i - 1;
repeat
median := (inf + sup) shr 1;
if tmp < k[median] then sup := median - 1
else inf := median + 1;
until inf > sup;
Move(k[inf], k[inf + 1], (i - inf) * SizeOf(k[1]));
k[inf] := tmp;
end;
PrintResult;
end;
{ ShellSort}
procedure ShellSort;
var
tmp: Integer;
i, j, h: Integer;
begin
Enter;
h := n shr 1;
while h <> 0 do
begin
for i := h + 1 to n do
begin
tmp := k[i]; j := i - h;
while (j > 0) and (k[j] > tmp) do
begin
k[j + h] := k[j];
j := j - h;
end;
k[j + h] := tmp;
end;
h := h shr 1;
end;
PrintResult;
end;
{ QuickSort}
procedure QuickSort;
procedure Partition(L, H: Integer);
var
i, j: Integer;
Pivot: Integer;
begin
if L >= H then Exit;
Pivot := k[L + Random(H - L + 1)];
i := L; j := H;
repeat
while k[i] < Pivot do Inc(i);
while k[j] > Pivot do Dec(j);
if i <= j then
116 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
begin
if i < j then Swap(k[i], k[j]);
Inc(i); Dec(j);
end;
until i > j;
Partition(L, j); Partition(i, H);
end;
begin
Enter;
Partition(1, n);
PrintResult;
end;
{ HeapSort}
procedure HeapSort;
var
r, i: Integer;
procedure Adjust(root, endnode: Integer);
var
key, c: Integer;
begin
key := k[root];
while root shl 1 <= endnode do
begin
c := root shl 1;
if (c < endnode) and (k[c] < k[c + 1]) then Inc(c);
if k[c] <= key then Break;
k[root] := k[c]; root := c;
end;
k[root] := key;
end;
begin
Enter;
for r := n shr 1 downto 1 do Adjust(r, n);
for i := n downto 2 do
begin
Swap(k[1], k[i]);
Adjust(1, i - 1);
end;
PrintResult;
end;
{ Distribution Counting}
procedure DistributionCounting;
var
x: TArr;
c: TCount;
i, V: Integer;
begin
Enter;
FillChar(c, SizeOf(c), 0);
for i := 1 to n do Inc(c[k[i]]);
for V := 1 to MaxV do c[V] := c[V - 1] + c[V];
for i := n downto 1 do
begin
V := k[i];
x[c[V]] := k[i];
Dec(c[V]);
end;
k := x;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 117
Lê Minh Hoàng
PrintResult;
end;
{ Radix Exchange Sort}
procedure RadixExchangeSort;
const
MaxBit = 13;
var
MaskBit: array[0..MaxBit] of Integer;
MaxValue, i: Integer;
procedure Partition(L, H, BIndex: Integer);
var
i, j, Mask: Integer;
begin
if L >= H then Exit;
i := L; j := H; Mask := MaskBit[BIndex];
repeat
while (i < j) and (k[i] and Mask = 0) do Inc(i);
while (i < j) and (k[j] and Mask <> 0) do Dec(j);
Swap(k[i], k[j]);
until i = j;
if k[j] and Mask = 0 then Inc(j);
if BIndex > 0 then
begin
Partition(L, j - 1, BIndex - 1); Partition(j, H, BIndex - 1);
end;
end;
begin
Enter;
for i := 0 to MaxBit do MaskBit[i] := 1 shl i;
maxValue := k[1];
for i := 2 to n do
if k[i] > MaxValue then maxValue := k[i];
i := 0;
while (i < MaxBit) and (MaskBit[i + 1] <= MaxValue) do Inc(i);
Partition(1, n, i);
PrintResult;
end;
{ Straight Radix Sort}
procedure StraightRadixSort;
const
Radix = 256;
nDigit = 2;
var
t: TArr;
p: Integer;
Flag: Boolean;
function GetDigit(key, p: Integer): Integer;
begin
if p = 0 then GetDigit := key and $FF
else GetDigit := key shr 8;
end;
procedure DCount(var x, y: TArr; p: Integer);
var
c: array[0..Radix - 1] of Integer;
i, d: Integer;
begin
FillChar(c, SizeOf(c), 0);
118 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
for i := 1 to n do
begin
d := GetDigit(x[i], p); Inc(c[d]);
end;
for d := 1 to Radix - 1 do c[d] := c[d - 1] + c[d];
for i := n downto 1 do
begin
d := GetDigit(x[i], p);
y[c[d]] := x[i];
Dec(c[d]);
end;
end;
begin
Enter;
Flag := True;
for p := 0 to nDigit - 1 do
begin
if Flag then DCount(k, t, p)
else DCount(t, k, p);
Flag := not Flag;
end;
if not Flag then k := t;
PrintResult;
end;
{ MergeSort}
procedure MergeSort;
var
t: TArr;
Flag: Boolean;
len: Integer;
procedure Merge(var Source, Dest: TArr; a, b, c: Integer);
var
i, j, p: Integer;
begin
p := a; i := a; j := b + 1;
while (i <= b) and (j <= c) do
begin
if Source[i] <= Source[j] then
begin
Dest[p] := Source[i]; Inc(i);
end
else
begin
Dest[p] := Source[j]; Inc(j);
end;
Inc(p);
end;
if i <= b then
Move(Source[i], Dest[p], (b - i + 1) * SizeOf(Source[1]))
else
Move(Source[j], Dest[p], (c - j + 1) * SizeOf(Source[1]));
end;
procedure MergeByLength(var Source, Dest: TArr; len: Integer);
var
a, b, c: Integer;
begin
a := 1; b := len; c := len shl 1;
while c <= n do
begin
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 119
Lê Minh Hoàng
Merge(Source, Dest, a, b, c);
a := a + len shl 1; b := b + len shl 1; c := c + len shl 1;
end;
if b < n then Merge(Source, Dest, a, b, n)
else
Move(Source[a], Dest[a], (n - a + 1) * SizeOf(Source[1]));
end;
begin
Enter;
len := 1; Flag := True;
FillChar(t, SizeOf(t), 0);
while len < n do
begin
if Flag then MergeByLength(k, t, len)
else MergeByLength(t, k, len);
len := len shl 1;
Flag := not Flag;
end;
if not Flag then k := t;
PrintResult;
end;
{---------------- End of Sorting Algorithms ----------------}
function MenuSelect: Integer;
var
ch: Integer;
begin
Clrscr;
Writeln('Sorting Algorithms Demos; Input: SORT.INP; Output: SORT.OUT');
for ch := 0 to nMenu do Writeln(SMenu[ch]);
Write('Enter your choice: '); Readln(ch);
MenuSelect := ch;
end;
begin
repeat
selected := MenuSelect;
Writeln(SMenu[selected]);
case selected of
0: PrintInput;
1: SelectionSort;
2: BubbleSort;
3: InsertionSort;
4: AdvancedInsertionSort;
5: ShellSort;
6: QuickSort;
7: HeapSort;
8: DistributionCounting;
9: RadixExchangeSort;
10: StraightRadixSort;
11: MergeSort;
12: Halt;
end;
until False;
end.
8.13. ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT
Những con số về thời gian và tốc độ chương trình đo được là qua thử nghiệm trên một bộ dữ
liệu cụ thể, với một máy tính cụ thể và một công cụ lập trình cụ thể. Với bộ dữ liệu khác, máy
120 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
tính và công cụ lập trình khác, kết quả có thể khác. Tuy vậy, việc đo thời gian thực thi của
từng thuật toán sắp xếp vẫn cần thiết nếu ta muốn so sánh tốc độ của các thuật toán cùng cấp
phức tạp bởi các tính toán trên lý thuyết đôi khi bị lệch so với thực tế vì nhiều lý do khác nhau.
Có một vấn đề đặt ra là ngoài những thuật toán sắp xếp cấp O(n2), rất khó có thể đo được tốc
độ trung bình của những thuật toán sắp xếp còn lại khi mà chúng đều chạy không tới một nhịp
đồng hồ thời gian thực (đều cho thời gian chạy bằng 0 do không kịp đo thời gian). Một cách
giải quyết là cho mỗi thuật toán QuickSort, Radix Sort, ... thực hiện c lần (c là một số nguyên
đủ lớn) trên các bộ dữ liệu ngẫu nhiên rồi lấy thời gian tổng chia cho c, hay có thể tăng kích
thước dữ liệu (điều này có thể dẫn đến việc phải sửa lại một vài chỗ trong chương trình hoặc
thậm chí phải thay đổi môi trường lập trình).
Tôi đã viết lại chương trình này trên Borland Delphi để đưa vào một số cải tiến:
Có thể chạy với kích thước dữ liệu lớn hơn rất nhiều (hàng triệu khóa)
Thiết kế dựa trên kiến trúc đa luồng (MultiThreads) cho phép chạy đồng thời ( ) hai hay
nhiều thuật toán sắp xếp để so sánh tốc độ, hiển thị quá trình sắp xếp trực quan trên màn
hình.
Cũng cho phép chạy tuần tự ( ) các thuật toán sắp xếp để đo thời gian thực hiện chính
xác của chúng.
Chú ý: Để chương trình không bị ảnh hưởng bởi các phần mềm khác đang chạy, khi bấm
hoặc khởi động các threads, bàn phím, chuột và tất cả các phần mềm khác sẽ bị treo tạm
thời đến khi các threads thực hiện xong. Vì vậy không nên chạy các thuật toán sắp xếp chậm
với dữ liệu lớn, sẽ không thể đợi đến khi các threads kết thúc và sẽ phải tắt máy khởi động lại.
Hình 37 là giao diện của chương trình, bạn có thể tham khảo mã nguồn chương trình kèm
theo:
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 121
Lê Minh Hoàng
Hình 37: Cài đặt các thuật toán sắp xếp với dữ liệu lớn
Cùng một mục đích sắp xếp như nhau, nhưng có nhiều phương pháp giải quyết khác nhau.
Nếu chỉ dựa vào thời gian đo được trong một ví dụ cụ thể mà đánh giá thuật toán này tốt hơn
thuật toán kia về mọi mặt là điều không nên. Việc chọn một thuật toán sắp xếp thích hợp cho
phù hợp với từng yêu cầu, từng điều kiện cụ thể là kỹ năng của người lập trình.
Những thuật toán có độ phức tạp O(n2) thì chỉ nên áp dụng trong chương trình có ít lần sắp
xếp và với kích thước n nhỏ. Về tốc độ, BubbleSort luôn luôn đứng bét, nhưng mã lệnh của
nó lại hết sức đơn giản mà người mới học lập trình nào cũng có thể cài đặt được, tính ổn định
của BubbleSort cũng rất đáng chú ý. Trong những thuật toán có độ phức tạp O(n2),
InsertionSort tỏ ra nhanh hơn những phương pháp còn lại và cũng có tính ổn định, mã lệnh
cũng tương đối đơn giản, dễ nhớ. SelectionSort thì không ổn định nhưng với n nhỏ, việc chọn
ra m khoá nhỏ nhất có thể thực hiện dễ dàng chứ không cần phải sắp xếp lại toàn bộ như sắp
xếp chèn.
Thuật toán đếm phân phối và thuật toán sắp xếp bằng cơ số nên được tận dụng trong trường
hợp các khoá sắp xếp là số tự nhiên (hay là một kiểu dữ liệu có thể quy ra thành các số tự
nhiên) bởi những thuật toán này có tốc độ rất cao. Thuật toán sắp xếp bằng cơ số cũng có thể
sắp xếp dãy khoá có số thực hay số âm nhưng ta phải biết được cách thức lưu trữ các kiểu dữ
liệu đó trên máy tính thì mới có thể làm được.
QuickSort, HeapSort, MergeSort và ShellSort là những thuật toán sắp xếp tổng quát, dãy khoá
thuộc kiểu dữ liệu có thứ tự nào cũng có thể áp dụng được chứ không nhất thiết phải là các số.
QuickSort gặp nhược điểm trong trường hợp suy biến nhưng xác suất xảy ra trường hợp này
122 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
rất nhỏ. HeapSort thì mã lệnh hơi phức tạp và khó nhớ, nhưng nếu cần chọn ra m khoá lớn
nhất trong dãy khoá thì dùng HeapSort sẽ không phải sắp xếp lại toàn bộ dãy. MergeSort phải
đòi hỏi thêm một không gian nhớ phụ, nên áp dụng nó trong trường hợp sắp xếp trên file. Còn
ShellSort thì hơi khó trong việc đánh giá về thời gian thực thi, nó là sửa đổi của thuật toán sắp
xếp chèn nhưng lại có tốc độ tốt, mã lệnh đơn giản và lượng bộ nhớ cần huy động rất ít. Tuy
nhiên, những nhược điểm của bốn phương pháp này quá nhỏ so với ưu điểm chung của chúng
là nhanh. Hơn nữa, chúng được đánh giá cao không chỉ vì tính tổng quát và tốc độ nhanh, mà
còn là kết quả của những cách tiếp cận khoa học đối với bài toán sắp xếp.
Những thuật toán trên không chỉ đơn thuần là cho ta hiểu thêm về một cách sắp xếp mới, mà
kỹ thuật cài đặt chúng (với mã lệnh tối ưu) cũng dạy cho chúng ta nhiều điều: Kỹ thuật sử
dụng số ngẫu nhiên, kỹ thuật "chia để trị", kỹ thuật dùng các biến với vai trò luân phiên
v.v...Vậy nên nắm vững nội dung của những thuật toán đó, mà cách thuộc tốt nhất chính là
cài đặt chúng vài lần với các ràng buộc dữ liệu khác nhau (nếu có thể thử được trên hai ngôn
ngữ lập trình thì rất tốt) và cũng đừng quên kỹ thuật sắp xếp bằng chỉ số.
Bài tập
Bài 1
Tìm hiểu các tài liệu khác để chứng minh rằng: Bất cứ thuật toán sắp xếp tổng quát nào dựa
trên phép so sánh giá trị hai khoá đều có độ phức tạp tính toán trong trường hợp xấu nhất là
Ω(nlgn). (Sử dụng mô hình cây quyết định – Decision Tree Model).
Bài 2
Viết thuật toán QuickSort không đệ quy
Bài 3
Cho một danh sách thí sinh gồm n người, mỗi người cho biết tên và điểm thi, hãy chọn ra m
người điểm cao nhất. Giải quyết bằng thuật toán có độ phức tạp O(n).
Bài 4
Có 2 tính chất quan trọng của thuật toán sắp xếp: Stability và In place:
Stability: Tính ổn định
In place: Giải thuật không yêu cầu thêm không gian nhớ phụ, điều này cho phép sắp xếp
một số lượng lớn các khoá mà không cần cấp phát thêm bộ nhớ. (Tuy vậy việc cấp phát
thêm một lượng bộ nhớ cỡ Θ(1) vẫn được cho phép)
Trong những thuật toán ta đã khảo sát, những thuật toán nào là stability, thuật toán nào là in
place, thuật toán nào có cả hai tính chất trên.
Bài 5
Cho một mảng a[1..n]
a) Tìm giá trị xuất hiện nhiều hơn n/2 lần trong a hoặc thông báo rằng không tồn tại giá trị
như vậy. Tìm giải thuật với độ phức tạp O(n)
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 123
Lê Minh Hoàng
b) Cho số tự nhiên k, Liệt kê tất cả các giá trị xuất hiện nhiều hơn n/k lần trong a. Tìm giải
thuật với độ phức tạp O(n.k)
Cách giải:
a) Nếu một giá trị xuất hiện nhiều hơn n/2 lần trong a, giá trị đó phải là trung vị của dãy a. Sử
dụng QuickSort với luật chọn chốt ngẫu nhiên, sau khi phân đoạn ta xác định trung vị phải
nằm ở đoạn con nào và chỉ gọi đệ quy để tìm tiếp trung vị trong đoạn con đã xác định chứ
không cần tìm trong cả hai đoạn con. Cuối cùng là duyệt lại dãy a để xác nhận trung vị có
xuất hiện nhiều hơn n/2 không.
b) Nếu một giá trị xuất hiện nhiều hơn n/k lần trong a, thì khi sắp xếp dãy a theo thứ tự không
giảm, giá trị đó phải nằm ở một trong các vị trí i.n
k
(1 ≤ i ≤ k). Áp dụng thuật toán tương tự
trên để tìm phần tử lớn thứ n/k, 2n/k, ..., (k-1)n/k, n, và duyệt lại dãy để xác định giá trị của
phần tử nào xuất hiện nhiều hơn n/k lần.
Bài 6
Thuật toán sắp xếp bằng cơ số trực tiếp có ổn định không ? Tại sao ?
Bài 7
Cài đặt thuật toán sắp xếp trộn hai đường tự nhiên
Bài 8
Tìm hiểu phép trộn k đường và các phương pháp sắp xếp ngoài (trên tệp truy nhập tuần tự và
tệp truy nhập ngẫu nhiên)
124 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§9. TÌM KIẾM (SEARCHING)
9.1. BÀI TOÁN TÌM KIẾM
Cùng với sắp xếp, tìm kiếm là một đòi hỏi rất thường xuyên trong các ứng dụng tin học. Bài
toán tìm kiếm có thể phát biểu như sau:
Cho một dãy gồm n bản ghi r[1..n]. Mỗi bản ghi r[i] (1 ≤ i ≤ n) tương ứng với một khoá k[i].
Hãy tìm bản ghi có giá trị khoá bằng X cho trước.
X được gọi là khoá tìm kiếm hay đối trị tìm kiếm (argument).
Công việc tìm kiếm sẽ hoàn thành nếu như có một trong hai tình huống sau xảy ra:
Tìm được bản ghi có khoá tương ứng bằng X, lúc đó phép tìm kiếm thành công.
Không tìm được bản ghi nào có khoá tìm kiếm bằng X cả, phép tìm kiếm thất bại.
Tương tự như sắp xếp, ta coi khoá của một bản ghi là đại diện cho bản ghi đó. Và trong một
số thuật toán sẽ trình bày dưới đây, ta coi kiểu dữ liệu cho mỗi khoá cũng có tên gọi là TKey.
const
n = ...; {Số khoá trong dãy khoá, có thể khai dưới dạng biến số nguyên để tuỳ biến hơn}
type
TKey = ...; {Kiểu dữ liệu một khoá}
TArray = array[1..n] of TKey;
var
k: TArray; {Dãy khoá}
9.2. TÌM KIẾM TUẦN TỰ (SEQUENTIAL SEARCH)
Tìm kiếm tuần tự là một kỹ thuật tìm kiếm đơn giản. Nội dung của nó như sau: Bắt đầu từ bản
ghi đầu tiên, lần lượt so sánh khoá tìm kiếm với khoá tương ứng của các bản ghi trong danh
sách, cho tới khi tìm thấy bản ghi mong muốn hoặc đã duyệt hết danh sách mà chưa thấy
{Tìm kiếm tuần tự trên dãy khoá k[1..n]; hàm này thử tìm xem trong dãy có khoá nào = X không, nếu thấy nó trả về chỉ số
của khoá ấy, nếu không thấy nó trả về 0. Có sử dụng một khoá phụ k[n+1] được gán giá trị = X}
function SequentialSearch(X: TKey): Integer;
var
i: Integer;
begin
i := 1;
while (i <= n) and (k[i] ≠ X) do i := i + 1;
if i = n + 1 then SequentialSearch := 0
else SequentialSearch := i;
end;
Dễ thấy rằng độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm tuần tự trong trường hợp tốt nhất là O(1),
trong trường hợp xấu nhất là O(n) và trong trường hợp trung bình là Θ(n).
9.3. TÌM KIẾM NHỊ PHÂN (BINARY SEARCH)
Phép tìm kiếm nhị phân có thể áp dụng trên dãy khoá đã có thứ tự: k[1] ≤ k[2] ≤ ... ≤ k[n].
Giả sử ta cần tìm trong đoạn k[inf...sup] với khoá tìm kiếm là X, trước hết ta xét khoá nằm
giữa dãy k[median] với median = (inf + sup) div 2;
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 125
Lê Minh Hoàng
Nếu k[median] < X thì có nghĩa là đoạn từ k[inf] tới k[median] chỉ chứa toàn khoá < X, ta
tiến hành tìm kiếm tiếp với đoạn từ k[median+1]tới k[sup].
Nếu k[median] > X thì có nghĩa là đoạn từ k[median] tới k[sup] chỉ chứa toàn khoá > X, ta
tiến hành tìm kiếm tiếp với đoạn từ k[inf] tới k[median-1].
Nếu k[median] = X thì việc tìm kiếm thành công (kết thúc quá trình tìm kiếm).
Quá trình tìm kiếm sẽ thất bại nếu đến một bước nào đó, đoạn tìm kiếm là rỗng (inf > sup).
{Tìm kiếm nhị phân trên dãy khoá k[1] ≤ k[2] ≤ ... ≤ k[n]; hàm này thử tìm xem trong dãy có khoá nào = X không, nếu thấy nó
trả về chỉ số của khoá ấy, nếu không thấy nó trả về 0}
function BinarySearch(X: TKey): Integer;
var
inf, sup, median: Integer;
begin
inf := 1; sup := n;
while inf ≤ sup do
begin
median := (inf + sup) div 2;
if k[median] = X then
begin
BinarySearch := median;
Exit;
end;
if k[median] < X then inf := median + 1
else sup := median - 1;
end;
BinarySearch := 0;
end;
Người ta đã chứng minh được độ phức tạp tính toán của thuật toán tìm kiếm nhị phân trong
trường hợp tốt nhất là O(1), trong trường hợp xấu nhất là O(lgn) và trong trường hợp trung
bình là O(lgn). Tuy nhiên, ta không nên quên rằng trước khi sử dụng tìm kiếm nhị phân, dãy
khoá phải được sắp xếp rồi, tức là thời gian chi phí cho việc sắp xếp cũng phải tính đến. Nếu
dãy khoá luôn luôn biến động bởi phép bổ sung hay loại bớt đi thì lúc đó chi phí cho sắp xếp
lại nổi lên rất rõ làm bộc lộ nhược điểm của phương pháp này.
9.4. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM (BINARY SEARCH TREE - BST)
Cho n khoá k[1..n], trên các khoá có quan hệ thứ tự toàn phần. Cây nhị phân tìm kiếm ứng với
dãy khoá đó là một cây nhị phân mà mỗi nút chứa giá trị một khoá trong n khoá đã cho, hai
giá trị chứa trong hai nút bất kỳ là khác nhau. Đối với mọi nút trên cây, tính chất sau luôn
được thoả mãn:
Mọi khoá nằm trong cây con trái của nút đó đều nhỏ hơn khoá ứng với nút đó.
Mọi khoá nằm trong cây con phải của nút đó đều lớn hơn khoá ứng với nút đó
126 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
4
2 6
1 3 5 7
9
Hình 38: Cây nhị phân tìm kiếm
Thuật toán tìm kiếm trên cây có thể mô tả chung như sau:
Trước hết, khoá tìm kiếm X được so sánh với khoá ở gốc cây, và 4 tình huống có thể xảy ra:
Không có gốc (cây rỗng): X không có trên cây, phép tìm kiếm thất bại
X trùng với khoá ở gốc: Phép tìm kiếm thành công
X nhỏ hơn khoá ở gốc, phép tìm kiếm được tiếp tục trong cây con trái của gốc với cách
làm tương tự
X lớn hơn khoá ở gốc, phép tìm kiếm được tiếp tục trong cây con phải của gốc với cách
làm tương tự
Giả sử cấu trúc một nút của cây được mô tả như sau:
type
PNode = ^TNode; {Con trỏ chứa liên kết tới một nút}
TNode = record {Cấu trúc nút}
Info: TKey; {Trường chứa khoá}
Left, Right: PNode; {con trỏ tới nút con trái và phải, trỏ tới nil nếu không có nút con trái (phải)}
end;
Gốc của cây được lưu trong con trỏ Root. Cây rỗng thì Root = nil
Thuật toán tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm có thể viết như sau:
{Hàm tìm kiếm trên BST, nó trả về nút chứa khoá tìm kiếm X nếu tìm thấy, trả về nil nếu không tìm thấy}
function BSTSearch(X: TKey): PNode;
var
p: PNode;
begin
p := Root; {Bắt đầu với nút gốc}
while p ≠ nil do
if X = p^.Info then Break;
else
if X < p^.Info then p := p^.Left
else p := p^.Right;
BSTSearch := p;
end;
Thuật toán dựng cây nhị phân tìm kiếm từ dãy khoá k[1..n] cũng được làm gần giống quá
trình tìm kiếm. Ta chèn lần lượt các khoá vào cây, trước khi chèn, ta tìm xem khoá đó đã có
trong cây hay chưa, nếu đã có rồi thì bỏ qua, nếu nó chưa có thì ta thêm nút mới chứa khoá
cần chèn và nối nút đó vào cây nhị phân tìm kiếm tại mối liên kết vừa rẽ sang khiến quá trình
tìm kiếm thất bại.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 127
Lê Minh Hoàng
{Thủ tục chèn khoá X vào BST}
procedure BSTInsert(X);
var
p, q: PNode;
begin
q := nil; p := Root; {Bắt đầu với p = nút gốc; q là con trỏ chạy đuổi theo sau}
while p ≠ nil do
begin
q := p;
if X = p^.Info then Break;
else {X ≠ p^.Info thì cho p chạy sang nút con, q^ luôn giữ vai trò là cha của p^}
if X < p^.Info then p := p^.Left
else p := p^.Right;
end;
if p = nil then {Khoá X chưa có trong BST}
begin
New(p); {Tạo nút mới}
p^.Info := X; {Đưa giá trị X vào nút mới tạo ra}
p^.Left := nil; p^.Right := nil; {Nút mới khi chèn vào BST sẽ trở thành nút lá}
if Root = nil then Root := NewNode {BST đang rỗng, đặt Root là nút mới tạo}
else {Móc NewNode^ vào nút cha q^}
if X < q^.Info then q^.Left := NewNode
else q^.Right := NewNode;
end;
end;
Phép loại bỏ trên cây nhị phân tìm kiếm không đơn giản như phép bổ sung hay phép tìm kiếm.
Muốn xoá một giá trị trong cây nhị phân tìm kiếm (Tức là dựng lại cây mới chứa tất cả những
giá trị còn lại), trước hết ta tìm xem giá trị cần xoá nằm ở nút D nào, có ba khả năng xảy ra:
Nút D là nút lá, trường hợp này ta chỉ việc đem mối nối cũ trỏ tới nút D (từ nút cha của D)
thay bởi nil, và giải phóng bộ nhớ cấp cho nút D (Hình 39).
4
2 6
1 3 5 7
9
4
2 6
1 3 7
9
Hình 39: Xóa nút lá ở cây BST
Nút D chỉ có một nhánh con, khi đó ta đem nút gốc của nhánh con đó thế vào chỗ nút D,
tức là chỉnh lại mối nối: Từ nút cha của nút D không nối tới nút D nữa mà nối tới nhánh
con duy nhất của nút D. Cuối cùng, ta giải phóng bộ nhớ đã cấp cho nút D (Hình 40)
128 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
4
2
6
1 3
5
7
9
4
2
1 3 6
7
9
Hình 40. Xóa nút chỉ có một nhánh con trên cây BST
Nút D có cả hai nhánh con trái và phải, khi đó có hai cách làm đều hợp lý cả:
Hoặc tìm nút chứa khoá lớn nhất trong cây con trái, đưa giá trị chứa trong đó sang nút D,
rồi xoá nút này. Do tính chất của cây BST, nút chứa khoá lớn nhất trong cây con trái
chính là nút cực phải của cây con trái nên nó không thể có hai con được, việc xoá đưa
về hai trường hợp trên (Hình 41)
4
2
6
1 3
5
7
9
3
2
1
6
5
7
9
Hình 41: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực phải của cây con trái
Hoặc tìm nút chứa khoá nhỏ nhất trong cây con phải, đưa giá trị chứa trong đó sang nút
D, rồi xoá nút này. Do tính chất của cây BST, nút chứa khoá nhỏ nhất trong cây con
phải chính là nút cực trái của cây con phải nên nó không thể có hai con được, việc xoá
đưa về hai trường hợp trên.
4
2
6
1 3
5
7
9
2
1 3 6
5
7
9
Hình 42: Xóa nút có cả hai nhánh con trên cây BST thay bằng nút cực trái của cây con phải
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 129
Lê Minh Hoàng
{Thủ tục xoá khoá X khỏi BST}
procedure BSTDelete(X: TKey);
var
p, q, Node, Child: PNode;
begin
p := Root; q := nil; {Về sau, khi p trỏ sang nút khác, ta luôn giữ cho q^ luôn là cha của p^}
while p ≠ nil do {Tìm xem trong cây có khoá X không?}
begin
if p^.Info = X then Break; {Tìm thấy}
q := p;
if X < p^.Info then p := p^.Left
else p := p^.Right;
end;
if p = nil then Exit; {X không tồn tại trong BST nên không xoá được}
if (p^.Left ≠ nil) and (p^.Right ≠ nil) then {p^ có cả con trái và con phải}
begin
Node := p; {Giữ lại nút chứa khoá X}
q := p; p := p^.Left; {Chuyển sang nhánh con trái để tìm nút cực phải}
while p^.Right ≠ nil do
begin
q := p; p := p^.Right;
end;
Node^.Info := p^.Info; {Chuyển giá trị từ nút cực phải trong nhánh con trái lên Node^}
end;
{Nút bị xoá giờ đây là nút p^, nó chỉ có nhiều nhất một con}
{Nếu p^ có một nút con thì đem Child trỏ tới nút con đó, nếu không có thì Child = nil}
if p^.Left ≠ nil then Child := p^.Left
else Child := p^.Right;
if p = Root then Root := Child; {Nút p^ bị xoá là gốc cây}
else {Nút bị xoá p^ không phải gốc cây thì lấy mối nối từ cha của nó là q^ nối thẳng tới Child}
if q^.Left = p then q^.Left := Child
else q^.Right := Child;
Dispose(p);
end;
Trường hợp trung bình, thì các thao tác tìm kiếm, chèn, xoá trên BST có độ phức tạp là O(lgn).
Còn trong trường hợp xấu nhất, cây nhị phân tìm kiếm bị suy biến thì các thao tác đó đều có
độ phức tạp là O(n), với n là số nút trên cây BST.
Nếu ta mở rộng hơn khái niệm cây nhị phân tìm kiếm như sau: Giá trị lưu trong một nút lớn
hơn hoặc bằng các giá trị lưu trong cây con trái và nhỏ hơn các giá trị lưu trong cây con phải.
Thì chỉ cần sửa đổi thủ tục BSTInsert một chút, khi chèn lần lượt vào cây n giá trị, cây BST sẽ
có n nút (có thể có hai nút chứa cùng một giá trị). Khi đó nếu ta duyệt các nút của cây theo
kiểu trung thứ tự (inorder traversal), ta sẽ liệt kê được các giá trị lưu trong cây theo thứ tự
tăng dần. Phương pháp sắp xếp này người ta gọi là Tree Sort. Độ phức tạp tính toán trung
bình của Tree Sort là O(nlgn).
Phép tìm kiếm trên cây BST sẽ kém hiệu quả nếu như cây bị suy biến, người ta có nhiều cách
xoay xở để tránh trường hợp này. Đó là phép quay cây để dựng cây nhị phân cân đối AVL,
hay kỹ thuật dựng cây nhị phân tìm kiếm tối ưu. Những kỹ thuật này ta có thể tham khảo
trong các tài liệu khác về cấu trúc dữ liệu và giải thuật.
130 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
9.5. PHÉP BĂM (HASH)
Tư tưởng của phép băm là dựa vào giá trị các khoá k[1..n], chia các khoá đó ra thành các
nhóm. Những khoá thuộc cùng một nhóm có một đặc điểm chung và đặc điểm này không
có trong các nhóm khác. Khi có một khoá tìm kiếm X, trước hết ta xác định xem nếu X thuộc
vào dãy khoá đã cho thì nó phải thuộc nhóm nào và tiến hành tìm kiếm trên nhóm đó.
Một ví dụ là trong cuốn từ điển, các bạn sinh viên thường dán vào 26 mảnh giấy nhỏ vào các
trang để đánh dấu trang nào là trang khởi đầu của một đoạn chứa các từ có cùng chữ cái đầu.
Để khi tra từ chỉ cần tìm trong các trang chứa những từ có cùng chữ cái đầu với từ cần tìm.
A B Z
Một ví dụ khác là trên dãy các khoá số tự nhiên, ta có thể chia nó là làm m nhóm, mỗi nhóm
gồm các khoá đồng dư theo mô-đun m.
Có nhiều cách cài đặt phép băm:
Cách thứ nhất là chia dãy khoá làm các đoạn, mỗi đoạn chứa những khoá thuộc cùng một
nhóm và ghi nhận lại vị trí các đoạn đó. Để khi có khoá tìm kiếm, có thể xác định được
ngay cần phải tìm khoá đó trong đoạn nào.
Cách thứ hai là chia dãy khoá làm m nhóm, Mỗi nhóm là một danh sách nối đơn chứa các
giá trị khoá và ghi nhận lại chốt của mỗi danh sách nối đơn. Với một khoá tìm kiếm, ta xác
định được phải tìm khoá đó trong danh sách nối đơn nào và tiến hành tìm kiếm tuần tự trên
danh sách nối đơn đó. Với cách lưu trữ này, việc bổ sung cũng như loại bỏ một giá trị khỏi
tập hợp khoá dễ dàng hơn rất nhiều phương pháp trên.
Cách thứ ba là nếu chia dãy khoá làm m nhóm, mỗi nhóm được lưu trữ dưới dạng cây nhị
phân tìm kiếm và ghi nhận lại gốc của các cây nhị phân tìm kiếm đó, phương pháp này có
thể nói là tốt hơn hai phương pháp trên, tuy nhiên dãy khoá phải có quan hệ thứ tự toàn
phần thì mới làm được.
9.6. KHOÁ SỐ VỚI BÀI TOÁN TÌM KIẾM
Mọi dữ liệu lưu trữ trong máy tính đều được số hoá, tức là đều được lưu trữ bằng các đơn vị
Bit, Byte, Word v.v... Điều đó có nghĩa là một giá trị khoá bất kỳ, ta hoàn toàn có thể biết
được nó được mã hoá bằng con số như thế nào. Và một điều chắc chắn là hai khoá khác nhau
sẽ được lưu trữ bằng hai số khác nhau.
Đối với bài toán sắp xếp, ta không thể đưa việc sắp xếp một dãy khoá bất kỳ về việc sắp xếp
trên một dãy khoá số là mã của các khoá. Bởi quan hệ thứ tự trên các con số đó có thể khác
với thứ tự cần sắp của các khoá.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 131
Lê Minh Hoàng
Nhưng đối với bài toán tìm kiếm thì khác, với một khoá tìm kiếm, câu trả lời hoặc là "Không
tìm thấy" hoặc là "Có tìm thấy và ở chỗ ..." nên ta hoàn toàn có thể thay các khoá bằng các
mã số của nó mà không bị sai lầm, chỉ lưu ý một điều là: hai khoá khác nhau phải mã hoá
thành hai số khác nhau mà thôi.
Nói như vậy có nghĩa là việc nghiên cứu những thuật toán tìm kiếm trên các dãy khoá số rất
quan trọng, và dưới đây ta sẽ trình bày một số phương pháp đó.
9.7. CÂY TÌM KIẾM SỐ HỌC (DIGITAL SEARCH TREE - DST)
Xét dãy khoá k[1..n] là các số tự nhiên, mỗi giá trị khoá khi đổi ra hệ nhị phân có z chữ số nhị
phân (bit), các bit này được đánh số từ 0 (là hàng đơn vị) tới z - 1 từ phải sang trái.
Ví dụ:
1 0 1 1
3 2 1 0
11 =
bit
(z = 4)
Hình 43: Đánh số các bit
Cây tìm kiếm số học chứa các giá trị khoá này có thể mô tả như sau: Trước hết, nó là một cây
nhị phân mà mỗi nút chứa một giá trị khoá. Nút gốc có tối đa hai cây con, ngoài giá trị khoá
chứa ở nút gốc, tất cả những giá trị khoá có bit cao nhất là 0 nằm trong cây con trái, còn tất cả
những giá trị khoá có bit cao nhất là 1 nằm ở cây con phải. Đối với hai nút con của nút gốc,
vấn đề tương tự đối với bit z - 2 (bit đứng thứ nhì từ trái sang).
So sánh cây tìm kiếm số học với cây nhị phân tìm kiếm, chúng chỉ khác nhau về cách chia hai
cây con trái/phải. Đối với cây nhị phân tìm kiếm, việc chia này được thực hiện bằng cách so
sánh với khoá nằm ở nút gốc, còn đối với cây tìm kiếm số học, nếu nút gốc có mức là d thì
việc chia cây con được thực hiện theo bit thứ d tính từ trái sang (bit z - d) của mỗi khoá.
Ta nhận thấy rằng những khoá bắt đầu bằng bit 0 chắc chắn nhỏ hơn những khoá bắt đầu bằng
bit 1, đó là điểm tương đồng giữa cây nhị phân tìm kiếm và cây tìm kiếm số học: Với mỗi nút
nhánh: Mọi giá trị chứa trong cây con trái đều nhỏ hơn giá trị chứa trong cây con phải (Hình
44).
6
5 8
2 7
4
10 12
11
6 = 0110
5 = 0101
2 = 0010
7 = 0111
8 = 1000
10 = 1010
12 = 1100
11 = 1011
4 = 0100
0 1
0 1
0
0 1
1
Hình 44: Cây tìm kiếm số học
132 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Giả sử cấu trúc một nút của cây được mô tả như sau:
type
PNode = ^TNode; {Con trỏ chứa liên kết tới một nút}
TNode = record {Cấu trúc nút}
Info: TKey; {Trường chứa khoá}
Left, Right: PNode; {con trỏ tới nút con trái và phải, trỏ tới nil nếu không có nút con trái (phải)}
end;
Gốc của cây được lưu trong con trỏ Root. Ban đầu nút Root = nil (cây rỗng)
Với khoá tìm kiếm X, việc tìm kiếm trên cây tìm kiếm số học có thể mô tả như sau: Ban đầu
đứng ở nút gốc, xét lần lượt các bit của X từ trái sang phải (từ bit z - 1 tới bit 0), hễ gặp bit
bằng 0 thì rẽ sang nút con trái, nếu gặp bit bằng 1 thì rẽ sang nút con phải. Quá trình cứ tiếp
tục như vậy cho tới khi gặp một trong hai tình huống sau:
Đi tới một nút rỗng (do rẽ theo một liên kết nil), quá trình tìm kiếm thất bại do khoá X
không có trong cây.
Đi tới một nút mang giá trị đúng bằng X, quá trình tìm kiếm thành công
{Hàm tìm kiếm trên cây tìm kiếm số học, nó trả về nút chứa khoá tìm kiếm X nếu tìm thấy, trả về nil nếu không tìm thấy. z
là độ dài dãy bit biểu diễn một khoá}
function DSTSearch(X: TKey): PNode;
var
b: Integer;
p: PNode;
begin
b := z; p := Root; {Bắt đầu với nút gốc}
while (p ≠ nil) and (p^.Info ≠ X) do {Chưa gặp phải một trong 2 tình huống trên}
begin
b := b - 1; {Xét bit b của X}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left {Gặp 0 rẽ trái}
else p := p^.Right; {Gặp 1 rẽ phải}
end;
DSTSearch := p;
end;
Thuật toán dựng cây tìm kiếm số học từ dãy khoá k[1..n] cũng được làm gần giống quá trình
tìm kiếm. Ta chèn lần lượt các khoá vào cây, trước khi chèn, ta tìm xem khoá đó đã có trong
cây hay chưa, nếu đã có rồi thì bỏ qua, nếu nó chưa có thì ta thêm nút mới chứa khoá cần
chèn và nối nút đó vào cây tìm kiếm số học tại mối nối rỗng vừa rẽ sang khiến quá trình tìm
kiếm thất bại
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 133
Lê Minh Hoàng
{Thủ tục chèn khoá X vào cây tìm kiếm số học}
procedure DSTInsert(X: TKey);
var
b: Integer;
p, q: PNode;
begin
b := z;
p := Root;
while (p ≠ nil) and (p^.Info ≠ X) do
begin
b := b - 1; {Xét bit b của X}
q := p; {Khi p chạy xuống nút con thì q^ luôn giữ vai trò là nút cha của p^}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left {Gặp 0 rẽ trái}
else p := p^.Right; {Gặp 1 rẽ phải}
end;
if p = nil then {Giá trị X chưa có trong cây}
begin
New(p); {Tạo ra một nút mới p^}
p^.Info := X; {Nút mới tạo ra sẽ chứa khoá X}
p^.Left := nil; p^.Right := nil; {Nút mới đó sẽ trở thành một lá của cây}
if Root = nil then Root := p {Cây đang là rỗng thì nút mới thêm trở thành gốc}
else {Không thì móc p^ vào mối nối vừa rẽ sang từ q^}
if <Bit b của X là 0> then q^.Left := p
else q^.Right := p;
end;
end;
Muốn xoá bỏ một giá trị khỏi cây tìm kiếm số học, trước hết ta xác định nút chứa giá trị cần
xoá là nút D nào, sau đó tìm trong nhánh cây gốc D ra một nút lá bất kỳ, chuyển giá trị chứa
trong nút lá đó sang nút D rồi xoá nút lá.
{Thủ tục xoá khoá X khỏi cây tìm kiếm số học}
procedure DSTDelete(X: TKey);
var
b: Integer;
p, q, Node: PNode;
begin
{Trước hết, tìm kiếm giá trị X xem nó nằm ở nút nào}
b := z;
p := Root;
while (p ≠ nil) and (p^.Info ≠ X) do
begin
b := b - 1;
q := p; {Mỗi lần p chuyển sang nút con, ta luôn đảm bảo cho q^ là nút cha của p^}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left
else p := p^.Right;
end;
if p = nil then Exit; {X không tồn tại trong cây thì không xoá được}
Node := p; {Giữ lại nút chứa khoá cần xoá}
while (p^.Left ≠ nil) or (p^.Right ≠ nil) do {chừng nào p^ chưa phải là lá}
begin
q := p; {q chạy đuổi theo p, còn p chuyển xuống một trong 2 nhánh con}
if p^.Left ≠ nil then p := p^.Left
else p := p^.Right;
end;
Node^.Info := p^.Info; {Chuyển giá trị từ nút lá p^ sang nút Node^}
if Root = p then Root := nil {Cây chỉ gồm một nút gốc và bây giờ xoá cả gốc}
else {Cắt mối nối từ q^ tới p^}
if q^.Left = p then q^.Left := nil
else q^.Right := nil;
Dispose(p);
end;
134 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Về mặt trung bình, các thao tác tìm kiếm, chèn, xoá trên cây tìm kiếm số học đều có độ phức
tạp là O(min(z, lgn)) còn trong trường hợp xấu nhất, độ phức tạp của các thao tác đó là O(z),
bởi cây tìm kiếm số học có chiều cao không quá z + 1.
9.8. CÂY TÌM KIẾM CƠ SỐ (RADIX SEARCH TREE - RST)
Trong cây tìm kiếm số học, cũng như cây nhị phân tìm kiếm, phép tìm kiếm tại mỗi bước phải
so sánh giá trị khoá X với giá trị lưu trong một nút của cây. Trong trường hợp các khoá có cấu
trúc lớn, việc so sánh này có thể mất nhiều thời gian.
Cây tìm kiếm cơ số là một phương pháp khắc phục nhược điểm đó, nội dung của nó có thể
tóm tắt như sau:
Trong cây tìm kiếm cơ số là một cây nhị phân, chỉ có nút lá chứa giá trị khoá, còn giá trị chứa
trong các nút nhánh là vô nghĩa. Các nút lá của cây tìm kiếm cơ số đều nằm ở mức z + 1.
Đối với nút gốc của cây tìm kiếm cơ số, nó có tối đa hai nhánh con, mọi khoá chứa trong nút
lá của nhánh con trái đều có bit cao nhất là 0, mọi khoá chứa trong nút lá của nhánh con phải
đều có bit cao nhất là 1.
Đối với hai nhánh con của nút gốc, vấn đề tương tự với bit thứ z - 2, ví dụ với nhánh con trái
của nút gốc, nó lại có tối đa hai nhánh con, mọi khoá chứa trong nút lá của nhánh con trái đều
có bit thứ z - 2 là 0 (chúng bắt đầu bằng hai bit 00), mọi khoá chứa trong nút lá của nhánh con
phải đều có bit thứ z - 2 là 1 (chúng bắt đầu bằng hai bit 01)...
Tổng quát với nút ở mức d, nó có tối đa hai nhánh con, mọi nút lá của nhánh con trái chứa
khoá có bit z - d là 0, mọi nút lá của nhánh con phải chứa khoá có bit thứ z - d là 1 (Hình 45).
2 4 5 7 8 10 11 12
0
0
0 0
0
0
0
0 0 0
1
1
1 0
1
1
1
1
1
0010
1
0100 0101 0111 1000 1010 1011 1100
Hình 45: Cây tìm kiếm cơ số
Khác với cây nhị phân tìm kiếm hay cây tìm kiếm số học. Cây tìm kiếm cơ số được khởi tạo
gồm có một nút gốc, và nút gốc tồn tại trong suốt quá trình sử dụng: nó không bao giờ bị
xoá đi cả.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 135
Lê Minh Hoàng
Để tìm kiếm một giá trị X trong cây tìm kiếm cơ số, ban đầu ta đứng ở nút gốc và duyệt dãy
bit của X từ trái qua phải (từ bit z - 1 đến bit 0), gặp bit bằng 0 thì rẽ sang nút con trái còn gặp
bit bằng 1 thì rẽ sang nút con phải, cứ tiếp tục như vậy cho tới khi một trong hai tình huống
sau xảy ra:
Hoặc đi tới một nút rỗng (do rẽ theo liên kết nil) quá trình tìm kiếm thất bại do X không có
trong RST
Hoặc đã duyệt hết dãy bit của X và đang đứng ở một nút lá, quá trình tìm kiếm thành công
vì chắc chắn nút lá đó chứa giá trị đúng bằng X.
{Hàm tìm kiếm trên cây tìm kiếm cơ số, trả về nút lá chứa khoá tìm kiếm X nếu tìm thấy, trả về nil nếu không tìm thấy. z
là độ dài dãy bit biểu diễn một khoá}
function RSTSearch(X: TKey): PNode;
var
b: Integer;
p: PNode;
begin
b := z; p := Root; {Bắt đầu với nút gốc, đối với RST thì gốc luôn có sẵn}
repeat
b := b - 1; {Xét bit b của X}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left {Gặp 0 rẽ trái}
else p := p^.Right; {Gặp 1 rẽ phải}
until (p = nil) or (b = 0);
RSTSearch := p;
end;
Thao tác chèn một giá trị X vào RST được thực hiện như sau: Đầu tiên, ta đứng ở gốc và
duyệt dãy bit của X từ trái qua phải (từ bit z - 1 về bit 0), cứ gặp 0 thì rẽ trái, gặp 1 thì rẽ phải.
Nếu quá trình rẽ theo một liên kết nil (đi tới nút rỗng) thì lập tức tạo ra một nút mới, và nối
vào theo liên kết đó để có đường đi tiếp. Sau khi duyệt hết dãy bit của X, ta sẽ dừng lại ở một
nút lá của RST, và công việc cuối cùng là đặt giá trị X vào nút lá đó.
Ví dụ:
2 4 5
010 101 101
1
1
1
0
0 0
0
2 4 5
010 101 101
1
1
1
0
0 0
0
7
1
1
111
Hình 46: Với độ dài dãy bit z = 3, cây tìm kiếm cơ số gồm các khoá 2, 4, 5 và sau khi thêm giá trị 7
136 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
{Thủ tục chèn khoá X vào cây tìm kiếm cơ số}
procedure RSTInsert(X: TKey);
var
b: Integer;
p, q: PNode;
begin
b := z; p := Root; {Bắt đầu từ nút gốc, đối với RST thì gốc luôn ≠ nil}
repeat
b := b - 1; {Xét bit b của X}
q := p; {Khi p chạy xuống nút con thì q^ luôn giữ vai trò là nút cha của p^}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left {Gặp 0 rẽ trái}
else p := p^.Right; {Gặp 1 rẽ phải}
if p = nil then {Không đi được thì đặt thêm nút để đi tiếp}
begin
New(p); {Tạo ra một nút mới và đem p trỏ tới nút đó}
p^.Left := nil; p^.Right := nil;
if <Bit b của X là 0> then q^.Left := p {Nối p^ vào bên trái q^}
else q^.Right := p; {Nối p^ vào bên phải q^}
end;
until b = 0;
p^.Info := X; {p^ là nút lá để đặt X vào}
end;
Với cây tìm kiếm cơ số, việc xoá một giá trị khoá không phải chỉ là xoá riêng một nút lá mà
còn phải xoá toàn bộ nhánh độc đạo đi tới nút đó để tránh lãng phí bộ nhớ (Hình 47).
2 4 5
010 101 101
1
1
1
0
0 0
0
2 4 5
010 101 101
1
1
1
0
0 0
0
7
1
1
111
Hình 47: RST chứa các khoá 2, 4, 5, 7 và RST sau khi loại bỏ giá trị 7
Ta lặp lại quá trình tìm kiếm giá trị khoá X, quá trình này sẽ đi từ gốc xuống lá, tại mỗi bước
đi, mỗi khi gặp một nút ngã ba (nút có cả con trái và con phải - nút cấp hai), ta ghi nhận lại
ngã ba đó và hướng rẽ. Kết thúc quá trình tìm kiếm ta giữ lại được ngã ba đi qua cuối cùng, từ
nút đó tới nút lá chứa X là con đường độc đạo (không có chỗ rẽ), ta tiến hành dỡ bỏ tất cả các
nút trên đoạn đường độc đạo khỏi cây tìm kiếm cơ số. Để không bị gặp lỗi khi cây suy biến
(không có nút cấp 2) ta coi gốc cũng là nút ngã ba
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 137
Lê Minh Hoàng
{Thủ tục xoá khoá X khỏi cây tìm kiếm cơ số}
procedure RSTDelete(X: TKey);
var
b: Integer;
p, q, TurnNode, Child: PNode;
begin
{Trước hết, tìm kiếm giá trị X xem nó nằm ở nút nào}
b := z; p := Root;
repeat
b := b - 1;
q := p; {Mỗi lần p chuyển sang nút con, ta luôn đảm bảo cho q^ là nút cha của p^}
if <Bit b của X là 0> then p := p^.Left
else p := p^.Right;
if (b = z - 1) or (q^.Left ≠ nil) and (q^.Right ≠ nil) then {q^ là nút ngã ba}
begin
TurnNode := q; Child := p; {Ghi nhận lại q^ và hướng rẽ}
end;
until (p = nil) or (b = 0);
if p = nil then Exit; {X không tồn tại trong cây thì không xoá được}
{Trước hết, cắt nhánh độc đạo ra khỏi cây}
if TurnNode^.Left = Child then TurnNode^.Left := nil
else TurnNode^.Right := nil
p := Child; {Chuyển sang đoạn đường độc đạo, bắt đầu xoá}
repeat
q := p;
{Lưu ý rằng p^ chỉ có tối đa một nhánh con mà thôi, cho p trỏ sang nhánh con duy nhất nếu có}
if p^.Left ≠ nil then p := p^.Left
else p := p^.Right;
Dispose(q); {Giải phóng bộ nhớ cho nút q^}
until p = nil;
end;
Ta có một nhận xét là: Hình dáng của cây tìm kiếm cơ số không phụ thuộc vào thứ tự chèn
các khoá vào mà chỉ phụ thuộc vào giá trị của các khoá chứa trong cây.
Đối với cây tìm kiếm cơ số, độ phức tạp tính toán cho các thao tác tìm kiếm, chèn, xoá trong
trường hợp xấu nhất cũng như trung bình đều là O(z). Do không phải so sánh giá trị khoá dọc
đường đi, nó nhanh hơn cây tìm kiếm số học nếu như gặp các khoá cấu trúc lớn. Tốc độ như
vậy có thể nói là tốt, nhưng vấn đề bộ nhớ khiến ta phải xem xét: Giá trị chứa trong các nút
nhánh của cây tìm kiếm cơ số là vô nghĩa dẫn tới sự lãng phí bộ nhớ.
Một giải pháp cho vấn đề này là: Duy trì hai dạng nút trên cây tìm kiếm cơ số: Dạng nút
nhánh chỉ chứa các liên kết trái, phải và dạng nút lá chỉ chứa giá trị khoá. Cài đặt cây này trên
một số ngôn ngữ định kiểu quá mạnh đôi khi rất khó.
Giải pháp thứ hai là đặc tả một cây tương tự như RST, nhưng sửa đổi một chút: nếu có nút lá
chứa giá trị X được nối với cây bằng một nhánh độc đạo thì cắt bỏ nhánh độc đạo đó, và thay
vào chỗ nhánh này chỉ một nút chứa giá trị X. Như vậy các giá trị khoá vẫn chỉ chứa trong các
nút lá nhưng các nút lá giờ đây không chỉ nằm trên mức z + 1 mà còn nằm trên những mức
khác nữa. Phương pháp này không những tiết kiệm bộ nhớ hơn mà còn làm cho quá trình tìm
kiếm nhanh hơn. Giá phải trả cho phương pháp này là thao tác chèn, xoá khá phức tạp. Tên
của cấu trúc dữ liệu này là Trie (Trie chứ không phải Tree) tìm kiếm cơ số.
138 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
2 4 5 7 8 10 11 12
0
0
0 0
0
0
0
0 0 0
1
1
1 0
1
1
1
1
1
1
2
7
4 5
12
8
10 11
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
a)
b)
Hình 48: Cây tìm kiếm cơ số a) và Trie tìm kiếm cơ số b)
Tương tự như phương pháp sắp xếp bằng cơ số, phép tìm kiếm bằng cơ số không nhất thiết
phải chọn hệ cơ số 2. Ta có thể chọn hệ cơ số lớn hơn để có tốc độ nhanh hơn (kèm theo sự
tốn kém bộ nhớ), chỉ lưu ý là cây tìm kiếm số học cũng như cây tìm kiếm cơ số trong trường
hợp này không còn là cây nhị phân mà là cây R_phân với R là hệ cơ số được chọn.
Trong các phương pháp tìm kiếm bằng cơ số, thực ra còn một phương pháp tinh tuý và thông
minh nhất, nó có cấu trúc gần giống như cây nhưng không có nút dư thừa, và quá trình duyệt
bit của khoá tìm kiếm không phải từ trái qua phải mà theo thứ tự của các bit kiểm soát lưu tại
mỗi nút đi qua. Phương pháp đó có tên gọi là Practical Algorithm To Retrieve Information
Coded In Alphanumeric (PATRICIA) do Morrison đề xuất. Tuy nhiên, việc cài đặt phương
pháp này khá phức tạp (đặc biệt là thao tác xoá giá trị khoá), ta có thể tham khảo nội dung của
nó trong các tài liệu khác.
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 139
Lê Minh Hoàng
9.9. NHỮNG NHẬN XÉT CUỐI CÙNG
Tìm kiếm thường là công việc nhanh hơn sắp xếp nhưng lại được sử dụng nhiều hơn. Trên
đây, ta đã trình bày phép tìm kiếm trong một tập hợp để tìm ra bản ghi mang khoá đúng bằng
khoá tìm kiếm. Tuy nhiên, người ta có thể yêu cầu tìm bản ghi mang khoá lớn hơn hay nhỏ
hơn khoá tìm kiếm, tìm bản ghi mang khoá nhỏ nhất mà lớn hơn khoá tìm kiếm, tìm bản ghi
mang khoá lớn nhất mà nhỏ hơn khoá tìm kiếm v.v... Để cài đặt những thuật toán nêu trên
cho những trường hợp này cần có một sự mềm dẻo nhất định.
Cũng tương tự như sắp xếp, ta không nên đánh giá giải thuật tìm kiếm này tốt hơn giải thuật
tìm kiếm khác. Sử dụng thuật toán tìm kiếm phù hợp với từng yêu cầu cụ thể là kỹ năng của
người lập trình, việc cài đặt cây nhị phân tìm kiếm hay cây tìm kiếm cơ số chỉ để tìm kiếm
trên vài chục bản ghi chỉ khẳng định được một điều rõ ràng: không biết thế nào là giải thuật
và lập trình.
Bài tập
Bài 1
Hãy thử viết một chương trình SearchDemo tương tự như chương trình SortDemo trong bài
trước. Đồng thời viết thêm vào chương trình SortDemo ở bài trước thủ tục TreeSort và đánh
giá tốc độ thực của nó.
Bài 2
Tìm hiểu các phương pháp tìm kiếm chuỗi, thuật toán BRUTE-FORCE, thuật toán KNUTHMORRIS-
PRATT, thuật toán BOYER-MOORE và thuật toán RABIN-KARP
Bài 3
Tự tìm hiểu trong các tài liệu khác về tìm kiếm đa hướng (multi-way searching), cây nhị phân
AVL, cây (2, 3, 4), cây đỏ đen.
Tuy gọi là chuyên đề về "Cấu trúc dữ liệu và giải thuật" nhưng thực ra, ta mới chỉ tìm hiểu về
một số cấu trúc dữ liệu và giải thuật hay gặp. Không một tài liệu nào có thể đề cập tới mọi cấu
trúc dữ liệu và giải thuật bởi chúng quá phong phú và liên tục được bổ sung. Những cấu trúc
dữ liệu và giải thuật không "phổ thông" lắm như lý thuyết đồ thị, hình học, v.v... sẽ được tách
ra và sẽ được nói kỹ hơn trong một chuyên đề khác.
Việc đi sâu nghiên cứu những cấu trúc dữ liệu và giải thuật, dù chỉ là một phần nhỏ hẹp cũng
nảy sinh rất nhiều vấn đề hay và khó, như các vấn đề lý thuyết về độ phức tạp tính toán, vấn
đề NP_đầy đủ v.v... Đó là công việc của những nhà khoa học máy tính. Nhưng trước khi trở
thành một nhà khoa học máy tính thì điều kiện cần là phải biết lập trình. Vậy nên khi tìm hiểu
bất cứ cấu trúc dữ liệu hay giải thuật nào, nhất thiết ta phải cố gắng cài đặt bằng được. Mọi ý
tưởng hay sẽ chỉ là bỏ đi nếu như không biến thành hiệu quả, thực tế là như vậy.
PHẦN 3. QUY HOẠCH ĐỘNG
Các thuật toán đệ quy có ưu điểm dễ cài đặt, tuy nhiên do bản chất của
quá trình đệ quy, các chương trình này thường kéo theo những đòi hỏi
lớn về không gian bộ nhớ và một khối lượng tính toán khổng lồ.
Quy hoạch động (Dynamic programming) là một kỹ thuật nhằm đơn giản
hóa việc tính toán các công thức truy hồi bằng cách lưu trữ toàn bộ hay
một phần kết quả tính toán tại mỗi bước với mục đích sử dụng lại. Bản
chất của quy hoạch động là thay thế mô hình tính toán "từ trên xuống"
(Top-down) bằng mô hình tính toán "từ dưới lên" (Bottom-up).
Từ "programming" ở đây không liên quan gì tới việc lập trình cho máy
tính, đó là một thuật ngữ mà các nhà toán học hay dùng để chỉ ra các
bước chung trong việc giải quyết một dạng bài toán hay một lớp các vấn
đề. Không có một thuật toán tổng quát để giải tất cả các bài toán quy
hoạch động.
Mục đích của phần này là cung cấp một cách tiếp cận mới trong việc giải
quyết các bài toán tối ưu mang bản chất đệ quy, đồng thời đưa ra các ví
dụ để người đọc có thể làm quen và hình thành các kỹ năng trong việc
tiếp cận các bài toán quy hoạch động.
142 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§1. CÔNG THỨC TRUY HỒI
1.1. VÍ DỤ
Cho số tự nhiên n ≤ 100. Hãy cho biết có bao nhiêu cách phân tích số n thành tổng của
dãy các số nguyên dương, các cách phân tích là hoán vị của nhau chỉ tính là một cách.
Ví dụ: n = 5 có 7 cách phân tích:
1. 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 5 = 1 + 1 + 1 + 2
3. 5 = 1 + 1 + 3
4. 5 = 1 + 2 + 2
5. 5 = 1 + 4
6. 5 = 2 + 3
7. 5 = 5
(Lưu ý: n = 0 vẫn coi là có 1 cách phân tích thành tổng các số nguyên dương (0 là tổng
của dãy rỗng))
Để giải bài toán này, trong chuyên mục trước ta đã dùng phương pháp liệt kê tất cả các cách
phân tích và đếm số cấu hình. Bây giờ ta thử nghĩ xem, có cách nào tính ngay ra số lượng
các cách phân tích mà không cần phải liệt kê hay không ?. Bởi vì khi số cách phân tích
tương đối lớn, phương pháp liệt kê tỏ ra khá chậm. (n = 100 có 190569292 cách phân tích).
Nhận xét:
Nếu gọi F[m, v] là số cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương ≤ m. Khi đó:
Các cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương ≤ m có thể chia làm hai loại:
Loại 1: Không chứa số m trong phép phân tích, khi đó số cách phân tích loại này chính là
số cách phân tích số v thành tổng các số nguyên dương < m, tức là số cách phân tích số v
thành tổng các số nguyên dương ≤ m - 1 và bằng F[m - 1, v].
Loại 2: Có chứa ít nhất một số m trong phép phân tích. Khi đó nếu trong các cách phân tích
loại này ta bỏ đi số m đó thì ta sẽ được các cách phân tích số v - m thành tổng các số
nguyên dương ≤ m (Lưu ý: điều này chỉ đúng khi không tính lặp lại các hoán vị của một
cách). Có nghĩa là về mặt số lượng, số các cách phân tích loại này bằng F[m, v - m]
Trong trường hợp m > v thì rõ ràng chỉ có các cách phân tích loại 1, còn trong trường hợp m ≤
v thì sẽ có cả các cách phân tích loại 1 và loại 2. Vì thế:
F[m 1, v]; if m > v
F[m, v]
F[m-1,v]+F[m,v-m]; if m v
⎧ −
= ⎨ ≤ ⎩
Ta có công thức xây dựng F[m, v] từ F[m - 1, v] và F[m, v - m]. Công thức này có tên gọi là
công thức truy hồi đưa việc tính F[m, v] về việc tính các F[m', v'] với dữ liệu nhỏ hơn. Tất
nhiên cuối cùng ta sẽ quan tâm đến F[n, n]: Số các cách phân tích n thành tổng các số nguyên
dương ≤ n.
Ví dụ với n = 5, bảng F sẽ là:
Quy hoạch động 143
Lê Minh Hoàng
5 1 1 2 3 5 7
4 1 1 2 3 5 6
3 1 1 2 3 4 5
2 1 1 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0
F 0 1 2 3 4 5
m
v
Nhìn vào bảng F, ta thấy rằng F[m, v] được tính bằng tổng của:
Một phần tử ở hàng trên: F[m - 1, v] và một phần tử ở cùng hàng, bên trái: F[m, v - m].
Ví dụ F[5, 5] sẽ được tính bằng F[4, 5] + F[5, 0], hay F[3, 5] sẽ được tính bằng F[2, 5] + F[3,
2]. Chính vì vậy để tính F[m, v] thì F[m - 1, v] và F[m, v - m] phải được tính trước. Suy ra thứ
tự hợp lý để tính các phần tử trong bảng F sẽ phải là theo thứ tự từ trên xuống và trên mỗi
hàng thì tính theo thứ tự từ trái qua phải.
Điều đó có nghĩa là ban đầu ta phải tính hàng 0 của bảng: F[0, v] = số dãy có các phần tử ≤ 0
mà tổng bằng v, theo quy ước ở đề bài thì F[0, 0] = 1 còn F[0, v] với mọi v > 0 đều là 0.
Vậy giải thuật dựng rất đơn giản: Khởi tạo dòng 0 của bảng F: F[0, 0] = 1 còn F[0, v] với mọi
v > 0 đều bằng 0, sau đó dùng công thức truy hồi tính ra tất cả các phần tử của bảng F. Cuối
cùng F[n, n] là số cách phân tích cần tìm
P_3_01_1.PAS * Đếm số cách phân tích số n
program Analyse1; {Bài toán phân tích số}
const
max = 100;
var
F: array[0..max, 0..max] of LongInt;
n, m, v: Integer;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(F[0], SizeOf(F[0]), 0); {Khởi tạo dòng 0 của bảng F toàn số 0}
F[0, 0] := 1; {Duy chỉ có F[0, 0] = 1}
for m := 1 to n do {Dùng công thức tính các dòng theo thứ tự từ trên xuống dưới}
for v := 0 to n do {Các phần tử trên một dòng thì tính theo thứ tự từ trái qua phải}
if v < m then F[m, v] := F[m - 1, v]
else F[m, v] := F[m - 1, v] + F[m, v - m];
WriteLn(F[n, n], ' Analyses'); {Cuối cùng F[n, n] là số cách phân tích}
end.
1.2. CẢI TIẾN THỨ NHẤT
Cách làm trên có thể tóm tắt lại như sau: Khởi tạo dòng 0 của bảng, sau đó dùng dòng 0 tính
dòng 1, dùng dòng 1 tính dòng 2 v.v... tới khi tính được hết dòng n. Có thể nhận thấy rằng
khi đã tính xong dòng thứ k thì việc lưu trữ các dòng từ dòng 0 tới dòng k - 1 là không cần
thiết bởi vì việc tính dòng k + 1 chỉ phụ thuộc các giá trị lưu trữ trên dòng k. Vậy ta có thể
dùng hai mảng một chiều: Mảng Current lưu dòng hiện thời đang xét của bảng và mảng Next
lưu dòng kế tiếp, đầu tiên mảng Current được gán các giá trị tương ứng trên dòng 0. Sau đó
dùng mảng Current tính mảng Next, mảng Next sau khi tính sẽ mang các giá trị tương ứng
144 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
trên dòng 1. Rồi lại gán mảng Current := Next và tiếp tục dùng mảng Current tính mảng Next,
mảng Next sẽ gồm các giá trị tương ứng trên dòng 2 v.v... Vậy ta có cài đặt cải tiến sau:
P_3_01_2.PAS * Đếm số cách phân tích số n
program Analyse2;
const
max = 100;
var
Current, Next: array[0..max] of LongInt;
n, m, v: Integer;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(Current, SizeOf(Current), 0);
Current[0] := 1; {Khởi tạo mảng Current tương ứng với dòng 0 của bảng F}
for m := 1 to n do
begin {Dùng dòng hiện thời Current tính dòng kế tiếp Next ⇔ Dùng dòng m - 1 tính dòng m của bảng F}
for v := 0 to n do
if v < m then Next[v] := Current[v]
else Next[v] := Current[v] + Next[v - m];
Current := Next; {Gán Current := Next tức là Current bây giờ lại lưu các phần tử trên dòng m của bảng F}
end;
WriteLn(Current[n], ' Analyses');
end.
Cách làm trên đã tiết kiệm được khá nhiều không gian lưu trữ, nhưng nó hơi chậm hơn
phương pháp đầu tiên vì phép gán mảng (Current := Next). Có thể cải tiến thêm cách làm này
như sau:
P_3_01_3.PAS * Đếm số cách phân tích số n
program Analyse3;
const
max = 100;
var
B: array[1..2, 0..max] of LongInt;{Bảng B chỉ gồm 2 dòng thay cho 2 dòng liên tiếp của bảng phương án}
n, m, v, x, y: Integer;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
{Trước hết, dòng 1 của bảng B tương ứng với dòng 0 của bảng phương án F, được điền cơ sở quy hoạch động}
FillChar(B[1], SizeOf(B[1]), 0);
B[1][0] := 1;
x := 1; {Dòng B[x] đóng vai trò là dòng hiện thời trong bảng phương án}
y := 2; {Dòng B[y] đóng vai trò là dòng kế tiếp trong bảng phương án}
for m := 1 to n do
begin
{Dùng dòng x tính dòng y ⇔ Dùng dòng hiện thời trong bảng phương án để tính dòng kế tiếp}
for v := 0 to n do
if v < m then B[y][v] := B[x][v]
else B[y][v] := B[x][v] + B[y][v - m];
x := 3 - x; y := 3 - y; {Đảo giá trị x và y, tính xoay lại}
end;
WriteLn(B[x][n], ' Analyses');
end.
1.3. CẢI TIẾN THỨ HAI
Ta vẫn còn cách tốt hơn nữa, tại mỗi bước, ta chỉ cần lưu lại một dòng của bảng F bằng một
mảng 1 chiều, sau đó dùng mảng đó tính lại chính nó để sau khi tính, mảng một chiều sẽ lưu
các giá trị của bảng F trên dòng kế tiếp.
Quy hoạch động 145
Lê Minh Hoàng
P_3_01_4.PAS * Đếm số cách phân tích số n
program Analyse4;
const
max = 100;
var
L: array[0..max] of LongInt; {Chỉ cần lưu 1 dòng}
n, m, v: Integer;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(L, SizeOf(L), 0);
L[0] := 1; {Khởi tạo mảng 1 chiều L lưu dòng 0 của bảng}
for m := 1 to n do {Dùng L tính lại chính nó}
for v := m to n do
L[v] := L[v] + L[v - m];
WriteLn(L[n], ' Analyses');
end.
1.4. CÀI ĐẶT ĐỆ QUY
Xem lại công thức truy hồi tính F[m, v] = F[m - 1, v] + F[m, v - m], ta nhận thấy rằng để tính
F[m, v] ta phải biết được chính xác F[m - 1, v] và F[m, v - m]. Như vậy việc xác định thứ tự
tính các phần tử trong bảng F (phần tử nào tính trước, phần tử nào tính sau) là quan trọng. Tuy
nhiên ta có thể tính dựa trên một hàm đệ quy mà không cần phải quan tâm tới thứ tự tính toán.
Việc viết một hàm đệ quy tính công thức truy hồi khá đơn giản, như ví dụ này ta có thể viết:
P_3_01_5.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy
program Analyse5;
var
n: Integer;
function GetF(m, v: Integer): LongInt;
begin
if m = 0 then {Phần neo của hàm đệ quy}
if v = 0 then GetF := 1
else GetF := 0
else {Phần đệ quy}
if m > v then GetF := GetF(m - 1, v)
else GetF := GetF(m - 1, v) + GetF(m, v - m);
end;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
WriteLn(GetF(n, n), ' Analyses');
end.
Phương pháp cài đặt này tỏ ra khá chậm vì phải gọi nhiều lần mỗi hàm GetF(m, v) (bài sau sẽ
giải thích rõ hơn điều này). Ta có thể cải tiến bằng cách kết hợp với một mảng hai chiều F.
Ban đầu các phần tử của F được coi là "chưa biết" (bằng cách gán một giá trị đặc biệt). Hàm
GetF(m, v) khi được gọi trước hết sẽ tra cứu tới F[m, v], nếu F[m, v] chưa biết thì hàm
GetF(m, v) sẽ gọi đệ quy để tính giá trị của F[m, v] rồi dùng giá trị này gán cho kết quả hàm,
còn nếu F[m, v] đã biết thì hàm này chỉ việc gán kết quả hàm là F[m, v] mà không cần gọi đệ
quy để tính toán nữa.
P_3_01_6.PAS * Đếm số cách phân tích số n dùng đệ quy
program Analyse6;
const
max = 100;
146 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
var
n: Integer;
F: array[0..max, 0..max] of LongInt;
function GetF(m, v: Integer): LongInt;
begin
if F[m, v] = -1 then {Nếu F[m, v] chưa biết thì đi tính F[m, v]}
begin
if m = 0 then {Phần neo của hàm đệ quy}
if v = 0 then F[m, v] := 1
else F[m, v] := 0
else {Phần đệ quy}
if m > v then F[m, v] := GetF(m - 1, v)
else F[m, v] := GetF(m - 1, v) + GetF(m, v - m);
end;
GetF := F[m, v]; {Gán kết quả hàm bằng F[m, v]}
end;
begin
Write('n = '); ReadLn(n);
FillChar(f, SizeOf(f), $FF); {Khởi tạo mảng F bằng giá trị -1}
WriteLn(GetF(n, n), ' Analyses');
end.
Việc sử dụng phương pháp đệ quy để giải công thức truy hồi là một kỹ thuật đáng lưu ý, vì
khi gặp một công thức truy hồi phức tạp, khó xác định thứ tự tính toán thì phương pháp này tỏ
ra rất hiệu quả, hơn thế nữa nó làm rõ hơn bản chất đệ quy của công thức truy hồi.
Quy hoạch động 147
Lê Minh Hoàng
§2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG
2.1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH
Bài toán quy hoạch là bài toán tối ưu: gồm có một hàm f gọi là hàm mục tiêu hay hàm đánh
giá; các hàm g1, g2, ..., gn cho giá trị logic gọi là hàm ràng buộc. Yêu cầu của bài toán là tìm
một cấu hình x thoả mãn tất cả các ràng buộc g1, g2, ...gn: gi(x) = TRUE (∀i: 1 ≤ i ≤ n) và x là
tốt nhất, theo nghĩa không tồn tại một cấu hình y nào khác thoả mãn các hàm ràng buộc mà
f(y) tốt hơn f(x).
Ví dụ:
Tìm (x, y) để
Hàm mục tiêu : x + y → max
Hàm ràng buộc : x2 + y2 ≤ 1.
Xét trong mặt phẳng toạ độ, những cặp (x, y) thoả mãn x2 + y2 ≤ 1 là tọa độ của những điểm
nằm trong hình tròn có tâm O là gốc toạ độ, bán kính 1. Vậy nghiệm của bài toán bắt buộc
nằm trong hình tròn đó.
Những đường thẳng có phương trình: x + y = C (C là một hằng số) là đường thẳng vuông góc
với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Ta phải tìm số C lớn nhất mà đường thẳng x + y =
C vẫn có điểm chúng với đường tròn (O, 1). Đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn:
x + y = 2 . Tiếp điểm 1 , 1
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
tương ứng với nghiệm tối ưu của bài toán đã cho.
0 x
y
x + y = 2
1
1
2
x = y = 1
Các dạng bài toán quy hoạch rất phong phú và đa dạng, ứng dụng nhiều trong thực tế, nhưng
cũng cần biết rằng, đa số các bài toán quy hoạch là không giải được, hoặc chưa giải được.
Cho đến nay, người ta mới chỉ có thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính lồi,
và một vài thuật toán khác áp dụng cho các lớp bài toán cụ thể.
2.2. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG
Phương pháp quy hoạch động dùng để giải bài toán tối ưu có bản chất đệ quy, tức là việc tìm
phương án tối ưu cho bài toán đó có thể đưa về tìm phương án tối ưu của một số hữu hạn các
bài toán con. Đối với nhiều thuật toán đệ quy chúng ta đã tìm hiểu, nguyên lý chia để trị
(divide and conquer) thường đóng vai trò chủ đạo trong việc thiết kế thuật toán. Để giải quyết
148 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
một bài toán lớn, ta chia nó làm nhiều bài toán con cùng dạng với nó để có thể giải quyết độc
lập. Trong phương pháp quy hoạch động, nguyên lý này càng được thể hiện rõ: Khi không
biết cần phải giải quyết những bài toán con nào, ta sẽ đi giải quyết tất cả các bài toán con và
lưu trữ những lời giải hay đáp số của chúng với mục đích sử dụng lại theo một sự phối hợp
nào đó để giải quyết những bài toán tổng quát hơn. Đó chính là điểm khác nhau giữa Quy
hoạch động và phép phân giải đệ quy và cũng là nội dung phương pháp quy hoạch động:
Phép phân giải đệ quy bắt đầu từ bài toán lớn phân rã thành nhiều bài toán con và đi giải
từng bài toán con đó. Việc giải từng bài toán con lại đưa về phép phân rã tiếp thành nhiều
bài toán nhỏ hơn và lại đi giải tiếp bài toán nhỏ hơn đó bất kể nó đã được giải hay chưa.
Quy hoạch động bắt đầu từ việc giải tất cả các bài toán nhỏ nhất ( bài toán cơ sở) để từ đó
từng bước giải quyết những bài toán lớn hơn, cho tới khi giải được bài toán lớn nhất (bài
toán ban đầu).
Ta xét một ví dụ đơn giản:
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số nguyên dương F[1], F[2], ... được định nghĩa như sau:
1, if i 2
F[i]
F[i 1] F[i 2], if i 3
⎧ ≤
= ⎨ − + − ≥ ⎩
Hãy tính F[6]
Xét hai cách cài đặt chương trình:
Cách 1 Cách 2
program Fibo1;
function F(i: Integer): Integer;
begin
if i < 3 then F := 1
else F := F(i - 1) + F(i - 2);
end;
begin
WriteLn(F(6));
end.
program Fibo2;
var
F: array[1..6] of Integer;
i: Integer;
begin
F[1] := 1; F[2] := 1;
for i := 3 to 6 do
F[i] := F[i - 1] + F[i - 2];
WriteLn(F[6]);
end.
Cách 1 có hàm đệ quy F(i) để tính số Fibonacci thứ i. Chương trình chính gọi F(6), nó sẽ gọi
tiếp F(5) và F(4) để tính ... Quá trình tính toán có thể vẽ như cây dưới đây. Ta nhận thấy để
tính F(6) nó phải tính 1 lần F(5), hai lần F(4), ba lần F(3), năm lần F(2), ba lần F(1).
Quy hoạch động 149
Lê Minh Hoàng
F(6)
F(5)
F(3)
F(2) F(1)
F(4)
F(2)
F(3)
F(2) F(1)
F(4)
F(2)
F(3)
F(2) F(1)
Hình 49: Hàm đệ quy tính số Fibonacci
Cách 2 thì không như vậy. Trước hết nó tính sẵn F[1] và F[2], từ đó tính tiếp F[3], lại tính tiếp
được F[4], F[5], F[6]. Đảm bảo rằng mỗi giá trị Fibonacci chỉ phải tính 1 lần.
(Cách 2 còn có thể cải tiến thêm nữa, chỉ cần dùng 3 giá trị tính lại lẫn nhau)
Trước khi áp dụng phương pháp quy hoạch động ta phải xét xem phương pháp đó có thoả
mãn những yêu cầu dưới đây hay không:
Bài toán lớn phải phân rã được thành nhiều bài toán con, mà sự phối hợp lời giải của các bài
toán con đó cho ta lời giải của bài toán lớn.
Vì quy hoạch động là đi giải tất cả các bài toán con, nên nếu không đủ không gian vật lý lưu
trữ lời giải (bộ nhớ, đĩa...) để phối hợp chúng thì phương pháp quy hoạch động cũng không
thể thực hiện được.
Quá trình từ bài toán cơ sở tìm ra lời giải bài toán ban đầu phải qua hữu hạn bước.
Các khái niệm:
Bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động gọi là bài toán quy hoạch động
Công thức phối hợp nghiệm của các bài toán con để có nghiệm của bài toán lớn gọi là
công thức truy hồi (hay phương trình truy toán) của quy hoạch động
Tập các bài toán nhỏ nhất có ngay lời giải để từ đó giải quyết các bài toán lớn hơn gọi là cơ
sở quy hoạch động
Không gian lưu trữ lời giải các bài toán con để tìm cách phối hợp chúng gọi là bảng
phương án của quy hoạch động
Các bước cài đặt một chương trình sử dụng quy hoạch động:
Giải tất cả các bài toán cơ sở (thông thường rất dễ), lưu các lời giải vào bảng phương án.
Dùng công thức truy hồi phối hợp những lời giải của những bài toán nhỏ đã lưu trong bảng
phương án để tìm lời giải của những bài toán lớn hơn và lưu chúng vào bảng phương án.
Cho tới khi bài toán ban đầu tìm được lời giải.
Dựa vào bảng phương án, truy vết tìm ra nghiệm tối ưu.
150 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cho đến nay, vẫn chưa có một định lý nào cho biết một cách chính xác những bài toán nào có
thể giải quyết hiệu quả bằng quy hoạch động. Tuy nhiên để biết được bài toán có thể giải bằng
quy hoạch động hay không, ta có thể tự đặt câu hỏi: "Một nghiệm tối ưu của bài toán lớn có
phải là sự phối hợp các nghiệm tối ưu của các bài toán con hay không ?" và "Liệu có thể
nào lưu trữ được nghiệm các bài toán con dưới một hình thức nào đó để phối hợp tìm
được nghiệm bài toán lớn"
Quy hoạch động 151
Lê Minh Hoàng
§3. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG
3.1. DÃY CON ĐƠN ĐIỆU TĂNG DÀI NHẤT
Cho dãy số nguyên A = a[1..n]. (n ≤ 5000, -10000 ≤ a[i] ≤ 10000). Một dãy con của A là một
cách chọn ra trong A một số phần tử giữ nguyên thứ tự. Như vậy A có 2n dãy con.
Yêu cầu: Tìm dãy con đơn điệu tăng của A có độ dài lớn nhất.
Ví dụ: A = (1, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6, 7). Dãy con đơn điệu tăng dài nhất là: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Input: file văn bản INCSEQ.INP
Dòng 1: Chứa số n
Dòng 2: Chứa n số a[1], a[2], ..., a[n] cách nhau ít nhất một dấu cách
Output: file văn bản INCSEQ.OUT
Dòng 1: Ghi độ dài dãy con tìm được
Các dòng tiếp: ghi dãy con tìm được và chỉ số những phần tử được chọn vào dãy con đó.
INCSEQ.INP
11
1 2 3 8 9 4 5 6 20 9 10
INCSEQ.OUT
8
a[1] = 1
a[2] = 2
a[3] = 3
a[6] = 4
a[7] = 5
a[8] = 6
a[10] = 9
a[11] = 10
Cách giải:
Bổ sung vào A hai phần tử: a[0] = -∞ và a[n+1] = +∞. Khi đó dãy con đơn điệu tăng dài nhất
chắc chắn sẽ bắt đầu từ a[0] và kết thúc ở a[n+1].
Với ∀ i: 0 ≤ i ≤ n + 1. Ta sẽ tính L[i] = độ dài dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu tại a[i].
3.1.1. Cơ sở quy hoạch động (bài toán nhỏ nhất):
L[n+1] = Độ dài dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu tại a[n+1] = +∞. Dãy con này chỉ
gồm mỗi một phần tử (+∞) nên L[n+1] = 1.
3.1.2. Công thức truy hồi:
Giả sử với i chạy từ n về 0, ta cần tính L[i]: độ dài dãy con tăng dài nhất bắt đầu tại a[i]. L[i]
được tính trong điều kiện L[i+1..n+1] đã biết:
Dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu từ a[i] sẽ được thành lập bằng cách lấy a[i] ghép vào
đầu một trong số những dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu tại vị trí a[j] đứng sau a[i]. Ta
sẽ chọn dãy nào để ghép a[i] vào đầu? Tất nhiên là chỉ được ghép a[i] vào đầu những dãy con
bắt đầu tại a[j] nào đó lớn hơn a[i] (để đảm bảo tính tăng) và dĩ nhiên ta sẽ chọn dãy dài nhất
để ghép a[i] vào đầu (để đảm bảo tính dài nhất). Vậy L[i] được tính như sau: Xét tất cả các
152 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
chỉ số j trong khoảng từ i + 1 đến n + 1 mà a[j] > a[i], chọn ra chỉ số jmax có L[jmax] lớn
nhất. Đặt L[i] := L[jmax] + 1:
i j n 1
a[i] a[ j]
L[i] max L[ j] 1
< ≤ −
<
= +
3.1.3. Truy vết
Tại bước xây dựng dãy L, mỗi khi gán L[i] := L[jmax] + 1, ta đặt T[i] = jmax. Để lưu lại rằng:
Dãy con dài nhất bắt đầu tại a[i] sẽ có phần tử thứ hai kế tiếp là a[jmax].
Sau khi tính xong hay dãy L và T, ta bắt đầu từ T[0].
T[0] chính là phần tử đầu tiên được chọn,
T[T[0]] là phần tử thứ hai được chọn,
T[T[T[0]]] là phần tử thứ ba được chọn ...
Quá trình truy vết có thể diễn tả như sau:
i := T[0];
while i <> n + 1 do {Chừng nào chưa duyệt đến số a[n+1]=+∞ ở cuối}
begin
<Thông báo chọn a[i]>
i := T[i];
end;
Ví dụ: với A = (5, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 8). Hai dãy L và T sau khi tính sẽ là:
T[i] 2 8 3 4 7 6 11 8 9 10 11
L[i] 9 5 8 7 6 3 2 5 4 3 2 1
a 5 2 3 4 9 10 5 6 7 8
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i −∞ +∞
Calculating
Tracing
Hình 50: Tính toán và truy vết
P_3_03_1.PAS * Tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất
program LongestSubSequence;
const
InputFile = 'INCSEQ.INP';
OutputFile = 'INCSEQ.OUT';
max = 5000;
var
a, L, T: array[0..max + 1] of Integer;
n: Word;
procedure Enter;
var
i: Word;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
for i := 1 to n do Read(f, a[i]);
Close(f);
Quy hoạch động 153
Lê Minh Hoàng
end;
procedure Optimize; {Quy hoạch động}
var
i, j, jmax: Word;
begin
a[0] := -32768; a[n + 1] := 32767; {Thêm hai phần tử canh hai đầu dãy a}
L[n + 1] := 1; {Điền cơ sở quy hoach động vào bảng phương án}
for i := n downto 0 do {Tính bảng phương án}
begin
{Chọn trong các chỉ số j đứng sau i thoả mãn a[j] > a[i] ra chỉ số jmax có L[jmax] lớn nhất}
jmax := n + 1;
for j := i + 1 to n + 1 do
if (a[j] > a[i]) and (L[j] > L[jmax]) then jmax := j;
L[i] := L[jmax] + 1; {Lưu độ dài dãy con tăng dài nhất bắt đầu tại a[i]}
T[i] := jmax; {Lưu vết: phần tử đứng liền sau a[i] trong dãy con tăng dài nhất đó là a[jmax]}
end;
end;
procedure Result;
var
f: Text;
i: Integer;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, L[0] - 2); {Chiều dài dãy con tăng dài nhất}
i := T[0]; {Bắt đầu truy vết tìm nghiệm}
while i <> n + 1 do
begin
WriteLn(f, 'a[', i, '] = ', a[i]);
i := T[i];
end;
Close(f);
end;
begin
Enter;
Optimize;
Result;
end.
Nhận xét: Công thức truy hồi tính các L[.] có thể tóm tắt là:
i j
i j n 1
a a
L[n 1] 0
L[i] max L[ j] 1; ( i=0,n)
< ≤ +
<
+ = ⎧⎪⎨
= + ∀
⎪⎩
và để tính hết các L[.], ta phải mất một đoạn chương trình với độ phức tạp tính toán là O(n2).
Ta có thể cải tiến cách cài đặt để được một đoạn chương trình với độ phức tạp tính toán là
O(nlogn) bằng kỹ thuật sau:
Với mỗi số k, ta gọi StartOf[k] là chỉ số x của phần tử a[x] thoả mãn: dãy đơn điệu tăng dài
nhất bắt đầu từ a[x] có độ dài k. Nếu có nhiều phần tử a[.] cùng thoả mãn điều kiện này thì ta
chọn phần tử a[x] là phần tử lớn nhất trong số những phần tử đó. Việc tính các giá trị StartOf[.]
được thực hiện đồng thời với việc tính các giá trị L[.] bằng phương pháp sau:
L[n + 1] := 1;
StartOf[1] := n + 1;
m := 1; {m là độ dài dãy con đơn điệu tăng dài nhất của dãy a[i..n+1] (ở bước khởi tạo này i = n + 1)}
for i := n downto 0 do
154 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
begin
〈Tính L[i]; đặt k := L[i]〉;
if k > m then {Nếu dãy con tăng dài nhất bắt đầu tại a[i] có độ dài > m}
begin
m := k; {Cập nhật lại m}
StartOf[k] := i; {Gán giá trị cho StartOf[m]}
end
else
if a[i] > a[StartOf[k]] then {Nếu có nhiều dãy đơn điệu tăng dài nhất độ dài k thì}
StartOf[k] := i; {chỉ ghi nhận lại dãy có phần tử bắt đầu lớn nhất}
end;
Khi bắt đầu vào một lần lặp với một giá trị i, ta đã biết được:
m: Độ dài dãy con đơn điệu tăng dài nhất của dãy a[i+1..n+1]
StartOf[k] (1 ≤ k ≤ m): Phần tử a[StartOf[k]] là phần tử lớn nhất trong số các phần tử trong
đoạn a[i+1..n+1] thoả mãn: Dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu từ a[StartOf[k]] có độ dài
k. Do thứ tự tính toán được áp đặt như trong sơ đồ trên, ta dễ dàng nhận thấy rằng:
a[StartOf[k]] < a[StartOf[k - 1]] <...<a[StartOf[1]].
Điều kiện để có dãy con đơn điệu tăng độ dài p+1 bắt đầu tại a[i] chính là a[StartOf[p]] > a[i]
(vì theo thứ tự tính toán thì khi bắt đầu một lần lặp với giá trị i, a[StartOf[p]] luôn đứng sau
a[i]). Mặt khác nếu đem a[i] ghép vào đầu dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu tại
a[StartOf[p]] mà thu được dãy tăng thì đem a[i] ghép vào đầu dãy con đơn điệu tăng dài nhất
bắt đầu tại a[StartOf[p - 1]] ta cũng thu được dãy tăng. Vậy để tính L[i], ta có thể tìm số p lớn
nhất thoả mãn a[StartOf[p]] > a[i] bằng thuật toán tìm kiếm nhị phân rồi đặt L[i] := p + 1
(và sau đó T[i] := StartOf[p], tất nhiên)
P_3_03_2.PAS * Cải tiến thuật toán tìm dãy con đơn điệu tăng dài nhất
program LongestSubSequence;
const
InputFile = 'INCSEQ.INP';
OutputFile = 'INCSEQ.OUT';
const
max = 5000;
var
a, L, T, StartOf: array[0..max + 1] of Integer;
n, m: Integer;
procedure Enter;
var
i: Word;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
for i := 1 to n do Read(f, a[i]);
Close(f);
end;
procedure Init;
begin
a[0] := -32768;
a[n + 1] := 32767;
m := 1;
L[n + 1] := 1;
StartOf[1] := n + 1;
end;
Quy hoạch động 155
Lê Minh Hoàng
{Hàm Find, tìm vị trí j mà nếu đem ai ghép vào đầu dãy con đơn điệu tăng dài nhất bắt đầu từ aj sẽ được dãy đơn
điệu tăng dài nhất bắt đầu tại ai}
function Find(i: Integer): Integer;
var
inf, sup, median, j: Integer;
begin
inf := 1; sup := m + 1;
repeat {Thuật toán tìm kiếm nhị phân}
median := (inf + sup) div 2;
j := StartOf[median];
if a[j] > a[i] then inf := median {Luôn để aStartOf[inf] > ai ≥ aStartOf[sup]}
else sup := median;
until inf + 1 = sup;
Find := StartOf[inf];
end;
procedure Optimize;
var
i, j, k: Integer;
begin
for i := n downto 0 do
begin
j := Find(i);
k := L[j] + 1;
if k > m then
begin
m := k;
StartOf[k] := i;
end
else
if a[StartOf[k]] < a[i] then
StartOf[k] := i;
L[i] := k;
T[i] := j;
end;
end;
procedure Result;
var
f: Text;
i: Integer;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, m - 2);
i := T[0];
while i <> n + 1 do
begin
WriteLn(f, 'a[', i, '] = ', a[i]);
i := T[i];
end;
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Optimize;
Result;
end.
Dễ thấy chi phí thời gian thực hiện giải thuật này cấp O(nlogn), đây là một ví dụ điển hình
cho thấy rằng một công thức truy hồi có thể có nhiều phương pháp tính.
156 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
3.2. BÀI TOÁN CÁI TÚI
Trong siêu thị có n gói hàng (n ≤ 100), gói hàng thứ i có trọng lượng là W[i] ≤ 100 và trị giá
V[i] ≤ 100. Một tên trộm đột nhập vào siêu thị, tên trộm mang theo một cái túi có thể mang
được tối đa trọng lượng M ( M ≤ 100). Hỏi tên trộm sẽ lấy đi những gói hàng nào để được
tổng giá trị lớn nhất.
Input: file văn bản BAG.INP
Dòng 1: Chứa hai số n, M cách nhau ít nhất một dấu cách
n dòng tiếp theo, dòng thứ i chứa hai số nguyên dương W[i], V[i] cách nhau ít nhất một
dấu cách
Output: file văn bản BAG.OUT
Dòng 1: Ghi giá trị lớn nhất tên trộm có thể lấy
Dòng 2: Ghi chỉ số những gói bị lấy
BAG.INP
5 11
3 3
4 4
5 4
9 10
4 4
BAG.OUT
11
5 2 1
Cách giải:
Nếu gọi F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể có bằng cách chọn trong các gói {1, 2, ..., i} với giới
hạn trọng lượng j. Thì giá trị lớn nhất khi được chọn trong số n gói với giới hạn trọng lượng
M chính là F[n, M].
3.2.1. Công thức truy hồi tính F[i, j].
Với giới hạn trọng lượng j, việc chọn tối ưu trong số các gói {1, 2, ..., i - 1, i} để có giá trị lớn
nhất sẽ có hai khả năng:
Nếu không chọn gói thứ i thì F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể bằng cách chọn trong số các
gói {1, 2, ..., i - 1} với giới hạn trọng lượng là j. Tức là
F[i, j] = F[i - 1, j]
Nếu có chọn gói thứ i (tất nhiên chỉ xét tới trường hợp này khi mà W[i] ≤ j) thì F[i, j] bằng
giá trị gói thứ i là V[i] cộng với giá trị lớn nhất có thể có được bằng cách chọn trong số các
gói {1, 2, ..., i - 1} với giới hạn trọng lượng j - W[i]. Tức là về mặt giá trị thu được:
F[i, j] = V[i] + F[i - 1, j - W[i]]
Vì theo cách xây dựng F[i, j] là giá trị lớn nhất có thể, nên F[i, j] sẽ là max trong 2 giá trị thu
được ở trên.
3.2.2. Cơ sở quy hoạch động:
Dễ thấy F[0, j] = giá trị lớn nhất có thể bằng cách chọn trong số 0 gói = 0.
Quy hoạch động 157
Lê Minh Hoàng
3.2.3. Tính bảng phương án:
Bảng phương án F gồm n + 1 dòng, M + 1 cột, trước tiên được điền cơ sở quy hoạch động:
Dòng 0 gồm toàn số 0. Sử dụng công thức truy hồi, dùng dòng 0 tính dòng 1, dùng dòng 1
tính dòng 2, v.v... đến khi tính hết dòng n.
n
... ... ... ... ... ...
2
1
0 0 0 0 ...0... 0
F 0 1 2 ...... M
3.2.4. Truy vết:
Tính xong bảng phương án thì ta quan tâm đến F[n, M] đó chính là giá trị lớn nhất thu được
khi chọn trong cả n gói với giới hạn trọng lượng M. Nếu F[n, M] = F[n - 1, M] thì tức là
không chọn gói thứ n, ta truy tiếp F[n - 1, M]. Còn nếu F[n, M] ≠ F[n - 1, M] thì ta thông báo
rằng phép chọn tối ưu có chọn gói thứ n và truy tiếp F[n - 1, M - W[n]]. Cứ tiếp tục cho tới
khi truy lên tới hàng 0 của bảng phương án.
P_3_03_3.PAS * Bài toán cái túi
program The_Bag;
const
InputFile = 'BAG.INP';
OutputFile = 'BAG.OUT';
max = 100;
var
W, V: Array[1..max] of Integer;
F: array[0..max, 0..max] of Integer;
n, M: Integer;
procedure Enter;
var
i: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, M);
for i := 1 to n do ReadLn(fi, W[i], V[i]);
Close(fi);
end;
procedure Optimize; {Tính bảng phương án bằng công thức truy hồi}
var
i, j: Integer;
begin
FillChar(F[0], SizeOf(F[0]), 0); {Điền cơ sở quy hoạch động}
for i := 1 to n do
for j := 0 to M do
begin {Tính F[i, j]}
F[i, j] := F[i - 1, j]; {Giả sử không chọn gói thứ i thì F[i, j] = F[i - 1, j]}
{Sau đó đánh giá: nếu chọn gói thứ i sẽ được lợi hơn thì đặt lại F[i, j]}
if (j >= W[i]) and (F[i, j] < F[i - 1, j - W[i]] + V[i]) then
F[i, j] := F[i - 1, j - W[i]] + V[i];
end;
158 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
end;
procedure Trace; {Truy vết tìm nghiệm tối ưu}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, F[n, M]); {In ra giá trị lớn nhất có thể kiếm được}
while n <> 0 do {Truy vết trên bảng phương án từ hàng n lên hàng 0}
begin
if F[n, M] <> F[n - 1, M] then {Nếu có chọn gói thứ n}
begin
Write(fo, n, ' ');
M := M - W[n]; {Đã chọn gói thứ n rồi thì chỉ có thể mang thêm được trọng lượng M - W[n] nữa thôi}
end;
Dec(n);
end;
Close(fo);
end;
begin
Enter;
Optimize;
Trace;
end.
3.3. BIẾN ĐỔI XÂU
Cho xâu ký tự X, xét 3 phép biến đổi:
a) Insert(i, C): i là số, C là ký tự: Phép Insert chèn ký tự C vào sau vị trí i của xâu X.
b) Replace(i, C): i là số, C là ký tự: Phép Replace thay ký tự tại vị trí i của xâu X bởi ký tự C.
c) Delete(i): i là số, Phép Delete xoá ký tự tại vị trí i của xâu X.
Yêu cầu: Cho trước xâu Y, hãy tìm một số ít nhất các phép biến đổi trên để biến xâu X thành
xâu Y.
Input: file văn bản STR.INP
Dòng 1: Chứa xâu X (độ dài ≤ 100)
Dòng 2: Chứa xâu Y (độ dài ≤ 100)
Output: file văn bản STR.OUT ghi các phép biến đổi cần thực hiện và xâu X tại mỗi phép
biến đổi.
STR.INP
PBBCEFATZQABCDABEFA
STR.OUT
7
PBBCEFATZ -> Delete(9) -> PBBCEFAT
PBBCEFAT -> Delete(8) -> PBBCEFA
PBBCEFA -> Insert(4, B) -> PBBCBEFA
PBBCBEFA -> Insert(4, A) -> PBBCABEFA
PBBCABEFA -> Insert(4, D) -> PBBCDABEFA
PBBCDABEFA -> Replace(2, A) -> PABCDABEFA
PABCDABEFA -> Replace(1, Q) -> QABCDABEFA
Cách giải:
Đối với xâu ký tự thì việc xoá, chèn sẽ làm cho các phần tử phía sau vị trí biến đổi bị đánh chỉ
số lại, gây khó khăn cho việc quản lý vị trí. Để khắc phục điều này, ta sẽ tìm một thứ tự biến
Quy hoạch động 159
Lê Minh Hoàng
đổi thoả mãn: Phép biến đổi tại vị trí i bắt buộc phải thực hiện sau các phép biến đổi tại vị trí i
+ 1, i + 2, ...
Ví dụ: X = 'ABCD';
Insert(0, E) sau đó Delete(4) cho ra X = 'EABD'. Cách này không tuân thủ nguyên tắc
Delete(3) sau đó Insert(0, E) cho ra X = 'EABD'. Cách này tuân thủ nguyên tắc đề ra.
Nói tóm lại ta sẽ tìm một dãy biến đổi có vị trí thực hiện giảm dần.
3.3.1. Công thức truy hồi
Giả sử m là độ dài xâu X và n là độ dài xâu Y. Gọi F[i, j] là số phép biến đổi tối thiểu để biến
xâu gồm i ký tự đầu của xâu X: X[1..i] thành xâu gồm j ký tự đầu của xâu Y: Y[1..j].
Quan sát hai dãy X và Y
X1 X2 ... ... Xm-1 Xm
Y1 Y2 ... ... Yn-1 Yn
Ta nhận thấy:
Nếu X[m] = Y[n] thì ta chỉ cần biến đoạn X[1..m-1] thành Y[1..n-1]. Tức là trong trường
hợp này: F[m, n] = F[m - 1, n - 1]
X1 X2 ... ... Xm-1 Xm=Yn
Y1 Y2 ... ... Yn-1 Yn=Xm
Nếu X[m] ≠ Y[n] thì tại vị trí X[m] ta có thể sử dụng một trong 3 phép biến đổi:
Hoặc chèn vào sau vị trí m của X, một ký tự đúng bằng Yn:
X1 X2 ... ... Xm-1 Xm
Y1 Y2 ... ... Yn-1 Yn
Yn
Thì khi đó F[m, n] sẽ bằng 1 phép chèn vừa rồi cộng với số phép biến đổi biến dãy
X[1..m] thành dãy Y[1..n-1]: F[m, n] = 1 + F[m, n - 1]
Hoặc thay vị trí m của X bằng một ký tự đúng bằng Y[n]:
X1 X2 ... ... Xm-1 Xm:=Yn
Y1 Y2 ... ... Yn-1 Yn
Thì khi đó F[m, n] sẽ bằng 1 phép thay vừa rồi cộng với số phép biến đổi biến dãy
X[1..m-1] thành dãy Y[1..n-1]: F[m, n] = 1 + F[m-1, n-1]
Hoặc xoá vị trí thứ m của X:
160 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
X1 X2 ... ... Xm-1 Xm
Y1 Y2 ... ... Yn-1 Yn
Thì khi đó F[m, n] sẽ bằng 1 phép xoá vừa rồi cộng với số phép biến đổi biến dãy
X[1..m-1] thành dãy Y[1..n]: F[m, n] = 1 + F[m-1, n]
Vì F[m, n] phải là nhỏ nhất có thể, nên trong trường hợp X[m] ≠ Y[n] thì
F[m, n] = min(F[m, n - 1], F[m - 1, n - 1], F[m - 1, n]) + 1.
Ta xây dựng xong công thức truy hồi:
m n
m n
F[m 1, n 1], if X Y
F[m, n]
min(F[m, n 1], F[m 1, n 1], F[m 1, n]) 1, if X Y
⎧ − − =
= ⎨ − − − − + ≠ ⎩
3.3.2. Cơ sở quy hoạch động
F[0, j] là số phép biến đổi biến xâu rỗng thành xâu gồm j ký tự đầu của F. Nó cần tối thiểu
j phép chèn: F[0, j] = j
F[i, 0] là số phép biến đổi biến xâu gồm i ký tự đầu của S thành xâu rỗng, nó cần tối thiểu i
phép xoá: F[i, 0] = i
Vậy đầu tiên bảng phương án F (cỡ[0..m, 0..n]) được khởi tạo hàng 0 và cột 0 là cơ sở quy
hoạch động. Từ đó dùng công thức truy hồi tính ra tất cả các phần tử bảng B.
Sau khi tính xong thì F[m, n] cho ta biết số phép biến đổi tối thiểu.
Truy vết:
Nếu X[m] = Y[n] thì chỉ việc xét tiếp F[m - 1, n - 1].
Nếu không, xét 3 trường hợp:
Nếu F[m, n] = F[m, n - 1] + 1 thì phép biến đổi đầu tiên được sử dụng là: Insert(m, Y[n])
Nếu F[m, n] = F[m - 1, n - 1] + 1 thì phép biến đổi đầu tiên được sử dụng là: Replace(m,
Y[n])
Nếu F[m, n] = F[m - 1, n] + 1 thì phép biến đổi đầu tiên được sử dụng là: Delete(m)
Đưa về bài toán với m, n nhỏ hơn truy vết tiếp cho tới khi về F[0, 0]
Ví dụ: X =' ABCD'; Y = 'EABD' bảng phương án là:
4 4 4 4 3 2
3 3 3 3 2 2
2 2 2 2 1 2
1 1 1 1 2 3
0 0 1 2 3 4
F 0 1 2 3 4
Hình 51: Truy vết
Quy hoạch động 161
Lê Minh Hoàng
Lưu ý: khi truy vết, để tránh truy nhập ra ngoài bảng, nên tạo viền cho bảng.
P_3_03_4.PAS * Biến đổi xâu
program StrOpt;
const
InputFile = 'STR.INP';
OutputFile = 'STR.OUT';
max = 100;
var
X, Y: String[2 * max];
F: array[-1..max, -1..max] of Integer;
m, n: Integer;
procedure Enter;
var
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, X); ReadLn(fi, Y);
Close(fi);
m := Length(X); n := Length(Y);
end;
function Min3(x, y, z: Integer): Integer; {Cho giá trị nhỏ nhất trong 3 giá trị x, y, z}
var
t: Integer;
begin
if x < y then t := x else t := y;
if z < t then t := z;
Min3 := t;
end;
procedure Optimize;
var
i, j: Integer;
begin
{Khởi tạo viền cho bảng phương án}
for i := 0 to m do F[i, -1] := max + 1;
for j := 0 to n do F[-1, j] := max + 1;
{Lưu cơ sở quy hoạch động}
for j := 0 to n do F[0, j] := j;
for i := 1 to m do F[i, 0] := i;
{Dùng công thức truy hồi tính toàn bảng phương án}
for i := 1 to m do
for j := 1 to n do
if X[i] = Y[j] then F[i, j] := F[i - 1, j - 1]
else F[i, j] := Min3(F[i, j - 1], F[i - 1, j - 1], F[i - 1, j]) + 1;
end;
procedure Trace; {Truy vết}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, F[m, n]); {F[m, n] chính là số ít nhất các phép biến đổi cần thực hiện}
while (m <> 0) or (n <> 0) do {Vòng lặp kết thúc khi m = n = 0}
if X[m] = Y[n] then {Hai ký tự cuối của 2 xâu giống nhau}
begin
Dec(m); Dec(n); {Chỉ việc truy chéo lên trên bảng phương án}
end
else {Tại đây cần một phép biến đổi}
begin
Write(fo, X, ' -> '); {In ra xâu X trước khi biến đổi}
162 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
if F[m, n] = F[m, n - 1] + 1 then {Nếu đây là phép chèn}
begin
Write(fo, 'Insert(', m, ', ', Y[n], ')');
Insert(Y[n], X, m + 1);
Dec(n); {Truy sang phải}
end
else
if F[m, n] = F[m - 1, n - 1] + 1 then {Nếu đây là phép thay}
begin
Write(fo, 'Replace(', m, ', ', Y[n], ')');
X[m] := Y[n];
Dec(m); Dec(n); {Truy chéo lên trên}
end
else {Nếu đây là phép xoá}
begin
Write(fo, 'Delete(', m, ')');
Delete(X, m, 1);
Dec(m); {Truy lên trên}
end;
WriteLn(fo, ' -> ', X); {In ra xâu X sau phép biến đổi}
end;
Close(fo);
end;
begin
Enter;
Optimize;
Trace;
end.
Bài này giải với các xâu ≤ 100 ký tự, nếu lưu bảng phương án dưới dạng mảng cấp phát động
thì có thể làm với các xâu 255 ký tự. (Tốt hơn nên lưu mỗi dòng của bảng phương án là một
mảng cấp phát động 1 chiều). Hãy tự giải thích tại sao khi giới hạn độ dài dữ liệu là 100, lại
phải khai báo X và Y là String[200] chứ không phải là String[100] ?.
3.4. DÃY CON CÓ TỔNG CHIA HẾT CHO K
Cho một dãy A gồm n (1 ≤ n ≤ 1000) số nguyên dương a[1..n] và số nguyên dương k (k ≤ 50).
Hãy tìm dãy con gồm nhiều phần tử nhất của dãy đã cho sao cho tổng các phần tử của dãy con
này chia hết cho k.
Input: file văn bản SUBSEQ.INP
Dòng 1: Chứa số n
Dòng 2: Chứa n số a[1], a[2], ..., a[n] cách nhau ít nhất một dấu cách
Output: file văn bản SUBSEQ.OUT
Dòng 1: Ghi độ dài dãy con tìm được
Các dòng tiếp: Ghi các phần tử được chọn vào dãy con
Dòng cuối: Ghi tổng các phần tử của dãy con đó.
Quy hoạch động 163
Lê Minh Hoàng
SUBSEQ.INP
10 5
1 6 11 5 10 15 20 2 4 9
SUBSEQ.OUT
8
a[10] = 9
a[9] = 4
a[7] = 20
a[6] = 15
a[5] = 10
a[4] = 5
a[3] = 11
a[2] = 6
Sum = 80
3.4.1. Cách giải 1
Không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng, ta có thể đặt: a[i] := a[i] mod k với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Gọi
S là tổng các phần tử trong dãy A, thay đổi cách tiếp cận bài toán: thay vì tìm xem phải chọn
ra một số tối đa những phần tử để có tổng chia hết cho k, ta sẽ chọn ra một số tối thiểu các
phần tử có tổng đồng dư với S theo modul k. Khi đó chỉ cần loại bỏ những phần tử này thì
những phần tử còn lại sẽ là kết quả. Cách tiếp cận này cho phép tiết kiệm được không gian
lưu trữ bởi số phần tử tối thiểu cần loại bỏ bao giờ cũng nhỏ hơn k.
Công thức truy hồi: Nếu ta gọi f[i, t] là số phần tử tối thiểu phải chọn trong dãy a[1..i] để có
tổng chia k dư t. Nếu không có phương án chọn ta coi f[i, t] = +∞. Khi đó f[i, t] được tính qua
công thức truy hồi sau:
Nếu trong dãy trên không phải chọn a[i] thì f[i, t] = f[i - 1, t];
Nếu trong dãy trên phải chọn a[i] thì f[i, t] = 1 + f[i - 1, t −A[i] ] ( t −A[i] ở đây hiểu là
phép trừ trên các lớp đồng dư mod k. Ví dụ khi k = 7 thì 1− 3=5)
Từ trên suy ra f[i, t] = min(f[i −1, t],1+ f[i −1, t −A[i]])
Cơ sở quy hoạch động: f[0, 0] = 0; f[0, i] = + ∞ (với ∀i: 1 ≤ i < k).
P_3_03_5.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k
program SubSequence;
const
InputFile = 'SUBSEQ.INP';
OutputFile = 'SUBSEQ.OUT';
maxN = 1000;
maxK = 50;
var
a: array[1..maxN] of Integer;
f: array[0..maxN, 0..maxK - 1] of Byte;
n, k: Integer;
procedure Enter;
var
fi: Text;
i: Integer;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, k);
for i := 1 to n do Read(fi, a[i]);
Close(fi);
end;
function Sub(x, y: Integer): Integer; {Tính x - y (theo mod k)}
164 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
var
tmp: Integer;
begin
tmp := (x - y) mod k;
if tmp >= 0 then Sub := tmp
else Sub := tmp + k;
end;
procedure Optimize;
var
i, t: Integer;
begin
FillChar(f, SizeOf(f), $FF); {Khởi tạo các phần tử f[0,.] đều bằng 255 (+∞)}
f[0, 0] := 0; {Ngoại trừ f[0, 0] := 0}
for i := 1 to n do
for t := 0 to k - 1 do {Tính f[i, t] := min (f[i - 1, t], f[i - 1, Sub(t, a[i])] + 1}
if f[i - 1, t] < f[i - 1, Sub(t, a[i])] + 1 then
f[i, t] := f[i - 1, t]
else
f[i, t] := f[i - 1, Sub(t, a[i])] + 1;
end;
procedure Result;
var
fo: Text;
i, t: Integer;
SumAll, Sum: LongInt;
begin
SumAll := 0;
for i := 1 to n do SumAll := SumAll + a[i];
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, n - f[n, SumAll mod k]); {n - số phần tử bỏ đi = số phần tử giữ lại}
i := n; t := SumAll mod k;
Sum := 0;
for i := n downto 1 do
if f[i, t] = f[i - 1, t] then {Nếu phương án tối ưu không bỏ ai, tức là có chọn ai}
begin
WriteLn(fo, 'a[', i, '] = ', a[i]);
Sum := Sum + a[i];
end
else
t := Sub(t, a[i]);
WriteLn(fo, 'Sum = ', Sum);
Close(fo);
end;
begin
Enter;
Optimize;
Result;
end.
3.4.2. Cách giải 2
Phân các phần tử trong dãy A theo các lớp đồng dư modul k. Lớp i gồm các phần tử chia k dư
i. Gọi Count[i] là số lượng các phần tử thuộc lớp i.
Với 0 ≤ i, t < k; Gọi f[i, t] là số phần tử nhiều nhất có thể chọn được trong các lớp 0, 1, 2, ..., i
để được tổng chia k dư t. Trong trường hợp có cách chọn, gọi Trace[i, t] là số phần tử được
chọn trong lớp i theo phương án này, trong trường hợp không có cách chọn, Trace[i, t] được
coi là -1.
Quy hoạch động 165
Lê Minh Hoàng
Ta dễ thấy rằng f[0, 0] = Count[0], Trace[0, 0] = Count[0], còn Trace[0, i] với i≠0 bằng -1.
Với i ≥ 1; 0 ≤ t < k, Giả sử phương án chọn ra nhiều phần tử nhất trong các lớp từ 0 tới i để
được tổng chia k dư t có lấy j phần tử của lớp i (0 ≤ j ≤ Count[i]), khi đó nếu bỏ j phần tử này
đi, sẽ phải thu được phương án chọn ra nhiều phần tử nhất trong các lớp từ 0 tới i - 1 để được
tổng chia k dư t − i* j . Từ đó suy ra công thức truy hồi:
0 j Count[i]
Trace[i 1,t j.i] 1
0 j Count[i]
Trace[i 1,t j.i] 1
f[i, t] max (f[i 1, t j.i] j)
Trace[i, t] argmax (f[i 1, t j.i] j)
≤ ≤
− − ≠−
≤ ≤
− − ≠−
= − − +
= − − +
P_3_03_6.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k
program SubSequence;
const
InputFile = 'SUBSEQ.INP';
OutputFile = 'SUBSEQ.OUT';
maxN = 1000;
maxK = 50;
var
a: array[1..maxN] of Integer;
Count: array[0..maxK - 1] of Integer;
f, Trace: array[0..maxK - 1, 0..maxK - 1] of Integer;
n, k: Integer;
procedure Enter;
var
fi: Text;
i: Integer;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, k);
FillChar(Count, SizeOf(Count), 0);
for i := 1 to n do
begin
Read(fi, a[i]);
Inc(Count[a[i] mod k]); {Nhập dữ liệu đồng thời với việc tính các Count[.]}
end;
Close(fi);
end;
function Sub(x, y: Integer): Integer;
var
tmp: Integer;
begin
tmp := (x - y) mod k;
if tmp >= 0 then Sub := tmp
else Sub := tmp + k;
end;
procedure Optimize;
var
i, j, t: Integer;
begin
FillChar(f, SizeOf(f), 0);
f[0, 0] := Count[0];
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), $FF); {Khởi tạo các mảng Trace=-1}
Trace[0, 0] := Count[0]; {Ngoại trừ Trace[0, 0] = Count[0]}
for i := 1 to k - 1 do
166 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
for t := 0 to k - 1 do
for j := 0 to Count[i] do
if (Trace[i - 1, Sub(t, j * i)] <> -1) and
(f[i, t] < f[i - 1, Sub(t, j * i)] + j) then
begin
f[i, t] := f[i - 1, Sub(t, j * i)] + j;
Trace[i, t] := j;
end;
end;
procedure Result;
var
fo: Text;
i, t, j: Integer;
Sum: LongInt;
begin
t := 0;
{Tính lại các Count[i] := Số phần tử phương án tối ưu sẽ chọn trong lớp i}
for i := k - 1 downto 0 do
begin
j := Trace[i, t];
t := Sub(t, j * i);
Count[i] := j;
end;
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, f[k - 1, 0]);
Sum := 0;
for i := 1 to n do
begin
t := a[i] mod k;
if Count[t] > 0 then
begin
WriteLn(fo, 'a[', i, '] = ', a[i]);
Dec(Count[t]);
Sum := Sum + a[i];
end;
end;
WriteLn(fo, 'Sum = ', Sum);
Close(fo);
end;
begin
Enter;
Optimize;
Result;
end.
Cách giải thứ hai tốt hơn cách giải thứ nhất vì nó có thể thực hiện với n lớn. Ví dụ này cho
thấy một bài toán quy hoạch động có thể có nhiều cách đặt công thức truy hồi để giải.
3.5. PHÉP NHÂN TỔ HỢP DÃY MA TRẬN
Với ma trận A={a[i, j]} kích thước pxq và ma trận B={b[i, j]} kích thước qxr. Người ta có
phép nhân hai ma trận đó để được ma trận C={c[i, j]} kích thước pxr. Mỗi phần tử của ma
trận C được tính theo công thức:
q
k 1 c[i, j] a[i, j].b[=Σ = k, j], (1≤ i ≤ p;1≤ j ≤ r)
Ví dụ:
A là ma trận kích thước 3x4, B là ma trận kích thước 4x5 thì C sẽ là ma trận kích thước 3x5
Quy hoạch động 167
Lê Minh Hoàng
1 0 2 4 0
1 2 3 4 14 6 9 36 9
0 1 0 5 1
5 6 7 8 x 34 14 25 100 21
3 0 1 6 1
9 10 11 12 54 22 41 164 33
1 1 1 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎡ ⎤ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎣ ⎦ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Để thực hiện phép nhân hai ma trận A(mxn) và B(nxp) ta có thể làm như đoạn chương trình
sau:
for i := 1 to p do
for j := 1 to r do
begin
c[i, j] := 0;
for k := 1 to q do c[i, j] := c[i, j] + a[i, k] * b[k, j];
end;
Phí tổn để thực hiện phép nhân này có thể đánh giá qua số phép nhân: để nhân hai ma trận A
cấp pxq và B cấp qxr ta cần thực hiện p.q.r phép nhân số học.
Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán nhưng có tính chất kết hợp
(A.B).C = A.(B.C)
Vậy nếu A là ma trận cấp 3x4, B là ma trận cấp 4x10 và C là ma trận cấp 10x15 thì:
Để tính (A.B).C, phép tính (A.B) cho ma trận kích thước 3x10 sau 3.4.10=120 phép nhân
số, sau đó nhân tiếp với C được ma trận kết quả kích thước 3x15 sau 3.10.15=450 phép
nhân số. Vậy tổng số phép nhân số học phải thực hiện sẽ là 570.
Để tính A.(B.C), phép tính (B.C) cho ma trận kích thước 4x15 sau 4.10.15=600 phép nhân
số, lấy A nhân với ma trận này được ma trận kết quả kích thước 3x15 sau 3.4.15=180 phép
nhân số. Vậy tổng số phép nhân số học phải thực hiện sẽ là 780.
Vậy thì trình tự thực hiện có ảnh hưởng lớn tới chi phí. Vấn đề đặt ra là tính số phí tổn ít nhất
khi thực hiện phép nhân một dãy các ma trận:
n
i=1
Πm[i]=m[1].m[2].....m[n]
Với :
m[1] là ma trận kích thước a[1] x a[2]
m[2] là ma trận kích thước a[2] x a[3]
...
m[n] là ma trận kích thước a[n] x a[n+1]
Input: file văn bản MULTMAT.INP
Dòng 1: Chứa số nguyên dương n ≤ 100
Dòng 2: Chứa n + 1 số nguyên dương a[1], a[2], ..., a[n+1] (∀i: 1 ≤ a[i] ≤ 100) cách nhau
ít nhất một dấu cách
Output: file văn bản MULTMAT.OUT
Dòng 1: Ghi số phép nhân số học tối thiểu cần thực hiện
Dòng 2: Ghi biểu thức kết hợp tối ưu của phép nhân dãy ma trận
168 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
MULTMAT.INP
6
3 2 3 1 2 2 3
MULTMAT.OUT
Number of numerical multiplications: 31
((m[1].(m[2].m[3])).((m[4].m[5]).m[6]))
Trước hết, nếu dãy chỉ có một ma trận thì chi phí bằng 0, tiếp theo ta nhận thấy chi phí để
nhân một cặp ma trận có thể tính được ngay. Vậy có thể ghi nhận được chi phí cho phép nhân
hai ma trận liên tiếp bất kỳ trong dãy. Sử dụng những thông tin đã ghi nhận để tối ưu hoá phí
tổn nhân những bộ ba ma trận liên tiếp ... Cứ tiếp tục như vậy cho tới khi ta tính được phí tổn
nhân n ma trận liên tiếp.
3.5.1. Công thức truy hồi:
Gọi f[i, j] là số phép nhân số học tối thiểu cần thực hiện để nhân đoạn ma trận liên tiếp:
j
p i
m[p] m[i].m[i 1].....m[ j]
=
Π = + . Thì khi đó f[i, i] = 0 với ∀i.
Để tính
j
p i
m[p]
= Π
, có thể có nhiều cách kết hợp:
j k j
p i q i r k 1
m[p] m[q] . m[r] ; k: i k<j
= = = +
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∀ ≤
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Π Π Π
Với một cách kết hợp (phụ thuộc vào cách chọn vị trí k), chi phí tối thiểu phải thực hiện bằng:
f[i, k] (là chi phí tối thiểu tính
k
q i
m[q]
= Π
) cộng với f[k+1, j] (là chi phí tối thiểu tính
j
r k 1
m[r]
= +
Π )
cộng với a[j].a[k+1].a[j+1] (là chi phí thực hiện phép nhân cuối cùng giữa ma trận
k
q i
m[q]
= Π
và ma trận
j
r k 1
m[r]
= +
Π ). Từ đó suy ra: do có nhiều cách kết hợp, mà ta cần chọn cách kết hợp để
có chi phí ít nhất nên ta sẽ cực tiểu hoá f[i, j] theo công thức:
( )
1 k j
f[i, j] min f[i, k] f[k 1, j] a[i].a[k 1].a[ j 1]
≤ <
= + + + + +
3.5.2. Tính bảng phương án
Bảng phương án F là bảng hai chiều, nhìn vào công thức truy hồi, ta thấy f[i, j] chỉ được tính
khi mà f[i, k] cũng như f[k + 1, j] đều đã biết (∀k: i ≤ k < j). Tức là ban đầu ta điền cơ sở quy
hoạch động vào đường chéo chính của bảng(∀i: f[i, i] := 0), từ đó tính các giá trị thuộc đường
chéo nằm phía trên (tính các f[i, i + 1]), rồi lại tính các giá trị thuộc đường chéo nằm phía trên
nữa (các f[i, i + 2]) ... Đến khi tính được f[1, n] thì dừng lại
3.5.3. Tìm cách kết hợp tối ưu
Tại mỗi bước tính f[i, j], ta ghi nhận lại t[i, j] là điểm k mà cách tính:
j k j
p i q i r k 1
m[p] m[q] . m[r]
= = = +
⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Π Π Π
Quy hoạch động 169
Lê Minh Hoàng
cần số phép nhân số học ít nhất trên tất cả các cách chọn k. Sau đó, muốn in ra phép kết hợp
tối ưu để nhân
j
p i
m[p]
= Π
, ta sẽ in ra cách kết hợp tối ưu để nhân
t[i, j]
q i
m[q]
= Π
và cách kết hợp tối
ưu để nhân
j
r t[i,j] 1
m[r]
= +
Π (có kèm theo dấu đóng mở ngoặc) đồng thời viết thêm dấu "." vào
giữa hai biểu thức đó.
P_3_03_7.PAS * Nhân tối ưu dãy ma trận
program MatrixMultiplications;
const
InputFile = 'MULTMAT.INP';
OutputFile = 'MULTMAT.OUT';
max = 100;
MaxLong = 1000000000;
var
a: array[1..max + 1] of Integer;
f: array[1..max, 1..max] of LongInt;
t: array[1..max, 1..max] of Integer;
n: Integer;
fo: Text;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
i: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n);
for i := 1 to n + 1 do Read(fi, a[i]);
Close(fi);
end;
procedure Optimize; {Quy hoạch động}
var
i, j, k, len: Integer;
x, p, q, r: LongInt;
begin
{Điền cơ sở quy hoạch động vào bảng phương án}
for i := 1 to n do
for j := i to n do
if i = j then f[i, j] := 0
else f[i, j] := MaxLong;
{Giải công thức truy hồi}
for len := 2 to n do {Thử với các độ dài đoạn từ 2 tới n}
for i := 1 to n - len + 1 do {Tính các f[i, i + len - 1]}
begin
j := i + len - 1;
for k := i to j - 1 do {Thử các vị trí phân hoạch k}
begin
p := a[i]; q := a[k + 1]; r := a[j + 1];
x := f[i, k] + f[k + 1, j] + p * q * r;
if x < f[i, j] then {Tối ưu hoá f[i, j]}
begin
f[i, j] := x;
t[i, j] := k;
end;
end;
end;
end;
170 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure Trace(i, j: Integer); {Truy vết bằng đệ quy, thủ tục này in ra cách kết hợp tối ưu tính m[i]...m[j]}
var
k: Integer;
begin
if i = j then Write(fo, 'm[', i, ']')
else
begin
Write(fo, '(');
k := t[i, j];
Trace(i, k);
Write(fo, '.');
Trace(k + 1, j);
Write(fo, ')');
end;
end;
begin
Enter;
Optimize;
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
WriteLn(fo, 'Number of numerical multiplications: ', f[1, n]);
Trace(1, n);
Close(fo);
end.
3.6. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
3.6.1. Bài tập có hướng dẫn lời giải
Bài 1
Nhập vào hai số nguyên dương n và k (n, k ≤ 100). Hãy cho biết
a) Có bao nhiêu số nguyên dương có ≤ n chữ số mà tổng các chữ số đúng bằng k. Nếu có hơn
1 tỉ số thì chỉ cần thông báo có nhiều hơn 1 tỉ.
b) Nhập vào một số p ≤ 1 tỉ. Cho biết nếu đem các số tìm được xếp theo thứ tự tăng dần thì số
thứ p là số nào ?
Hướng dẫn:
Câu a: Ta sẽ đếm số các số có đúng n chữ số mà tổng các chữ số (TCCS) bằng k, chỉ có điều
các số của ta cho phép có thể bắt đầu bằng 0. Ví dụ: ta coi 0045 là số có 4 chữ số mà TCCS là
9. Gọi F[n, k] là số các số có n chữ số mà TCCS bằng k. Các số đó có thể biểu diễn bằng
mảng x[1..n] gồm các chữ số 0...9 và x[1] + x[2] + ... + x[n] = k. Nếu cố định x[1] = t thì ta
nhận thấy x[2..n] lập thành một số có n - 1 chữ số mà TCCS bằng k - t. Suy ra do x[1] có thể
nhận các giá trị từ 0 tới 9 nên về mặt số lượng: 9
F[n, k] =Σt=0 F[n −1, k − t] . Đây là công thức
truy hồi tính F[n, k], thực ra chỉ xét những giá trị t từ 0 tới 9 và t ≤ k mà thôi (để tránh trường
hợp k - t <0). Chú ý rằng nếu tại một bước nào đó tính ra một phần tử của F > 109 thì ta đặt lại
phần tử đó là 109 + 1 để tránh bị tràn số do cộng hai số quá lớn. Kết thúc quá trình tính toán,
nếu F[n, k] = 109 + 1 thì ta chỉ cần thông báo chung chung là có > 1 tỉ số.
Cơ sở quy hoạch động thì có thể đặt là:
F[1, k] = số các số có 1 chữ số mà TCCS bằng k, như vậy:
Quy hoạch động 171
Lê Minh Hoàng
1, if 0 k 9
F[1, k]
0, otherwise
⎧ ≤ ≤
=⎨⎩
Câu b: Dựa vào bảng phương án F[0..n, 0..k] để dò ra số mang thứ tự đã cho.
Bài 2
Cho n gói kẹo (n ≤ 200), mỗi gói chứa không quá 200 viên kẹo, và một số M ≤ 40000. Hãy
chỉ ra một cách lấy ra một số các gói kẹo để được tổng số kẹo là M, hoặc thông báo rằng
không thể thực hiện được việc đó.
Hướng dẫn:
Giả sử số kẹo chứa trong gói thứ i là A[i]
Gọi b[V] là số nguyên dương bé nhất thoả mãn: Có thể chọn trong số các gói kẹo từ gói 1 đến
gói b[V] ra một số gói để được tổng số kẹo là V. Nếu không có phương án chọn, ta coi b[V] =
+∞. Trước tiên, khởi tạo b[0] := 0 và các b[V] := +∞ với mọi V > 0.
Với một giá trị V, gọi k là giá trị cần tìm để gán cho b[V], vì k cần bé nhất có thể, nên nếu có
cách chọn trong số các gói kẹo từ gói 1 đến gói k để được số kẹo V thì chắc chắn phải chọn
gói k. Khi đã chọn gói k rồi thì trong số các gói kẹo từ 1 đến k - 1, phải chọn ra được một số
gói để được số kẹo là V - A[k]. Tức là b[V - A[k]] ≤ k - 1 < k.
Suy ra b[V] sẽ được tính bằng cách:
Xét tất cả các gói kẹo k có A[k] ≤ V và thoả mãn b[V - A[k]] < k, chọn ra chỉ số k bé nhất gán
cho b[V]. Đây chính là công thức truy hồi tính bảng phương án.
b[V] = min{k (A[k] ≤ V)&(b[V −A[k]] < k)}
Sau khi đã tính hết dãy b[1..M]. Nếu b[M] vẫn bằng +∞ thì có nghĩa là không có phương án
chọn. Nếu không thì sẽ chọn gói p[1] = b[M], tiếp theo sẽ chọn gói p[2] = b[M - A[p[1]]], rồi
lại chọn gói p[3] = b[M - A[p[1]] - A[p[2]]]... Đến khi truy vết về tới b[0] thì thôi.
Bài 3
Cho n gói kẹo (n ≤ 200), mỗi gói chứa không quá 200 viên kẹo, hãy chia các gói kẹo ra làm
hai nhóm sao cho số kẹo giữa hai nhóm chênh lệch nhau ít nhất
Hướng dẫn:
Gọi S là tổng số kẹo và M là nửa tổng số kẹo, áp dụng cách giải như bài 2. Sau đó
Tìm số nguyên dương T thoả mãn:
T ≤ M
Tồn tại một cách chọn ra một số gói kẹo để được tổng số kẹo là T (b[T] ≠ +∞)
T lớn nhất có thể
Sau đó chọn ra một số gói kẹo để được T viên kẹo, các gói kẹo đó được đưa vào một nhóm,
số còn lại vào nhóm thứ hai.
Bài 4
172 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cho một bảng A kích thước m x n, trên đó ghi các số nguyên. Một người xuất phát tại ô nào
đó của cột 1, cần sang cột n (tại ô nào cũng được). Quy tắc: Từ ô A[i, j] chỉ được quyền sang
một trong 3 ô A[i, j + 1]; A[i - 1, j + 1]; A[i + 1, j + 1]. Hãy tìm vị trí ô xuất phát và hành trình
đi từ cột 1 sang cột n sao cho tổng các số ghi trên đường đi là lớn nhất.
4 7 8 7 6
1 2 3 4 2
7 6 5 6 7
1 2 6 7 9
A =
Hướng dẫn:
Gọi B[i, j] là số điểm lớn nhất có thể có được khi tới ô A[i, j]. Rõ ràng đối với những ô ở cột 1
thì B[i, 1] = A[i, 1]:
4
1
7
1
B =
4 7 8 7 6
1 2 3 4 2
7 6 5 6 7
1 2 6 7 9
A =
Với những ô (i, j) ở các cột khác. Vì chỉ những ô (i, j - 1), (i - 1, j - 1), (i + 1, j - 1) là có thể
sang được ô (i, j), và khi sang ô (i, j) thì số điểm được cộng thêm A[i, j] nữa. Chúng ta cần B[i,
j] là số điểm lớn nhất có thể nên B[i, j] = max(B[i, j - 1], B[i - 1, j - 1], B[i + 1, j - 1]) + A[i, j].
Ta dùng công thức truy hồi này tính tất cả các B[i, j]. Cuối cùng chọn ra B[i, n] là phần tử lớn
nhất trên cột n của bảng B và từ đó truy vết tìm ra đường đi nhiều điểm nhất.
3.6.2. Bài tập tự làm
Bài 1
Bài toán cái túi với kích thước như nêu trên là không thực tế, chẳng có siêu thị nào có ≤ 100
gói hàng cả. Hãy lập chương trình giải bài toán cái túi với n ≤ 10000; M ≤ 1000.
Bài 2
Xâu ký tự S gọi là xâu con của xâu ký tự T nếu có thể xoá bớt một số ký tự trong xâu T để
được xâu S. Lập chương trình nhập vào hai xâu ký tự X, Y. Tìm xâu Z có độ dài lớn nhất là
xâu con của cả X và Y. Ví dụ: X = 'abcdefghi123'; Y = 'abc1def2ghi3' thì Z là 'abcdefghi3'.
Bài 3
Một xâu ký tự X gọi là chứa xâu ký tự Y nếu như có thể xoá bớt một số ký tự trong xâu X
để được xâu Y: Ví dụ: Xâu '1a2b3c45d' chứa xâu '12345'. Một xâu ký tự gọi là đối xứng nếu
nó không thay đổi khi ta viết các ký tự trong xâu theo thứ tự ngược lại: Ví dụ:
'abcABADABAcba', 'MADAM' là các xâu đối xứng.
Nhập một xâu ký tự S có độ dài không quá 128, hãy tìm xâu ký tự T thoả mãn cả 3 điều kiện:
Đối xứng
Chứa xâu S
Quy hoạch động 173
Lê Minh Hoàng
Có ít ký tự nhất (có độ dài ngắn nhất)
Nếu có nhiều xâu T thoả mãn đồng thời 3 điều kiện trên thì chỉ cần cho biết một. Chẳng hạn
với S = 'a_101_b' thì chọn T = 'ab_101_ba' hay T = 'ba_101_ab' đều đúng.
Ví dụ:
S T
MADAM MADAM
Edbabcd edcbabcde
00_11_22_33_222_1_000 000_11_222_33_222_11_000
abcdefg_hh_gfe_1_d_2_c_3_ba ab_3_c_2_d_1_efg_hh_gfe_1_d_2_c_3_ba
Bài 4
Có n loại tiền giấy: Tờ giấy bạc loại i có mệnh giá là V[i] ( n ≤ 20, 1 ≤ V[i] ≤ 10000). Hỏi
muốn mua một món hàng giá là M thì có bao nhiêu cách trả số tiền đó bằng những loại giấy
bạc đã cho (Trường hợp có > 1 tỉ cách thì chỉ cần thông báo có nhiều hơn 1 tỉ). Nếu tồn tại
cách trả, cho biết cách trả phải dùng ít tờ tiền nhất.
Bài 5
Cho n quân đô-mi-nô xếp dựng đứng theo hàng ngang và được đánh số từ 1 đến n. Quân đômi-
nô thứ i có số ghi ở ô trên là a[i] và số ghi ở ô dưới là b[i]. Xem hình vẽ:
6
1
3
1
1
4
1
4
6
0
1
6
1 2 3 4 5 6
Biết rằng 1 ≤ n ≤ 100 và 0 ≤ a[i], b[i] ≤ 6 với ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Cho phép lật ngược các quân đômi-
nô. Khi một quân đô-mi-nô thứ i bị lật, nó sẽ có số ghi ở ô trên là b[i] và số ghi ở ô dưới là
a[i].
Vấn đề đặt ra là hãy tìm cách lật các quân đô-mi-nô sao cho chênh lệch giữa tổng các số
ghi ở hàng trên và tổng các số ghi ở hàng dướii là tối thiểu. Nếu có nhiều phương án lật tốt
như nhau, thì chỉ ra phương án phải lật ít quân nhất.
Như ví dụ trên thì sẽ lật hai quân Đô-mi-nô thứ 5 và thứ 6. Khi đó:
Tổng các số ở hàng trên = 1 + 1 + 4 + 4 + 6 + 1 = 17
Tổng các số ở hàng dưới = 6 + 3 + 1 + 1 + 0 + 6 = 17
Bài 6
Xét bảng H kích thước 4x4, các hàng và các cột được đánh chỉ số A, B, C, D. Trên 16 ô của
bảng, mỗi ô ghi 1 ký tự A hoặc B hoặc C hoặc D.
174 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
D B D D D
C B C B A
B C D A B
A A A B B
A B C D
Cho xâu S gồm n ký tự chỉ gồm các chữ A, B, C, D.
Xét phép co R(i): thay ký tự S[i] và S[i+1] bởi ký tự nằm trên hàng S[i], cột S[i+1] của bảng
H.
Ví dụ: S = ABCD; áp dụng liên tiếp 3 lần R(1) sẽ được
ABCD → ACD → BD → B.
Yêu cầu: Cho trước một ký tự X∈{A, B, C, D}, hãy chỉ ra thứ tự thực hiện n - 1 phép co để
ký tự còn lại cuối cùng trong S là X.
Bài 7
Cho N số tự nhiên a[1], a[2], ..., a[n]. Biết rằng 1 ≤ n ≤ 200 và 0 ≤ a[i] ≤ 200. Ban đầu các số
được đặt liên tiếp theo đúng thứ tự cách nhau bởi dấu "?": a[1] ? a[2] ? ... ? a[n]. Yêu cầu:
Cho trước số nguyên K, hãy tìm cách thay các dấu "?" bằng dấu cộng hay dấu trừ để được
một biểu thức số học cho giá trị là K. Biết rằng 1 ≤ n ≤ 200 và 0 ≤ a[i] ≤ 100.
Ví dụ: Ban đầu 1 ? 2 ? 3 ? 4 và K = 0 sẽ cho kết quả 1 - 2 - 3 + 4.
Bài 8
Dãy Catalan là một dãy số tự nhiên bắt đầu là 0, kết thúc là 0, hai phần tử liên tiếp hơn kém
nhau 1 đơn vị. Hãy lập chương trình nhập vào số nguyên dương n lẻ và một số nguyên dương
p. Cho biết rằng nếu như ta đem tất cả các dãy Catalan độ dài n xếp theo thứ tự từ điển thì dãy
thứ p là dãy nào.
Một bài toán quy hoạch động có thể có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chọn cách nào là tuỳ
theo yêu cầu bài toán sao cho dễ dàng cài đặt nhất. Phương pháp này thường không khó khăn
trong việc tính bảng phương án, không khó khăn trong việc tìm cơ sở quy hoạch động, mà
khó khăn chính là nhìn nhận ra bài toán quy hoạch động và tìm ra công thức truy hồi giải
nó, công việc này đòi hỏi sự nhanh nhạy, khôn khéo, mà chỉ từ sự rèn luyện mới có thể có
được. Hãy đọc lại §1 để tìm hiểu kỹ các phương pháp thông dụng khi cài đặt một chương
trình giải công thức truy hồi.
PHẦN 4. CÁC THUẬT TOÁN TRÊN
ĐỒ THỊ
Trên thực tế có nhiều bài toán liên quan tới một tập các
đối tượng và những mối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán
học phải đặt ra một mô hình biểu diễn một cách chặt chẽ
và tổng quát bằng ngôn ngữ ký hiệu, đó là đồ thị. Những
ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ thứ XVIII
bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler, ông đã dùng
mô hình đồ thị để giải bài toán về những cây cầu Konigsberg nổi tiếng.
Mặc dù Lý thuyết đồ thị đã được khoa học phát triển từ rất lâu nhưng lại
có nhiều ứng dụng hiện đại. Đặc biệt trong khoảng vài mươi năm trở lại
đây, cùng với sự ra đời của máy tính điện tử và sự phát triển nhanh chóng
của Tin học, Lý thuyết đồ thị càng được quan tâm đến nhiều hơn. Đặc
biệt là các thuật toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế
học v.v... Hiện nay, môn học này là một trong những kiến thức cơ sở của
bộ môn khoa học máy tính.
Trong phạm vi một chuyên đề, không thể nói kỹ và nói hết những vấn đề
của lý thuyết đồ thị. Tập bài giảng này sẽ xem xét lý thuyết đồ thị dưới
góc độ người lập trình, tức là khảo sát những thuật toán cơ bản nhất có
thể dễ dàng cài đặt trên máy tính một số ứng dụng của nó.. Công việc
của người lập trình là đọc hiểu được ý tưởng cơ bản của thuật toán và cài
đặt được chương trình trong bài toán tổng quát cũng như trong trường
hợp cụ thể.
Leonhard Euler
(1707-1783)
176 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (GRAPH)
Là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Được mô tả hình thức:
G = (V, E)
V gọi là tập các đỉnh (Vertices) và E gọi là tập các cạnh (Edges). Có thể coi E là tập các cặp
(u, v) với u và v là hai đỉnh của V.
Một số hình ảnh của đồ thị:
Sơ đồ giao thông Mạng máy tính Cấu trúc phân tử
Hình 52: Ví dụ về mô hình đồ thị
Có thể phân loại đồ thị theo đặc tính và số lượng của tập các cạnh E:
Cho đồ thị G = (V, E). Định nghĩa một cách hình thức
G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có nhiều nhất là 1 cạnh trong E nối từ u
tới v.
G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể có nhiều hơn 1 cạnh trong E nối
từ u tới v (Hiển nhiên đơn đồ thị cũng là đa đồ thị).
G được gọi là đồ thị vô hướng (undirected graph) nếu các cạnh trong E là không định hướng,
tức là cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ cũng là cạnh nối hai đỉnh v, u. Hay nói cách khác, tập E
gồm các cặp (u, v) không tính thứ tự. (u, v)≡(v, u)
G được gọi là đồ thị có hướng (directed graph) nếu các cạnh trong E là có định hướng, có thể
có cạnh nối từ đỉnh u tới đỉnh v nhưng chưa chắc đã có cạnh nối từ đỉnh v tới đỉnh u. Hay nói
cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) có tính thứ tự: (u, v) ≠ (v, u). Trong đồ thị có hướng, các
cạnh được gọi là các cung. Đồ thị vô hướng cũng có thể coi là đồ thị có hướng nếu như ta coi
cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ tương đương với hai cung (u, v) và (v, u).
Ví dụ:
Lý thuyết đồ thị 177
Lê Minh Hoàng
Vô hướng Có hướng Vô hướng Có hướng
Đơn đồ thị Đa đồ thị
Hình 53: Phân loại đồ thị
1.2. CÁC KHÁI NIỆM
Như trên định nghĩa đồ thị G = (V, E) là một cấu trúc rời rạc, tức là các tập V và E hoặc là
tập hữu hạn, hoặc là tập đếm được, có nghĩa là ta có thể đánh số thứ tự 1, 2, 3... cho các phần
tử của tập V và E. Hơn nữa, đứng trên phương diện người lập trình cho máy tính thì ta chỉ
quan tâm đến các đồ thị hữu hạn (V và E là tập hữu hạn) mà thôi, chính vì vậy từ đây về sau,
nếu không chú thích gì thêm thì khi nói tới đồ thị, ta hiểu rằng đó là đồ thị hữu hạn.
1.2.1. Cạnh liên thuộc, đỉnh kề, bậc
Đối với đồ thị vô hướng G = (V, E). Xét một cạnh e ∈ E, nếu e = (u, v) thì ta nói hai đỉnh u và
v là kề nhau (adjacent) và cạnh e này liên thuộc (incident) với đỉnh u và đỉnh v.
Với một đỉnh v trong đồ thị, ta định nghĩa bậc (degree) của v, ký hiệu deg(v) là số cạnh liên
thuộc với v. Dễ thấy rằng trên đơn đồ thị thì số cạnh liên thuộc với v cũng là số đỉnh kề với v.
Định lý: Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng với m cạnh, khi đó tổng tất cả các bậc đỉnh
trong V sẽ bằng 2m:
v V
deg(v) 2m
∈
Σ =
Chứng minh: Khi lấy tổng tất cả các bậc đỉnh tức là mỗi cạnh e = (u, v) bất kỳ sẽ được tính
một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v). Từ đó suy ra kết quả.
Hệ quả: Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là số chẵn
Đối với đồ thị có hướng G = (V, E). Xét một cung e ∈ E, nếu e = (u, v) thì ta nói u nối tới v
và v nối từ u, cung e là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v. Đỉnh u khi đó được gọi là đỉnh
đầu, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung e.
Với mỗi đỉnh v trong đồ thị có hướng, ta định nghĩa: Bán bậc ra (out-degree) của v ký hiệu
deg+(v) là số cung đi ra khỏi nó; bán bậc vào (in-degree) ký hiệu deg-(v) là số cung đi vào
đỉnh đó
Định lý: Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng với m cung, khi đó tổng tất cả các bán bậc ra
của các đỉnh bằng tổng tất cả các bán bậc vào và bằng m:
178 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
v V v V
deg+ (v) deg− (v) m
∈ ∈
Σ =Σ =
Chứng minh: Khi lấy tổng tất cả các bán bậc ra hay bán bậc vào, mỗi cung (u, v) bất kỳ sẽ
được tính đúng 1 lần trong deg+(u) và cũng được tính đúng 1 lần trong deg-(v). Từ đó suy ra
kết quả
1.2.2. Đường đi và chu trình
Một đường đi với độ dài p là một dãy P=〈v0, v1, ..., vp〉 của các đỉnh sao cho (vi-1, vi) ∈ E, (∀i:
1 ≤ i ≤ p). Ta nói đường đi P bao gồm các đỉnh v0, v1, ..., vp và các cạnh (v0, v1), (v1, v2), ...,
(vp-1, vp). Nếu có một đường đi như trên thì ta nói vp đến được (reachable) từ v0 qua P. Một
đường đi gọi là đơn giản (simple) nếu tất cả các đỉnh trên đường đi là hoàn toàn phân biệt,
một đường đi con (subpath) P' của P là một đoạn liên tục của các dãy các đỉnh dọc theo P.
Đường đi P trở thành chu trình (circuit) nếu v0=vp. Chu trình P gọi là đơn giản (simple) nếu
v1, v2, ..., vp là hoàn toàn phân biệt
1.2.3. Liên thông
Một đồ thị vô hướng gọi là liên thông (connected) nếu với mọi cặp đỉnh (u, v) ta có u đến
được v. Một đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh (strongly connected) nếu với mỗi cặp
đỉnh (u, v), ta có u đến được v và v đến được u. Một đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu
(weakly connected) nếu với mỗi cặp đỉnh (u, v), ta có u đến được v hoặc v đến được u.
1.2.4. Một số khái niệm khác
Hai đồ thị G = (V, E) và G'=(V', E') được gọi là đẳng cấu (isomorphic) nếu tồn tại một song
ánh f:V→V' sao cho (u, v) ∈ E nếu và chỉ nếu (f(u), f(v)) ∈ E'.
Đồ thị G'=(V', E') là đồ thị con (subgraph) của đồ thị G = (V, E) nếu V' ⊆ V và E' ⊆ E, G'
được gọi là đồ thị con cảm ứng (induced) từ V' nếu E'={(u, v) ∈ E| u, v ∈ V'}
Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E), ta gọi phiên bản có hướng (directed version) của G là
một đồ thị có hướng G' = (V, E') sao cho (u, v) ∈ E' nếu và chỉ nếu (u, v) ∈ E. Nói cách khác
G' được tạo thành từ G bằng cách thay mỗi cạnh bằng hai cung có hướng ngược chiều nhau.
Cho một đồ thị có hướng G = (V, E), ta gọi phiên bản vô hướng (undirected version) của G
là một đồ thị vô hướng G' = (V, E') sao cho (u, v) ∈ E' nếu và chỉ nếu (u, v) ∈ E hoặc (v, u) ∈
E.
Một đồ thị vô hướng được gọi là đầy đủ (complete) nếu mọi cặp đỉnh đều là kề nhau. Một đồ
thị vô hướng gọi là hai phía (bipartite) nếu tập đỉnh của nó có thể chia làm hai tập rời nhau
X, Y sao cho không tồn tại cạnh nối hai đỉnh ∈ X cũng như không tồn tại cạnh nối hai đỉnh ∈
Y.
Người ta còn mở rộng khái niệm đồ thị thành siêu đồ thị (hypergraph), một siêu đồ thị
tương tự như đồ thị vô hướng, những mỗi siêu cạnh (hyperedge) không những chỉ có thể nối
hai đỉnh mà còn có thể nối một tập các đỉnh với nhau.
Lý thuyết đồ thị 179
Lê Minh Hoàng
§2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH
2.1. MA TRẬN KỀ (ADJACENCY MATRIX)
Giả sử G = (V, E) là một đơn đồ thị có số đỉnh (ký hiệu ⏐V⏐) là n, Không mất tính tổng quát
có thể coi các đỉnh được đánh số 1, 2, ..., n. Khi đó ta có thể biểu diễn đồ thị bằng một ma
trận vuông A = [a[i, j]] cấp n. Trong đó:
a[i, j] = 1 nếu (i, j) ∈ E
a[i, j] = 0 nếu (i, j) ∉ E
Với ∀i, giá trị của a[i, i] có thể đặt tuỳ theo mục đích, thông thường nên đặt bằng 0;
Đối với đa đồ thị thì việc biểu diễn cũng tương tự trên, chỉ có điều nếu như (i, j) là cạnh thì
không phải ta ghi số 1 vào vị trí a[i, j] mà là ghi số cạnh nối giữa đỉnh i và đỉnh j.
Ví dụ:
1
2
4 3
5
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
A 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
4 3
5
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
A 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Các tính chất của ma trận kề:
Đối với đồ thị vô hướng G, thì ma trận kề tương ứng là ma trận đối xứng (a[i, j] = a[j, i]), điều
này không đúng với đồ thị có hướng.
Nếu G là đồ thị vô hướng và A là ma trận kề tương ứng thì trên ma trận A:
Tổng các số trên hàng i = Tổng các số trên cột i = Bậc của đỉnh i = deg(i)
Nếu G là đồ thị có hướng và A là ma trận kề tương ứng thì trên ma trận A:
Tổng các số trên hàng i = Bán bậc ra của đỉnh i = deg+(i)
Tổng các số trên cột i = Bán bậc vào của đỉnh i = deg-(i)
Trong trường hợp G là đơn đồ thị, ta có thể biểu diễn ma trận kề A tương ứng là các phần tử
logic. a[i, j] = TRUE nếu (i, j) ∈ E và a[i, j] = FALSE nếu (i, j) ∉ E
Ưu điểm của ma trận kề:
Đơn giản, trực quan, dễ cài đặt trên máy tính
Để kiểm tra xem hai đỉnh (u, v) của đồ thị có kề nhau hay không, ta chỉ việc kiểm tra bằng
một phép so sánh: a[u, v] ≠ 0.
Nhược điểm của ma trận kề:
180 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Bất kể số cạnh của đồ thị là nhiều hay ít, ma trận kề luôn luôn đòi hỏi n2 ô nhớ để lưu các
phần tử ma trận, điều đó gây lãng phí bộ nhớ dẫn tới việc không thể biểu diễn được đồ thị
với số đỉnh lớn.
Với một đỉnh u bất kỳ của đồ thị, nhiều khi ta phải xét tất cả các đỉnh v khác kề với nó,
hoặc xét tất cả các cạnh liên thuộc với nó. Trên ma trận kề việc đó được thực hiện bằng
cách xét tất cả các đỉnh v và kiểm tra điều kiện a[u, v] ≠ 0. Như vậy, ngay cả khi đỉnh u là
đỉnh cô lập (không kề với đỉnh nào) hoặc đỉnh treo (chỉ kề với 1 đỉnh) ta cũng buộc phải
xét tất cả các đỉnh và kiểm tra điều kiện trên dẫn tới lãng phí thời gian
2.2. DANH SÁCH CẠNH (EDGE LIST)
Trong trường hợp đồ thị có n đỉnh, m cạnh, ta có thể biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách
cạnh bằng cách liệt kê tất cả các cạnh của đồ thị trong một danh sách, mỗi phần tử của danh
sách là một cặp (u, v) tương ứng với một cạnh của đồ thị. (Trong trường hợp đồ thị có hướng
thì mỗi cặp (u, v) tương ứng với một cung, u là đỉnh đầu và v là đỉnh cuối của cung). Danh
sách được lưu trong bộ nhớ dưới dạng mảng hoặc danh sách móc nối. Ví dụ với đồ thị ở Hình
54:
1 2
4 3
5
Hình 54
Cài đặt trên mảng:
(1, 2) (1, 3) 1, 5) (2, 3) (3, 4) (4, 5)
1 2 3 4 5 6
Cài đặt trên danh sách móc nối:
(1, 2) (1, 3) 1, 5) (2, 3) (3, 4) (4, 5)
Ưu điểm của danh sách cạnh:
Trong trường hợp đồ thị thưa (có số cạnh tương đối nhỏ: chẳng hạn m < 6n), cách biểu
diễn bằng danh sách cạnh sẽ tiết kiệm được không gian lưu trữ, bởi nó chỉ cần 2m ô nhớ để
lưu danh sách cạnh.
Trong một số trường hợp, ta phải xét tất cả các cạnh của đồ thị thì cài đặt trên danh sách
cạnh làm cho việc duyệt các cạnh dễ dàng hơn. (Thuật toán Kruskal chẳng hạn)
Nhược điểm của danh sách cạnh:
Nhược điểm cơ bản của danh sách cạnh là khi ta cần duyệt tất cả các đỉnh kề với đỉnh v
nào đó của đồ thị, thì chẳng có cách nào khác là phải duyệt tất cả các cạnh, lọc ra những
Lý thuyết đồ thị 181
Lê Minh Hoàng
cạnh có chứa đỉnh v và xét đỉnh còn lại. Điều đó khá tốn thời gian trong trường hợp đồ thị
dày (nhiều cạnh).
2.3. DANH SÁCH KỀ (ADJACENCY LIST)
Để khắc phục nhược điểm của các phương pháp ma trận kề và danh sách cạnh, người ta đề
xuất phương pháp biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề. Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh
v của đồ thị, ta cho tương ứng với nó một danh sách các đỉnh kề với v.
Với đồ thị G = (V, E). V gồm n đỉnh và E gồm m cạnh. Có hai cách cài đặt danh sách kề phổ
biến:
1 2
4 3
5
Hình 55
Cách 1: Dùng một mảng các đỉnh, mảng đó chia làm n đoạn, đoạn thứ i trong mảng lưu danh
sách các đỉnh kề với đỉnh i: Với đồ thị ở Hình 55, danh sách kề sẽ là một mảng Adj gồm 12
phần tử:
2
1
3
2
5
3
1
4
3
5
1
6
2
7
4
8
3
9
5
10
1
11
4
12
I II III IV V
Để biết một đoạn nằm từ chỉ số nào đến chỉ số nào, ta có một mảng Head lưu vị trí riêng.
Head[i] sẽ bằng chỉ số đứng liền trước đoạn thứ i. Quy ước Head[n + 1] bằng m. Với đồ thị
bên thì mảng Head[1..6] sẽ là: (0, 3, 5, 8, 10, 12)
Các phần tử Adj[Head[i] + 1..Head[i + 1]] sẽ chứa các đỉnh kề với đỉnh i. Lưu ý rằng với đồ
thị có hướng gồm m cung thì cấu trúc này cần phải đủ chứa m phần tử, với đồ thị vô hướng m
cạnh thì cấu trúc này cần phải đủ chứa 2m phần tử
Cách 2: Dùng các danh sách móc nối: Với mỗi đỉnh i của đồ thị, ta cho tương ứng với nó một
danh sách móc nối các đỉnh kề với i, có nghĩa là tương ứng với một đỉnh i, ta phải lưu lại
List[i] là chốt của một danh sách móc nối. Ví dụ với đồ thị ở Hình 55, các danh sách móc nối
sẽ là:
182 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
List 1: 2 3 5
List 2: 1 3
List 3: 1 2 4
List 4: 3 5
List 5: 1 4
Ưu điểm của danh sách kề:
Đối với danh sách kề, việc duyệt tất cả các đỉnh kề với một đỉnh v cho trước là hết sức dễ
dàng, cái tên "danh sách kề" đã cho thấy rõ điều này. Việc duyệt tất cả các cạnh cũng đơn
giản vì một cạnh thực ra là nối một đỉnh với một đỉnh khác kề nó.
Nhược điểm của danh sách kề
Danh sách kề yếu hơn ma trận kề ở việc kiểm tra (u, v) có phải là cạnh hay không, bởi
trong cách biểu diễn này ta sẽ phải việc phải duyệt toàn bộ danh sách kề của u hay danh
sách kề của v.
Đối với những thuật toán mà ta sẽ khảo sát, danh sách kề tốt hơn hẳn so với hai phương pháp
biểu diễn trước. Chỉ có điều, trong trường hợp cụ thể mà ma trận kề hay danh sách cạnh
không thể hiện nhược điểm thì ta nên dùng ma trận kề (hay danh sách cạnh) bởi cài đặt danh
sách kề có phần dài dòng hơn.
2.4. NHẬN XÉT
Trên đây là nêu các cách biểu diễn đồ thị trong bộ nhớ của máy tính, còn nhập dữ liệu cho đồ
thị thì có nhiều cách khác nhau, dùng cách nào thì tuỳ. Chẳng hạn nếu biểu diễn bằng ma trận
kề mà cho nhập dữ liệu cả ma trận cấp n x n (n là số đỉnh) thì khi nhập từ bàn phím sẽ rất mất
thời gian, ta cho nhập kiểu danh sách cạnh cho nhanh. Chẳng hạn mảng A (nxn) là ma trận kề
của một đồ thị vô hướng thì ta có thể khởi tạo ban đầu mảng A gồm toàn số 0, sau đó cho
người sử dụng nhập các cạnh bằng cách nhập các cặp (i, j); chương trình sẽ tăng A[i, j] và A[j,
i] lên 1. Việc nhập có thể cho kết thúc khi người sử dụng nhập giá trị i = 0. Ví dụ:
program Nhap_Do_Thi;
var
A: array[1..100, 1..100] of Integer; {Ma trận kề của đồ thị}
n, i, j: Integer;
begin
Write('Number of vertices'); ReadLn(n);
FillChar(A, SizeOf(A), 0);
repeat
Write('Enter edge (i, j) (i = 0 to exit) ');
ReadLn(i, j); {Nhập một cặp (i, j) tưởng như là nhập danh sách cạnh}
Lý thuyết đồ thị 183
Lê Minh Hoàng
if i <> 0 then
begin {nhưng lưu trữ trong bộ nhớ lại theo kiểu ma trận kề}
Inc(A[i, j]);
Inc(A[j, i]);
end;
until i = 0; {Nếu người sử dụng nhập giá trị i = 0 thì dừng quá trình nhập, nếu không thì tiếp tục}
end.
Trong nhiều trường hợp đủ không gian lưu trữ, việc chuyển đổi từ cách biểu diễn nào đó sang
cách biểu diễn khác không có gì khó khăn. Nhưng đối với thuật toán này thì làm trên ma trận
kề ngắn gọn hơn, đối với thuật toán kia có thể làm trên danh sách cạnh dễ dàng hơn v.v... Do
đó, với mục đích dễ hiểu, các chương trình sau này sẽ lựa chọn phương pháp biểu diễn sao
cho việc cài đặt đơn giản nhất nhằm nêu bật được bản chất thuật toán. Còn trong trường hợp
cụ thể bắt buộc phải dùng một cách biểu diễn nào đó khác, thì việc sửa đổi chương trình cũng
không tốn quá nhiều thời gian.
184 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM TRÊN ĐỒ THỊ
3.1. BÀI TOÁN
Cho đồ thị G = (V, E). u và v là hai đỉnh của G. Một đường đi (path) độ dài p từ đỉnh s đến
đỉnh f là dãy x[0..p] thoả mãn x[0] = s, x[p] = f và (x[i], x[i+1]) ∈ E với ∀i: 0 ≤ i < p.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn bởi dãy các cạnh: (s = x[0], x[1]), (x[1], x[2]), ...,
(x[p-1], x[p] = f)
Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu
trùng với đỉnh cuối gọi là chu trình (Circuit), đường đi không có cạnh nào đi qua hơn 1 lần
gọi là đường đi đơn, tương tự ta có khái niệm chu trình đơn.
Ví dụ: Xét một đồ thị vô hướng và một đồ thị có hướng trong Hình 56:
1
2 3
4
6 5
1
2 3
4
6 5
Hình 56: Đồ thị và đường đi
Trên cả hai đồ thị, (1, 2, 3, 4) là đường đi đơn độ dài 3 từ đỉnh 1 tới đỉnh 4. (1, 6, 5, 4) không
phải đường đi vì không có cạnh (cung) nối từ đỉnh 6 tới đỉnh 5.
Một bài toán quan trọng trong lý thuyết đồ thị là bài toán duyệt tất cả các đỉnh có thể đến
được từ một đỉnh xuất phát nào đó. Vấn đề này đưa về một bài toán liệt kê mà yêu cầu của nó
là không được bỏ sót hay lặp lại bất kỳ đỉnh nào. Chính vì vậy mà ta phải xây dựng những
thuật toán cho phép duyệt một cách hệ thống các đỉnh, những thuật toán như vậy gọi là những
thuật toán tìm kiếm trên đồ thị và ở đây ta quan tâm đến hai thuật toán cơ bản nhất: thuật
toán tìm kiếm theo chiều sâu và thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng cùng với một số ứng
dụng của chúng.
Những cài đặt dưới đây là cho đơn đồ thị vô hướng, muốn làm với đồ thị có hướng hay đa đồ
thị cũng không phải sửa đổi gì nhiều.
Input: file văn bản PATH.INP. Trong đó:
Dòng 1 chứa số đỉnh n (≤ 100), số cạnh m của đồ thị, đỉnh xuất phát s, đỉnh kết thúc f cách
nhau một dấu cách.
m dòng tiếp theo, mỗi dòng có dạng hai số nguyên dương u, v cách nhau một dấu cách, thể
hiện có cạnh nối đỉnh u và đỉnh v trong đồ thị.
Output: file văn bản PATH.OUT:
Danh sách các đỉnh có thể đến được từ s
Lý thuyết đồ thị 185
Lê Minh Hoàng
Đường đi từ s tới f
2
3
1
4
5
6
7
8
PATH.INP
8 7 1 5
1 2
1 3
2 3
2 4
3 5
4 6
7 8
PATH.OUT
From 1 you can visit:
1, 2, 3, 4, 5, 6,
The path from 1 to 5:
5<-3<-2<-1
3.2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU SÂU (DEPTH FIRST SEARCH)
Tư tưởng của thuật toán có thể trình bày như sau: Trước hết, mọi đỉnh x kề với S tất nhiên sẽ
đến được từ S. Với mỗi đỉnh x kề với S đó thì tất nhiên những đỉnh y kề với x cũng đến được
từ S... Điều đó gợi ý cho ta viết một thủ tục đệ quy DFS(u) mô tả việc duyệt từ đỉnh u bằng
cách thăm đỉnh u và tiếp tục quá trình duyệt DFS(v) với v là một đỉnh chưa thăm kề với u.
Để không một đỉnh nào bị liệt kê tới hai lần, ta sử dụng kỹ thuật đánh dấu, mỗi lần thăm một
đỉnh, ta đánh dấu đỉnh đó lại để các bước duyệt đệ quy kế tiếp không duyệt lại đỉnh đó nữa
Để lưu lại đường đi từ đỉnh xuất phát s, trong thủ tục DFS(u), trước khi gọi đệ quy DFS(v)
với v là một đỉnh kề với u mà chưa đánh dấu, ta lưu lại vết đường đi từ u tới v bằng cách đặt
Trace[v] := u, tức là Trace[v] lưu lại đỉnh liền trước v trong đường đi từ s tới v. Khi quá trình
tìm kiếm theo chiều sâu kết thúc, đường đi từ s tới f sẽ là:
f ← p[1] = Trace[F] ← p[2] = Trace[p[1]] ←... ← s.
procedure DFS(u∈V);
begin
Free[u] := False; {Free[u] = False ⇔ u đã thăm}
for (∀v ∈ V: Free[v] and ((u, v)∈E) ) do {Duyệt mọi đỉnh v chưa thăm kề với u}
begin
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi, đỉnh liền trước v trên đường đi từ s tới v là u}
DFS(v); {Gọi đệ quy duyệt tương tự đối với v}
end;
end;
begin {Chương trình chính}
〈Nhập dữ liệu: đồ thị, đỉnh xuất phát S, đỉnh đích F〉;
for (∀v ∈ V) do Free[v] := True; {Đánh dấu mọi đỉnh đều chưa thăm}
DFS(S);
〈Thông báo từ s có thể thăm được những đỉnh v mà Free[v] = False〉;
if Free[f] then {s đi tới được f}
〈Truy theo vết từ f để tìm đường đi từ s tới f〉;
end.
Trong cài đặt cụ thể, ta không cần mảng đánh dấu Free[1..n] mà dùng luôn mảng Trace[1..n]
để đánh dấu, khởi tạo các phần tử Trace[s] := -1 và Trace[v] := 0 với ∀v≠s. Điều kiện để một
đỉnh v chưa thăm là Trace[v] = 0, mỗi khi từ đỉnh u thăm đỉnh v, phép gán Trace[v] := u sẽ
kiêm luôn công việc đánh dấu v đã thăm.
P_4_03_1.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu
program Depth_First_Search;
const
186 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
InputFile = 'PATH.INP';
OutputFile = 'PATH.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
Trace: array[1..max] of Integer;
n, s, f: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
i, u, v, m: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True; {Đồ thị vô hướng nên cạnh (u, v) cũng là cạnh (v, u)}
end;
Close(fi);
end;
procedure DFS(u: Integer); {Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ u}
var
v: Integer;
begin
for v := 1 to n do
if a[u, v] and (Trace[v] = 0) then {Duyệt ∀v chưa thăm kề với u}
begin
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi cũng là đánh dấu v đã thăm}
DFS(v); {Tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ v}
end;
end;
procedure Result; {In kết quả}
var
fo: Text;
v: Integer;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Writeln(fo, 'From ', s, ' you can visit: ');
for v := 1 to n do
if Trace[v] <> 0 then Write(fo, v, ', '); {In ra những đỉnh đến được từ s}
WriteLn(fo);
WriteLn(fo, 'The path from ', s, ' to ', f, ': ');
if Trace[f] = 0 then {Nếu Trace[f] = 0 thì s không thể tới được f}
WriteLn(fo,'not found')
else {s tới được f}
begin
while f <> s do {Truy vết đường đi}
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
Lý thuyết đồ thị 187
Lê Minh Hoàng
Enter;
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0); {Mọi đỉnh đều chưa thăm}
Trace[s] := -1; {Ngoại trừ s đã thăm}
DFS(s);
Result;
end.
Nhận xét:
Vì có kỹ thuật đánh dấu, nên thủ tục DFS sẽ được gọi ≤ n lần (n là số đỉnh)
Có thể có nhiều đường đi từ s tới f, nhưng thuật toán DFS luôn trả về một đường đi có thứ
tự từ điển nhỏ nhất.
Quá trình tìm kiếm theo chiều sâu cho ta một cây DFS gốc s. Quan hệ cha-con trên cây
được định nghĩa là: nếu từ đỉnh u tới thăm đỉnh v (DFS(u) gọi DFS(v)) thì u là nút cha của
nút v. Hình 57 là đồ thị và cây DFS tương ứng với đỉnh xuất phát s = 1.
2
3
1
4
5
6
7
8
2
3
1
4
5
6
7
1st 8
2nd
3rd
5th
4th
6th
Hình 57: Cây DFS
3.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM THEO CHIỀU RỘNG (BREADTH FIRST
SEARCH)
Cơ sở của phương pháp cài đặt này là "lập lịch" duyệt các đỉnh. Việc thăm một đỉnh sẽ lên
lịch duyệt các đỉnh kề nó sao cho thứ tự duyệt là ưu tiên chiều rộng (đỉnh nào gần S hơn sẽ
được duyệt trước). Ví dụ: Bắt đầu ta thăm đỉnh S. Việc thăm đỉnh S sẽ phát sinh thứ tự duyệt
những đỉnh (x[1], x[2], ..., x[p]) kề với S (những đỉnh gần S nhất). Khi thăm đỉnh x[1] sẽ lại
phát sinh yêu cầu duyệt những đỉnh (u[1], u[2] ..., u[q]) kề với x[1]. Nhưng rõ ràng các đỉnh
u này "xa" S hơn những đỉnh x nên chúng chỉ được duyệt khi tất cả những đỉnh x đã duyệt
xong. Tức là thứ tự duyệt đỉnh sau khi đã thăm x[1] sẽ là: (x[2], x[3]..., x[p], u[1], u[2], ...,
u[q]).
S
x1 x2 ... xp
u1 u2 ... uq Phải duyệt sau xp
Giả sử ta có một danh sách chứa những đỉnh đang "chờ" thăm. Tại mỗi bước, ta thăm một
đỉnh đầu danh sách và cho những đỉnh chưa "xếp hàng" kề với nó xếp hàng thêm vào cuối
188 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
danh sách. Chính vì nguyên tắc đó nên danh sách chứa những đỉnh đang chờ sẽ được tổ chức
dưới dạng hàng đợi (Queue)
Nếu ta có Queue là một hàng đợi với thủ tục Push(v) để đẩy một đỉnh v vào hàng đợi và hàm
Pop trả về một đỉnh lấy ra từ hàng đợi thì mô hình của giải thuật có thể viết như sau:
for (∀v ∈ V) do Free[v] := True;
Free[s] := False; {Khởi tạo ban đầu chỉ có đỉnh S bị đánh dấu}
Queue := ∅; Push(s); {Khởi tạo hàng đợi ban đầu chỉ gồm một đỉnh s}
repeat {Lặp tới khi hàng đợi rỗng}
u := Pop; {Lấy từ hàng đợi ra một đỉnh u}
for (∀v ∈ V: Free[v] and ((u, v) ∈ E)) do {Xét những đỉnh v kề u chưa bị đưa vào hàng đợi}
begin
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi}
Free[v] := False; {Đánh dấu v}
Push(v); {Đẩy v vào hàng đợi}
end;
until Queue = ∅;
〈Thông báo từ s có thể thăm được những đỉnh v mà Free[v] = False〉;
if Free[f] then {s đi tới được f}
〈Truy theo vết từ f để tìm đường đi từ s tới f〉;
Tương tự như thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, ta có thể dùng mảng Trace[1..n] kiêm luôn
chức năng đánh dấu.
P_4_03_2.PAS * Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng
program Breadth_First_Search;
const
InputFile = 'PATH.INP';
OutputFile = 'PATH.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
Trace: array[1..max] of Integer;
n, s, f: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
i, u, v, m: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True;
end;
Close(fi);
end;
procedure BFS; {Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng}
var
Queue: array[1..max] of Integer;
Front, Rear, u, v: Integer;
begin
Front := 1; Rear := 1; {front: chỉ số đầu hàng đợi, rear: chỉ số cuối hàng đợi}
Queue[1] := s; {Khởi tạo hàng đợi ban đầu chỉ gồm một đỉnh s}
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0); {Các đỉnh đều chưa đánh dấu}
Lý thuyết đồ thị 189
Lê Minh Hoàng
Trace[s] := -1; {Ngoại trừ đỉnh s}
repeat {Lặp tới khi hàng đợi rỗng}
u := Queue[Front]; Inc(Front); {Lấy từ hàng đợi ra một đỉnh u}
for v := 1 to n do
if a[u, v] and (Trace[v] = 0) then {Xét những đỉnh v chưa thăm kề với u}
begin
Inc(Rear); Queue[Rear] := v; {Đẩy v vào hàng đợi}
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi, cũng là đánh dấu luôn}
end;
until Front > Rear;
end;
procedure Result; {In kết quả}
var
fo: Text;
v: Integer;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Writeln(fo, 'From ', s, ' you can visit: ');
for v := 1 to n do
if Trace[v] <> 0 then Write(fo, v, ', ');
WriteLn(fo);
WriteLn(fo, 'The path from ', s, ' to ', f, ': ');
if Trace[f] = 0 then
WriteLn(fo,'not found')
else
begin
while f <> s do
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
Enter;
BFS;
Result;
end.
Nhận xét:
Có thể có nhiều đường đi từ s tới f nhưng thuật toán BFS luôn trả về một đường đi ngắn
nhất (theo nghĩa đi qua ít cạnh nhất).
Quá trình tìm kiếm theo chiều rộng cho ta một cây BFS gốc s. Quan hệ cha - con trên cây
được định nghĩa là: nếu từ đỉnh u tới thăm đỉnh v thì u là nút cha của nút v. Hình 58 là ví
dụ về cây BFS.
190 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
2
3
1
4
5
6
7
8
2
3
1
4
5
6
7
1st 8
2nd
3rd
4th
5th
6th
Hình 58: Cây BFS
3.4. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN CỦA BFS VÀ DFS
Quá trình tìm kiếm trên đồ thị bắt đầu từ một đỉnh có thể thăm tất cả các đỉnh còn lại, khi đó
cách biểu diễn đồ thị có ảnh hưởng lớn tới chi phí về thời gian thực hiện giải thuật:
Trong trường hợp ta biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề, cả hai thuật toán BFS và DFS đều
có độ phức tạp tính toán là O(n + m) = O(max(n, m)). Đây là cách cài đặt tốt nhất.
Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề như ở trên thì độ phức tạp tính toán trong trường
hợp này là O(n + n2) = O(n2).
Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng danh sách cạnh, thao tác duyệt những đỉnh kề với đỉnh u sẽ
dẫn tới việc phải duyệt qua toàn bộ danh sách cạnh, đây là cài đặt tồi nhất, nó có độ phức
tạp tính toán là O(n.m).
Bài tập
Bài 1
Mê cung hình chữ nhật kích thước m x n gồm các ô vuông đơn vị. Trên mỗi ô ghi một trong
ba ký tự:
O: Nếu ô đó an toàn
X: Nếu ô đó có cạm bẫy
E: Nếu là ô có một nhà thám hiểm đang đứng.
Duy nhất chỉ có 1 ô ghi chữ E. Nhà thám hiểm có thể từ một ô đi sang một trong số các ô
chung cạnh với ô đang đứng. Một cách đi thoát khỏi mê cung là một hành trình đi qua các ô
an toàn ra một ô biên. Hãy chỉ giúp cho nhà thám hiểm một hành trình thoát ra khỏi mê cung.
Bài 2
Có nhiều cách dựng cây gốc s chứa tất cả các đỉnh đến được từ s thoả mãn: nếu u là nút cha
của nút v trên cây thì (u, v) phải là cạnh của G. Cây BFS và cây DFS chỉ là hai trường hợp
đặc biệt. Ta đã biết cây BFS là cây thấp nhất, vậy phải chăng cây DFS là cây cao nhất trong
số các cây này?
Lý thuyết đồ thị 191
Lê Minh Hoàng
§4. TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ
4.1. ĐỊNH NGHĨA
4.1.1. Đối với đồ thị vô hướng G = (V, E)
G gọi là liên thông (connected) nếu luôn tồn tại đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ
thị. Nếu G không liên thông thì chắc chắn nó sẽ là hợp của hai hay nhiều đồ thị con* liên
thông, các đồ thị con này đôi một không có đỉnh chung. Các đồ thị con liên thông rời nhau
như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét (Xem ví dụ).
G1
G2
G3
Hình 59: Đồ thị G và các thành phần liên thông G1, G2, G3 của nó
Đôi khi, việc xoá đi một đỉnh và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra một đồ thị con mới
có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị ban đầu, các đỉnh như thế gọi là đỉnh cắt hay điểm
khớp. Hoàn toàn tương tự, những cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành
phần liên thông hơn so với đồ thị ban đầu được gọi là một cạnh cắt hay một cầu.
Khớp Cầu
Hình 60: Khớp và cầu
4.1.2. Đối với đồ thị có hướng G = (V, E)
Có hai khái niệm về tính liên thông của đồ thị có hướng tuỳ theo chúng ta có quan tâm tới
hướng của các cung không.
G gọi là liên thông mạnh (Strongly connected) nếu luôn tồn tại đường đi (theo các cung định
hướng) giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thị, g gọi là liên thông yếu (weakly connected) nếu đồ thị
vô hướng nền của nó là liên thông
* Đồ thị G = (V, E) là con của đồ thị G' = (V', E') nếu G là đồ thị có V⊆V' và E ⊆ E'
192 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Hình 61: Liên thông mạnh và liên thông yếu
4.2. TÍNH LIÊN THÔNG TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG
Một bài toán quan trọng trong lý thuyết đồ thị là bài toán kiểm tra tính liên thông của đồ thị
vô hướng hay tổng quát hơn: Bài toán liệt kê các thành phần liên thông của đồ thị vô hướng.
Giả sử đồ thị vô hướng G = (V, E) có n đỉnh đánh số 1, 2, ..., n.
Để liệt kê các thành phần liên thông của G phương pháp cơ bản nhất là:
Đánh dấu đỉnh 1 và những đỉnh có thể đến từ 1, thông báo những đỉnh đó thuộc thành phần
liên thông thứ nhất.
Nếu tất cả các đỉnh đều đã bị đánh dấu thì G là đồ thị liên thông, nếu không thì sẽ tồn tại một
đỉnh v nào đó chưa bị đánh dấu, ta sẽ đánh dấu v và các đỉnh có thể đến được từ v, thông báo
những đỉnh đó thuộc thành phần liên thông thứ hai.
Và cứ tiếp tục như vậy cho tới khi tất cả các đỉnh đều đã bị đánh dấu
procedure Scan(u)
begin
〈Dùng BFS hoặc DFS liệt kê và đánh dấu những đỉnh có thể đến được từ u〉;
end;
begin
for ∀ v ∈ V do 〈khởi tạo v chưa đánh dấu〉;
Count := 0;
for u := 1 to n do
if <u chưa đánh dấu> then
begin
Count := Count + 1;
WriteLn('Thành phần liên thông thứ ', Count, ' gồm các đỉnh : ');
Scan(u);
end;
end.
Với thuật toán liệt kê các thành phần liên thông như thế này, thì độ phức tạp tính toán của nó
đúng bằng độ phức tạp tính toán của thuật toán tìm kiếm trên đồ thị trong thủ tục Scan.
4.3. ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ VÀ THUẬT TOÁN WARSHALL
4.3.1. Định nghĩa:
Đồ thị đầy đủ với n đỉnh, ký hiệu Kn, là một đơn đồ thị vô hướng mà giữa hai đỉnh bất kỳ của
nó đều có cạnh nối.
Đồ thị đầy đủ Kn có đúng: 2n
C n.(n 1)
2
−
= cạnh và bậc của mọi đỉnh đều bằng n - 1.
Lý thuyết đồ thị 193
Lê Minh Hoàng
K3 K4 K5
Hình 62: Đồ thị đầy đủ
4.3.2. Bao đóng đồ thị:
Với đồ thị G = (V, E), người ta xây dựng đồ thị G' = (V, E') cũng gồm những đỉnh của G còn
các cạnh xây dựng như sau: (ở đây quy ước giữa u và u luôn có đường đi)
Giữa đỉnh u và v của G' có cạnh nối ⇔ Giữa đỉnh u và v của G có đường đi
Đồ thị G' xây dựng như vậy được gọi là bao đóng của đồ thị G.
Từ định nghĩa của đồ thị đầy đủ, ta dễ dàng suy ra một đồ thị đầy đủ bao giờ cũng liên thông
và từ định nghĩa đồ thị liên thông, ta cũng dễ dàng suy ra được:
Một đơn đồ thị vô hướnglà liên thông nếu và chỉ nếu bao đóng của nó là đồ thị đầy đủ
Một đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông nếu và chỉ nếu bao đóng của nó có k
thành phần liên thông đầy đủ.
Hình 63: Đơn đồ thị vô hướng và bao đóng của nó
Bởi việc kiểm tra một đồ thị có phải đồ thị đầy đủ hay không có thể thực hiện khá dễ dàng
(đếm số cạnh chẳng hạn) nên người ta nảy ra ý tưởng có thể kiểm tra tính liên thông của đồ
thị thông qua việc kiểm tra tính đầy đủ của bao đóng. Vấn đề đặt ra là phải có thuật toán xây
dựng bao đóng của một đồ thị cho trước và một trong những thuật toán đó là:
4.3.3. Thuật toán Warshall
Thuật toán Warshall - gọi theo tên của Stephen Warshall, người đã mô tả thuật toán này vào
năm 1960, đôi khi còn được gọi là thuật toán Roy-Warshall vì Roy cũng đã mô tả thuật toán
này vào năm 1959. Thuật toán đó có thể mô tả rất gọn:
Với đơn đồ thị vô hướng G, với mọi đỉnh k xét theo thứ tự từ 1 tới n, ta xét tất cả các cặp đỉnh
(u, v): nếu có cạnh nối (u, k) và cạnh nối (k, v) thì ta tự nối thêm cạnh (u, v) nếu nó chưa có.
194 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Tư tưởng này dựa trên một quan sát đơn giản như sau: Nếu từ u có đường đi tới k và từ k lại
có đường đi tới v thì tất nhiên từ u sẽ có đường đi tới v.
Với n là số đỉnh của đồ thị và A = {a[i, j]} là ma trận kề biểu diễn đồ thị, ta có thể viết thuật
toán Warshall như sau:
for k := 1 to n do
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
a[u, v] := a[u, v] or a[u, k] and a[k, v];
Việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán đòi hỏi phải lật lại các lý thuyết về bao đóng
bắc cầu và quan hệ liên thông, ta sẽ không trình bày ở đây. Có nhận xét rằng tuy thuật toán
Warshall rất dễ cài đặt nhưng độ phức tạp tính toán của thuật toán này khá lớn (O(n3)).
Dưới đây, ta sẽ thử cài đặt thuật toán Warshall tìm bao đóng của đơn đồ thị vô hướng sau đó
đếm số thành phần liên thông của đồ thị:
Việc cài đặt thuật toán sẽ qua những bước sau:
Nhập ma trận kề A của đồ thị (Lưu ý ở đây A[v, v] luôn được coi là True với ∀v)
Dùng thuật toán Warshall tìm bao đóng, khi đó A là ma trận kề của bao đóng đồ thị
Dựa vào ma trận kề A, đỉnh 1 và những đỉnh kề với nó sẽ thuộc thành phần liên thông thứ
nhất; với đỉnh u nào đó không kề với đỉnh 1, thì u cùng với những đỉnh kề nó sẽ thuộc
thành phần liên thông thứ hai; với đỉnh v nào đó không kề với cả đỉnh 1 và đỉnh u, thì v
cùng với những đỉnh kề nó sẽ thuộc thành phần liên thông thứ ba v.v...
1
v
u
Input: file văn bản CONNECT.INP
Dòng 1: Chứa số đỉnh n (≤ 100) và số cạnh m của đồ thị cách nhau ít nhất một dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng chứa một cặp số u và v cách nhau ít nhất một dấu cách tượng
trưng cho một cạnh (u, v)
Output: file văn bản CONNECT.OUT, liệt kê các thành phần liên thông
1
3
5
4
2
6 7
8
9
10 11
12
CONNECT.INP
12 9
1 3
1 4
1 5
2 4
6 7
6 8
9 10
9 11
11 12
CONNECT.OUT
Connected Component 1:
1, 2, 3, 4, 5,
Connected Component 2:
6, 7, 8,
Connected Component 3:
9, 10, 11, 12,
Lý thuyết đồ thị 195
Lê Minh Hoàng
P_4_04_1.PAS * Thuật toán Warshall liệt kê các thành phần liên thông
program Connectivity;
const
InputFile = 'CONNECT.INP';
OutputFile = 'CONNECT.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean; {Ma trận kề của đồ thị}
Free: array[1..max] of Boolean; {Free[v] = True ⇔ v chưa được liệt kê vào thành phần liên thông nào}
k, u, v, n: Integer;
Count: Integer;
fo: Text;
procedure Enter; {Nhập đồ thị}
var
i, u, v, m: Integer;
fi: Text;
begin
FillChar(a, SizeOf(a), False);
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m);
for v := 1 to n do a[v, v] := True; {Dĩ nhiên từ v có đường đi đến chính v}
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True;
end;
Close(fi);
end;
begin
Enter;
{Thuật toán Warshall}
for k := 1 to n do
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
a[u, v] := a[u, v] or a[u, k] and a[k, v];
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Count := 0;
FillChar(Free, n, True); {Mọi đỉnh đều chưa được liệt kê vào thành phần liên thông nào}
for u := 1 to n do
if Free[u] then {Với một đỉnh u chưa được liệt kê vào thành phần liên thông nào}
begin
Inc(Count);
WriteLn(fo, 'Connected Component ', Count, ': ');
for v := 1 to n do
if a[u, v] then {Xét những đỉnh kề u (trên bao đóng)}
begin
Write(fo, v, ', '); {Liệt kê đỉnh đó vào thành phần liên thông chứa u}
Free[v] := False; {Liệt kê đỉnh nào đánh dấu đỉnh đó}
end;
WriteLn(fo);
end;
Close(fo);
end.
4.4. CÁC THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG MẠNH
Đối với đồ thị có hướng, người ta quan tâm đến bài toán kiểm tra tính liên thông mạnh, hay
tổng quát hơn: Bài toán liệt kê các thành phần liên thông mạnh của đồ thị có hướng. Đối với
196 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
bài toán đó ta có một phương pháp khá hữu hiệu dựa trên thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu
Depth First Search.
4.4.1. Phân tích
Thêm vào đồ thị một đỉnh x và nối x với tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị bằng các cung định
hướng. Khi đó quá trình tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ x có thể coi như một quá trình xây
dựng cây tìm kiếm theo chiều sâu (cây DFS) gốc x.
procedure Visit(u∈V);
begin
〈Thêm u vào cây tìm kiếm DFS〉;
for (∀v: (v ∉ cây DFS) and ((u, v) ∈ E)) do Visit(v);
end;
begin
〈Thêm vào đồ thị đỉnh x và các cung định hướng (x, v) với mọi v〉;
〈Khởi tạo cây tìm kiếm DFS := ∅〉;
Visit(x);
end.
Để ý thủ tục thăm đỉnh đệ quy Visit(u). Thủ tục này xét tất cả những đỉnh v nối từ u, nếu v
chưa được thăm thì đi theo cung đó thăm v, tức là bổ sung cung (u, v) vào cây tìm kiếm DFS.
Nếu v đã thăm thì có ba khả năng xảy ra đối với vị trí của u và v trong cây tìm kiếm DFS:
v là tiền bối (ancestor - tổ tiên) của u, tức là v được thăm trước u và thủ tục Visit(u) do dây
chuyền đệ quy từ thủ tục Visit(v) gọi tới. Cung (u, v) khi đó được gọi là cung ngược (Back
edge)
v là hậu duệ (descendant - con cháu) của u, tức là u được thăm trước v, nhưng thủ tục
Visit(u) sau khi tiến đệ quy theo một hướng khác đã gọi Visit(v) rồi. Nên khi dây chuyền
đệ quy lùi lại về thủ tục Visit(u) sẽ thấy v là đã thăm nên không thăm lại nữa. Cung (u, v)
khi đó gọi là cung xuôi (Forward edge).
v thuộc một nhánh của cây DFS đã duyệt trước đó, tức là sẽ có một đỉnh w được thăm
trước cả u và v. Thủ tục Visit(w) gọi trước sẽ rẽ theo một nhánh nào đó thăm v trước, rồi
khi lùi lại, rẽ sang một nhánh khác thăm u. Cung (u, v) khi đó gọi là cung chéo (Cross
edge)
(Rất tiếc là từ điển thuật ngữ tin học Anh-Việt quá nghèo nàn nên không thể tìm ra những từ
tương đương với các thuật ngữ ở trên. Ta có thể hiểu qua các ví dụ).
Lý thuyết đồ thị 197
Lê Minh Hoàng
4th 7th
4th 7th
4th 7th
2nd 2nd 2nd
6th 6th 6th
1st 1st 1st
u 5th
v
3rd
v
3 u rd
v 5th
u
3rd
5th
TH1: v là tiền bối của u
(u, v) là cung ngược
TH2: v là hậu duệ của u
(u, v) là cung xuôi
TH3: v nằm ở nhánh DFS đã duyệt trước u
(u, v là cung chéo)
Hình 64: Ba dạng cung ngoài cây DFS
Ta nhận thấy một đặc điểm của thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, thuật toán không chỉ duyệt
qua các đỉnh, nó còn duyệt qua tất cả những cung nữa. Ngoài những cung nằm trên cây tìm
kiếm, những cung còn lại có thể chia làm ba loại: cung ngược, cung xuôi, cung chéo.
4.4.2. Cây tìm kiếm DFS và các thành phần liên thông mạnh
Định lý 1: Nếu a, b là hai đỉnh thuộc thành phần liên thông mạnh C thì với mọi đường đi từ a
tới b cũng như từ b tới a. Tất cả đỉnh trung gian trên đường đi đó đều phải thuộc C.
Chứng minh
Nếu a và b là hai đỉnh thuộc C thì tức là có một đường đi từ a tới b và một đường đi khác từ b
tới a. Suy ra với một đỉnh v nằm trên đường đi từ a tới b thì a tới được v, v tới được b, mà b
có đường tới a nên v cũng tới được a. Vậy v nằm trong thành phần liên thông mạnh chứa a tức
là v∈C. Tương tự với một đỉnh nằm trên đường đi từ b tới a.
Định lý 2: Với một thành phần liên thông mạnh C bất kỳ, sẽ tồn tại một đỉnh r ∈C sao cho
mọi đỉnh của C đều thuộc nhánh DFS gốc r.
Chứng minh: Trước hết, nhắc lại một thành phần liên thông mạnh là một đồ thị con liên
thông mạnh của đồ thị ban đầu thoả mãn tính chất tối đại tức là việc thêm vào thành phần đó
một tập hợp đỉnh khác sẽ làm mất đi tính liên thông mạnh.
Trong số các đỉnh của C, chọn r là đỉnh được thăm đầu tiên theo thuật toán tìm kiếm theo
chiều sâu. Ta sẽ chứng minh C nằm trong nhánh DFS gốc r. Thật vậy: với một đỉnh v bất kỳ
của C, do C liên thông mạnh nên phải tồn tại một đường đi từ r tới v:
(r = x[0], x[1], ..., x[k] = v)
Từ định lý 1, tất cả các đỉnh x[1], x[2], ..., x[k] đều thuộc C nên chúng sẽ phải thăm sau đỉnh
r. Khi thủ tục Visit(r) được gọi thì tất cả các đỉnh x[1], x[2]..., x[k]=v đều chưa thăm; vì thủ
tục Visit(r) sẽ liệt kê tất cả những đỉnh chưa thăm đến được từ r bằng cách xây dựng nhánh
gốc r của cây DFS, nên các đỉnh x[1], x[2], ..., x[k] = v sẽ thuộc nhánh gốc r của cây DFS.
Bởi chọn v là đỉnh bất kỳ trong C nên ta có điều phải chứng minh.
Đỉnh r trong chứng minh định lý - đỉnh thăm trước tất cả các đỉnh khác trong C - gọi là chốt
của thành phần C. Mỗi thành phần liên thông mạnh có duy nhất một chốt. Xét về vị trí trong
cây tìm kiếm DFS, chốt của một thành phần liên thông là đỉnh nằm cao nhất so với các đỉnh
198 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
khác thuộc thành phần đó, hay nói cách khác: là tiền bối của tất cả các đỉnh thuộc thành phần
đó.
Định lý 3: Luôn tìm được đỉnh chốt a thoả mãn: Quá trình tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ
a không thăm được bất kỳ một chốt nào khác. (Tức là nhánh DFS gốc a không chứa một chốt
nào ngoài a) chẳng hạn ta chọn a là chốt được thăm sau cùng trong một dây chuyền đệ quy
hoặc chọn a là chốt thăm sau tất cả các chốt khác. Với chốt a như vậy thì các đỉnh thuộc
nhánh DFS gốc a chính là thành phần liên thông mạnh chứa a.
Chứng minh: Với mọi đỉnh v nằm trong nhánh DFS gốc a, xét b là chốt của thành phần liên
thông mạnh chứa v. Ta sẽ chứng minh a ≡ b. Thật vậy, theo định lý 2, v phải nằm trong nhánh
DFS gốc b. Vậy v nằm trong cả nhánh DFS gốc a và nhánh DFS gốc b. Giả sử phản chứng
rằng a≠b thì sẽ có hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1: Nhánh DFS gốc a chứa nhánh DFS gốc b, có nghĩa là thủ tục Visit(b) sẽ do
thủ tục Visit(a) gọi tới, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng a là chốt mà quá trình tìm
kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ a không thăm một chốt nào khác.
Khả năng 2: Nhánh DFS gốc a nằm trong nhánh DFS gốc b, có nghĩa là a nằm trên một
đường đi từ b tới v. Do b và v thuộc cùng một thành phần liên thông mạnh nên theo định lý
1, a cũng phải thuộc thành phần liên thông mạnh đó. Vậy thì thành phần liên thông mạnh
này có hai chốt a và b. Điều này vô lý.
Theo định lý 2, ta đã có thành phần liên thông mạnh chứa a nằm trong nhánh DFS gốc a, theo
chứng minh trên ta lại có: Mọi đỉnh trong nhánh DFS gốc a nằm trong thành phần liên thông
mạnh chứa a. Kết hợp lại được: Nhánh DFS gốc a chính là thành phần liên thông mạnh chứa a.
4.4.3. Thuật toán Tarjan (R.E.Tarjan - 1972)
Chọn u là chốt mà từ đó quá trình tìm kiếm theo chiều sâu không thăm thêm bất kỳ một chốt
nào khác, chọn lấy thành phần liên thông mạnh thứ nhất là nhánh DFS gốc u. Sau đó loại bỏ
nhánh DFS gốc u ra khỏi cây DFS, lại tìm thấy một đỉnh chốt v khác mà nhánh DFS gốc v
không chứa chốt nào khác, lại chọn lấy thành phần liên thông mạnh thứ hai là nhánh DFS gốc
v. Tương tự như vậy cho thành phần liên thông mạnh thứ ba, thứ tư, v.v... Có thể hình dung
thuật toán Tarjan "bẻ" cây DFS tại vị trí các chốt để được các nhánh rời rạc, mỗi nhánh là một
thành phần liên thông mạnh.
Lý thuyết đồ thị 199
Lê Minh Hoàng
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
Hình 65: Thuật toán Tarjan "bẻ" cây DFS
Trình bày dài dòng như vậy, nhưng điều quan trọng nhất bây giờ mới nói tới: Làm thế nào
kiểm tra một đỉnh v nào đó có phải là chốt hay không ?
Hãy để ý nhánh DFS gốc ở đỉnh r nào đó.
Nhận xét 1: Nếu như từ các đỉnh thuộc nhánh gốc r này không có cung ngược hay cung chéo
nào đi ra khỏi nhánh đó thì r là chốt. Điều này dễ hiểu bởi như vậy có nghĩa là từ r, đi theo các
cung của đồ thị thì chỉ đến được những đỉnh thuộc nhánh đó mà thôi. Vậy:
Thành phần liên thông mạnh chứa r ⊂ Tập các đỉnh có thể đến từ r = Nhánh DFS gốc r
nên r là chốt.
Nhận xét 2: Nếu từ một đỉnh v nào đó của nhánh DFS gốc r có một cung ngược tới một đỉnh
w là tiền bối của r, thì r không là chốt. Thật vậy: do có chu trình (w→r→v→w) nên w, r, v
thuộc cùng một thành phần liên thông mạnh. Mà w được thăm trước r, điều này mâu thuẫn
với cách xác định chốt (Xem lại định lý 2)
Nhận xét 3: Vấn đề phức tạp gặp phải ở đây là nếu từ một đỉnh v của nhánh DFS gốc r, có
một cung chéo đi tới một nhánh khác. Ta sẽ thiết lập giải thuật liệt kê thành phần liên thông
mạnh ngay trong thủ tục Visit(u), khi mà đỉnh u đã duyệt xong, tức là khi các đỉnh khác của
nhánh DFS gốc u đều đã thăm và quá trình thăm đệ quy lùi lại về Visit(u). Nếu như u là chốt,
ta thông báo nhánh DFS gốc u là thành phần liên thông mạnh chứa u và loại ngay các đỉnh
thuộc thành phần đó khỏi đồ thị cũng như khỏi cây DFS. Có thể chứng minh được tính đúng
đắn của phương pháp này, bởi nếu nhánh DFS gốc u chứa một chốt u' khác thì u' phải duyệt
xong trước u và cả nhánh DFS gốc u' đã bị loại bỏ rồi. Hơn nữa còn có thể chứng minh được
rằng, khi thuật toán tiến hành như trên thì nếu như từ một đỉnh v của một nhánh DFS gốc r
có một cung chéo đi tới một nhánh khác thì r không là chốt.
Để chứng tỏ điều này, ta dựa vào tính chất của cây DFS: cung chéo sẽ nối từ một nhánh tới
nhánh thăm trước đó, chứ không bao giờ có cung chéo đi tới nhánh thăm sau. Giả sử có cung
chéo (v, v') đi từ v ∈ nhánh DFS gốc r tới v' ∉ nhánh DFS gốc r, gọi r' là chốt của thành phần
200 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
liên thông chứa v'. Theo tính chất trên, v' phải thăm trước r, suy ra r' cũng phải thăm trước r.
Có hai khả năng xảy ra:
Nếu r' thuộc nhánh DFS đã duyệt trước r thì r' sẽ được duyệt xong trước khi thăm r, tức là
khi thăm r và cả sau này khi thăm v thì nhánh DFS gốc r' đã bị huỷ, cung chéo (v, v') sẽ
không được tính đến nữa.
Nếu r' là tiền bối của r thì ta có r' đến được r, v nằm trong nhánh DFS gốc r nên r đến được
v, v đến được v' vì (v, v') là cung, v' lại đến được r' bởi r' là chốt của thành phần liên thông
mạnh chứa v'. Ta thiết lập được chu trình (r'→r→v→v'→r'), suy ra r' và r thuộc cùng một
thành phần liên thông mạnh, r' đã là chốt nên r không thể là chốt nữa.
Từ ba nhận xét và cách cài đặt chương trình như trong nhận xét 3, Ta có: Đỉnh r là chốt nếu
và chỉ nếu không tồn tại cung ngược hoặc cung chéo nối một đỉnh thuộc nhánh DFS gốc r với
một đỉnh ngoài nhánh đó, hay nói cách khác: r là chốt nếu và chỉ nếu không tồn tại cung
nối từ một đỉnh thuộc nhánh DFS gốc r tới một đỉnh thăm trước r.
Dưới đây là một cài đặt hết sức thông minh, chỉ cần sửa đổi một chút thủ tục Visit ở trên là ta
có ngay phương pháp này. Nội dung của nó là đánh số thứ tự các đỉnh từ đỉnh được thăm đầu
tiên đến đỉnh thăm sau cùng. Định nghĩa Number[u] là số thứ tự của đỉnh u theo cách đánh số
đó. Ta tính thêm Low[u] là giá trị Number[.] nhỏ nhất trong các đỉnh có thể đến được từ một
đỉnh v nào đó của nhánh DFS gốc u bằng một cung (với giả thiết rằng u có một cung giả nối
với chính u).
Cụ thể cách cực tiểu hoá Low[u] như sau:
Trong thủ tục Visit(u), trước hết ta đánh số thứ tự thăm cho đỉnh u và khởi gán Low[u] :=
Number[u] (u có cung tới chính u). Sau đó với mỗi đỉnh v nối từ u, có hai khả năng:
Nếu v đã thăm thì ta cực tiểu hoá Low[u] theo công thức:
Low[u]mới := min(Low[u]cũ, Number[v]).
Nếu v chưa thăm thì ta gọi đệ quy đi thăm v, sau đó cực tiểu hoá Low[u] theo công thức:
Low[u]mới := min(Low[u]cũ, Low[v])
Dễ dàng chứng minh được tính đúng đắn của công thức tính.
Khi duyệt xong một đỉnh u (chuẩn bị thoát khỏi thủ tục Visit(u)), ta so sánh Low[u] và
Number[u]. Nếu như Low[u] = Number[u] thì u là chốt, bởi không có cung nối từ một đỉnh
thuộc nhánh DFS gốc u tới một đỉnh thăm trước u. Khi đó chỉ việc liệt kê các đỉnh thuộc
thành phần liên thông mạnh chứa u là nhánh DFS gốc u.
Để công việc dễ dàng hơn nữa, ta định nghĩa một danh sách Stack được tổ chức dưới dạng
ngăn xếp và dùng ngăn xếp này để lấy ra các đỉnh thuộc một nhánh nào đó. Khi thăm tới một
đỉnh u, ta đẩy ngay đỉnh u đó vào ngăn xếp, thì khi duyệt xong đỉnh u, mọi đỉnh thuộc nhánh
DFS gốc u sẽ được đẩy vào ngăn xếp Stack ngay sau u. Nếu u là chốt, ta chỉ việc lấy các đỉnh
ra khỏi ngăn xếp Stack cho tới khi lấy tới đỉnh u là sẽ được nhánh DFS gốc u cũng chính là
thành phần liên thông mạnh chứa u.
procedure Visit(u∈V);
Lý thuyết đồ thị 201
Lê Minh Hoàng
begin
Count := Count + 1; Number[u] := Count; {Trước hết đánh số u}
Low[u] := Number[u];
Push(u); {Đẩy u vào ngăn xếp}
〈Đánh dấu u đã thăm〉;
for (∀v: (u, v)∈E) do
if 〈v đã thăm〉 then
Low[u] := min(Low[u], Number[v])
else
begin
Visit(v);
Low[u] := min(Low[u], Low[v]);
end;
if Number[u] = Low[u] then {Nếu u là chốt}
begin
〈Thông báo thành phần liên thông mạnh với chốt u gồm có các đỉnh:〉;
repeat
v := Pop; {Lấy từ ngăn xếp ra một đỉnh v}
〈Output v〉;
〈Xoá đỉnh v khỏi đồ thị〉;
until v = u;
end;
end;
begin
〈Thêm vào đồ thị một đỉnh x và các cung (x, v) với mọi v〉;
Count := 0;
L := ∅; {Khởi tạo một ngăn xếp rỗng}
Visit(x)
end.
Bởi thuật toán Tarjan chỉ là sửa đổi một chút thuật toán DFS, các thao tác vào/ra ngăn xếp
được thực hiện không quá n lần. Vậy nên nếu đồ thị có n đỉnh và m cung thì độ phức tạp tính
toán của thuật toán Tarjan vẫn là O(n + m) trong trường hợp biểu diễn đồ thị bằng danh sách
kề, là O(n2) trong trường hợp biểu diễn bằng ma trận kề và là O(n.m) trong trường hợp biểu
diễn bằng danh sách cạnh.
Mọi thứ đã sẵn sàng, dưới đây là toàn bộ chương trình. Trong chương trình này, ta sử dụng:
Ma trận kề A để biểu diễn đồ thị.
Mảng Free kiểu Boolean, Free[u] = True nếu u chưa bị liệt kê vào thành phần liên thông
nào, tức là u chưa bị loại khỏi đồ thị.
Mảng Number và Low với công dụng như trên, quy ước Number[u] = 0 nếu đỉnh u chưa
được thăm.
Mảng Stack, thủ tục Push, hàm Pop để mô tả cấu trúc ngăn xếp.
Input: file văn bản SCONNECT.INP:
Dòng đầu: Ghi số đỉnh n (≤ 100) và số cung m của đồ thị cách nhau một dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi hai số nguyên u, v cách nhau một dấu cách thể hiện có
cung (u, v) trong đồ thị
Output: file văn bản SCONNECT.OUT, liệt kê các thành phần liên thông mạnh
202 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
SCONNECT.INP
11 15
1 2
1 8
2 3
3 4
4 2
4 5
5 6
6 7
7 5
8 9
9 4
9 10
10 8
10 11
11 8
SCONNECT.OUT
Component 1:
7, 6, 5,
Component 2:
4, 3, 2,
Component 3:
11, 10, 9, 8,
Component 4:
1,
P_4_04_2.PAS * Thuật toán Tarjan liệt kê các thành phần liên thông mạnh
program Strong_connectivity;
const
InputFile = 'SCONNECT.INP';
OutputFile = 'SCONNECT.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
Free: array[1..max] of Boolean;
Number, Low, Stack: array[1..max] of Integer;
n, Count, ComponentCount, Top: Integer;
fo: Text;
procedure Enter;
var
i, u, v, m: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
ReadLn(fi, n, m);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u, v);
a[u, v] := True;
end;
Close(fi);
end;
procedure Init; {Khởi tạo}
begin
FillChar(Number, SizeOf(Number), 0); {Mọi đỉnh đều chưa thăm}
FillChar(Free, SizeOf(Free), True); {Chưa đỉnh nào bị loại}
Top := 0; {Ngăn xếp rỗng}
Count := 0; {Biến đánh số thứ tự thăm}
ComponentCount := 0; {Biến đánh số các thành phần liên thông}
end;
procedure Push(v: Integer); {Đẩy một đỉnh v vào ngăn xếp}
begin
Inc(Top);
Stack[Top] := v;
end;
Lý thuyết đồ thị 203
Lê Minh Hoàng
function Pop: Integer; {Lấy một đỉnh khỏi ngăn xếp, trả về trong kết quả hàm}
begin
Pop := Stack[Top];
Dec(Top);
end;
function Min(x, y: Integer): Integer;
begin
if x < y then Min := x else Min := y;
end;
procedure Visit(u: Integer); {Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ u}
var
v: Integer;
begin
Inc(Count); Number[u] := Count; {Trước hết đánh số cho u}
Low[u] := Number[u]; {Coi u có cung tới u, nên có thể khởi gán Low[u] thế này rồi sau cực tiểu hoá dần}
Push(u); {Đẩy u vào ngăn xếp}
for v := 1 to n do
if Free[v] and a[u, v] then {Xét những đỉnh v kề u}
if Number[v] <> 0 then {Nếu v đã thăm}
Low[u] := Min(Low[u], Number[v]) {Cực tiểu hoá Low[u] theo công thức này}
else {Nếu v chưa thăm}
begin
Visit(v); {Tiếp tục tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ v}
Low[u] := Min(Low[u], Low[v]); {Rồi cực tiểu hoá Low[u] theo công thức này}
end;
{Đến đây thì đỉnh u được duyệt xong, tức là các đỉnh thuộc nhánh DFS gốc u đều đã thăm}
if Number[u] = Low[u] then {Nếu u là chốt}
begin {Liệt kê thành phần liên thông mạnh có chốt u}
Inc(ComponentCount);
WriteLn(fo, 'Component ', ComponentCount, ': ');
repeat
v := Pop; {Lấy dần các đỉnh ra khỏi ngăn xếp}
Write(fo, v, ', '); {Liệt kê các đỉnh đó}
Free[v] := False; {Rồi loại luôn khỏi đồ thị}
until v = u; {Cho tới khi lấy tới đỉnh u}
WriteLn(fo);
end;
end;
procedure Solve;
var
u: Integer;
begin
{Thay vì thêm một đỉnh giả x và các cung (x, v) với mọi đỉnh v rồi gọi Visit(x), ta có thể làm thế này cho nhanh}
for u := 1 to n do
if Number[u] = 0 then Visit(u);
end;
begin
Enter;
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Init;
Solve;
Close(fo);
end.
Bài tập
Bài 1
204 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Phương pháp cài đặt như trên có thể nói là rất hay và hiệu quả, đòi hỏi ta phải hiểu rõ bản chất
thuật toán, nếu không thì rất dễ nhầm. Trên thực tế, còn có một phương pháp khác dễ hiểu
hơn, tuy tính hiệu quả có kém hơn một chút. Hãy viết chương trình mô tả phương pháp sau:
Vẫn dùng thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu với thủ tục Visit nói ở đầu mục, đánh số lại các
đỉnh từ 1 tới n theo thứ tự duyệt xong, sau đó đảo chiều tất cả các cung của đồ thị. Xét lần
lượt các đỉnh theo thứ tự từ đỉnh duyệt xong sau cùng tới đỉnh duyệt xong đầu tiên, với mỗi
đỉnh đó, ta lại dùng thuật toán tìm kiếm trên đồ thị (BFS hay DFS) liệt kê những đỉnh nào đến
được từ đỉnh đang xét, đó chính là một thành phần liên thông mạnh. Lưu ý là khi liệt kê xong
thành phần nào, ta loại ngay các đỉnh của thành phần đó khỏi đồ thị.
Tính đúng đắn của phương pháp có thể hình dung không mấy khó khăn:
Trước hết ta thêm vào đồ thị đỉnh x và các cung (x, v) với mọi v, sau đó gọi Visit(x) để xây
dựng cây DFS gốc x. Hiển nhiên x là chốt của thành phần liên thông chỉ gồm mỗi x. Sau đó
bỏ đỉnh x khỏi cây DFS, cây sẽ phân rã thành các cây con.
Đỉnh r duyệt xong sau cùng chắc chắn là gốc của một cây con (bởi khi duyệt xong nó chắc
chắn sẽ lùi về x) suy ra r là chốt. Hơn thế nữa, nếu một đỉnh u nào đó tới được r thì u cũng
phải thuộc cây con gốc r. Bởi nếu giả sử phản chứng rằng u thuộc cây con khác thì u phải
được thăm trước r (do cây con gốc r được thăm tới sau cùng), có nghĩa là khi Visit(u) thì r
chưa thăm. Vậy nên r sẽ thuộc nhánh DFS gốc u, mâu thuẫn với lập luận r là gốc. Từ đó suy
ra nếu u tới được r thì r tới được u, tức là khi đảo chiều các cung, nếu r tới được đỉnh nào thì
đỉnh đó thuộc thành phần liên thông chốt r.
Loại bỏ thành phần liên thông với chốt r khỏi đồ thị. Cây con gốc r lại phân rã thành nhiều
cây con. Lập luận tương tự như trên với v' là đỉnh duyệt xong sau cùng (Hình 66).
Ví dụ:
1
2
4
5
8
9
10
3
6 7
11
11
6
5
4
3
2
1
10
9 8
7
Hình 66: Đánh số lại, đảo chiều các cung và duyệt BFS với cách chọn các đỉnh xuất phát ngược lại với thứ
tự duyệt xong (thứ tự 11, 10... 3, 2, 1)
Bài 2
Lý thuyết đồ thị 205
Lê Minh Hoàng
Thuật toán Warshall có thể áp dụng tìm bao đóng của đồ thị có hướng, vậy hãy kiểm tra tính
liên thông mạnh của một đồ thị có hướng bằng hai cách: Dùng các thuật toán tìm kiếm trên đồ
thị và thuật toán Warshall, sau đó so sánh ưu, nhược điểm của mỗi phương pháp
Bài 3
Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Decattes vuông góc cho n đường tròn, mỗi đường tròn xác định
bởi bộ 3 số thực (X, Y, R) ở đây (X, Y) là toạ độ tâm và R là bán kính. Hai đường tròn gọi là
thông nhau nếu chúng có điểm chung. Hãy chia các đường tròn thành một số tối thiểu các
nhóm sao cho hai đường tròn bất kỳ trong một nhóm bất kỳ có thể đi được sang nhau sau một
số hữu hạn các bước di chuyển giữa hai đường tròn thông nhau.
206 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§5. VÀI ỨNG DỤNG CỦA DFS VÀ BFS
5.1. XÂY DỰNG CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ
Cây là đồ thị vô hướng, liên thông, không có chu trình đơn. Đồ thị vô hướng không có chu
trình đơn gọi là rừng (hợp của nhiều cây). Như vậy mỗi thành phần liên thông của rừng là một
cây.
Khái niệm cây được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: Nghiên cứu cấu trúc
các phân tử hữu cơ, xây dựng các thuật toán tổ chức thư mục, các thuật toán tìm kiếm, lưu trữ
và nén dữ liệu...
5.1.1. Định lý (Daisy Chain Theorem)
Giả sử T = (V, E) là đồ thị vô hướng với n đỉnh. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
1. T là cây
2. T không chứa chu trình đơn và có n - 1 cạnh
3. T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu
4. Giữa hai đỉnh bất kỳ của T đều tồn tại đúng một đường đi đơn
5. T không chứa chu trình đơn nhưng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu được một chu
trình đơn.
6. T liên thông và có n - 1 cạnh
Chứng minh:
1⇒2: "T là cây" ⇒ "T không chứa chu trình đơn và có n - 1 cạnh"
Từ T là cây, theo định nghĩa T không chứa chu trình đơn. Ta sẽ chứng minh cây T có n đỉnh
thì phải có n - 1 cạnh bằng quy nạp theo số đỉnh n. Rõ ràng khi n = 1 thì cây có 1 đỉnh sẽ chứa
0 cạnh. Nếu n > 1 thì do đồ thị hữu hạn nên số các đường đi đơn trong T cũng hữu hạn, gọi P
= (v1, v2, ..., vk) là một đường đi dài nhất (qua nhiều cạnh nhất) trong T. Đỉnh v1 không thể có
cạnh nối với đỉnh nào trong số các đỉnh v3, v4, ..., vk. Bởi nếu có cạnh (v1, vp) (3 ≤ p ≤ k) thì
ta sẽ thiết lập được chu trình đơn (v1, v2, ..., vp, v1). Mặt khác, đỉnh v1 cũng không thể có cạnh
nối với đỉnh nào khác ngoài các đỉnh trên P trên bởi nếu có cạnh (v1, v0) (v0∉P) thì ta thiết lập
được đường đi (v0, v1, v2, ..., vk) dài hơn đường đi P. Vậy đỉnh v1 chỉ có đúng một cạnh nối
với v2 hay v1 là đỉnh treo. Loại bỏ v1 và cạnh (v1, v2) khỏi T ta được đồ thị mới cũng là cây và
có n - 1 đỉnh, cây này theo giả thiết quy nạp có n - 2 cạnh. Vậy cây T có n - 1 cạnh.
2⇒3: "T không chứa chu trình đơn và có n - 1 cạnh"⇒"T liên thông và mỗi cạnh của nó
đều là cầu"
Giả sử T có k thành phần liên thông T1, T2, ..., Tk. Vì T không chứa chu trình đơn nên các
thành phần liên thông của T cũng không chứa chu trình đơn, tức là các T1, T2, ..., Tk đều là
cây. Gọi n1, n2, ..., nk lần lượt là số đỉnh của T1, T2, ..., Tk thì cây T1 có n1 - 1 cạnh, cây T2 có
n2 - 1 cạnh..., cây Tk có nk - 1 cạnh. Cộng lại ta có số cạnh của T là n1 + n2 + ... + nk - k = n -
Lý thuyết đồ thị 207
Lê Minh Hoàng
k cạnh. Theo giả thiết, cây T có n - 1 cạnh, suy ra k = 1, đồ thị chỉ có một thành phần liên
thông là đồ thị liên thông.
Bây giờ khi T đã liên thông, nếu bỏ đi một cạnh của T thì T sẽ còn n - 2 cạnh và sẽ không liên
thông bởi nếu T vẫn liên thông thì do T không có chu trình nên T sẽ là cây và có n - 1 cạnh.
Điều đó chứng tỏ mỗi cạnh của T đều là cầu.
3⇒4: "T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu"⇒"Giữa hai đỉnh bất kỳ của T có
đúng một đường đi đơn"
Gọi x và y là 2 đỉnh bất kỳ trong T, vì T liên thông nên sẽ có một đường đi đơn từ x tới y. Nếu
tồn tại một đường đi đơn khác từ x tới y thì nếu ta bỏ đi một cạnh (u, v) nằm trên đường đi
thứ nhất nhưng không nằm trên đường đi thứ hai thì từ u vẫn có thể đến được v bằng cách: đi
từ u đi theo chiều tới x theo các cạnh thuộc đường thứ nhất, sau đó đi từ x tới y theo đường
thứ hai, rồi lại đi từ y tới v theo các cạnh thuộc đường đi thứ nhất. Điều này mâu thuẫn với giả
thiết (u, v) là cầu.
4⇒5: "Giữa hai đỉnh bất kỳ của T có đúng một đường đi đơn"⇒"T không chứa chu
trình đơn nhưng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu được một chu trình đơn"
Thứ nhất T không chứa chu trình đơn vì nếu T chứa chu trình đơn thì chu trình đó qua ít nhất
hai đỉnh u, v. Rõ ràng dọc theo các cạnh trên chu trình đó thì từ u có hai đường đi đơn tới v.
Vô lý.
Giữa hai đỉnh u, v bất kỳ của T có một đường đi đơn nối u với v, vậy khi thêm cạnh (u, v) vào
đường đi này thì sẽ tạo thành chu trình.
5⇒6: "T không chứa chu trình đơn nhưng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu được một
chu trình đơn"⇒"T liên thông và có n - 1 cạnh"
Gọi u và v là hai đỉnh bất kỳ trong T, thêm vào T một cạnh (u, v) nữa thì theo giả thiết sẽ tạo
thành một chu trình chứa cạnh (u, v). Loại bỏ cạnh này đi thì phần còn lại của chu trình sẽ là
một đường đi từ u tới v. Mọi cặp đỉnh của T đều có một đường đi nối chúng tức là T liên
thông, theo giả thiết T không chứa chu trình đơn nên T là cây và có n - 1 cạnh.
6⇒1: "T liên thông và có n - 1 cạnh"⇒"T là cây"
Giả sử T không là cây thì T có chu trình, huỷ bỏ một cạnh trên chu trình này thì T vẫn liên
thông, nếu đồ thị mới nhận được vẫn có chu trình thì lại huỷ một cạnh trong chu trình mới. Cứ
như thế cho tới khi ta nhận được một đồ thị liên thông không có chu trình. Đồ thị này là cây
nhưng lại có < n - 1 cạnh (vô lý). Vậy T là cây
5.1.2. Định nghĩa
Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng. Cây T = (V, F) với F⊂E gọi là cây khung của đồ thị G.
Tức là nếu như loại bỏ một số cạnh của G để được một cây thì cây đó gọi là cây khung (hay
cây bao trùm của đồ thị).
Dễ thấy rằng với một đồ thị vô hướng liên thông có thể có nhiều cây khung (Hình 67).
208 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
G T1 T2 T3
Hình 67: Đồ thị G và một số ví dụ cây khung T1, T2, T3 của nó
Điều kiện cần và đủ để một đồ thị vô hướng có cây khung là đồ thị đó phải liên thông
Số cây khung của đồ thị đầy đủ Kn là nn-2.
5.1.3. Thuật toán xây dựng cây khung
Xét đồ thị vô hướng liên thông G = (V, E) có n đỉnh, có nhiều thuật toán xây dựng cây khung
của G
Xây dựng cây khung bằng thuật toán hợp nhất
Trước hết, đặt T = (V, ∅); T không chứa cạnh nào thì có thể coi T gồm n cây rời rạc, mỗi cây
chỉ có 1 đỉnh. Sau đó xét lần lượt các cạnh của G, nếu cạnh đang xét nối hai cây khác nhau
trong T thì thêm cạnh đó vào T, đồng thời hợp nhất hai cây đó lại thành một cây. Cứ làm như
vậy cho tới khi kết nạp đủ n - 1 cạnh vào T thì ta được T là cây khung của đồ thị. Các phương
pháp kiểm tra cạnh có nối hai cây khác nhau hay không cũng như kỹ thuật hợp nhất hai cây sẽ
được bàn kỹ hơn trong thuật toán Kruskal ở §9.
Xây dựng cây khung bằng các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị.
Áp dụng thuật toán BFS hay DFS bắt đầu từ đỉnh S, tại mỗi bước từ đỉnh u tới thăm đỉnh v, ta
thêm vào thao tác ghi nhận luôn cạnh (u, v) vào cây khung. Do đồ thị liên thông nên thuật
toán sẽ xuất phát từ S và tới thăm tất cả các đỉnh còn lại, mỗi đỉnh đúng một lần, tức là quá
trình duyệt sẽ ghi nhận được đúng n - 1 cạnh. Tất cả những cạnh đó không tạo thành chu trình
đơn bởi thuật toán không thăm lại những đỉnh đã thăm. Theo mệnh đề tương đương thứ hai, ta
có những cạnh ghi nhận được tạo thành một cây khung của đồ thị.
1
2 3
4 5
8
6 7
9 10 11
1
2 3
4 5
8
6 7
9 10 11
a) b)
Hình 68: Cây khung DFS (a) và cây khung BFS (b) (Mũi tên chỉ chiều đi thăm các đỉnh)
Lý thuyết đồ thị 209
Lê Minh Hoàng
5.2. TẬP CÁC CHU TRÌNH CƠ SỞ CỦA ĐỒ THỊ
Xét một đồ thị vô hướng liên thông G = (V, E); gọi T = (V, F) là một cây khung của nó. Các
cạnh của cây khung được gọi là các cạnh trong, còn các cạnh khác là các cạnh ngoài.
Nếu thêm một cạnh ngoài e ∈ E\F vào cây khung T, thì ta được đúng một chu trình đơn trong
T, ký hiệu chu trình này là Ce. Tập các chu trình:
Ψ = {Ce⏐e ∈ E\F}
được gọi là tập các chu trình cơ sở của đồ thị G.
Các tính chất quan trọng của tập các chu trình cơ sở:
Tập các chu trình cơ sở là phụ thuộc vào cây khung, hai cây khung khác nhau có thể cho
hai tập chu trình cơ sở khác nhau.
Nếu đồ thị liên thông có n đỉnh và m cạnh, thì trong cây khung có n - 1 cạnh, còn lại m - n
+ 1 cạnh ngoài. Tương ứng với mỗi cạnh ngoài có một chu trình cơ sở, vậy số chu trình
cơ sở của đồ thị liên thông là m - n + 1.
Tập các chu trình cơ sở là tập nhiều nhất các chu trình thoả mãn: Mỗi chu trình có
đúng một cạnh riêng, cạnh đó không nằm trong bất cứ một chu trình nào khác. Bởi nếu có
một tập gồm t chu trình thoả mãn điều đó thì việc loại bỏ cạnh riêng của một chu trình sẽ
không làm mất tính liên thông của đồ thị, đồng thời không ảnh hưởng tới sự tồn tại của các
chu trình khác. Như vậy nếu loại bỏ tất cả các cạnh riêng thì đồ thị vẫn liên thông và còn m
- t cạnh. Đồ thị liên thông thì không thể có ít hơn n - 1 cạnh nên ta có m - t ≥ n - 1 hay t ≤
m - n + 1.
Mọi cạnh trong một chu trình đơn bất kỳ đều phải thuộc một chu trình cơ sở. Bởi nếu
có một cạnh (u, v) không thuộc một chu trình cơ sở nào, thì khi ta bỏ cạnh đó đi đồ thị vẫn
liên thông và không ảnh hưởng tới sự tồn tại của các chu trình cơ sở. Lại bỏ tiếp những
cạnh ngoài của các chu trình cơ sở thì đồ thị vẫn liên thông và còn lại m - (m - n + 1) - 1 =
n - 2 cạnh. Điều này vô lý.
Đối với đồ thị G = (V, E) có n đỉnh và m cạnh, có k thành phần liên thông, ta có thể xét các
thành phần liên thông và xét rừng các cây khung của các thành phần đó. Khi đó có thể mở
rộng khái niệm tập các chu trình cơ sở cho đồ thị vô hướng tổng quát: Mỗi khi thêm một cạnh
không nằm trong các cây khung vào rừng, ta được đúng một chu trình đơn, tập các chu trình
đơn tạo thành bằng cách ghép các cạnh ngoài như vậy gọi là tập các chu trình cơ sở của đồ thị
G. Số các chu trình cơ sở là m - n + k.
5.3. BÀI TOÁN ĐỊNH CHIỀU ĐỒ THỊ
Bài toán đặt ra là cho một đồ thị vô hướng liên thông G = (V, E), hãy thay mỗi cạnh của đồ
thị bằng một cung định hướng để được một đồ thị có hướng liên thông mạnh. Nếu có phương
án định chiều như vậy thì G được gọi là đồ thị định chiều được. Bài toán định chiều đồ thị có
ứng dụng rõ nhất trong sơ đồ giao thông đường bộ. Chẳng hạn như trả lời câu hỏi: Trong một
210 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
hệ thống đường phố, liệu có thể quy định các đường phố đó thành đường một chiều mà vẫn
đảm bảo sự đi lại giữa hai nút giao thông bất kỳ hay không.
Có thể tổng quát hoá bài toán định chiều đồ thị: Với đồ thị vô hướng G = (V, E) hãy tìm cách
thay mỗi cạnh của đồ thị bằng một cung định hướng để được đồ thị mới có ít thành phần liên
thông mạnh nhất. Dưới đây ta xét một tính chất hữu ích của thuật toán thuật toán tìm kiếm
theo chiều sâu để giải quyết bài toán định chiều đồ thị
5.3.1. Phép định chiều DFS
Xét mô hình duyệt đồ thị bằng thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu:
procedure Visit(u ∈ V);
begin
〈Thông báo thăm u và đánh dấu u đã thăm〉;
for (∀v: (u, v) ∈ E) do
if 〈v chưa thăm〉 then Visit(v);
end;
begin
〈Đánh dấu mọi đỉnh đều chưa thăm〉;
for (∀v ∈ V) do
if 〈v chưa thăm〉 then Visit(v);
end;
Coi một cạnh của đồ thị tương đương với hai cung có hướng ngược chiều nhau. Thuật toán
tìm kiếm theo chiều sâu theo mô hình trên sẽ duyệt qua hết các đỉnh của đồ thị và tất cả các
cung nữa. Quá trình duyệt cho ta một cây tìm kiếm DFS. Ta có các nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Quá trình duyệt sẽ không có cung chéo (cung đi từ một nhánh DFS thăm sau tới nhánh DFS
thăm trước). Thật vậy, nếu quá trình duyệt xét tới một cung (u, v):
Nếu u thăm trước v có nghĩa là khi Visit(u) được gọi thì v chưa thăm, vì thủ tục Visit(u) sẽ
xây dựng nhánh DFS gốc u gồm những đỉnh chưa thăm đến được từ u, suy ra v nằm trong
nhánh DFS gốc u ⇒ v là hậu duệ của u, hay (u, v) là cung DFS hoặc cung xuôi.
Nếu u thăm sau v (v thăm trước u), tương tự trên, ta suy ra u nằm trong nhánh DFS gốc v,
v là tiền bối của u ⇒ (u, v) là cung ngược.
Nhận xét 2:
Trong quá trình duyệt đồ thị theo chiều sâu, nếu cứ duyệt qua cung (u, v) nào thì ta bỏ đi cung
(v, u). (Tức là hễ duyệt qua cung (u, v) thì ta định chiều luôn cạnh (u, v) theo chiều từ u tới v),
ta được một phép định chiều đồ thị gọi là phép định chiều DFS.
Lý thuyết đồ thị 211
Lê Minh Hoàng
1
2 3
4 6
9
10
5
7
8
1
2 3
4 6
9
10
5
7
8
Hình 69: Phép định chiều DFS
Nhận xét 3:
Với phép định chiều DFS, thì sẽ chỉ còn các cung trên cây DFS và cung ngược, không còn lại
cung xuôi. Bởi trên đồ thị vô hướng ban đầu, nếu ta coi một cạnh là hai cung có hướng ngược
chiều nhau thì với một cung xuôi ta có cung ngược chiều với nó là cung ngược. Do tính chất
DFS, cung ngược được duyệt trước cung xuôi tương ứng, nên khi định chiều cạnh theo cung
ngược thì cung xuôi sẽ bị huỷ và không bị xét tới nữa.
Nhận xét 4:
Trong đồ thị vô hướng ban đầu, cạnh bị định hướng thành cung ngược chính là cạnh ngoài
của cây DFS. Chính vì vậy, mọi chu trình cơ sở của cây DFS trong đồ thị vô hướng ban
đầu vẫn sẽ là chu trình trong đồ thị có hướng tạo ra. (Đây là một phương pháp hiệu quả để
liệt kê các chu trình cơ sở của cây khung DFS: Vừa duyệt DFS vừa định chiều, nếu duyệt phải
cung ngược (u, v) thì truy vết đường đi của DFS để tìm đường từ v đến u, sau đó nối thêm
cung ngược (u, v) để được một chu trình cơ sở).
Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đồ thị vô hướng liên thông có thể định chiều được là mỗi
cạnh của đồ thị nằm trên ít nhất một chu trình đơn (Hay nói cách khác mọi cạnh của đồ thị
đều không phải là cầu).
Chứng minh: Gọi G = (V, E) là một đồ thị vô hướng liên thông.
"⇒"
Nếu G là định chiều được thì sau khi định hướng sẽ được đồ thị liên thông mạnh G'. Với một
cạnh (u, v) được định chiều thành cung (u, v) thì sẽ tồn tại một đường đi đơn trong G' theo các
cạnh định hướng từ v về u. Đường đi đó nối thêm cung (u, v) sẽ thành một chu trình đơn có
hướng trong G'. Tức là trên đồ thị ban đầu, cạnh (u, v) nằm trên một chu trình đơn.
"⇐"
Nếu mỗi cạnh của G đều nằm trên một chu trình đơn, ta sẽ chứng minh rằng: phép định chiều
DFS sẽ tạo ra đồ thị G' liên thông mạnh.
Trước hết ta chứng minh rằng nếu (u, v) là cạnh của G thì sẽ có một đường đi từ u tới v trong
G'. Thật vậy, vì (u, v) nằm trong một chu trình đơn, mà mọi cạnh của một chu trình đơn đều
212 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
phải thuộc một chu trình cơ sở của cây DFS, nên sẽ có một chu trình cơ sở chứa cả u và v.
Chu trình cơ sở của cây DFS qua phép định chiều DFS vẫn là chu trình trong G' nên đi theo
các cạnh định hướng của chu trình đó, ta có thể đi từ u tới v và ngược lại trên G'.
Nếu u và v là 2 đỉnh bất kỳ của G thì do G liên thông, tồn tại một đường đi (u=x[0], x[1], ...,
x[n]=v). Vì (x[i], x[i + 1]) là cạnh của G nên trong G', từ x[i] có thể đến được x[i+1]. Suy ra
từ u cũng có thể đến được v bằng các cạnh định hướng của G'.
Với những kết quả đã chứng minh trên, ta còn suy ra được: Nếu đồ thị liên thông và mỗi cạnh
của nó nằm trên ít nhất một chu trình đơn thì phép định chiều DFS sẽ cho một đồ thị liên
thông mạnh. Còn nếu không, thì phép định chiều DFS sẽ cho một đồ thị định hướng có ít
thành phần liên thông mạnh nhất, một cạnh không nằm trên một chu trình đơn nào (cầu) của
đồ thị ban đầu sẽ được định hướng thành cung nối giữa hai thành phần liên thông mạnh.
Giải thuật cho bài toán định chiều đồ thị đến đây quá đơn giản nên có lẽ không cần cài đặt cụ
thể chương trình nữa. Bây giờ song song với việc định chiều, ta mô tả phương pháp đánh số
và ghi nhận cung ngược lên trên cao nhất từ một nhánh cây DFS để dùng vào một số bài toán
khác.
5.3.2. Phép đánh số và ghi nhận cung ngược lên cao nhất trên cây DFS
Trong quá trình định chiều, ta thêm vào đó thao tác đánh số các đỉnh theo thứ tự thăm DFS,
gọi Number[u] là số thứ tự của đỉnh u theo cách đánh số đó. Định nghĩa thêm Low[u] là giá
trị Number[.] nhỏ nhất của những đỉnh đến được từ nhánh DFS gốc u bằng một cung ngược.
Tức là nếu nhánh DFS gốc u có nhiều cung ngược hướng lên phía gốc thì ta ghi nhận lại cung
ngược hướng lên cao nhất. Nếu nhánh DFS gốc u không chứa cung ngược thì ta cho Low[u] =
+∞. Cụ thể cách cực tiểu hoá Low[u] như sau: Trong thủ tục Visit(u), trước hết ta đánh số thứ
tự thăm cho đỉnh u (Number[u]) và khởi gán Low[u] = +∞, sau đó xét tất cả những đỉnh v kề
u, định chiều cạnh (u, v) thành cung (u, v). Có hai khả năng xảy ra:
v chưa thăm thì ta gọi Visit(v) để thăm v, khi thủ tục Visit(v) thoát có nghĩa là đã xây dựng
được nhánh DFS gốc v ⊂ nhánh DFS gốc u, khi đó những cung ngược đi từ nhánh DFS
gốc v có thể coi là cung ngược đi từ nhánh DFS gốc u ⇒ ta cực tiểu hoá Low[u] theo công
thức: Low[u]mới := min(Low[u]cũ, Low[v])
v đã thăm thì (u, v) là một cung ngược đi từ nhánh DFS gốc u ⇒ ta sẽ cực tiểu hoá Low[u]
theo công thức: Low[u]mới := min(Low[u]cũ, Number[v])
Lý thuyết đồ thị 213
Lê Minh Hoàng
Đồ thị vô hướng Đồ thị định chiều
Giá trị Numbering[.] ghi trong vòng tròn
Giá trị Low[.] ghi bên ngoài vòng tròn
1
2 3
4 6
9
10
5
7
8
1
2 3
7 4
6
9
8
10
5 4
4
4
1
+∞
2
2
1
2
1
Hình 70: Phép đánh số và ghi nhận cung ngược lên cao nhất
5.4. LIỆT KÊ CÁC KHỚP VÀ CẦU CỦA ĐỒ THỊ
Với một đồ thị vô hướng G = (V, E), ta dùng phép định chiều DFS để định chiều G, khi đó
hãy để ý một cung (u, v) là cung trên cây DFS, ta có các nhận xét sau:
Nếu từ nhánh DFS gốc v không có cung nào ngược lên phía trên v có nghĩa là từ một đỉnh
thuộc nhánh DFS gốc v đi theo các cung định hướng chỉ đi được tới những đỉnh nội bộ
trong nhánh DFS gốc v mà thôi, suy ra (u, v) là một cầu. Cũng dễ dàng chứng minh được
điều ngược lại. Vậy (u, v) là cầu ⇔ Low[v] ≥ Number[v].
Nếu từ nhánh DFS gốc v không có cung nào ngược lên phía trên u, tức là nếu bỏ u đi thì từ
v không có cách nào lên được các tiền bối của u. Điều này chỉ ra rằng nếu u không phải là
nút gốc của một cây DFS thì u là khớp. Cũng dễ dàng chứng minh điều ngược lại. Vậy nếu
u không là gốc của một cây DFS thì u là khớp ⇔ Low[v] ≥ Number[u].
Nếu r là gốc của một cây DFS thì r là khớp ⇔ r có ít nhất 2 nhánh con
Đến đây ta đã có đủ điều kiện để giải bài toán liệt kê các khớp và cầu của đồ thị: đơn giản là
dùng phép định chiều DFS đánh số các đỉnh theo thứ tự thăm và ghi nhận cung ngược lên trên
cao nhất xuất phát từ một nhánh cây DFS, sau đó dùng ba nhận xét kể trên để liệt kê ra tất cả
các cầu và khớp của đồ thị:
Input: file văn bản CUT.INP, trong đó
Dòng 1: Chứa số đình n (n ≤ 100) và số cạnh m của đơn đồ thị vô hướng G cách nhau ít
nhất một dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi hai số u, v cách nhau ít nhất một dấu cách, thể hiện (u, v)
là một cạnh của G
Output: file văn bản CUT.OUT, trong đó ghi:
Danh sách các cầu
Danh sách các khớp
214 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
1
2 3
4 6
9
10
5
7
8
11
12
CUT.INP
12 14
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
2 7
3 6
4 5
4 7
5 10
6 8
6 9
8 9
11 12
CUT.OUT
Bridges:
(3, 6)
(5, 10)
(11, 12)
Cut vertices:
2
3
5
6
Ngoài các mảng đã được nói tới khi trình bày thuật toán, có thêm một mảng Parent[1..n],
trong đó Parent[v] chỉ ra nút cha của nút v trên cây DFS, nếu v là gốc của một cây DFS thì
Parent[v] được đặt bằng -1. Công dụng của mảng Parent là cho phép duyệt tất cả các cạnh
trên cây DFS và kiểm tra một đỉnh có phải là gốc của cây DFS hay không.
P_4_05_1.PAS * Liệt kê các khớp và cầu của đồ thị
program Directivity_Bridges_CutVertices;
const
InputFile = 'CUT.INP';
OutputFile = 'CUT.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
Number, Low, Parent: array[1..max] of Integer;
n, Count: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
f: Text;
i, m, u, v: Integer;
begin
FillChar(a, SizeOf(a), False);
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, m);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(f, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True;
end;
Close(f);
end;
procedure Visit(u: Integer); {Duyệt DFS, định chiều, đánh số}
var
v: Integer;
begin
Inc(Count); Number[u] := Count; {Trước hết đánh số u}
Low[u] := n + 1; {Khởi gián Low[u] = +∞}
for v := 1 to n do
if a[u, v] then {Xét ∀v kề u}
begin
a[v, u] := False; {Bỏ đi cung (v, u)}
if Parent[v] = 0 then {Parent[v] = 0 ⇔ v chưa thăm, (u, v) là cung DFS}
Lý thuyết đồ thị 215
Lê Minh Hoàng
begin
Parent[v] := u;
Visit(v); {Thăm v}
if Low[u] > Low[v] then Low[u] := Low[v]; {Cực tiểu hoá Low[u] theo Low[v]}
end
else {v đã thăm, (u, v) là cung ngược}
if Low[u] > Number[v] then Low[u] := Number[v]; {Cực tiểu hoá Low[u] theo Number[v]}
end;
end;
procedure Solve;
var
u, v: Integer;
begin
Count := 0;
FillChar(Parent, SizeOf(Parent), 0); {Đánh dấu mọi đỉnh đều chưa thăm}
for u := 1 to n do
if Parent[u] = 0 then {Gặp một đỉnh chưa thăm}
begin
Parent[u] := -1; {Cho u là một gốc cây DFS}
Visit(u); {Xây dựng cây DFS gốc u}
end;
end;
procedure Result; {In kết quả}
var
f: Text;
u, v: Integer;
nChildren: array[1..max] of Integer;
IsCut: array[1..max] of Boolean;
begin
FillChar(nChildren, SizeOf(nChildren), 0); {Tính nChildren[u] = Số nhánh con của nhánh DFS gốc u}
for v := 1 to n do
if Parent[v] <> -1 then Inc(nChildren[Parent[v]]);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, 'Bridges: ');
for v := 1 to n do
begin
u := Parent[v];
if (u <> -1) and (Low[v] >= Number[v]) then {(u, v) là cầu}
WriteLn(f, '(', u, ', ', v, ')');
end;
WriteLn(f, 'Cut vertices:');
FillChar(IsCut, SizeOf(IsCut), False);
for v := 1 to n do
if Parent[v] <> -1 then
begin
u := Parent[v];
{Nếu Low[v] ≥ Number[u] khớp ⇔ u không phải gốc cây DFS hoặc u có ≥ 2 nhánh con}
if (Low[v] >= Number[u]) then
IsCut[u] := IsCut[u] or (Parent[u] <> -1) or (nChildren[u] >= 2);}
end;
for u := 1 to n do
if IsCut[u] then WriteLn(f, u);
Close(f);
end;
begin
Enter;
Solve;
Result;
end.
216 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§6. CHU TRÌNH EULER, ĐƯỜNG ĐI EULER, ĐỒ THỊ EULER
6.1. BÀI TOÁN 7 CÁI CẦU
Thành phố Konigsberg thuộc Phổ (nay là Kaliningrad thuộc Cộng hoà Nga), được chia làm 4
vùng bằng các nhánh sông Pregel. Các vùng này gồm 2 vùng bên bờ sông (B, C), đảo
Kneiphof (A) và một miền nằm giữa hai nhánh sông Pregel (D). Vào thế kỷ XVIII, người ta
đã xây 7 chiếc cầu nối những vùng này với nhau. Người dân ở đây tự hỏi: Liệu có cách nào
xuất phát tại một địa điểm trong thành phố, đi qua 7 chiếc cầu, mỗi chiếc đúng 1 lần rồi quay
trở về nơi xuất phát không ?
Nhà toán học Thụy sĩ Leonhard Euler đã giải bài toán này và có thể coi đây là ứng dụng đầu
tiên của Lý thuyết đồ thị, ông đã mô hình hoá sơ đồ 7 cái cầu bằng một đa đồ thị, bốn vùng
được biểu diễn bằng 4 đỉnh, các cầu là các cạnh. Bài toán tìm đường qua 7 cầu, mỗi cầu đúng
một lần có thể tổng quát hoá bằng bài toán: Có tồn tại chu trình đơn trong đa đồ thị chứa
tất cả các cạnh ?.
A
B
C
D
Hình 71: Mô hình đồ thị của bài toán bảy cái cầu
6.2. ĐỊNH NGHĨA
Chu trình đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị được gọi là chu trình Euler
Đường đi đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị được gọi là đường đi Euler
Một đồ thị có chu trình Euler được gọi là đồ thị Euler
Một đồ thị có đường đi Euler được gọi là đồ thị nửa Euler.
6.3. ĐỊNH LÝ
Một đồ thị vô hướng liên thông G = (V, E) có chu trình Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của
nó đều có bậc chẵn: deg(v) ≡ 0 (mod 2) (∀v∈V)
Một đồ thị vô hướng liên thông có đường đi Euler nhưng không có chu trình Euler khi và
chỉ khi nó có đúng 2 đỉnh bậc lẻ
Một đồ thi có hướng liên thông yếu G = (V, E) có chu trình Euler thì mọi đỉnh của nó có
bán bậc ra bằng bán bậc vào: deg+(v) = deg-(v) (∀v∈V); Ngược lại, nếu G liên thông yếu
và mọi đỉnh của nó có bán bậc ra bằng bán bậc vào thì G có chu trình Euler, hay G sẽ là
liên thông mạnh.
Lý thuyết đồ thị 217
Lê Minh Hoàng
Một đồ thị có hướng liên thông yếu G = (V, E) có đường đi Euler nhưng không có chu
trình Euler nếu tồn tại đúng hai đỉnh u, v ∈ V sao cho deg+(u) - deg-(u) = deg-(v) - deg+(v)
= 1, còn tất cả những đỉnh khác u và v đều có bán bậc ra bằng bán bậc vào.
6.4. THUẬT TOÁN FLEURY TÌM CHU TRÌNH EULER
6.4.1. Đối với đồ thị vô hướng liên thông, mọi đỉnh đều có bậc chẵn.
Xuất phát từ một đỉnh, ta chọn một cạnh liên thuộc với nó để đi tiếp theo hai nguyên tắc sau:
Xoá bỏ cạnh đã đi qua
Chỉ đi qua cầu khi không còn cạnh nào khác để chọn
Và ta cứ chọn cạnh đi một cách thoải mái như vậy cho tới khi không đi tiếp được nữa, đường
đi tìm được là chu trình Euler.
Ví dụ: Với đồ thị ở Hình 72:
1
2
3
4
5
6
7
8
Hình 72
Nếu xuất phát từ đỉnh 1, có hai cách đi tiếp: hoặc sang 2 hoặc sang 3, giả sử ta sẽ sang 2 và
xoá cạnh (1, 2) vừa đi qua. Từ 2 chỉ có cách duy nhất là sang 4, nên cho dù (2, 4) là cầu ta
cũng phải đi sau đó xoá luôn cạnh (2, 4). Đến đây, các cạnh còn lại của đồ thị có thể vẽ như
Hình 73 bằng nét liền, các cạnh đã bị xoá được vẽ bằng nét đứt.
1
2
3
4
5
6
7
8
Hình 73
Bây giờ đang đứng ở đỉnh 4 thì ta có 3 cách đi tiếp: sang 3, sang 5 hoặc sang 6. Vì (4, 3) là
cầu nên ta sẽ không đi theo cạnh (4, 3) mà sẽ đi (4, 5) hoặc (4, 6). Nếu đi theo (4, 5) và cứ tiếp
tục đi như vậy, ta sẽ được chu trình Euler là 〈1, 2, 4, 5, 7, 8, 6, 4, 3, 1〉. Còn đi theo (4, 6) sẽ
tìm được chu trình Euler là: 〈1, 2, 4, 6, 8, 7, 5, 4, 3, 1〉.
218 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
6.4.2. Đối với đồ thị có hướng liên thông yếu, mọi đỉnh đều có bán bậc ra bằng
bán bậc vào.
Bằng cách "lạm dụng thuật ngữ", ta có thể mô tả được thuật toán tìm chu trình Euler cho cả
đồ thị có hướng cũng như vô hướng:
Thứ nhất, dưới đây nếu ta nói cạnh (u, v) thì hiểu là cạnh nối đỉnh u và đỉnh v trên đồ thị
vô hướng, hiểu là cung nối từ đỉnh u tới đỉnh v trên đồ thị có hướng.
Thứ hai, ta gọi cạnh (u, v) là "một đi không trở lại" nếu như từ u ta đi tới v theo cạnh đó,
sau đó xoá cạnh đó đi thì không có cách nào từ v quay lại u.
Vậy thì thuật toán Fleury tìm chu trình Euler có thể mô tả như sau:
Xuất phát từ một đỉnh, ta đi một cách tuỳ ý theo các cạnh tuân theo hai nguyên tắc: Xoá bỏ
cạnh vừa đi qua và chỉ chọn cạnh "một đi không trở lại" nếu như không còn cạnh nào khác để
chọn.
6.5. CÀI ĐẶT
Ta sẽ cài đặt thuật toán Fleury trên một đa đồ thị vô hướng. Để đơn giản, ta coi đồ thị này đã
có chu trình Euler, công việc của ta là tìm ra chu trình đó thôi. Bởi việc kiểm tra tính liên
thông cũng như kiểm tra mọi đỉnh đều có bậc chẵn đến giờ có thể coi là chuyện nhỏ.
Input: file văn bản EULER.INP
Dòng 1: Chứa số đỉnh n của đồ thị (n ≤ 100)
Các dòng tiếp theo, mỗi dòng chứa 3 số nguyên dương cách nhau ít nhất 1 dấu cách có
dạng: u v k cho biết giữa đỉnh u và đỉnh v có k cạnh nối
Output: file văn bản EULER.OUT, ghi chu trình EULER
1 2
4 3
EULER.INP
5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 3 1
3 4 1
EULER.OUT
1 2 3 1 3 4 1
P_4_06_1.PAS * Thuật toán Fleury tìm chu trình Euler
program Euler_Circuit;
const
InputFile = 'EULER.INP';
OutputFile = 'EULER.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Integer;
n: Integer;
procedure Enter;
var
u, v, k: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
FillChar(a, SizeOf(a), 0);
Lý thuyết đồ thị 219
Lê Minh Hoàng
ReadLn(f, n);
while not SeekEof(f) do
begin
ReadLn(f, u, v, k);
a[u, v] := k;
a[v, u] := k;
end;
Close(f);
end;
{Thủ tục này kiểm tra nếu xoá một cạnh nối (x, y) thì y có còn quay lại được x hay không}
function CanGoBack(x, y: Integer): Boolean;
var
Queue: array[1..max] of Integer; {Hàng đợi dùng cho Breadth First Search}
Front, Rear: Integer; {Front: Chỉ số đầu hàng đợi, Rear: Chỉ số cuối hàng đợi}
u, v: Integer;
Free: array[1..max] of Boolean; {Mảng đánh dấu}
begin
Dec(a[x, y]); Dec(a[y, x]); {Thử xoá một cạnh (x, y) ⇔ Số cạnh nối (x, y) giảm 1}
FillChar(Free, n, True); {sau đó áp dụng BFS để xem từ y có quay lại x được không ?}
Free[y] := False;
Front := 1; Rear := 1;
Queue[1] := y;
repeat
u := Queue[Front]; Inc(Front);
for v := 1 to n do
if Free[v] and (a[u, v] > 0) then
begin
Inc(Rear);
Queue[Rear] := v;
Free[v] := False;
if Free[x] then Break;
end;
until Front > Rear;
CanGoBack := not Free[x];
Inc(a[x, y]); Inc(a[y, x]); {ở trên đã thử xoá cạnh thì giờ phải phục hồi}
end;
procedure FindEulerCircuit; {Thuật toán Fleury}
var
Current, Next, v, count: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Current := 1;
Write(f, 1, ' '); {Bắt đầu từ đỉnh Current = 1}
count := 1;
repeat
Next := 0;
for v := 1 to n do
if a[Current, v] > 0 then
begin
Next := v;
if CanGoBack(Current, Next) then Break;
end;
if Next <> 0 then
begin
Dec(a[Current, Next]);
Dec(a[Next, Current]); {Xoá bỏ cạnh vừa đi qua}
Write(f, Next, ' '); {In kết quả đi tới Next}
Inc(count);
if count mod 16 = 0 then WriteLn; {In ra tối đa 16 đỉnh trên một dòng}
Current := Next; {Lại tiếp tục với đỉnh đang đứng là Next}
220 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
end;
until Next = 0; {Cho tới khi không đi tiếp được nữa}
Close(f);
end;
begin
Enter;
FindEulerCircuit;
end.
6.6. THUẬT TOÁN TỐT HƠN
Trong trường hợp đồ thị Euler có số cạnh đủ nhỏ, ta có thể sử dụng phương pháp sau để tìm
chu trình Euler trong đồ thị vô hướng: Bắt đầu từ một chu trình đơn C bất kỳ, chu trình này
tìm được bằng cách xuất phát từ một đỉnh, đi tuỳ ý theo các cạnh cho tới khi quay về đỉnh
xuất phát, lưu ý là đi qua cạnh nào xoá luôn cạnh đó. Nếu như chu trình C tìm được chứa tất
cả các cạnh của đồ thị thì đó là chu trình Euler. Nếu không, xét các đỉnh dọc theo chu trình C,
nếu còn có cạnh chưa xoá liên thuộc với một đỉnh u nào đó thì lại từ u, ta đi tuỳ ý theo các
cạnh cũng theo nguyên tắc trên cho tới khi quay trở về u, để được một chu trình đơn khác qua
u. Loại bỏ vị trí u khỏi chu trình C và chèn vào C chu trình mới tìm được tại đúng vị trí của u
vừa xoá, ta được một chu trình đơn C' mới lớn hơn chu trình C. Cứ làm như vậy cho tới khi
được chu trình Euler. Việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán cũng là chứng minh định
lý về điều kiện cần và đủ để một đồ thị vô hướng liên thông có chu trình Euler.
Mô hình thuật toán có thể viết như sau:
〈Khởi tạo một ngăn xếp Stack ban đầu chỉ gồm mỗi đỉnh 1〉;
〈Viết các phương thức Push (đẩy vào) và Pop(lấy ra) một đỉnh từ ngăn xếp Stack, phương thức Get cho biết phấn tử
nằm ở đỉnh Stack. Khác với Pop, phương thức Get chỉ cho biết phần tử ở đỉnh Stack chứ không lấy phần tử đó ra〉;
while Stack ≠ ∅ do
begin
x := Get;
if 〈∃y: (x, y) ∈ E〉 then {Từ x còn đi hướng khác được}
begin
Push(y);
〈Loại bỏ cạnh (x, y) khỏi đồ thị〉;
end
else {Từ x không đi tiếp được tới đâu nữa}
begin
x := Pop;
〈In ra đỉnh x trên đường đi Euler〉;
end;
end;
Thuật toán trên có thể dùng để tìm chu trình Euler trong đồ thị có hướng liên thông yếu, mọi
đỉnh có bán bậc ra bằng bán bậc vào. Tuy nhiên thứ tự các đỉnh in ra bị ngược so với các cung
định hướng, ta có thể đảo ngược hướng các cung trước khi thực hiện thuật toán để được thứ tự
đúng.
Thuật toán hoạt động với hiệu quả cao, dễ cài đặt, nhưng trường hợp xấu nhất thì Stack sẽ
phải chứa toàn bộ danh sách đỉnh trên chu trình Euler chính vì vậy mà khi đa đồ thị có số
cạnh quá lớn thì sẽ không đủ không gian nhớ mô tả Stack (Ta cứ thử với đồ thị chỉ gồm 2
Lý thuyết đồ thị 221
Lê Minh Hoàng
đỉnh nhưng giữa hai đỉnh đó có tới 106 cạnh nối sẽ thấy ngay). Lý do thuật toán chỉ có thể áp
dụng trong trường hợp số cạnh có giới hạn biết trước đủ nhỏ là như vậy.
P_4_06_2.PAS * Thuật toán hiệu quả tìm chu trình Euler
program Euler_Circuit;
const
InputFile = 'EULER.INP';
OutputFile = 'EULER.OUT';
max = 100;
maxE = 20000; {Số cạnh tối đa}
var
a: array[1..max, 1..max] of Integer;
stack: array[1..maxE] of Integer;
n, Top: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
u, v, k: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
FillChar(a, SizeOf(a), 0);
ReadLn(f, n);
while not SeekEof(f) do
begin
ReadLn(f, u, v, k);
a[u, v] := k;
a[v, u] := k;
end;
Close(f);
end;
procedure Push(v: Integer); {Đẩy một đỉnh v vào ngăn xếp}
begin
Inc(Top);
Stack[Top] := v;
end;
function Pop: Integer; {Lấy một đỉnh khỏi ngăn xếp, trả về trong kết quả hàm}
begin
Pop := Stack[Top];
Dec(Top);
end;
function Get: Integer; {Trả về phần tử ở đỉnh (Top) ngăn xếp}
begin
Get := Stack[Top];
end;
procedure FindEulerCircuit;
var
u, v, count: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
Stack[1] := 1; {Khởi tạo ngăn xếp ban đầu chỉ gồm đỉnh 1}
Top := 1;
count := 0;
while Top <> 0 do {Chừng nào ngăn xếp chưa rỗng}
begin
u := Get; {Xác định u là phần tử ở đỉnh ngăn xếp}
for v := 1 to n do
222 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
if a[u, v] > 0 then {Xét tất cả các cạnh liên thuộc với u, nếu thấy}
begin
Dec(a[u, v]); Dec(a[v, u]); {Xoá cạnh đó khỏi đồ thị}
Push(v); {Đẩy đỉnh tiếp theo vào ngăn xếp}
Break;
end;
if u = Get then {Nếu phần tử ở đỉnh ngăn xếp vẫn là u ⇒ vòng lặp trên không tìm thấy đỉnh nào kề với u}
begin
Inc(count);
Write(f, Pop, ' '); {In ra phần tử đỉnh ngăn xếp}
end;
end;
Close(f);
end;
begin
Enter;
FindEulerCircuit;
end.
Bài tập
Trên mặt phẳng cho n hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ. Hãy chỉ ra
một chu trình:
Chỉ đi trên cạnh của các hình chữ nhật
Trên cạnh của mỗi hình chữ nhật, ngoại trừ những giao điểm với cạnh của hình chữ nhật khác
có thể qua nhiều lần, những điểm còn lại chỉ được qua đúng một lần.
A
C
D
B
F
H G
I
J K
L
M
N
M D A B C M F G N L I J K N H E M
E
Lý thuyết đồ thị 223
Lê Minh Hoàng
§7. CHU TRÌNH HAMILTON, ĐƯỜNG ĐI HAMILTON, ĐỒ THỊ
HAMILTON
7.1. ĐỊNH NGHĨA
Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh
Chu trình (x[1], x[2], ..., x[n], x[1]) được gọi là chu trình Hamilton nếu x[i] ≠ x[j] với ∀i, j:
1 ≤ i < j ≤ n
Đường đi (x[1], x[2], ..., x[n]) được gọi là đường đi Hamilton nếu x[i] ≠ x[j] với ∀i, j: 1 ≤
i < j ≤ n
Đồ thị có chu trình Hamilton được gọi là đồ thị Hamilton
Đồ thị có đường đi Hamilton được gọi là đồ thị nửa Hamilton
Có thể phát biểu một cách hình thức: Chu trình Hamilton là chu trình xuất phát từ 1 đỉnh, đi
thăm tất cả những đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng 1 lần, cuối cùng quay trở lại đỉnh xuất phát.
Đường đi Hamilton là đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng 1 lần. Khác với
khái niệm chu trình Euler và đường đi Euler, một chu trình Hamilton không phải là đường đi
Hamilton bởi có đỉnh xuất phát được thăm tới 2 lần.
Ví dụ: Xét 3 đơn đồ thị G1, G2, G3 như trong Hình 74:
a
b
e
c
d
a
d
b
c
a
d
b
c
e
f g
G1 G2 G3
Hình 74
Đồ thị G1 có chu trình Hamilton (a, b, c, d, e, a). G2 không có chu trình Hamilton vì deg(a) =
1 nhưng có đường đi Hamilton (a, b, c, d). G3 không có cả chu trình Hamilton lẫn đường đi
Hamilton
7.2. ĐỊNH LÝ
Đồ thị vô hướng G, trong đó tồn tại k đỉnh sao cho nếu xoá đi k đỉnh này cùng với những
cạnh liên thuộc của chúng thì đồ thị nhận được sẽ có nhiều hơn k thành phần liên thông.
Thì khẳng định là G không có chu trình Hamilton. Mệnh đề phản đảo của định lý này cho
ta điều kiện cần để một đồ thị có chu trình Hamilton
Định lý Dirac (1952): Đồ thị vô hướng G có n đỉnh (n ≥ 3). Khi đó nếu mọi đỉnh v của G
đều có deg(v) ≥ n/2 thì G có chu trình Hamilton. Đây là một điều kiện đủ để một đồ thị có
chu trình Hamilton.
224 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Đồ thị có hướng G liên thông mạnh và có n đỉnh. Nếu deg+(v) ≥ n / 2 và deg-(v) ≥ n / 2 với
mọi đỉnh v thì G có chu trình Hamilton
7.3. CÀI ĐẶT
Dưới đây ta sẽ cài đặt một chương trình liệt kê tất cả các chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh
1, các chu trình Hamilton khác có thể có được bằng cách hoán vị vòng quanh. Lưu ý rằng cho
tới nay, người ta vẫn chưa tìm ra một phương pháp nào thực sự hiệu quả hơn phương pháp
quay lui để tìm dù chỉ một chu trình Hamilton cũng như đường đi Hamilton trong trường hợp
đồ thị tổng quát.
Input: file văn bản HAMILTON.INP
Dòng 1 ghi số đỉnh n (2 ≤ n ≤ 100) và số cạnh m của đồ thị cách nhau 1 dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng có dạng hai số nguyên dương u, v cách nhau 1 dấu cách, thể
hiện u, v là hai đỉnh kề nhau trong đồ thị
Output: file văn bản HAMILTON.OUT liệt kê các chu trình Hamilton
1
4 3
5 2
HAMILTON.INP
5 6
1 2
1 3
2 4
3 5
4 1
5 2
HAMILTON.OUT
1 3 5 2 4 1
1 4 2 5 3 1
P_4_07_1.PAS * Thuật toán quay lui liệt kê chu trình Hamilton
program All_of_Hamilton_Circuits;
const
InputFile = 'HAMILTON.INP';
OutputFile = 'HAMILTON.OUT';
max = 100;
var
fo: Text;
a: array[1..max, 1..max] of Boolean; {Ma trận kề của đồ thị: a[u, v] = True ⇔ (u, v) là cạnh}
Free: array[1..max] of Boolean; {Mảng đánh dấu Free[v] = True nếu chưa đi qua đỉnh v}
x: array[1..max] of Integer; {Chu trình Hamilton sẽ tìm là; 1=x[1]→x[2] → ... →x[n] →x[1]=1}
n: Integer;
procedure Enter;
var
i, u, v, m: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
ReadLn(f, n, m);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(f, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True;
end;
Close(f);
end;
Lý thuyết đồ thị 225
Lê Minh Hoàng
procedure PrintResult; {In kết quả nếu tìm thấy chu trình Hamilton}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write(fo, x[i], ' ');
WriteLn(fo, x[1]);
end;
procedure Try(i: Integer); {Thử các cách chọn đỉnh thứ i trong hành trình}
var
j: Integer;
begin
for j := 1 to n do {Đỉnh thứ i (x[i]) có thể chọn trong những đỉnh}
if Free[j] and a[x[i - 1], j] then {kề với x[i - 1] và chưa bị đi qua}
begin
x[i] := j; {Thử một cách chọn x[i]}
if i < n then {Nếu chưa thử chọn đến x[n]}
begin
Free[j] := False; {Đánh dấu đỉnh j là đã đi qua}
Try(i + 1); {Để các bước thử kế tiếp không chọn phải đỉnh j nữa}
Free[j] := True; {Sẽ thử phương án khác cho x[i] nên sẽ bỏ đánh dấu đỉnh vừa thử}
end
else {Nếu đã thử chọn đến x[n]}
if a[j, x[1]] then PrintResult; {và nếu x[n] lại kề với x[1] thì ta có chu trình Hamilton}
end;
end;
begin
Enter;
FillChar(Free, SizeOf(Free), True); {Khởi tạo: Các đỉnh đều chưa đi qua}
x[1] := 1; Free[1] := False; {Bắt đầu từ đỉnh 1}
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Try(2); {Thử các cách chọn đỉnh kế tiếp}
Close(fo);
end.
Bài tập
Bài 1
a) Lập chương trình nhập vào một đồ thị và chỉ ra đúng một chu trình Hamilton nếu có.
b) Lập chương trình nhập vào một đồ thị và chỉ ra đúng một đường đi Hamilton nếu có.
Bài 2
Trong đám cưới của Persée và Andromède có 2n hiệp sỹ. Mỗi hiệp sỹ có không quá n - 1 kẻ
thù. Hãy giúp Cassiopé, mẹ của Andromède xếp 2n hiệp sỹ ngồi quanh một bàn tròn sao cho
không có hiệp sỹ nào phải ngồi cạnh kẻ thù của mình. Mỗi hiệp sỹ sẽ cho biết những kẻ thù
của mình khi họ đến sân rồng.
Bài 3
Gray code: Một hình tròn được chia thành 2n hình quạt đồng tâm. Hãy xếp tất cả các xâu nhị
phân độ dài n vào các hình quạt, mỗi xâu vào một hình quạt sao cho bất cứ hai xâu nào ở hai
hình quạt cạnh nhau đều chỉ khác nhau đúng 1 bit. Ví dụ với n = 3:
226 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
100
101
111
110 010
011
001
000
Bài 4
Thách đố: Bài toán mã đi tuần: Trên bàn cờ tổng quát kích thước n x n ô vuông (n chẵn và 6
≤ n ≤ 20). Trên một ô nào đó có đặt một quân mã. Quân mã đang ở ô (x[1], y[1]) có thể di
chuyển sang ô (x[2], y[2]) nếu ⏐x[1]-x[2]⏐.⏐y[1]-y[2]⏐ = 2 (Xem hình vẽ).
Hãy tìm một hành trình của quân mã từ ô xuất phát, đi qua tất cả các ô của bàn cờ, mỗi ô
đúng 1 lần.
Ví dụ:
Với n = 8, ô xuất phát (3, 3)
14 29 62 55 12 27 24 53
61 56 13 28 63 54 11 26
30 15 64 57 38 25 52 23
47 60 37 32 49 58 39 10
16 31 48 59 40 33 22 51
43 46 1 36 19 50 9 6
2 17 44 41 4 7 34 21
45 42 3 18 35 20 5 8
Với n = 10, ô xuất phát (6, 5)
Lý thuyết đồ thị 227
Lê Minh Hoàng
11 38 13 32 9 58 55 30 7 4
14 33 10 59 56 31 8 5 54 29
39 12 37 34 77 60 57 52 3 6
36 15 78 75 92 65 2 61 28 53
79 40 35 82 1 76 91 66 51 48
16 83 80 93 74 89 64 49 62 27
41 96 73 84 81 94 67 90 47 50
72 17 98 95 68 85 88 63 26 23
97 42 19 70 99 44 21 24 87 46
18 71 100 43 20 69 86 45 22 55
Hướng dẫn: Nếu coi các ô của bàn cờ là các đỉnh của đồ thị và các cạnh là nối giữa hai đỉnh
tương ứng với hai ô mã giao chân thì dễ thấy rằng hành trình của quân mã cần tìm sẽ là một
đường đi Hamilton. Ta có thể xây dựng hành trình bằng thuật toán quay lui kết hợp với
phương pháp duyệt ưu tiên Warnsdorff: Nếu gọi deg(x, y) là số ô kề với ô (x, y) và chưa đi
qua (kề ở đây theo nghĩa đỉnh kề chứ không phải là ô kề cạnh) thì từ một ô ta sẽ không thử xét
lần lượt các hướng đi có thể, mà ta sẽ ưu tiên thử hướng đi tới ô có deg nhỏ nhất trước. Trong
trường hợp có tồn tại đường đi, phương pháp này hoạt động với tốc độ tuyệt vời: Với mọi n
chẵn trong khoảng từ 6 tới 18, với mọi vị trí ô xuất phát, trung bình thời gian tính từ lúc bắt
đầu tới lúc tìm ra một nghiệm < 1 giây. Tuy nhiên trong trường hợp n lẻ, có lúc không tồn tại
đường đi, do phải duyệt hết mọi khả năng nên thời gian thực thi lại hết sức tồi tệ. (Có xét ưu
tiên như trên hay xét thứ tự như trước kia thì cũng vậy thôi. Ta có thể thử với n lẻ: 5, 7, 9 ...
và ô xuất phát (1, 2), sau đó ngồi xem máy tính toát mồ hôi).
228 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§8. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
8.1. ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ
Đồ thị mà mỗi cạnh của nó được gán cho tương ứng với một số (nguyên hoặc thực) được gọi
là đồ thị có trọng số. Số gán cho mỗi cạnh của đồ thị được gọi là trọng số của cạnh. Tương tự
như đồ thị không trọng số, có nhiều cách biểu diễn đồ thị có trọng số trong máy tính. Đối với
đơn đồ thị thì cách dễ dùng nhất là sử dụng ma trận trọng số:
Giả sử đồ thị G = (V, E) có n đỉnh. Ta sẽ dựng ma trận vuông C kích thước n x n. Ở đây:
Nếu (u, v) ∈ E thì C[u, v] = trọng số của cạnh (u, v)
Nếu (u, v) ∉ E thì tuỳ theo trường hợp cụ thể, C[u, v] được gán một giá trị nào đó để có thể
nhận biết được (u, v) không phải là cạnh (Chẳng hạn có thể gán bằng +∞, hay bằng 0, bằng
-∞, v.v...)
Quy ước c[v, v] = 0 với mọi đỉnh v.
Đường đi, chu trình trong đồ thị có trọng số cũng được định nghĩa giống như trong trường
hợp không trọng số, chỉ có khác là độ dài đường đi không phải tính bằng số cạnh đi qua, mà
được tính bằng tổng trọng số của các cạnh đi qua.
8.2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
Trong các ứng dụng thực tế, chẳng hạn trong mạng lưới giao thông đường bộ, đường thuỷ
hoặc đường không. Người ta không chỉ quan tâm đến việc tìm đường đi giữa hai địa điểm mà
còn phải lựa chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo tiêu chuẩn không gian, thời gian hay chi
phí). Khi đó phát sinh yêu cầu tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị. Bài toán đó
phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), hãy tìm một đường
đi ngắn nhất từ đỉnh xuất phát s ∈ V đến đỉnh đích f ∈ V. Độ dài của đường đi này ta sẽ ký
hiệu là d[s, f] và gọi là khoảng cách (distance) từ s đến f. Nếu như không tồn tại đường đi từ
s tới f thì ta sẽ đặt khoảng cách đó = +∞.
Nếu như đồ thị có chu trình âm (chu trình với độ dài âm) thì khoảng cách giữa một số cặp
đỉnh nào đó có thể không xác định, bởi vì bằng cách đi vòng theo chu trình này một số lần đủ
lớn, ta có thể chỉ ra đường đi giữa hai đỉnh nào đó trong chu trình này nhỏ hơn bất kỳ một số
cho trước nào. Trong trường hợp như vậy, có thể đặt vấn đề tìm đường đi cơ bản (đường đi
không có đỉnh lặp lại) ngắn nhất. Vấn đề đó là một vấn đề hết sức phức tạp mà ta sẽ không
bàn tới ở đây.
Nếu như đồ thị không có chu trình âm thì ta có thể chứng minh được rằng một trong những
đường đi ngắn nhất là đường đi cơ bản. Và nếu như biết được khoảng cách từ s tới tất cả
những đỉnh khác thì đường đi ngắn nhất từ s tới f có thể tìm được một cách dễ dàng qua thuật
toán sau:
Lý thuyết đồ thị 229
Lê Minh Hoàng
Gọi c[u, v] là trọng số của cạnh [u, v]. Qui ước c[v, v] = 0 với mọi v ∈ V và c[u, v] = +∞ nếu
như (u, v) ∉ E. Đặt d[s, v] là khoảng cách từ s tới v. Để tìm đường đi từ s tới f, ta có thể nhận
thấy rằng luôn tồn tại đỉnh f1 ≠ f sao cho:
d[s, f] = d[s, f1] + c[f1, f]
(Độ dài đường đi ngắn nhất s→f = Độ dài đường đi ngắn nhất s→f1 + Chi phí đi từ f1→ f)
Đỉnh f1 đó là đỉnh liền trước f trong đường đi ngắn nhất từ s tới f. Nếu f1≡s thì đường đi ngắn
nhất là đường đi trực tiếp theo cung (s, f). Nếu không thì vấn đề trở thành tìm đường đi ngắn
nhất từ s tới f1. Và ta lại tìm được một đỉnh f2 khác f và f1 để:
d[s, f1] = d[s, f2] + c[f2, f1]
Cứ tiếp tục như vậy, sau một số hữu hạn bước, ta suy ra rằng dãy f, f1, f2, ... không chứa đỉnh
lặp lại và kết thúc ở s. Lật ngược thứ tự dãy cho ta đường đi ngắn nhất từ s tới f.
s
...
f2
f1
f
Tuy nhiên, người ta thường không sử dụng phương pháp này mà sẽ kết hợp lưu vết đường đi
ngay trong quá trình tìm kiếm.
Dưới đây ta sẽ xét một số thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh s tới đỉnh f trên đơn đồ
thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh và m cung. Trong trường hợp đơn đồ thị vô hướng với
trọng số không âm, bài toán tìm đường đi ngắn nhất có thể dẫn về bài toán trên đồ thị có
hướng bằng cách thay mỗi cạnh của nó bằng hai cung có hướng ngược chiều nhau. Bạn có thể
đưa vào một số sửa đổi nhỏ trong thủ tục nhập liệu để giải quyết bài toán trong trường hợp đa
đồ thị
Input: file văn bản MINPATH.INP
Dòng 1: Chứa số đỉnh n ( ≤ 100), số cung m của đồ thị, đỉnh xuất phát s, đỉnh đích f cách
nhau ít nhất 1 dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng có dạng ba số u, v, c[u, v] cách nhau ít nhất 1 dấu cách, thể
hiện (u, v) là một cung ∈ E và trọng số của cung đó là c[u, v] (c[u, v] là số nguyên có giá
trị tuyệt đối ≤ 100)
Output: file văn bản MINPATH.OUT ghi đường đi ngắn nhất từ s tới f và độ dài đường đi đó
230 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
1
2 3
4
6 5
1
2
3
4
5
20
20
MINPATH.INP
6 7 1 4
1 2 1
1 6 20
2 3 2
3 6 3
3 4 20
5 4 5
6 5 4
MINPATH.OUT
Distance from 1 to 4: 15
4<-5<-6<-3<-2<-1
8.3. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM - THUẬT TOÁN
FORD BELLMAN
Thuật toán Ford-Bellman có thể phát biểu rất đơn giản:
Với đỉnh xuất phát s. Gọi d[v] là khoảng cách từ s tới v với các giá trị khởi tạo là:
d[s] := 0
d[v] := +∞ nếu v ≠ s
Sau đó ta tối ưu hoá dần các d[v] như sau: Xét mọi cặp đỉnh u, v của đồ thị, nếu có một cặp
đỉnh u, v mà d[v] > d[u]+ c[u, v] thì ta đặt lại d[v] := d[u] + c[u, v]. Tức là nếu độ dài đường
đi từ s tới v lại lớn hơn tổng độ dài đường đi từ s tới u cộng với chi phí đi từ u tới v thì ta sẽ
huỷ bỏ đường đi từ s tới v đang có và coi đường đi từ s tới v chính là đường đi từ s tới u sau
đó đi tiếp từ u tới v. Chú ý rằng ta đặt c[u, v] = +∞ nếu (u, v) không là cung. Thuật toán sẽ kết
thúc khi không thể tối ưu thêm bất kỳ một nhãn d[v] nào nữa.
for (∀v ∈ V) do d[v] := +∞;
d[s] := 0;
repeat
Stop := True;
for (∀u ∈ V) do
for (∀v ∈ V: (u, v) ∈ E) do
if d[v] > d[u] + c[u, v] then
begin
d[v] := d[u] + c[u, v];
Stop := False;
end;
until Stop;
Tính đúng của thuật toán:
Tại bước khởi tạo thì mỗi d[v] chính là độ dài ngắn nhất của đường đi từ s tới v qua không
quá 0 cạnh.
Giả sử khi bắt đầu bước lặp thứ i (i ≥ 1), d[v] đã bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v qua
không quá i - 1 cạnh. Bởi đường đi từ s tới v qua không quá i cạnh sẽ phải thành lập bằng
cách: lấy một đường đi từ s tới một đỉnh u nào đó qua không quá i - 1 cạnh, rồi đi tiếp tới v
bằng cung (u, v), nên độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v qua không quá i cạnh sẽ được tính
bằng giá trị nhỏ nhất trong các giá trị (Nguyên lý tối ưu Bellman):
Độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v qua không quá i - 1 cạnh
Lý thuyết đồ thị 231
Lê Minh Hoàng
Độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới u qua không quá i - 1 cạnh cộng với trọng số cạnh (u, v)
(∀u)
Vì vậy, sau bước lặp tối ưu các d[v] bằng công thức
d[v]bước i = min(d[v]bước i-1, d[u]bước i-1+ c[u, v]) (∀u)
thì các d[v] sẽ bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v qua không quá i cạnh.
Sau bước lặp tối ưu thứ n - 1, ta có d[v] = độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v qua không quá
n - 1 cạnh. Vì đồ thị không có chu trình âm nên sẽ có một đường đi ngắn nhất từ s tới v là
đường đi cơ bản (qua không quá n - 1 cạnh). Tức là d[v] sẽ là độ dài đường đi ngắn nhất từ s
tới v.
Vậy thì số bước lặp tối ưu hoá sẽ không quá n - 1 bước.
Trong khi cài đặt chương trình, nếu mỗi bước lặp được mô tả dưới dạng:
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
d[v] := min(d[v], d[u] + c[u, v]);
Sự tối ưu bắc cầu (dùng d[u] tối ưu d[v] rồi lại có thể dùng d[v] tối ưu d[w] nữa...) chỉ làm
tốc độ tối ưu các nhãn d[.] tăng nhanh hơn nên số bước lặp vẫn sẽ không quá n - 1 bước
P_4_08_1.PAS * Thuật toán Ford-Bellman
program Shortest_Path_by_Ford_Bellman;
const
InputFile = 'MINPATH.INP';
OutputFile = 'MINPATH.OUT';
max = 100;
maxC = 10000;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
d: array[1..max] of Integer;
Trace: array[1..max] of Integer;
n, s, f: Integer;
procedure LoadGraph; {Nhập đồ thị, đồ thị không được có chu trình âm}
var
i, m, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
{Những cạnh không có trong đồ thị được gán trọng số +∞}
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if u = v then c[u, v] := 0 else c[u, v] := maxC;
for i := 1 to m do ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
procedure Init; {Khởi tạo}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do d[i] := MaxC;
d[s] := 0;
end;
232 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure Ford_Bellman; {Thuật toán Ford-Bellman}
var
Stop: Boolean;
u, v, CountLoop: Integer;
begin
for CountLoop := 1 to n - 1 do
begin
Stop := True;
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if d[v] > d[u] + c[u, v] then {Nếu ∃u, v thoả mãn d[v] > d[u] + c[u, v] thì tối ưu lại d[v]}
begin
d[v] := d[u] + c[u, v];
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi}
Stop := False;
end;
if Stop then Break;
end;
{Thuật toán kết thúc khi không sửa nhãn các d[v] được nữa hoặc đã lặp đủ n - 1 lần}
end;
procedure PrintResult; {In đường đi từ s tới f}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
if d[f] = maxC then {Nếu d[f] vẫn là +∞ thì tức là không có đường}
WriteLn(fo, 'There is no path from ', s, ' to ', f)
else {Truy vết tìm đường đi}
begin
WriteLn(fo, 'Distance from ', s, ' to ', f, ': ', d[f]);
while f <> s do
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
LoadGraph;
Init;
Ford_Bellman;
PrintResult;
end.
8.4. TRƯỜNG HỢP TRỌNG SỐ TRÊN CÁC CUNG KHÔNG ÂM - THUẬT
TOÁN DIJKSTRA
Trong trường hợp trọng số trên các cung không âm, thuật toán do Dijkstra đề xuất dưới đây
hoạt động hiệu quả hơn nhiều so với thuật toán Ford-Bellman. Ta hãy xem trong trường hợp
này, thuật toán Ford-Bellman thiếu hiệu quả ở chỗ nào:
Với đỉnh v ∈ V, Gọi d[v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v. Thuật toán Ford-Bellman
khởi gán d[s] = 0 và d[v] = +∞ với ∀v ≠ s, sau đó tối ưu hoá dần các nhãn d[v] bằng cách sửa
nhãn theo công thức: d[v] := min(d[v], d[u] + c[u, v]) với ∀u, v ∈ V. Như vậy nếu như ta
dùng đỉnh u sửa nhãn đỉnh v, sau đó nếu ta lại tối ưu được d[u] thêm nữa thì ta cũng phải sửa
Lý thuyết đồ thị 233
Lê Minh Hoàng
lại nhãn d[v] dẫn tới việc d[v] có thể phải chỉnh đi chỉnh lại rất nhiều lần. Vậy nên chăng, tại
mỗi bước không phải ta xét mọi cặp đỉnh (u, v) để dùng đỉnh u sửa nhãn đỉnh v mà sẽ chọn
đỉnh u là đỉnh mà không thể tối ưu nhãn d[u] thêm được nữa.
Thuật toán Dijkstra (E.Dijkstra - 1959) có thể mô tả như sau:
Bước 1: Khởi tạo
Với đỉnh v ∈ V, gọi nhãn d[v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v. Ban đầu d[v] được khởi
gán như trong thuật toán Ford-Bellman (d[s] = 0 và d[v] = ∞ với ∀v ≠ s). Nhãn của mỗi đỉnh
có hai trạng thái tự do hay cố định, nhãn tự do có nghĩa là có thể còn tối ưu hơn được nữa và
nhãn cố định tức là d[v] đã bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v nên không thể tối ưu
thêm. Để làm điều này ta có thể sử dụng kỹ thuật đánh dấu: Free[v] = TRUE hay FALSE tuỳ
theo d[v] tự do hay cố định. Ban đầu các nhãn đều tự do.
Bước 2: Lặp
Bước lặp gồm có hai thao tác:
Cố định nhãn: Chọn trong các đỉnh có nhãn tự do, lấy ra đỉnh u là đỉnh có d[u] nhỏ nhất, và
cố định nhãn đỉnh u.
Sửa nhãn: Dùng đỉnh u, xét tất cả những đỉnh v và sửa lại các d[v] theo công
thức: d[v] := min(d[v], d[u]+c[u,v])
Bước lặp sẽ kết thúc khi mà đỉnh đích f được cố định nhãn (tìm được đường đi ngắn nhất từ s
tới f); hoặc tại thao tác cố định nhãn, tất cả các đỉnh tự do đều có nhãn là +∞ (không tồn tại
đường đi). Có thể đặt câu hỏi, ở thao tác 1, tại sao đỉnh u như vậy được cố định nhãn, giả sử
d[u] còn có thể tối ưu thêm được nữa thì tất phải có một đỉnh t mang nhãn tự do sao cho d[u]
> d[t] + c[t, u]. Do trọng số c[t, u] không âm nên d[u] > d[t], trái với cách chọn d[u] là nhỏ
nhất. Tất nhiên trong lần lặp đầu tiên thì s là đỉnh được cố định nhãn do d[s] = 0.
Bước 3: Kết hợp với việc lưu vết đường đi trên từng bước sửa nhãn, thông báo đường đi ngắn
nhất tìm được hoặc cho biết không tồn tại đường đi (d[f] = +∞).
for (∀v ∈ V) do d[v] := +∞;
d[s] := 0;
repeat
u := arg min(d[v]|∀v ∈ V); {Lấy u là đỉnh có nhãn d[u] nhỏ nhất}
if (u = f) or (d[u] = +∞) then Break; {Hoặc tìm ra đường đi ngắn nhất từ s tới f, hoặc kết luận không có đường}
for (∀v ∈ V: (u, v) ∈ E) do {Dùng u tối ưu nhãn những đỉnh v kề với u}
d[v] := min (d[v], d[u] + c[u, v]);
until False;
P_4_08_2.PAS * Thuật toán Dijkstra
program Shortest_Path_by_Dijkstra;
const
InputFile = 'MINPATH.INP';
OutputFile = 'MINPATH.OUT';
max = 100;
maxC = 10000;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
d: array[1..max] of Integer;
234 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Trace: array[1..max] of Integer;
Free: array[1..max] of Boolean; {Free[u] = True ⇔ u có nhãn tự do}
n, s, f: Integer;
procedure LoadGraph; {Nhập đồ thị, trọng số các cung phải là số không âm}
var
i, m, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if u = v then c[u, v] := 0 else c[u, v] := maxC;
for i := 1 to m do ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
procedure Init; {Khởi tạo các nhãn d[v], các đỉnh đều được coi là tự do}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do d[i] := MaxC;
d[s] := 0;
FillChar(Free, SizeOf(Free), True);
end;
procedure Dijkstra; {Thuật toán Dijkstra}
var
i, u, v: Integer;
min: Integer;
begin
repeat
{Tìm trong các đỉnh có nhãn tự do ra đỉnh u có d[u] nhỏ nhất}
u := 0; min := maxC;
for i := 1 to n do
if Free[i] and (d[i] < min) then
begin
min := d[i];
u := i;
end;
{Thuật toán sẽ kết thúc khi các đỉnh tự do đều có nhãn +∞ hoặc đã chọn đến đỉnh f}
if (u = 0) or (u = f) then Break;
{Cố định nhãn đỉnh u}
Free[u] := False;
{Dùng đỉnh u tối ưu nhãn những đỉnh tự do kề với u}
for v := 1 to n do
if Free[v] and (d[v] > d[u] + c[u, v]) then
begin
d[v] := d[u] + c[u, v];
Trace[v] := u;
end;
until False;
end;
procedure PrintResult; {In đường đi từ s tới f}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
if d[f] = maxC then
WriteLn(fo, 'There is no path from ', s, ' to ', f)
else
Lý thuyết đồ thị 235
Lê Minh Hoàng
begin
WriteLn(fo, 'Distance from ', s, ' to ', f, ': ', d[f]);
while f <> s do
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
LoadGraph;
Init;
Dijkstra;
PrintResult;
end.
8.5. THUẬT TOÁN DIJKSTRA VÀ CẤU TRÚC HEAP
Nếu đồ thị thưa (có nhiều đỉnh, ít cạnh) ta có thể sử dụng danh sách kề kèm trọng số để biểu
diễn đồ thị, tuy nhiên tốc độ của thuật toán Dijkstra vẫn khá chậm vì trong trường hợp xấu
nhất, nó cần n lần cố định nhãn và mỗi lần tìm đỉnh để cố định nhãn sẽ mất một đoạn chương
trình với độ phức tạp O(n). Để thuật toán làm việc hiệu quả hơn, người ta thường sử dụng cấu
trúc dữ liệu Heap (PHẦN 2, §8, 8.7.1) để lưu các đỉnh chưa cố định nhãn. Heap ở đây là một
cây nhị phân hoàn chỉnh thoả mãn: Nếu u là đỉnh lưu ở nút cha và v là đỉnh lưu ở nút con thì
d[u] ≤ d[v]. (Đỉnh r lưu ở gốc Heap là đỉnh có d[r] nhỏ nhất).
Tại mỗi bước lặp của thuật toán Dijkstra có hai thao tác: Tìm đỉnh cố định nhãn và Sửa nhãn.
Với mỗi đỉnh v, gọi Pos[v] là vị trí đỉnh v trong Heap, quy ước Pos[v] = 0 nếu v chưa bị
đẩy vào Heap. Mỗi lần có thao tác sửa đổi vị trí các đỉnh trên cấu trúc Heap, ta lưu ý cập
nhập lại mảng Pos này.
Thao tác tìm đỉnh cố định nhãn sẽ lấy đỉnh lưu ở gốc Heap, cố định nhãn, đưa phần tử cuối
Heap vào thế chỗ và thực hiện việc vun đống (Adjust).
Thao tác sửa nhãn, sẽ duyệt danh sách kề của đỉnh vừa cố định nhãn và sửa nhãn những
đỉnh tự do kề với đỉnh này, mỗi lần sửa nhãn một đỉnh nào đó, ta xác định đỉnh này nằm ở
đâu trong Heap (dựa vào mảng Pos) và thực hiện việc chuyển đỉnh đó lên (UpHeap) phía
gốc Heap nếu cần để bảo toàn cấu trúc Heap.
Cài đặt dưới đây có Input/Output giống như trên nhưng có thể thực hiện trên đồ thị 5000 đỉnh,
10000 cạnh, trọng số mỗi cạnh ≤ 10000.
P_4_08_3.PAS * Thuật toán Dijkstra và cấu trúc Heap
program Shortest_Path_by_Dijkstra_and_Heap;
const
InputFile = 'MINPATH.INP';
OutputFile = 'MINPATH.OUT';
max = 5000;
maxE = 10000;
maxC = 1000000000;
type
TAdj = array[1..maxE] of Integer;
236 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
TAdjCost = array[1..maxE] of LongInt;
THeader = array[1..max + 1] of Integer;
var
adj: ^TAdj; {Danh sách kề dạng mảng}
adjCost: ^TAdjCost; {Kèm trọng số}
h: ^THeader; {Mảng đánh dấu các đoạn trong mảng adj^ chứa danh sách kề}
d: array[1..max] of LongInt;
Trace: array[1..max] of Integer;
Free: array[1..max] of Boolean;
heap: array[1..max] of Integer; {heap[i] = đỉnh lưu tại nút i của heap}
Pos: array[1..max] of Integer; {pos[v] = vị trí của nút v trong heap (tức là pos[heap[i]] = i)}
n, s, f, nHeap: Integer;
procedure LoadGraph; {Nhập dữ liệu}
var
i, m, u, v, c: Integer;
fi: Text;
begin
{Đọc file lần 1, để xác định các đoạn}
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
New(h);
New(adj); New(adjCost);
{Phép đếm phân phối (Distribution Counting)}
FillChar(h^, SizeOf(h^), 0);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u); {Ta chỉ cần tính bán bậc ra (deg+) của mỗi đỉnh nên không cần đọc đủ 3 thành phần}
Inc(h^[u]);
end;
for i := 2 to n do h^[i] := h^[i - 1] + h^[i];
Close(fi);
{Đến đây, ta xác định được h[u] là vị trí cuối của danh sách kề đỉnh u trong adj^}
Reset(fi); {Đọc file lần 2, vào cấu trúc danh sách kề}
ReadLn(fi); {Bỏ qua dòng đầu tiên Input file}
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(fi, u, v, c);
adj^[h^[u]] := v; {Điền v và c vào vị trí đúng trong danh sách kề của u}
adjCost^[h^[u]] := c;
Dec(h^[u]);
end;
h^[n + 1] := m;
Close(fi);
end;
procedure Init; {Khởi tạo d[i] = độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới i qua 0 cạnh, Heap rỗng}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do d[i] := maxC;
d[s] := 0;
FillChar(Free, SizeOf(Free), True);
FillChar(Pos, SizeOf(Pos), 0);
nHeap := 0;
end;
procedure Update(v: Integer); {Đỉnh v vừa được sửa nhãn, cần phải chỉnh lại Heap}
var
parent, child: Integer;
begin
child := Pos[v]; {child là vị trí của v trong Heap}
if child = 0 then {Nếu v chưa có trong Heap thì Heap phải bổ sung thêm 1 phần tử và coi child = nút lá cuối Heap}
Lý thuyết đồ thị 237
Lê Minh Hoàng
begin
Inc(nHeap); child := nHeap;
end;
parent := child div 2; {parent là nút cha của child}
while (parent > 0) and (d[heap[parent]] > d[v]) do
begin {Nếu đỉnh lưu ở nút parent ưu tiên kém hơn v thì đỉnh đó sẽ bị đẩy xuống nút con child}
heap[child] := heap[parent]; {Đẩy đỉnh lưu trong nút cha xuống nút con}
Pos[heap[child]] := child; {Ghi nhận lại vị trí mới của đỉnh đó}
child := parent; {Tiếp tục xét lên phía nút gốc}
parent := child div 2;
end;
{Thao tác "kéo xuống" ở trên tạo ra một "khoảng trống" tại nút child của Heap, đỉnh v sẽ được đặt vào đây}
heap[child] := v;
Pos[v] := child;
end;
function Pop: Integer; {Lấy từ Heap ra đỉnh có nhãn tự do nhỏ nhất}
var
r, c, v: Integer;
begin
Pop := heap[1]; {Nút gốc Heap chứa đỉnh có nhãn tự do nhỏ nhất}
v := heap[nHeap]; {v là đỉnh ở nút lá cuồi Heap, sẽ được đảo lên đầu và vun đống}
Dec(nHeap);
r := 1; {Bắt đầu từ nút gốc}
while r * 2 <= nHeap do {Chừng nào r chưa phải là lá}
begin
{Chọn c là nút chứa đỉnh ưu tiên hơn trong hai nút con}
c := r * 2;
if (c < nHeap) and (d[heap[c + 1]] < d[heap[c]]) then Inc(c);
{Nếu v ưu tiên hơn cả đỉnh chứa trong C, thì thoát ngay}
if d[v] <= d[heap[c]] then Break;
heap[r] := heap[c]; {Chuyển đỉnh lưu ở nút con c lên nút cha r}
Pos[heap[r]] := r; {Ghi nhận lại vị trí mới trong Heap của đỉnh đó}
r := c; {Gán nút cha := nút con và lặp lại}
end;
heap[r] := v; {Đỉnh v sẽ được đặt vào nút r để bảo toàn cấu trúc Heap}
Pos[v] := r;
end;
procedure Dijkstra;
var
i, u, iv, v, min: Integer;
begin
Update(s); {Đưa đỉnh xuất phát về gốc Heap}
repeat
u := Pop; {Chọn đỉnh tự do có nhãn nhỏ nhất}
if u = f then Break; {Nếu đỉnh đó là f thì dừng ngay}
Free[u] := False; {Cố định nhãn đỉnh đó}
for iv := h^[u] + 1 to h^[u + 1] do {Xét danh sách kề}
begin
v := adj^[iv];
if Free[v] and (d[v] > d[u] + adjCost^[iv]) then
begin
d[v] := d[u] + adjCost^[iv]; {Tối ưu hoá nhãn của các đỉnh tự do kề với u}
Trace[v] := u; {Lưu vết đường đi}
Update(v); {Tổ chức lại Heap}
end;
end;
until nHeap = 0; {Không còn đỉnh nào mang nhãn tự do}
end;
procedure PrintResult;
var
238 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
if d[f] = maxC then
WriteLn(fo, 'There is no path from ', s, ' to ', f)
else
begin
WriteLn(fo, 'Distance from ', s, ' to ', f, ': ', d[f]);
while f <> s do
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
LoadGraph;
Init;
Dijkstra;
PrintResult;
{Giải phóng bộ nhớ đã cấp cho các biến động}
Dispose(AdjCost);
Dispose(Adj);
Dispose(h);
end.
8.6. TRƯỜNG HỢP ĐỒ THỊ KHÔNG CÓ CHU TRÌNH - SẮP XẾP TÔ PÔ
Xét trường hợp đồ thị có hướng, không có chu trình (Directed Acyclic Graph - DAG), ta có
một thuật toán hiệu quả dựa trên kỹ thuật sắp xếp Tô pô (Topological Sorting), cơ sở của
thuật toán dựa vào định lý: Nếu G = (V, E) là một DAG thì các đỉnh của nó có thể đánh số sao
cho mỗi cung của G chỉ nối từ đỉnh có chỉ số nhỏ hơn đến đỉnh có chỉ số lớn hơn.
1 2
4 3
5
7
6
1 2
5 7
6
4
3
Hình 75: Phép đánh lại chỉ số theo thứ tự tôpô
Để đánh số lại các đỉnh theo điều kiện trên, ta có thể dùng thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu
và đánh số ngược lại với thứ tự duyệt xong, có thể viết như sau:
procedure Number;
procedure Visit(u: Integer);
var
v: Integer;
begin
〈Đánh dấu u đã thăm〉;
for (∀v ∈ V: v chưa thăm kề với u) do Visit(v);{Thăm tiếp những đỉnh chưa thăm kề với u}
〈Đã duyệt xong nhánh DFS gốc u, đánh số mới cho đỉnh u là count〉;
Lý thuyết đồ thị 239
Lê Minh Hoàng
count := count - 1;
end;
begin
〈Đánh dấu mọi đỉnh ∈ V đều chưa thăm〉;
count := n; {Biến đánh số được khởi tạo bằng n để đếm lùi}
for u := 1 to n do
if 〈u chưa thăm〉 then Visit(u);
end;
Việc kiểm tra đồ thị không được có chu trình cũng rất đơn giản bằng cách thêm vào đoạn
chương trình trên vài dòng lệnh, tôi sẽ không viết dài để tập trung vào thuật toán, các bạn có
thể tham khảo các kỹ thuật trình bày trong thuật toán Tarjan (§4, 4.4.3).
Nếu các đỉnh được đánh số sao cho mỗi cung phải nối từ một đỉnh tới một đỉnh khác mang
chỉ số lớn hơn thì thuật toán tìm đường đi ngắn nhất có thể mô tả rất đơn giản:
Gọi d[v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v. Khởi tạo d[s] = 0 và d[v] = +∞ với ∀v ≠ s. Ta
sẽ tính các d[v] như sau:
for u := 1 to n - 1 do
for v := u + 1 to n do
d[v] := min(d[v], d[u] + c[u, v]);
(Giả thiết rằng c[u, v] = +∞ nếu như (u, v) không là cung).
Tức là dùng đỉnh u, tối ưu nhãn d[v] của những đỉnh v nối từ u, với u được xét lần lượt từ 1
tới n - 1. Có thể làm tốt hơn nữa bằng cách chỉ cần cho u chạy từ đỉnh xuất phát tới đỉnh kết
thúc. Bởi hễ u chạy tới đâu thì nhãn d[u] là không thể cực tiểu hoá thêm nữa.
P_4_08_4.PAS * Đường đi ngắn nhất trên đồ thị không có chu trình
program Critical_Path;
const
InputFile = 'MINPATH.INP';
OutputFile = 'MINPATH.OUT';
max = 100;
maxC = 10000;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
List, d, Trace: array[1..max] of Integer; {List chứa danh sách các đỉnh theo thứ tự đánh số mới}
n, s, f: Integer;
procedure LoadGraph; {Nhập dữ liệu}
var
i, m, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if u = v then c[u, v] := 0 else c[u, v] := maxC;
for i := 1 to m do ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
procedure Numbering; {Thuật toán đánh số các đỉnh}
var
Free: array[1..max] of Boolean;
u, count: Integer;
240 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure Visit(u: Integer);
var
v: Integer;
begin
Free[u] := False;
for v := 1 to n do
if Free[v] and (c[u, v] <> maxC) then Visit(v);
List[count] := u;
Dec(count);
end;
begin
FillChar(Free, SizeOf(Free), True);
count := n;
for u := 1 to n do
if Free[u] then Visit(u);
end;
procedure Init; {Khởi tạo các nhãn trọng số}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do d[i] := maxC;
d[s] := 0;
end;
procedure FindPath; {Thuật toán quy hoạch động tối ưu hoá các d[.]}
var
i, j, u, v: Integer;
begin
for i := 1 to n - 1 do
for j := i + 1 to n do
begin
u := List[i]; v := List[j]; {Ánh xạ ngược i, j sang chỉ số cũ u, v}
if d[v] > d[u] + c[u, v] then
begin
d[v] := d[u] + c[u, v];
Trace[v] := u;
end
end;
end;
procedure PrintResult; {In kết quả}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
if d[f] = maxC then
WriteLn(fo, 'There is no path from ', s, ' to ', f)
else
begin
WriteLn(fo, 'Distance from ', s, ' to ', f, ': ', d[f]);
while f <> s do
begin
Write(fo, f, '<-');
f := Trace[f];
end;
WriteLn(fo, s);
end;
Close(fo);
end;
begin
Lý thuyết đồ thị 241
Lê Minh Hoàng
LoadGraph;
Numbering;
Init;
FindPath;
PrintResult;
end.
8.7. ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA MỌI CẶP ĐỈNH - THUẬT TOÁN FLOYD
Cho đơn đồ thị có hướng, có trọng số G = (V, E) với n đỉnh và m cạnh. Bài toán đặt ra là hãy
tính tất cả các d(u, v) là khoảng cách từ u tới v. Rõ ràng là ta có thể áp dụng thuật toán tìm
đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh với n khả năng chọn đỉnh xuất phát. Nhưng ta có
cách làm gọn hơn nhiều, cách làm này rất giống với thuật toán Warshall mà ta đã biết: Từ ma
trận trọng số c, thuật toán Floyd tính lại các c[u, v] thành độ dài đường đi ngắn nhất từ u tới v:
Với mọi đỉnh k của đồ thị được xét theo thứ tự từ 1 tới n, xét mọi cặp đỉnh u, v. Cực tiểu hoá
c[u, v] theo công thức:
c[u, v] := min(c[u, v], c[u, k] + c[k, v])
Tức là nếu như đường đi từ u tới v đang có lại dài hơn đường đi từ u tới k cộng với đường đi
từ k tới v thì ta huỷ bỏ đường đi từ u tới v hiện thời và coi đường đi từ u tới v sẽ là nối của hai
đường đi từ u tới k rồi từ k tới v (Chú ý rằng ta còn có việc lưu lại vết):
for k := 1 to n do
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
c[u, v] := min(c[u, v], c[u, k] + c[k, v]);
Tính đúng của thuật toán:
Gọi ck[u, v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ u tới v mà chỉ đi qua các đỉnh trung gian thuộc
tập {1, 2, ..., k}. Rõ ràng khi k = 0 thì c0[u, v] = c[u, v] (đường đi ngắn nhất là đường đi trực
tiếp).
Giả sử ta đã tính được các ck-1[u, v] thì ck[u, v] sẽ được xây dựng như sau:
Nếu đường đi ngắn nhất từ u tới v mà chỉ qua các đỉnh trung gian thuộc tập {1, 2, ..., k} lại:
Không đi qua đỉnh k thì tức là chỉ qua các đỉnh trung gian thuộc tập {1, 2, ..., k - 1} thì
ck[u, v] = ck-1[u, v]
Có đi qua đỉnh k thì đường đi đó sẽ là nối của một đường đi từ u tới k và một đường đi từ k
tới v, hai đường đi này chỉ đi qua các đỉnh trung gian thuộc tập {1, 2, ..., k - 1}.
ck[u, v] = ck-1[u, k] + ck-1[k, v].
Vì ta muốn ck[u, v] là cực tiểu nên suy ra: ck[u, v] = min(ck-1[u, v], ck-1[u, k] + ck-1[k, v]).
Và cuối cùng, ta quan tâm tới cn[u, v]: Độ dài đường đi ngắn nhất từ u tới v mà chỉ đi qua các
đỉnh trung gian thuộc tập {1, 2, ..., n}.
Khi cài đặt, thì ta sẽ không có các khái niệm ck[u, v] mà sẽ thao tác trực tiếp trên các trọng số
c[u, v]. c[u, v] tại bước tối ưu thứ k sẽ được tính toán để tối ưu qua các giá trị c[u, v]; c[u, k]
và c[k, v] tại bước thứ k - 1. Tính chính xác của cách cài đặt dưới dạng ba vòng lặp for lồng
242 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
như trên có thể thấy được do sự tối ưu bắc cầu chỉ làm tăng tốc độ tối ưu các c[u, v] trong mỗi
bước
P_4_08_5.PAS * Thuật toán Floyd
program Shortest_Path_by_Floyd;
const
InputFile = 'MINPATH.INP';
OutputFile = 'MINPATH.OUT';
max = 100;
maxC = 10000;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
Trace: array[1..max, 1..max] of Integer; {Trace[u, v] = Đỉnh liền sau u trên đường đi từ u tới v}
n, s, f: Integer;
procedure LoadGraph; {Nhập dữ liệu, đồ thị không được có chu trình âm}
var
i, m, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
ReadLn(fi, n, m, s, f);
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if u = v then c[u, v] := 0 else c[u, v] := maxC;
for i := 1 to m do ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
procedure Floyd;
var
k, u, v: Integer;
begin
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do Trace[u, v] := v; {Giả sử đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh là đường trực tiếp}
{Thuật toán Floyd}
for k := 1 to n do
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if c[u, v] > c[u, k] + c[k, v] then {Đường đi từ qua k tốt hơn}
begin
c[u, v] := c[u, k] + c[k, v]; {Ghi nhận đường đi đó thay cho đường cũ}
Trace[u, v] := Trace[u, k]; {Lưu vết đường đi}
end;
end;
procedure PrintResult; {In đường đi từ s tới f}
var
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
if c[s, f] = maxC
then WriteLn(fo, 'There is no path from ', s, ' to ', f)
else
begin
WriteLn(fo, 'Distance from ', s, ' to ', f, ': ', c[s, f]);
repeat
Write(fo, s, '->');
s := Trace[s, f]; {Nhắc lại rằng Trace[s, f] là đỉnh liền sau s trên đường đi tới f}
until s = f;
WriteLn(fo, f);
end;
Lý thuyết đồ thị 243
Lê Minh Hoàng
Close(fo);
end;
begin
LoadGraph;
Floyd;
PrintResult;
end.
Khác biệt rõ ràng của thuật toán Floyd là khi cần tìm đường đi ngắn nhất giữa một cặp đỉnh
khác, chương trình chỉ việc in kết quả chứ không phải thực hiện lại thuật toán Floyd nữa.
8.8. NHẬN XÉT
Bài toán đường đi dài nhất trên đồ thị trong một số trường hợp có thể giải quyết bằng cách đổi
dấu trọng số tất cả các cung rồi tìm đường đi ngắn nhất, nhưng hãy cẩn thận, có thể xảy ra
trường hợp có chu trình âm.
Trong tất cả các cài đặt trên, vì sử dụng ma trận trọng số chứ không sử dụng danh sách cạnh
hay danh sách kề có trọng số, nên ta đều đưa về đồ thị đầy đủ và đem trọng số +∞ gán cho
những cạnh không có trong đồ thị ban đầu. Trên máy tính thì không có khái niệm trừu tượng
+∞ nên ta sẽ phải chọn một số dương đủ lớn để thay. Như thế nào là đủ lớn? số đó phải đủ lớn
hơn tất cả trọng số của các đường đi cơ bản để cho dù đường đi thật có tồi tệ đến đâu vẫn tốt
hơn đường đi trực tiếp theo cạnh tưởng tượng ra đó. Vậy nên nếu đồ thị cho số đỉnh cũng như
trọng số các cạnh vào cỡ 300 chẳng hạn thì giá trị đó không thể chọn trong phạm vi Integer
hay Word. Ma trận c sẽ phải khai báo là ma trận LongInt và giá trị hằng số maxC trong các
chương trình trên phải đổi lại là 300 * 299 + 1 - điều đó có thể gây ra nhiều phiền toái, chẳng
hạn như vấn đề lãng phí bộ nhớ. Để khắc phục, người ta có thể cài đặt bằng danh sách kề kèm
trọng số hoặc sử dụng những kỹ thuật đánh dấu khéo léo trong từng trường hợp cụ thể. Tuy
nhiên có một điều chắc chắn: khi đồ thị cho số đỉnh cũng như trọng số các cạnh vào khoảng
300 thì các trọng số c[u, v] trong thuật toán Floyd và các nhãn d[v] trong ba thuật toán còn lại
chắc chắn không thể khai báo là Integer được.
Xét về độ phức tạp tính toán, nếu cài đặt như trên, thuật toán Ford-Bellman có độ phức tạp là
O(n3), thuật toán Dijkstra là O(n2), thuật toán tối ưu nhãn theo thứ tự tôpô là O(n2) còn thuật
toán Floyd là O(n3). Tuy nhiên nếu sử dụng danh sách kề, thuật toán tối ưu nhãn theo thứ tự
tôpô sẽ có độ phức tạp tính toán là O(m). Thuật toán Dijkstra kết hợp với cấu trúc dữ liệu
Heap có độ phức tạp O(max(n, m).logn).
Khác với một bài toán đại số hay hình học có nhiều cách giải thì chỉ cần nắm vững một cách
cũng có thể coi là đạt yêu cầu, những thuật toán tìm đường đi ngắn nhất bộc lộ rất rõ ưu,
nhược điểm trong từng trường hợp cụ thể (Ví dụ như số đỉnh của đồ thị quá lớn làm cho
không thể biểu diễn bằng ma trận trọng số thì thuật toán Floyd sẽ gặp khó khăn, hay thuật
toán Ford-Bellman làm việc khá chậm). Vì vậy yêu cầu trước tiên là phải hiểu bản chất và
thành thạo trong việc cài đặt tất cả các thuật toán trên để có thể sử dụng chúng một cách uyển
chuyển trong từng trường hợp cụ thể. Những bài tập sau đây cho ta thấy rõ điều đó.
Bài tập
244 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Bài 1
Giải thích tại sao đối với đồ thị sau, cần tìm đường đi dài nhất từ đỉnh 1 tới đỉnh 4 lại không
thể dùng thuật toán Dijkstra được, cứ thử áp dụng thuật toán Dijkstra theo từng bước xem sao:
1
2 3
4
2
2
2
4
Bài 2
Trên mặt phẳng cho n đường tròn (n ≤ 2000), đường tròn thứ i được cho bởi bộ ba số thực
(x[i], y[i], R[i]), (x[i], y[i]) là toạ độ tâm và R[i] là bán kính. Chi phí di chuyển trên mỗi
đường tròn bằng 0. Chi phí di chuyển giữa hai đường tròn bằng khoảng cách giữa chúng. Hãy
tìm phương án di chuyển giữa hai đường tròn s, f cho trước với chi phí ít nhất.
Bài 3
Cho một dãy n số nguyên a[1..n] (n ≤ 10000; 1 ≤ a[i] ≤ 10000). Hãy tìm một dãy con gồm
nhiều nhất các phần tử của dãy đã cho mà tổng của hai phần tử liên tiếp là số nguyên tố.
Hướng dẫn: Dựng đồ thị G = (V, E), V = {1, ..., n}, (i, j) ∈ E nếu i < j và a[i] + a[j] là số
nguyên tố, tìm đường đi dài nhất trên đồ thị G không có chu trình
Bài 4
Một công trình lớn được chia làm n công đoạn đánh số 1, 2, ..., n. Công đoạn i phải thực hiện
mất thời gian t[i]. Quan hệ giữa các công đoạn được cho bởi bảng a[i, j]: a[i, j] = TRUE ⇔
công đoạn j chỉ được bắt đầu khi mà công việc i đã xong. Hai công đoạn độc lập nhau có thể
tiến hành song song, hãy bố trí lịch thực hiện các công đoạn sao cho thời gian hoàn thành cả
công trình là sớm nhất, cho biết thời gian sớm nhất đó.
Hướng dẫn: Dựng đồ thị G = (V, E), trong đó:
V = {0, 1, ..., n}
E = {(0, u)|1 ≤ u ≤ n} ∪ {(u, v)|a[u, v] = TRUE}. Trọng số mỗi cung (i, j) đặt bằng t[j]
Tìm đường đi dài nhất trên đồ thị không có chu trình, thời điểm thích hợp để thực hiện công
việc i chính là d[i] - t[i].
Bài 5
Cho một bảng các số tự nhiên kích thước mxn (1 ≤ m, n ≤ 100). Từ một ô có thể di chuyển
sang một ô kề cạnh với nó. Hãy tìm một cách đi từ ô (x, y) ra một ô biên sao cho tổng các số
ghi trên các ô đi qua là cực tiểu.
Hướng dẫn: Dùng thuật toán Dijkstra với cấu trúc Heap
Bài 6: Arbitrage
Arbitrage là một cách sử dụng sự bất hợp lý trong hối đoái tiền tệ để kiếm lời.
Ví dụ:
Giả sử
Lý thuyết đồ thị 245
Lê Minh Hoàng
1$ mua được 0.7£
1£ mua được 190¥
1¥ mua được 0.009$
Từ 1$, ta có thể đổi sang 0.7£, sau đó sang 0.7x190=133¥, rồi đổi lại sang 133x0.009=1.197$.
Kiếm được 0.197$ lãi.
Giả sử rằng có n loại tiền tệ đánh số 1, 2, ..., n. Và một bảng R kích thước nxn cho biết tỉ lệ
hối đoái. Một đơn vị tiền i đổi được R[i, j] đơn vị tiền j.
a) Hãy tìm thuật toán để xác định xem có thể kiếm lời từ bảng tỉ giá hối đoái này bằng
phương pháp Arbitrage hay không?
b) Giả sử rằng nhà băng đủ thông minh để vô hiệu hoá Arbitrage, tính tỉ lệ tốt nhất có thể
hoán đổi giữa hai loại tiền tệ bất kỳ.
Hướng dẫn:
Đặt R[i, j] := -ln(R[i, j]). Dựng đồ thị G = (V, E) có n đỉnh và ma trận trọng số là R. Thêm
vào G một đỉnh đánh số 0 và nối nó tới tất cả những đỉnh còn lại bằng cung có trọng số 0.
a) Dùng thuật toán Ford-Bellman tìm đường đi ngắn nhất xuất phát từ 0. Sau khi thuật toán
Ford-Bellman kết thúc, xét tất cả các cặp đỉnh. Nếu tồn tại một cặp (u, v) mà d[v] > d[u] +
R[u, v] thì thông báo tồn tại Arbitrage. Thuật toán này dựa trên nhận xét: Tỉ giá hối đoái đã
cho có thể dùng Arbitrage nếu và chỉ nếu đồ thị có chu trình âm.
b) Nếu tỉ giá hối đoái không cho phép Arbitrage tức là đồ thị G không có chu trình âm. Dùng
thuật toán Floyd tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh. Tỉ lệ tốt nhất có thể hoán đối từ
loại tiền i sang loại tiền j chính là e-d[i, j], trong đó d[i, j] là độ dài đường đi ngắn nhất giữa hai
đỉnh i và j trên G.
Bài 7:
Cho một đồ thị G = (V, E) gồm các cạnh được gán trọng số không âm. Cho hai đỉnh A và B.
Hãy chỉ ra hai đường đi từ a tới b thoả mãn:
Hai đường đi này không có cạnh chung
Tổng độ dài hai đường đi là nhỏ nhất có thể
Hướng dẫn:
Coi mỗi cạnh của đồ thị tương đương với hai cung có hướng ngược chiều nhau, trọng số trên
cung (u, v) được gán bằng c[u, v].
Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ A tới B: 〈v0, v1, ..., vp〉. Dọc trên đường
đi Dijkstra, với mỗi cạnh (vi-1, vi), ta bỏ đi cung (vi-1, vi), giữ lại cung (vi, vi-1) và gán trọng số
cung này = -c[vi, vi-1]). Sau phép biến đổi có những cung trọng số âm nhưng không tạo thành
chu trình âm.
Dùng thuật toán Ford-Bellman tìm đường đi ngắn nhất từ A tới B: 〈u0, u1, ..., uq〉. Dọc trên
đường đi Ford-Bellman, với mỗi cạnh (ui-1, ui), ta bỏ đi cung (ui-1, ui).
246 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Với mỗi cung (u, v) của đồ thị, nếu cả cung (u, v) và (v, u) đều được duy trì đến bước này thì
loại bỏ luôn cả hai. Những cung còn lại chỉ ra hai đường đi từ B về A, bằng cách lật ngược
chiều đường đi, ta có lời giải.
Ví dụ:
Đồ thị ban đầu:
1 2 3 4 5
8
3 5 8 3
4 5
Đường đi Dijkstra 〈1, 2, 4, 5〉 (Độ dài 10):
1 2 3 4 5
8
3 5 8 3
4 5
Bỏ đi các cung (1, 2), (2, 4), (4, 5). Đặt lại trọng số các cung ngược chiều đường đi:
c[2, 1] := -3; c[4, 2] := -4; c[5, 4] := -3;
1 2 3 4 5
8
-3 5 8 -3
-4 5
Đường đi Ford-Bellman 〈1, 4, 2, 3, 5〉 (Độ dài 14):
1 2 3 4 5
8
-3 5 8 -3
-4 5
Bỏ đi các cung (1, 4), (4, 2), (2, 3), (3, 5):
1 2 3 4 5
8
-3 5 8 -3
5
Bỏ nốt cung (3, 4) và (4, 3) ta có 2 đường đi từ 5 về 1: 〈5, 4, 1〉 và 〈5, 3, 2, 1〉.
1 2 3 4 5
Lý thuyết đồ thị 247
Lê Minh Hoàng
Đối chiếu lên đồ thị ban đầu, tổng độ dài 2 đường đi tìm được = Độ dài đường đi Dijkstra +
Độ dài đường đi Ford-Bellman = 24. Lật ngược thứ tự các trong hai đường đi trên, ta được
cặp đường đi từ 1 tới 5 có tổng độ dài nhỏ nhất cần tìm.
248 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§9. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT
9.1. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT
Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông có trọng số, với một cây khung T của G, ta gọi
trọng số của cây T là tổng trọng số các cạnh trong T. Bài toán đặt ra là trong số các cây khung
của G, chỉ ra cây khung có trọng số nhỏ nhất, cây khung như vậy được gọi là cây khung (hay
cây bao trùm) nhỏ nhất của đồ thị, và bài toán đó gọi là bài toán cây khung nhỏ nhất. Sau đây
ta sẽ xét hai thuật toán thông dụng để giải bài toán cây khung nhỏ nhất của đơn đồ thị vô
hướng có trọng số. Bạn có thể đưa vào một số sửa đổi nhỏ trong thủ tục nhập liệu để giải
quyết bài toán trong trường hợp đa đồ thị.
Input: file văn bản MINTREE.INP:
Dòng 1: Ghi hai số số đỉnh n (≤ 100) và số cạnh m của đồ thị cách nhau ít nhất 1 dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng có dạng 3 số u, v, c[u, v] cách nhau ít nhất 1 dấu cách thể hiện
đồ thị có cạnh (u, v) và trọng số cạnh đó là c[u, v]. (c[u, v] là số nguyên có giá trị tuyệt đối
không quá 100).
Output: file văn bản MINTREE.OUT ghi các cạnh thuộc cây khung và trọng số cây khung
1
2 3
4 5 6
1 1
2
2 2
1
1 1 1
MINTREE.INP
6 9
1 2 1
1 3 1
2 4 1
2 3 2
2 5 1
3 5 1
3 6 1
4 5 2
5 6 2
MINTREE.OUT
Minimal spanning tree:
(2, 4) = 1
(3, 6) = 1
(2, 5) = 1
(1, 3) = 1
(1, 2) = 1
Weight = 5
9.2. THUẬT TOÁN KRUSKAL (JOSEPH KRUSKAL - 1956)
Thuật toán Kruskal dựa trên mô hình xây dựng cây khung bằng thuật toán hợp nhất (§5), chỉ
có điều thuật toán không phải xét các cạnh với thứ tự tuỳ ý mà xét các cạnh theo thứ tự đã sắp
xếp: Với đồ thị vô hướng G = (V, E) có n đỉnh. Khởi tạo cây T ban đầu không có cạnh nào.
Xét tất cả các cạnh của đồ thị từ cạnh có trọng số nhỏ đến cạnh có trọng số lớn, nếu việc
thêm cạnh đó vào T không tạo thành chu trình đơn trong T thì kết nạp thêm cạnh đó vào T.
Cứ làm như vậy cho tới khi:
Hoặc đã kết nạp được n - 1 cạnh vào trong T thì ta được T là cây khung nhỏ nhất
Hoặc chưa kết nạp đủ n - 1 cạnh nhưng hễ cứ kết nạp thêm một cạnh bất kỳ trong số các
cạnh còn lại thì sẽ tạo thành chu trình đơn. Trong trường hợp này đồ thị G là không liên
thông, việc tìm kiếm cây khung thất bại.
Như vậy có hai vấn đề quan trọng khi cài đặt thuật toán Kruskal:
Lý thuyết đồ thị 249
Lê Minh Hoàng
Thứ nhất, làm thế nào để xét được các cạnh từ cạnh có trọng số nhỏ tới cạnh có trọng số lớn.
Ta có thể thực hiện bằng cách sắp xếp danh sách cạnh theo thứ tự không giảm của trọng số,
sau đó duyệt từ đầu tới cuối danh sách cạnh. Trong trường hợp tổng quát, thuật toán HeapSort
là hiệu quả nhất bởi nó cho phép chọn lần lượt các cạnh từ cạnh trọng nhỏ nhất tới cạnh trọng
số lớn nhất ra khỏi Heap và có thể xử lý (bỏ qua hay thêm vào cây) luôn.
Thứ hai, làm thế nào kiểm tra xem việc thêm một cạnh có tạo thành chu trình đơn trong T hay
không. Để ý rằng các cạnh trong T ở các bước sẽ tạo thành một rừng (đồ thị không có chu
trình đơn). Muốn thêm một cạnh (u, v) vào T mà không tạo thành chu trình đơn thì (u, v) phải
nối hai cây khác nhau của rừng T, bởi nếu u, v thuộc cùng một cây thì sẽ tạo thành chu trình
đơn trong cây đó. Ban đầu, ta khởi tạo rừng T gồm n cây, mỗi cây chỉ gồm đúng một đỉnh,
sau đó, mỗi khi xét đến cạnh nối hai cây khác nhau của rừng T thì ta kết nạp cạnh đó vào T,
đồng thời hợp nhất hai cây đó lại thành một cây.
Nếu cho mỗi đỉnh v trên cây một nhãn Lab[v] là số hiệu đỉnh cha của đỉnh v trong cây, trong
trường hợp v là gốc của một cây thì Lab[v] được gán một giá trị âm. Khi đó ta hoàn toàn có
thể xác định được gốc của cây chứa đỉnh v bằng hàm GetRoot dưới đây:
function GetRoot(v∈V): ∈V;
begin
while Lab[v] > 0 do v := Lab[v];
GetRoot := v;
end;
Vậy để kiểm tra một cạnh (u, v) có nối hai cây khác nhau của rừng T hay không? ta có thể
kiểm tra GetRoot(u) có khác GetRoot(v) hay không, bởi mỗi cây chỉ có duy nhất một gốc.
Để hợp nhất cây gốc r1 và cây gốc r2 thành một cây, ta lưu ý rằng mỗi cây ở đây chỉ dùng để
ghi nhận một tập hợp đỉnh thuộc cây đó chứ cấu trúc cạnh trên cây thế nào thì không quan
trọng. Vậy để hợp nhất cây gốc r1 và cây gốc r2, ta chỉ việc coi r1 là nút cha của r2 trong cây
bằng cách đặt:
Lab[r2] := r1.
r1
r2
v
u
r1
r2
v
u
Hình 76: Hai cây gốc r1 và r2 và cây mới khi hợp nhất chúng
Tuy nhiên, để thuật toán làm việc hiệu quả, tránh trường hợp cây tạo thành bị suy biến khiến
cho hàm GetRoot hoạt động chậm, người ta thường đánh giá: Để hợp hai cây lại thành một,
thì gốc cây nào ít nút hơn sẽ bị coi là con của gốc cây kia.
250 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Thuật toán hợp nhất cây gốc r1 và cây gốc r2 có thể viết như sau:
{Count[k] là số đỉnh của cây gốc k}
procedure Union(r1, r2 ∈ V);
begin
if Count[r1] < Count[r2] then {Hợp nhất thành cây gốc r2}
begin
Count[r2] := Count[r1] + Count[r2];
Lab[r1] := r2;
end
else {Hợp nhất thành cây gốc r1}
begin
Count[r1] := Count[r1] + Count[r2];
Lab[r2] := r1;
end;
end;
Khi cài đặt, ta có thể tận dụng ngay nhãn Lab[r] để lưu số đỉnh của cây gốc r, bởi như đã giải
thích ở trên, Lab[r] chỉ cần mang một giá trị âm là đủ, vậy ta có thể coi Lab[r] = -Count[r] với
r là gốc của một cây nào đó.
procedure Union(r1, r2 ∈ V); {Hợp nhất cây gốc r1 với cây gốc r2}
begin
x := Lab[r1] + Lab[r2]; {-x là tổng số nút của cả hai cây}
if Lab[r1] > Lab[r2] then {Cây gốc r1 ít nút hơn cây gốc r2, hợp nhất thành cây gốc r2}
begin
Lab[r1] := r2; {r2 là cha của r1}
Lab[r2] := x; {r2 là gốc cây mới, -Lab[r2] giờ đây là số nút trong cây mới}
end
else {Hợp nhất thành cây gốc r1}
begin
Lab[r1] := x; {r1 là gốc cây mới, -Lab[r1] giờ đây là số nút trong cây mới}
Lab[r2] := r1; {cha của r2 sẽ là r1}
end;
end;
Mô hình thuật toán Kruskal:
for ∀k∈V do Lab[k] := -1;
for (∀(u, v) ∈ E theo thứ tự từ cạnh trọng số nhỏ tới cạnh trọng số lớn) do
begin
r1 := GetRoot(u); r2 := GetRoot(v);
if r1 ≠ r2 then {(u, v) nối hai cây khác nhau}
begin
<Kết nạp (u, v) vào cây, nếu đã đủ n - 1 cạnh thì thuật toán dừng>
Union(r1, r2); {Hợp nhất hai cây lại thành một cây}
end;
end;
P_4_09_1.PAS * Thuật toán Kruskal
program Minimal_Spanning_Tree_by_Kruskal;
const
InputFile = 'MINTREE.INP';
OutputFile = 'MINTREE.OUT';
maxV = 100;
maxE = (maxV - 1) * maxV div 2;
type
TEdge = record {Cấu trúc một cạnh}
u, v, c: Integer; {Hai đỉnh và trọng số}
Mark: Boolean; {Đánh dấu có được kết nạp vào cây khung hay không}
end;
var
e: array[1..maxE] of TEdge; {Danh sách cạnh}
Lab: array[1..maxV] of Integer; {Lab[v] là đỉnh cha của v, nếu v là gốc thì Lab[v] = - số con cây gốc v}
Lý thuyết đồ thị 251
Lê Minh Hoàng
n, m: Integer;
Connected: Boolean;
procedure LoadGraph;
var
i: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, m);
for i := 1 to m do
with e[i] do
ReadLn(f, u, v, c);
Close(f);
end;
procedure Init;
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Lab[i] := -1; {Rừng ban đầu, mọi đỉnh là gốc của cây gồm đúng một nút}
for i := 1 to m do e[i].Mark := False;
end;
function GetRoot(v: Integer): Integer; {Lấy gốc của cây chứa v}
begin
while Lab[v] > 0 do v := Lab[v];
GetRoot := v;
end;
procedure Union(r1, r2: Integer); {Hợp nhất hai cây lại thành một cây}
var
x: Integer;
begin
x := Lab[r1] + Lab[r2];
if Lab[r1] > Lab[r2] then
begin
Lab[r1] := r2;
Lab[r2] := x;
end
else
begin
Lab[r1] := x;
Lab[r2] := r1;
end;
end;
procedure AdjustHeap(root, last: Integer); {Vun thành đống, dùng cho HeapSort}
var
Key: TEdge;
child: Integer;
begin
Key := e[root];
while root * 2 <= Last do
begin
child := root * 2;
if (child < Last) and (e[child + 1].c < e[child].c)
then Inc(child);
if Key.c <= e[child].c then Break;
e[root] := e[child];
root := child;
end;
e[root] := Key;
252 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
end;
procedure Kruskal;
var
i, r1, r2, Count, a: Integer;
tmp: TEdge;
begin
Count := 0;
Connected := False;
for i := m div 2 downto 1 do AdjustHeap(i, m);
for i := m - 1 downto 0 do
begin
tmp := e[1]; e[1] := e[i + 1]; e[i + 1] := tmp;
AdjustHeap(1, i);
r1 := GetRoot(e[i + 1].u); r2 := GetRoot(e[i + 1].v);
if r1 <> r2 then {Cạnh e[i + 1] nối hai cây khác nhau}
begin
e[i + 1].Mark := True; {Kết nạp cạnh đó vào cây}
Inc(Count); {Đếm số cạnh}
if Count = n - 1 then {Nếu đã đủ số thì thành công}
begin
Connected := True;
Exit;
end;
Union(r1, r2); {Hợp nhất hai cây thành một cây}
end;
end;
end;
procedure PrintResult;
var
i, Count, W: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
if not Connected then
WriteLn(f, 'Error: Graph is not connected')
else
begin
WriteLn(f, 'Minimal spanning tree: ');
Count := 0;
W := 0;
for i := 1 to m do {Duyệt danh sách cạnh}
with e[i] do
begin
if Mark then {Lọc ra những cạnh đã kết nạp vào cây khung}
begin
WriteLn(f, '(', u, ', ', v, ') = ', c);
Inc(Count);
W := W + c;
end;
if Count = n - 1 then Break; {Cho tới khi đủ n - 1 cạnh}
end;
WriteLn(f, 'Weight = ', W);
end;
Close(f);
end;
begin
LoadGraph;
Init;
Kruskal;
PrintResult;
Lý thuyết đồ thị 253
Lê Minh Hoàng
end.
Xét về độ phức tạp tính toán, ta có thể chứng minh được rằng thao tác GetRoot có độ phức tạp
là O(lgn), còn thao tác Union là O(1). Giả sử ta đã có danh sách cạnh đã sắp xếp rồi thì xét
vòng lặp dựng cây khung, nó duyệt qua danh sách cạnh và với mỗi cạnh nó gọi 2 lần thao tác
GetRoot, vậy thì độ phức tạp là O(mlgn), nếu đồ thị có cây khung thì m ≥ n-1 nên ta thấy chi
phí thời gian chủ yếu sẽ nằm ở thao tác sắp xếp danh sách cạnh bởi độ phức tạp của HeapSort
là O(mlgm). Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(mlgm) trong trường hợp xấu nhất.
Tuy nhiên, phải lưu ý rằng để xây dựng cây khung thì ít khi thuật toán phải duyệt toàn bộ
danh sách cạnh mà chỉ một phần của danh sách cạnh mà thôi.
9.3. THUẬT TOÁN PRIM (ROBERT PRIM - 1957)
Thuật toán Kruskal hoạt động chậm trong trường hợp đồ thị dày (có nhiều cạnh). Trong
trường hợp đó người ta thường sử dụng phương pháp lân cận gần nhất của Prim. Thuật toán
đó có thể phát biểu hình thức như sau:
Đơn đồ thị vô hướng G = (V, E) có n đỉnh được cho bởi ma trận trong số C. Qui ước c[u, v] =
+∞ nếu (u, v) không là cạnh. Xét cây T trong G và một đỉnh v, gọi khoảng cách từ v tới T là
trọng số nhỏ nhất trong số các cạnh nối v với một đỉnh nào đó trong T:
d[v] = min{c[u, v] ⎪ u∈T}
Ban đầu khởi tạo cây T chỉ gồm có mỗi đỉnh {1}. Sau đó cứ chọn trong số các đỉnh ngoài T ra
một đỉnh gần T nhất, kết nạp đỉnh đó vào T đồng thời kết nạp luôn cả cạnh tạo ra khoảng cách
gần nhất đó. Cứ làm như vậy cho tới khi:
Hoặc đã kết nạp được tất cả n đỉnh thì ta có T là cây khung nhỏ nhất
Hoặc chưa kết nạp được hết n đỉnh nhưng mọi đỉnh ngoài T đều có khoảng cách tới T là
+∞. Khi đó đồ thị đã cho không liên thông, ta thông báo việc tìm cây khung thất bại.
Về mặt kỹ thuật cài đặt, ta có thể bắt đầu từ một cây rỗng và khởi tạo d[1] := 0 còn d[v] := +∞
với ∀v ≠ 1. Tại mỗi bước chọn đỉnh đưa vào T, ta sẽ chọn đỉnh u nào ngoài T và có d[u] nhỏ
nhất. Khi kết nạp u vào T rồi thì các nhãn d[v] sẽ thay đổi: d[v]mới := min(d[v]cũ, c[u, v]).
Bước lặp đầu tiên sẽ kết nạp đỉnh 1 vào cây, từ bước lặp thứ hai, trước khi kết nạp một đỉnh
vào cây, ta lưu lại cạnh tạo ra khoảng cách gần nhất từ cây tới đỉnh đó để cuối cùng in ra cây
khung nhỏ nhất.
for (∀v ∈ V) do
begin
d[v] := +∞;
Free[v] := True; {Chưa có đỉnh nào ∈ cây}
end;
d[1] := 0;
for k := 1 to n do
begin
u := arg min(d[v]|v ∈ V and Free[v] = True); {Chọn u là có nhãn tự do nhỏ nhất}
Free[u] := False; {Cố định nhãn đỉnh u ⇔ kết nạp u vào cây}
for (∀v ∈ V: (u, v) ∈ E) do
if d[v] > c[u, v] then
begin
254 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
d[v] := c[u, v];
Trace[v] := u;
end;
end;
〈Thông báo cây khung gồm có các cạnh (Trace[v], v) với ∀v ∈ V: v ≠ 1)〉;
P_4_09_2.PAS * Thuật toán Prim
program Minimal_Spanning_Tree_by_Prim;
const
InputFile = 'MINTREE.INP';
OutputFile = 'MINTREE.OUT';
max = 100;
maxC = 10000;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
d: array[1..max] of Integer;
Free: array[1..max] of Boolean;
Trace: array[1..max] of Integer; {Vết, Trace[v] là đỉnh cha của v trong cây khung nhỏ nhất}
n, m: Integer;
Connected: Boolean;
procedure LoadGraph; {Nhập đồ thị}
var
i, u, v: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, m);
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if u = v then c[u, v] := 0 else c[u, v] := maxC; {Khởi tạo ma trận trọng số}
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(f, u, v, c[u, v]);
c[v, u] := c[u, v];
end;
Close(f);
end;
procedure Init;
var
v: Integer;
begin
d[1] := 0; {Đỉnh 1 có nhãn khoảng cách là 0}
for v := 2 to n do d[v] := maxC; {Các đỉnh khác có nhãn khoảng cách +∞}
FillChar(Free, SizeOf(Free), True); {Cây T ban đầu là rỗng}
end;
procedure Prim;
var
k, i, u, v, min: Integer;
begin
Connected := True;
for k := 1 to n do
begin
u := 0; min := maxC; {Chọn đỉnh u chưa bị kết nạp có d[u] nhỏ nhất}
for i := 1 to n do
if Free[i] and (d[i] < min) then
begin
min := d[i];
u := i;
end;
if u = 0 then {Nếu không chọn được u nào có d[u] < +∞ thì đồ thị không liên thông}
Lý thuyết đồ thị 255
Lê Minh Hoàng
begin
Connected := False;
Break;
end;
Free[u] := False; {Nếu chọn được thì đánh dấu u đã bị kết nạp, lặp lần 1 thì dĩ nhiên u = 1 bởi d[1] = 0}
for v := 1 to n do
if Free[v] and (d[v] > c[u, v]) then {Tính lại các nhãn khoảng cách d[v] (v chưa kết nạp)}
begin
d[v] := c[u, v]; {Tối ưu nhãn d[v] theo công thức}
Trace[v] := u; {Lưu vết, đỉnh nối với v cho khoảng cách ngắn nhất là u}
end;
end;
end;
procedure PrintResult;
var
v, W: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
if not Connected then {Nếu đồ thị không liên thông thì thất bại}
WriteLn(f, 'Error: Graph is not connected')
else
begin
WriteLn(f, 'Minimal spanning tree: ');
W := 0;
for v := 2 to n do {Cây khung nhỏ nhất gồm những cạnh (v, Trace[v])}
begin
WriteLn(f, '(', Trace[v], ', ', v, ') = ', c[Trace[v], v]);
W := W + c[Trace[v], v];
end;
WriteLn(f, 'Weight = ', W);
end;
Close(f);
end;
begin
LoadGraph;
Init;
Prim;
PrintResult;
end.
Xét về độ phức tạp tính toán, thuật toán Prim có độ phức tạp là O(n2). Tương tự thuật toán
Dijkstra, nếu kết hợp thuật toán Prim với cấu trúc Heap sẽ được một thuật toán với độ phức
tạp O((m+n)lgn). Tuy nhiên nếu phải làm việc với đồ thị thưa, người ta thường sử dụng thuật
toán Kruskal để tìm cây khung chứ không dùng thuật toán Prim với cấu trúc Heap.
Bài tập
Bài 1
So sánh hiệu quả của thuật toán Kruskal và thuật toán Prim về tốc độ.
Bài 2
Trên một nền phẳng với hệ toạ độ Decattes vuông góc đặt n máy tính, máy tính thứ i được đặt
ở toạ độ (x[i], y[i]). Đã có sẵn một số dây cáp mạng nối giữa một số cặp máy tính. Cho phép
nối thêm các dây cáp mạng nối giữa từng cặp máy tính. Chi phí nối một dây cáp mạng tỉ lệ
256 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
thuận với khoảng cách giữa hai máy cần nối. Hãy tìm cách nối thêm các dây cáp mạng để cho
các máy tính trong toàn mạng là liên thông và chi phí nối mạng là nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Xây dựng đồ thị đầy đủ G = (V, E). Mỗi đỉnh tương ứng với một máy tính.
Trọng số cạnh (u, v) sẽ được đặt bằng
0, nếu đã có sẵn cáp mạng nối hai máy u, v.
( )2 ( )2
u v u v x − x + y − y , nếu chưa có sẵn cáp mạng nối hai máy u và v
Tìm cây khung nhỏ nhất của G. Những cạnh trọng số ≠ 0 tương ứng với những cáp mạng cần
lắp đặt thêm.
Bài 3
Hệ thống điện trong thành phố được cho bởi n trạm biến thế và các đường dây điện nối giữa
các cặp trạm biến thế. Mỗi đường dây điện e có độ an toàn là p(e). ở đây 0 < p(e) ≤ 1. Độ an
toàn của cả lưới điện là tích độ an toàn trên các đường dây. Ví dụ như có một đường dây nguy
hiểm: p(e) = 1% thì cho dù các đường dây khác là tuyệt đối an toàn (độ an toàn = 100%) thì
độ an toàn của mạng cũng rất thấp (1%). Hãy tìm cách bỏ đi một số dây điện để cho các trạm
biến thế vẫn liên thông và độ an toàn của mạng là lớn nhất có thể.
Hướng dẫn:
Bằng kỹ thuật lấy logarithm, độ an toàn trên lưới điện trở thành tổng độ an toàn trên các
đường dây. Dựng đồ thị có mỗi đỉnh tương ứng với một trạm biến thế và mỗi cạnh tương ứng
với một đường dây điện e được gán trọng số là -ln(p(e)). Tìm cây khung nhỏ nhất rồi loại bỏ
tất cả những đường dây điện tương ứng với các cạnh không nằm trên cây khung.
Bài 4
Hãy thử cài đặt thuật toán Prim với cấu trúc dữ liệu Heap chứa các đỉnh ngoài cây, tương tự
như đối với thuật toán Dijkstra.
Lý thuyết đồ thị 257
Lê Minh Hoàng
§10. BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG
10.1. CÁC KHÁI NIỆM
10.1.1. Mạng
Ta gọi mạng (network) là một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm n đỉnh và m cung, trong đó có
hai đỉnh phân biệt s và t, đỉnh s gọi là điểm phát (source) và đỉnh t gọi là đỉnh thu (sink). Mỗi
cung e = (u, v) ∈ E được gán với một số không âm c(e) = c[u, v] gọi là khả năng thông qua
của cung đó (capacity). Để thuận tiện cho việc trình bày, ta qui ước rằng nếu mạng không có
cung (u, v) thì ta thêm vào cung (u, v) với khả năng thông qua c[u, v] bằng 0.
10.1.2. Định nghĩa 1
Nếu có mạng G = (V, E). Ta gọi luồng Φ trong mạng G là một phép gán cho mỗi cung e = (u,
v) một số thực không âm Φ(e) = Φ[u, v] gọi là luồng trên cung e, thoả mãn 2 tính chất:
Tính chất 1: (Capacity constraint): Luồng trên mỗi cũng không được vượt quá khả năng
thông qua của cung đó: 0 ≤ Φ[u, v] ≤ c[u, v], (∀u, v∈V) .
Tính chất 2 (Flow conservation): Với mỗi đỉnh v không phải đỉnh phát và cũng không phải
đỉnh thu, tổng luồng trên các cung đi vào v bằng tổng luồng trên các cung đi ra khỏi v:
u V w V
[u, v] (v, w), ( v V\{s,t})
∈ ∈
ΣΦ = ΣΦ ∀ ∈
Giá trị của một luồng được định nghĩa bằng: tổng luồng trên các cung đi ra khỏi đỉnh phát trừ
đi tổng luồng trên các cung đi vào đỉnh phát:
u V v V
(s, u) (v,s)
∈ ∈
Φ =ΣΦ −ΣΦ .
2
1
3
4
5
6
5
5
6
6
6
1
3
3
2
1
3
4
5
6
5
2
5
6
1
1
1
0
Hình 77: Mạng với các khả năng thông qua (1 phát, 6 thu) và một luồng của nó với giá trị 7
Bởi giá trị của luồng Φ trên các cung là số không âm, đôi khi người ta còn gọi Φ là luồng
dương (positive flow) trên mạng G. Một số tài liệu khác đưa vào thêm ràng buộc đỉnh s không
được có cung đi vào và đỉnh t không có cung đi ra, khi đó giá trị luồng được tính bằng tổng
luồng trên các cung đi ra khỏi đỉnh phát. Cách hiểu này có thể quy về một trường hợp riêng
của định nghĩa.
10.1.3. Bài toán luồng cực đại trên mạng
Cho một mạng G, hãy tìm luồng Φ* có giá trị lớn nhất.
258 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Không giảm tính tổng quát, trong bài toán tìm luồng cực đại, ta có thể giả thiết rằng với mọi
luồng Φ thì luồng trên cung (u, v) và luồng trên cung (v, u) không đồng thời là số dương (∀u,
v ∈ V). Bởi nếu không ta chỉ việc bớt cả Φ[u, v] và Φ[v, u] đi một lượng bằng min(Φ[u, v],
Φ[v, u]) thì được một luồng mới có giá trị bằng luồng ban đầu trong đó hoặc Φ[u, v] bằng 0
hoặc Φ[v, u] bằng 0.
10.1.4. Định nghĩa 2
Nếu có mạng G = (V, E), ta gọi luồng f trên mạng G là một phép gán cho mỗi cung e = (u, v)
một số thực f(e) = f[u, v] gọi là luồng trên cung e, thoả mãn 3 tính chất:
Tính chất 1: (Capacity constraint): Luồng trên mỗi cũng không được vượt quá khả năng
thông qua của cung đó: f[u, v] ≤ c[u, v], (∀u, v∈V) .
Tính chất 2: (Skew symmetry): Luồng trên cung (u, v) và luồng trên cung (v, u) có cùng
giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau: f[u, v] = −f[v,u], (∀u, v∈V) .
Tính chất 3: (Flow conservation): Với mỗi đỉnh u không phải đỉnh phát và cũng không
phải đỉnh thu, tổng luồng trên các cung đi ra khỏi u bằng 0:
v V
f[u,v]=0, ( u V\{s, t})
∈
Σ ∀ ∈ .
Giá trị của một luồng được định nghĩa bằng: tổng luồng trên các cung đi ra khỏi đỉnh phát:
u V
f f(s,u)
∈
= Σ .
Định lý 1: Hai định nghĩa 1 và 2 là tương đương.
Chứng minh:
Từ "tương đương" ở đây hiểu theo mục đích của bài toán tìm luồng cực đại, có nghĩa là việc
tìm luồng dương cực đại theo định nghĩa 1 tương đương với việc tìm luồng cực đại theo định
nghĩa 2.
(1)⇒(2): Nếu có một luồng dương Φ trên G theo định nghĩa 1, ta xây dựng luồng f như sau:
f[u, v] := Φ[u, v] - Φ[v, u]
Ta chứng minh f thoả mãn ba điều kiện của luồng theo định nghĩa 2:
Tính chất 1:∀u, v ∈ V, do Φ[v, u] ≥ 0 nên f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u] ≤ c[u, v]
Tính chất 2: ∀u, v ∈ V, ta có f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u] = -(Φ[v, u] - Φ[u, v]) = -f[v, u]
Tính chất 3: ∀u ∈ V, ta có
v V v V v V v V
f[u, v] ( [u, v] [u, v]) [u, v] [u, v] 0
∈ ∈ ∈ ∈
Σ =Σ Φ −Φ =ΣΦ −ΣΦ =
Về giá trị luồng, ta có:
v V v V v V v V
f f[s,v] ( [s,v]- [v,s]) [s,v] [v,s]
∈ ∈ ∈ ∈
=Σ =Σ Φ Φ =ΣΦ −ΣΦ = Φ
(2)⇒(1): Nếu có một luồng f theo định nghĩa 2, ta xây dựng luồng dương Φ trên G như sau:
Φ[u, v] := max(f[u, v], 0)
Tức là ta chỉ giữ lại những giá trị f[u, v] dương gán cho Φ[u, v]. Ta chứng minh Φ thoả mãn
hai điều kiện của luồng theo định nghĩa 1:
Lý thuyết đồ thị 259
Lê Minh Hoàng
Tính chất 1: ∀u, v ∈ V, rõ ràng Φ[u, v] không âm và Φ[u, v] = max(f[u, v], 0) ≤ c[u, v].
Tính chất 2: ∀u, v ∈ V, ta có f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u] bởi
Nếu f[u, v] ≥ 0 thì Φ[u, v] = f[u, v] và Φ[v, u] = 0 ⇒ f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u]
Nếu f[u, v] < 0 thì Φ[u, v] = 0 và Φ[v, u] = f[v, u] = -f[u, v] ⇒ f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u]
Ta lại có tổng luồng trên các cung đi vào v =
u V
[u, v]
∈
ΣΦ , tổng luồng trên các cung đi ra
khỏi v =
u V
[v,u]
∈
ΣΦ . Hiệu số giữa tổng luồng trên các cung đi vào v và tổng luồng trên các
cung đi ra khỏi v =
u V
[u, v]
∈
ΣΦ -
u V
[v,u]
∈
ΣΦ =
u V
[u, v] [v,u]
∈
ΣΦ −Φ =
u V
f[u,v]
∈ Σ
=0. Vậy tổng
luồng trên các cung đi ra khỏi v bằng tổng luồng trên các cung đi vào v
Về giá trị luồng, cũng từ đẳng thức f[u, v] = Φ[u, v] - Φ[v, u], ta có
v V v V v V v V
[s, v] [v,s] ( [s, v] [v,s]) f[s, v] f
∈ ∈ ∈ ∈
Φ =ΣΦ −ΣΦ =Σ Φ −Φ =Σ =
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1 trực quan và dễ hiểu hơn định nghĩa 2, tuy nhiên định nghĩa 2 lại thích hợp hơn
cho việc trình bày và chứng minh các thuật toán trong bài. Ta sẽ sử dụng định nghĩa 1 trong
các hình vẽ và output (chỉ quan tâm tới các giá trị luồng dương) còn các khái niệm khi diễn
giải thuật toán sẽ được hiểu theo định nghĩa 2.
10.1.5. Các tính chất cơ bản
Cho X và Y là hai tập con của đỉnh V, ta gọi khả năng thông qua từ X đến Y là:
u X,v Y
c(X,Y) c[u,v]
∈ ∈
= Σ
và giá trị luồng thông từ X sang Y là:
u X,v Y
f (X,Y) f[u,v]
∈ ∈
= Σ
Định lý 2:
Với ∀X ⊆ V, ta có f(X, X) = 0
Với ∀X, Y ⊆ V, ta có f(X, Y) = -f(Y, X)
Với ∀X, Y, Z ⊆ V, X ∩ Y = ∅, ta có f(X, Z) + f(Y, Z) = f(X ∪ Y, Z)
Với ∀X ⊆ V\{s, t}, ta có f(X, V) = 0
Chứng minh:
Với ∀X ⊆ V, ta có
u,v X
f (X,X) f[u,v]
∈
= Σ , như vậy nếu f[u, v] xuất hiện trong tổng thì f[v, u]
cũng xuất hiện, theo tính chất 2 của luồng, ta có f(X, X) = 0
260 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Với ∀X, Y ⊆ V, ta có
u X,v Y
f (X,Y) f[u,v]
∈ ∈
= Σ và
v Y,u X
f (Y,X) f[v,u]
∈ ∈
= Σ , nếu hạng tử f[u, v]
xuất hiện trong tổng thứ nhất thì hạng từ f[v, u] xuất hiện trong tổng thứ hai và ngược lại.
Suy ra f(X, Y) = -f(Y, X) theo tính chất 2 của luồng.
u X Y,v Z u X,v Z u Y,v Z
f(X Y,Z)= f[u,v] f[u,v] f[u,v] f (X,Z) f (Y,Z)
∈ ∪ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
∪ Σ = Σ + Σ = +
Với ∀u ∈ V\{s, t}, ta có f({u}, V) = 0 theo tính chất 3 của luồng, từ đó suy ra với ∀ X ⊆
V\{s, t}, ta có f(X, V) = 0. (Dĩ nhiên khi đó f(V, X) = 0)
Định lý 3: Giá trị luồng trên mạng bằng tổng luồng trên các cung đi vào đỉnh thu.
Chứng minh:
|f| = f({s}, V) (Định nghĩa)
= f(V, V) - f(V\{s}, V) (Định lý 2)
= -f(V\{s}, V) (Định lý 2)
= f(V, V\{s}) (Định lý 2)
= f(V, {t}) + f(V, V\{s, t}) (Định lý 2)
= f(V, {t}) (Định lý 2)
10.2. MẠNG THẶNG DƯ VÀ ĐƯỜNG TĂNG LUỒNG
10.2.1. Mạng thặng dư
Từ một mạng G và một luồng f trên G, ta xây dựng mạng Gf = (V, Ef) với tập cạnh Ef được
định nghĩa bằng tập cạnh E bỏ đi các cung bão hoà (một cung gọi là bão hoà nếu luồng trên
cung đó đúng bằng khả năng thông qua):
Ef = {(u, v)|(u, v ∈ V) và (f[u, v] < c[u, v])}
Khả năng thông qua của cung (u, v) trên Gf được tính bằng cf[u, v] = c[u, v] - f[u, v], s và t lần
lượt được coi là điểm phát và điểm thu trên Gf.
Mạng Gf như vậy được gọi là mạng thặng dư (Residual Network) của mạng G sinh ra bởi
luồng f. Hình 78 là ví dụ về một mạng thặng dư:
Lý thuyết đồ thị 261
Lê Minh Hoàng
2
1
3
4
5
6
5:5
2:5
1:1
1:3
0:3
5:6
6:6
1:6
2
1
3
4
5
6
5
2
1
3 1
5
6
1
3
2
5
1
Hình 78: Mạng G và mạng thặng dư Gf tương ứng (ký hiệu f[u,v]:c[u,v] chỉ luồng f[u, v] và khả năng
thông qua c[u, v] trên cung (u, v))
Định lý 4: Cho mạng G và luồng f. Gọi f' là một luồng trên mạng Gf. Khi đó (f+f') cũng là
một luồng trên G với giá trị luồng bằng |f|+|f'|. Trong đó luồng (f+f') được định nghĩa như sau:
(f+f')[u, v] = f[u, v] + f'[u, v] (∀u, v ∈ V)
Chứng minh: Ta chứng minh (f+f') thoả mãn 3 tính chất của luồng.
Với ∀u, v ∈ V. Vì f'[u, v] ≤ cf[u, v] = c[u, v] - f[u, v] nên f[u, v] + f'[u, v] ≤ c[u, v]. Tính
chất 1 được thoả mãn
Với ∀u, v ∈ V. (f+f')[u, v] = f[u, v] + f'[u, v] = -f[v, u] - f'[v, u] = -(f+f')[v, u]. Tính chất 2
thoả mãn
Với ∀u ∈ V\{s, t}.
v V
(f f ')[u,v]
∈
Σ + =
v V
f[u,v] f '[u,v]
∈
Σ + =
v V v V
f[u,v] f '[u,v]
∈ ∈
Σ +Σ =0. Tính chất
3 được thoả mãn.
Về giá trị luồng. Ta có
v V v V v V v V
f f ' (f f ')[s,v] f[s,v]+f'[s,v]= f[s,v] f'[s,v] f f '
∈ ∈ ∈ ∈
+ =Σ + =Σ Σ +Σ = +
Định lý được chứng minh.
10.2.2. Đường tăng luồng
Cho mạng G và luồng f, một đường đi cơ bản từ A tới B trên mạng Gf gọi là một đường tăng
luồng (Augmenting Path).
Với một đường tăng luồng P, ta đặt ΔP := min{cf(u, v)|(u, v) ∈ P} là giá trị nhỏ nhất của các
khả năng thông qua trên các cung trên P và gọi ΔP là giá trị thặng dư (Residual capacity) của
đường P.
262 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
2
1
3
4
5
6
5:5
2:5
1:1
1:3
0:3
5:6
6:6
1:6
2
1
3
4
5
6
5
2
1
3 1
5
6
1
3
2
5
Mạng G và luồng f Mạng Gf và đường tăng luồng P=〈1, 3, 4, 2, 5, 6〉; ΔP=2
Hình 79: Mạng thặng dư và đường tăng luồng
Định lý 5: Với P là một đường tăng luồng thì các giá trị fP[u, v] cho bởi :
P
P P
, if (u, v) P
f [u,v]= - , if (v, u) P
0, otherwise
Δ ∈ ⎧⎪
Δ ∈ ⎨⎪⎩
là một luồng trên Gf.
Chứng minh: Dễ thấy fP thoả mãn 3 tính chất của luồng.
Định lý 6: Cho mạng G và luồng f, nếu P là đường tăng luồng trên mạng thặng dư Gf thì phép
đặt f := (f+fP) cho ta một luồng mới trên f có giá trị bằng |f| + ΔP.
Chứng minh: Dễ dàng suy ra từ định lý 5 và định lý 6.
Phép gán f := (f+fP) gọi là tăng luồng dọc theo đường P.
Ví dụ: Với mạng G, luồng f, và đồ thị thặng dư Gf như Hình 79, giả sử chọn đường đi P=〈1, 3,
4, 2, 5, 6〉 làm đường tăng luồng với giá trị thặng dư ΔP = 2. Luồng fP trên Gf sẽ là:
fp[1, 3] = fP[3, 4] = fP[4, 2] = fP[2, 5] = fP[5, 6] = 2
fp[3, 1] = fP[4, 3] = fP[2, 4] = fP[5, 2] = fP[6, 5] = -2
Cộng các giá trị luồng này vào giá trị luồng f tương ứng trên các cung, ta sẽ có luồng mới
mang giá trị 9.
2
1
3
4
5
6
5
2
1
1
0
5
6
1
2
1
3
4
5
6
5
4
1
3
2
3
6
3
Hình 80: Luồng trên mạng G trước và sau khi tăng
Lý thuyết đồ thị 263
Lê Minh Hoàng
10.3. THUẬT TOÁN FORD-FULKERSON (L.R.FORD & D.R.FULKERSON -
1962)
Thuật toán Ford-Fulkerson có thể viết:
<Khởi tạo một luồng f trên G, chẳng hạn luồng 0>
while <Tìm được đường tăng luồng P trên Gf> do f := (f + fP);
<Output f>
Trước hết dễ thấy thuật toán Ford-Fulkerson trả về luồng tức là kết quả của thuật toán trả về
thoả mãn 3 tính chất của luồng. Việc chứng minh luồng đó là cực đại đã xây dựng một định lý
quan trọng về mối quan hệ giữa luồng cực đại và lát cắt hẹp nhất.
10.3.1. Lát cắt
Ta gọi một lát cắt (X, Y) là một cách phân hoạch tập đỉnh V thành 2 tập khác rỗng rời nhau X
và Y. Lát cắt thoả mãn s ∈ X và t ∈ Y gọi là lát cắt s-t. Khả năng thông qua của lát cắt (X, Y)
được định nghĩa bởi
u X,v Y
c(X,Y) c[u,v]
∈ ∈
= Σ . Luồng thông qua lát cắt (X, Y) định nghĩa bởi
u X,v Y
f (X,Y) f[u,v]
∈ ∈
= Σ .
Định lý 7: Cho mạng G và luồng f, khi đó luồng thông qua lát cắt s-t bất kỳ bằng |f|.
Chứng minh: Với (X, Y) là một lát cắt s-t bất kỳ,
f(X, Y) = f(X, V) - f(X, V\Y) (Định lý 2)
= f(X, V) - f(X, X) (V\Y = X)
= f(X, V) (Định lý 2)
= f(s, V) + f(X\{s}, V) (Định lý 2)
= f(s, V) (Định lý 2, X\{s} không chứa cả s và t)
= |f|
Định lý 8: Cho mạng G và luồng f, và (X, Y) là một lát cắt s-t, khi đó luồng thông qua lát cắt
(X, Y) không vượt quá khả năng thông qua của lát cắt (X, Y): f(X, Y) ≤ c(X, Y).
Chứng minh:
u X,y V u X,y V
f (X,Y) f[u,v] c[u,v] c(X,Y)
∈ ∈ ∈ ∈
= Σ ≤ Σ =
Hệ quả: Giá trị của một luồng f bất kỳ trên mạng G không vượt quá khả năng thông qua của
một lát cắt s-t bất kỳ.
Chứng minh: Suy ra trực tiếp từ định lý 8 và 9.
Định lý 9: (Định lý luồng cực đại và lát cắt s-t hẹp nhất)
Nếu f là một luồng trên mạng G = (V, E) với điểm phát s và điểm thu t, khi đó ba mệnh đề sau
là tương đương:
(1). f là luồng cực đại trên G
(2). Mạng thặng dư Gf không có đường tăng luồng
264 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
(3). Tồn tại (X, Y) là một lát cắt s-t để |f| = c(X, Y)
Chứng minh
(1) ⇒ (2)
Giả sử phản chứng rằng Gf có đường tăng luồng P thì ta có (f + fP) cũng là luồng trên G và giá
trị luồng của (f+fP) lớn hơn f, trái với giả thiết f là luồng cực đại trên mạng
(2) ⇒ (3)
Nếu Gf không tồn tại đường tăng luồng thì ta đặt
X = {u|Tồn tại đường đi từ s tới u trên mạng Gf}
Y = V\X
Khi đó X ∩ Y = ∅, s ∈ X, t ∉ X (do không có đường đi từ s tới t) nên t ∈ Y, nên (X, Y) là
một lát cắt s-t. Với ∀x ∈ X và ∀y ∈ Y, ta có f[u, v] = c[u, v] bởi nếu f[u, v] < c[u, v] thì có
cung (u, v) trên Gf và như vậy từ s có thể đến được v, trái với cách xây dựng lát cắt. Từ đó suy
ra f(X, Y) = c(X, Y)
(3) ⇒ (1)
Theo định lý 8, giá trị của mọi luồng trên G ≤ c(X, Y), nếu giá trị luồng f đúng bằng khả năng
thông qua của lát cắt (X, Y) thì f phải là luồng cực đại trên mạng
Định nghĩa: Lát cắt s-t có khả năng thông qua nhỏ nhất (bằng giá trị luồng cực đại trên mạng)
gọi là lát cắt s-t hẹp nhất của mạng G.
10.3.2. Cài đặt
Ta sẽ cài đặt thuật toán Ford-Fulkerson với Input và Output như sau
Input: file văn bản MAXFLOW.INP. Trong đó:
Dòng 1: Chứa số đỉnh n ( ≤ 100), số cạnh m của đồ thị, đỉnh phát s, đỉnh thu t theo đúng
thứ tự cách nhau ít nhất một dấu cách
m dòng tiếp theo, mỗi dòng có dạng ba số u, v, c[u, v] cách nhau ít nhất một dấu cách thể
hiện có cung (u, v) trong mạng và khả năng thông qua của cung đó là c[u, v] (c[u, v] là số
nguyên dương không quá 107)
Output: file văn bản MAXFLOW.OUT, ghi luồng trên các cung và giá trị luồng cực đại tìm
được
2
1
3
4
5
6
5
5
6
6
6
1
3
3
MAXFLOW.INP
6 8 1 6
1 2 5
1 3 5
2 4 6
2 5 3
3 4 3
3 5 1
4 6 6
5 6 6
MAXFLOW.OUT
f[1, 2] = 5
f[1, 3] = 4
f[2, 4] = 3
f[2, 5] = 2
f[3, 4] = 3
f[3, 5] = 1
f[4, 6] = 6
f[5, 6] = 3
Max Flow: 9
Ta sử dụng một số biến với các ý nghĩa như sau
Lý thuyết đồ thị 265
Lê Minh Hoàng
c[1..n, 1..n]: Ma trận biểu diễn khả năng thông qua của các cung trên mạng
f^[1..n, 1..n]: Ma trận biểu diễn luồng trên các cung
Trace[1..n]: Dùng để lưu vết đường tăng luồng, thuật toán tìm đường tăng luồng sẽ sử
dụng là thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng (BFS)
Ta có thể kiểm tra (u, v) có phải là cung trên mạng thặng dư Gf không bằng đẳng thức: c[u,
v] > f^[u, v]. Nếu (u, v) là cung trên Gf thì khả năng thông qua của nó là c[u, v] - f^[u, v].
P_4_10_1.PAS * Thuật toán Ford-Fulkerson
program Max_Flow_by_Ford_Fulkerson;
const
InputFile = 'MAXFLOW.INP';
OutputFile = 'MAXFLOW.OUT';
max = 100;
type
TCapacities = array[1..max, 1..max] of LongInt;
var
c: TCapacities;
f: ^TCapacities;
Trace: array[1..max] of Integer;
n, s, t: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
m, i, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
FillChar(c, SizeOf(c), 0);
ReadLn(fi, n, m, s, t);
for i := 1 to m do
ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
function FindPath: Boolean; {Tìm đường tăng luồng trên Gf, trả về True ⇔ tìm thấy}
var
u, v: Integer;
Queue: array[1..max] of Integer; {Hàng đợi dùng cho BFS}
Front, Rear: Integer;
begin
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0);
Front := 1; Rear := 1;
Queue[1] := s;
Trace[s] := n + 1; {Trace[v] = 0 ⇒ v chưa thăm}
repeat
u := Queue[Front]; Inc(Front); {Lấy u khỏi Queue}
for v := 1 to n do
if (Trace[v] = 0) and (c[u, v] > f^[u, v]) then {Xét ∀v chưa thăm kề u trên Gf}
begin
Trace[v] := u;
if v = t then {Đến được t thì thuật toán dừng}
begin
FindPath := True; Exit;
end;
Inc(Rear); Queue[Rear] := v; {Đẩy v vào Queue}
end;
until Front > Rear;
FindPath := False;
end;
266 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
procedure IncFlow; {Tăng luồng dọc đường tăng luồng: f := (f + fP)}
var
Delta, u, v: Integer;
begin
{Tính Delta = ΔP}
Delta := MaxInt;
v := t;
repeat
u := Trace[v];
if c[u, v] - f^[u, v] < Delta then Delta := c[u, v] - f^[u, v];
v := u;
until v = s;
{f := (f + fP)}
v := t;
repeat
u := Trace[v];
f^[u, v] := f^[u, v] + Delta;
f^[v, u] := f^[v, u] - Delta;
v := u;
until v = s;
end;
procedure PrintResult;
var
u, v: Integer;
m: LongInt;
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
m := 0;
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if f^[u, v] > 0 then {Chỉ quan tâm đến những cung có luồng dương}
begin
WriteLn(fo, 'f[', u, ', ', v, '] = ', f^[u, v]);
if u = s then m := m + f^[s, v];
end;
WriteLn(fo, 'Max Flow: ', m);
Close(fo);
end;
begin
Enter;
New(f);
FillChar(f^, SizeOf(f^), 0);
repeat
if not FindPath then Break;
IncFlow;
until False;
PrintResult;
Dispose(f); {Giải phóng bộ nhớ cấp cho f^}
end.
Định lý 10: (Tính nguyên): Nếu tất cả các khả năng thông qua là số nguyên thì thuật toán trên
luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên cung là các số nguyên.
Chứng minh: Ban đầu khởi tạo luồng 0 thì tức các luồng trên cung là nguyên. Mỗi lần tăng
luồng lên một lượng bằng trọng số nhỏ nhất trên các cung của đường tăng luồng cũng là số
nguyên nên cuối cùng luồng cực đại tất sẽ phải có luồng trên các cung là nguyên.
Lý thuyết đồ thị 267
Lê Minh Hoàng
Định lý 11: (Độ phức tạp tính toán): Edmonds và Karp chứng minh rằng nếu dùng thuật toán
BFS để tìm đường tăng luồng trên mạng được biểu diễn theo kiểu danh sách kề thì có thể cài
đặt thuật toán Ford-Fulkerson bằng giải thuật có độ phức tạp O(nm2). Tuy nhiên nếu khả
năng thông qua trên các cung của mạng là số nguyên thì có một cách đánh giá khác dựa trên
giá trị luồng cực đại: Độ phức tạp tính toán của thuật toán Ford-Fulkerson là O(|f*|.m) với |f*|
là giá trị luồng cực đại trên mạng.
10.4. THUẬT TOÁN PREFLOW-PUSH (GOLDBERG - 1986)
Thuật toán Ford-Fulkerson không những là một cách tiếp cận thông minh mà việc chứng
minh tính đúng đắn của nó cho ta nhiều kết quả thú vị về mối liên hệ giữa luồng cực đại và lát
cắt hẹp nhất. Tuy vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán Ford-Fulkerson là khá lớn, dẫn tới
những khó khăn khi thực hiện với dữ liệu lớn. Trong phần này ta sẽ trình bày một lớp các
thuật toán nhanh nhất cho tới nay để giải bài toán luồng cực đại, tên chung của các thuật toán
này là Preflow-push.
Ta có thể hình dung mạng như một hệ thống đường ống dẫn nước từ với điểm phát s tới điểm
thu t, các cung là các đường ống, khả năng thông qua là lưu lượng đường ống có thể tải. Nước
chảy theo nguyên tắc từ chỗ cao về chỗ thấp. Với một lượng nước lớn phát ra từ s tới một
đỉnh v, nếu có cách chuyển lượng nước đó sang địa điểm khác thì không có vấn đề gì, nếu
không thì có hiện tượng "quá tải" xảy ra tại v, ta "dâng cao" điểm v để lượng nước đó đổ sang
điểm khác (có thể đổ ngược về s). Cứ tiếp tục quá trình như vậy cho tới khi không còn hiện
tượng quá tải ở bất cứ điểm nào. Cách tiếp cận này hoàn toàn khác với thuật toán Ford-
Fulkerson: thuật toán Ford-Fulkerson cố gắng tìm một dòng chảy phụ (fP) từ s tới t và thêm
dòng chảy này vào luồng hiện có đến khi không còn dòng chảy phụ nữa.
10.4.1. Preflow
Cho một mạng G = (V, E). Ta gọi một preflow là một phép gán cho mỗi cung (u, v) ∈ E một
số thực f[u, v] thoả mãn 3 tính chất:
Tính chất 1 (Capacity constraint): preflow trên mỗi cũng không được vượt quá khả năng
thông qua của cung đó: f[u, v] ≤ c[u, v] (∀u, v∈V) .
Tính chất 2 (Skew symmetry): preflow trên cung (u, v) và preflow trên cung (v, u) có cùng
giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau: f[u, v] = −f[v,u]
Tính chất 3: Tổng luồng trên các cung đi vào mỗi đỉnh v ∈ V\{s} là số không âm:
u V
f[u,v] 0
∈
Σ ≥
Ta dùng biến FlowIn[v] để lưu tổng luồng trên các cung đi vào đỉnh v:
u V
FlowIn[u]= f[u,v]
∈ Σ
.
Đỉnh v ∈ V\{s, t} được gọi là quá tải (overflow) nếu FlowIn[v] > 0. Lưu ý rằng khái niệm quá
tải chỉ đề cập tới các đỉnh không phải đỉnh phát cũng không phải đỉnh thu.
Định nghĩa về preflow tương tự như định nghĩa luồng, chỉ khác nhau ở tính chất 3. Vì vậy ta
cũng có khái niệm mạng thặng dư Gf ứng với preflow tương tự như đối với luồng.
268 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
10.4.2. Thao tác khởi tạo (Init)
Ta gọi phép cho tương ứng mỗi đỉnh v với một số tự nhiên h[u] là một hàm độ cao. Trước hết
khởi tạo hàm độ cao như sau:
for (∀v ∈ V) do
if v = s then h[v] := n
else h[v] := 0
Sau thao tác khởi tạo hàm độ cao, ta khởi tạo preflow:
for (∀ u, v ∈ V, u≠s và v≠s) do f[u, v] := 0
for (∀ u ∈ V, u≠s) do
begin
f[s, u] := c[s, u];
f[u, s] := -c[s, u];
end;
Cuối cùng, ta phải tính các giá trị FlowIn[.] tương ứng với preflow vừa khởi tạo
for (∀ u ∈ V) do FlowIn[u] := f[s, u]
10.4.3. Thao tác Push
Thao tác Push(u, v) được áp dụng khi 3 điều kiện sau được thoả mãn:
u bị quá tải: (u ≠ s) and (u ≠ t) and (FlowIn[u] > 0)
(u, v) là cung trên Gf: cf[u, v] = c[u, v] - f[u, v] > 0
Đỉnh u cao hơn đỉnh v: h[u] > h[v]
Khi đó thao tác Push(u, v) sẽ thực hiện qua các bước sau:
Đặt Δ := min(FlowIn[u], cf[u, v])
Đặt f[u, v] := f[u, v] + Δ
Đặt f[v, u] := f[v, u] - Δ
FlowIn[u] := FlowIn[u] - Δ
FlowIn[v] := FlowIn[v] + Δ
Bản chất của thao tác Push(u, v) là chuyển một lượng nước Δ đọng tại u (do quá tải) sang
đỉnh v. Dễ thấy cả ba tính chất của Preflow vẫn được duy trì sau thao tác Push.
10.4.4. Thao tác Lift
Thao tác Lift(u) được áp dụng khi hai điều kiện sau được thoả mãn:
u bị quá tải: (u ≠ s) and (u ≠ t) and (FlowIn[u] > 0)
u không chuyển được luồng xuống nơi thấp hơn: (u, v) ∈ Ef ⇒ h[u] ≤ h[v]
Khi đó thao tác Lift(u) đặt h[u] := 1 + min{h[v]|(u, v) ∈ Ef}
Bản chất của thao tác Lift là khi đỉnh u bị quá tải và cũng không chuyển tải được cho đỉnh
khác thì ta đẩy đỉnh u lên cao hơn đỉnh thấp nhất có thể chuyển tải sang đúng một đơn vị độ
cao.
10.4.5. Thuật toán Preflow-push
Thuật toán Preflow-push có thể viết:
Lý thuyết đồ thị 269
Lê Minh Hoàng
Init;
while <Còn đỉnh bị quá tải u> do
if <∃v ∈ V để có thể thực hiện thao tác Push(u, v)> then
Push(u, v)
else
Lift(u);
<Output f>
Việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán Preflow-push có thể suy ra từ các định lý sau:
Định lý 12: Độ cao của các đỉnh không bao giờ bị giảm đi cả.
Chứng minh: Dễ thấy bởi chỉ có thao tác Lift thay đổi độ cao của đỉnh, thao tác này chỉ nâng
độ cao một đỉnh lên chứ không giảm đi.
Định lý 13: Các độ cao h[.] luôn thoả mãn ràng buộc: ∀ (u, v) ∈ Ef thì h[u] ≤ h[v] + 1. Ràng
buộc này gọi là ràng buộc độ cao
Chứng minh: Rõ ràng tại bước khởi tạo, các độ cao h[.] thoả mãn:
∀(u, v) ∈ Ef ⇒ h[u] ≤ h[v] + 1.
Thao tác Lift(u)
Với mọi cung (u, v) ∈ Ef, thao tác Lift đặt h[u] := 1 + min{h[v]|(u, v) ∈ Ef} đẩy u lên cao
hơn nhưng không quá h[v] + 1.
Với mọi cung (w, u) ∈ Ef, trước khi vào thủ tục Lift thì h[w] ≤ h[u] + 1 theo giả thiết, vậy
nếu đẩy u lên cao hơn thì h[w] vẫn không quá h[u] + 1.
Thao tác Push(u, v)
Chú ý rằng thao tác Push(u, v) chỉ thực hiện được nếu h[u] > h[v]. Thao tác Push trước hết
thêm vào Ef cung (v, u) khi đó ta có h[v] < h[u], ràng buộc độ cao được duy trì. Sau đó thao
tác Push có thể dỡ bỏ cung (u, v) từ Ef, việc dỡ bỏ này cũng bỏ luôn ràng buộc độ cao (h[u]
phải ≤ h[v] + 1).
Định lý được chứng minh.
Nói thêm rằng có thể chứng minh được thao tác Push(u, v) chỉ thực hiện được nếu u cao hơn
v đúng 1 đơn vị (h[u] = h[v] + 1). Điều này có thể suy ra từ ràng buộc độ cao h[u] ≤ h[v] + 1
và điều kiện h[u] > h[v] của thao tác Push.
Định lý 14: Cho G = (V, E) là một mạng với điểm phát s và điểm thu t, gọi f là một preflow
trên G. Khi đó nếu tồn tại một hàm độ cao h trên V thoả mãn ràng buộc độ cao thì không có
đường đi từ s tới t trong Gf.
Chứng minh: Giả sử phản chứng rằng có đường đi P = 〈s = v0, v1..., vk = t〉, không giảm tính
tổng quát, có thể coi P là đường đi cơ bản, tức là k < n. Từ ràng buộc độ cao ta có:
h[s] = h[v0] ≤ h[v1] + 1 ≤ h[v2] + 2 ≤ ... ≤ h[vk] + k = h[t] + k.
Bởi h[t] = 0, ta có h[s] ≤ k < n. Mâu thuẫn với việc h[s] được khởi tạo bằng n và không bao
giờ bị thay đổi cả.
Định lý 15: Thuật toán Preflow-push là đúng đắn và có độ phức tạp tính toán O(n2m).
270 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Chứng minh: Có thể chứng minh thuật toán Preflow-Push dừng trong thời gian O(n2m). Nếu
thuật toán dừng thì không còn đỉnh nào bị quá tải, ta có f là luồng. Theo định lý 14, không còn
đường đi từ s tới t trên Gf. Áp dụng định lý 9, ta có f là luồng cực đại trên mạng.
Có thể đưa vào một số cải tiến, chẳng hạn tổ chức danh sách các đỉnh quá tải theo dạng Queue,
sau đó với mỗi thao tác, thuật toán đẩy thêm những đỉnh quá tải mới phát hiện trong mỗi thao
tác Push vào chờ trong Queue để không tốn thời gian tìm đỉnh quá tải. Thuật toán tiến hành
theo cách này có độ phức tạp tính toán O(n3).
10.4.6. Cài đặt
Chương trình cài đặt thuật toán Preflow-push có Input và Output giống chương trình cài đặt
thuật toán Ford-Fulkerson.
Các đỉnh quá tải sẽ được lưu trong một cấu trúc dữ liệu Queue dạng danh sách vòng (xem
PHẦN 2, §5, 5.2.2). Mảng Boolean InQueue[1..n], trong đó InQueue[u] cho biết đỉnh u đã có
mặt trong Queue chưa. Hàm Discharge(u) được thực hiện với một đỉnh u bị quá tải, hàm này
sẽ cố gắng chuyển tải từ u sang những đỉnh v kề với u trên Gf qua thao tác Push. Nếu giảm tải
được cho u thì hàm trả về True, ngược lại hàm trả về False để báo cho chương trình biết phải
thực hiện thao tác Lift(u).
P_4_10_2.PAS * Thuật toán Preflow-push
program MaximumFlowByPreFlowPush;
const
InputFile = 'MAXFLOW.INP';
OutputFile = 'MAXFLOW.OUT';
max = 100;
type
TCapacities = array[1..max, 1..max] of LongInt;
var
c: TCapacities;
f: ^TCapacities;
FlowIn: array[1..max] of LongInt;
h: array[1..max] of Integer;
Queue: array[0..max - 1] of Integer;
InQueue: array[1..max] of Boolean;
n, s, t, Front, Rear: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
m, i, u, v: Integer;
fi: Text;
begin
Assign(fi, InputFile); Reset(fi);
FillChar(c, SizeOf(c), 0);
ReadLn(fi, n, m, s, t);
for i := 1 to m do
ReadLn(fi, u, v, c[u, v]);
Close(fi);
end;
function OverFlow(u: Integer): Boolean; {OverFlow[u] ⇔ u bị quá tải}
begin
OverFlow := (u <> s) and (u <> t) and (FlowIn[u] > 0)
end;
procedure Init; {Khởi tạo}
Lý thuyết đồ thị 271
Lê Minh Hoàng
var
v: Integer;
begin
New(f);
FillChar(f^, SizeOf(f^), 0);
FillChar(InQueue, SizeOf(InQueue), False);
FillChar(h, SizeOf(h), 0); {Khởi tạo hàm độ cao}
h[s] := n;
Rear := n - 1;
for v := 1 to n do {Cho s phát hết công suất lên các cung liên thuộc (s, v)}
begin
f^[s, v] := c[s, v];
f^[v, s] := -c[s, v];
FlowIn[v] := c[s, v];
if OverFlow(v) then {Nếu v bị quá tải thì đưa v vào Queue}
begin
Rear := (Rear + 1) mod n;
Queue[Rear] := v;
InQueue[v] := True;
end;
end;
Front := 0;
end;
procedure PushToQueue(u: Integer); {Đẩy một đỉnh quá tải u vào Queue}
begin
if not InQueue[u] then
begin
Rear := (Rear + 1) mod n;
Queue[Rear] := u;
InQueue[u] := True;
end;
end;
function PopFromQueue: Integer; {Lấy một đỉnh quá tải ra khỏi Queue, trả về trong kết quả hàm}
var
u: Integer;
begin
u := Queue[Front];
Front := (Front + 1) mod n;
InQueue[u] := False;
PopFromQueue := u;
end;
function Discharge(u: Integer): Boolean; {Hàm Discharge cố gắng giảm tải cho đỉnh quá tải u}
var
v: Integer;
Delta: LongInt;
Pushed: Boolean;
begin
Pushed := False;
for v := 1 to n do
if (c[u, v] > f^[u, v]) and (h[u] > h[v]) then {Điều kiện để thực hiện Push(u, v)}
begin
{Thực hiện thao tác Push(u, v)}
Delta := c[u, v] - f^[u, v];
if FlowIn[u] < Delta then Delta := FlowIn[u];
f^[u, v] := f^[u, v] + Delta;
f^[v, u] := f^[v, u] - Delta;
FlowIn[u] := FlowIn[u] - Delta;
FlowIn[v] := FlowIn[v] + Delta;
if OverFlow(v) then PushToQueue(v); {Thao tác Push(u, v) có thể sinh ra đỉnh quá tải mới v}
Pushed := True; {Đặt cờ báo u đã được giảm tải}
272 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
end;
Discharge := Pushed;
end;
function Lift(u: Integer): Boolean; {Thao tác Lift}
var
v, MinH: Integer;
begin
MinH := MaxInt;
for v := 1 to n do
if (c[u, v] > f^[u, v]) and (h[v] < MinH) then
MinH := h[v];
h[u] := MinH + 1;
end;
procedure Preflowpush; {Thuật toán Preflow-push}
var
u: Integer;
begin
while Front <> (Rear + 1) mod n do
begin
u := PopFromQueue;
if not Discharge(u) then Lift(u);
if FlowIn[u] > 0 then PushToQueue(u); {Nếu Discharge(u) không chuyển tải được hết cho u thì u vẫn quá tải}
end;
end;
procedure PrintResult; {In kết quả}
var
u, v: Integer;
m: LongInt;
fo: Text;
begin
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
m := 0;
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
if f^[u, v] > 0 then
begin
WriteLn(fo, 'f[', u, ', ', v, '] = ', f^[u, v]);
if u = s then m := m + f^[s, v];
end;
WriteLn(fo, 'Max Flow: ', m);
Close(fo);
end;
begin
Enter;
Init;
Preflowpush;
PrintResult;
Dispose(f);
end.
Thực ra tên gọi preflow-push là một tên gọi chung cho một lớp thuật toán mà ý tưởng ban đầu
của nó được phát triển bởi Karzanov năm 1974, mô hình chung nhất cho thuật toán preflowpush
đầu tiên là generic preflow-push được Goldberg đưa ra năm 1987 trong luận văn PhD
của ông. Sau đó có rất nhiều cải tiến từ mô hình này chẳng hạn: FIFO Preflow-push sử dụng
hàng đợi như chúng ta cài đặt ở trên, Highest Label Preflow-push (luôn chọn đỉnh quá tải nằm
Lý thuyết đồ thị 273
Lê Minh Hoàng
ở độ cao nhất để giảm tải trước), Lift-to-front Preflow-push, ... Các bạn có thể tham khảo
trong các tài liệu chuyên sâu về bài toán luồng.
10.5. MỘT SỐ MỞ RỘNG
Sau khi đã hiểu cặn kẽ hai định nghĩa về luồng dương và luồng (mục 10.1), dưới đây ta sẽ sử
dụng định nghĩa 1 về luồng cho dễ trình bày các khái niệm.
10.5.1. Mạng với nhiều điểm phát và nhiều điểm thu
Xét mạng G với p điểm phát s[1], s[2], ..., s[p] và q điểm thu t[1], t[2], ..., t[q]. Một luồng có
thể đi từ một điểm phát bất kỳ đến một điểm thu bất kỳ, được định nghĩa tương tự như trong
bài toán luồng cực đại. Bài toán tìm luồng cực đại từ các điểm phát đến các điểm thu có thể
đưa về bài toán với một điểm phát và một điểm thu bằng cách đưa vào thêm một điểm phát
giả s và một điểm thu giả t. Đỉnh s được nối tới tất cả các điểm phát s[1],..., s[p] và đỉnh t
được nối từ tất cả các đỉnh thu t[1], ..., t[q] bằng cung có khả năng thông qua là +∞ (Hình 81),
sau đó tìm luồng cực đại trên mạng và cuối cùng dỡ bỏ hai đỉnh giả cũng như các cung giả
mới thêm vào.
s1
a1
sp
s2
...
t1
a1
tq
t2
...
s t
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
Hình 81: Mạng giả của mạng có nhiều điểm phát và nhiều điểm thu
10.5.2. Mạng với khả năng thông qua của các đỉnh và các cung
Giả sử trong mạng G, ngoài khả năng thông qua của các cung c[u, v], mỗi đỉnh còn được gán
một số không âm d[.] là khả năng thông qua của đỉnh đó. Luồng được định nghĩa tương tự
nhưng thêm ràng buộc: tổng luồng đi vào mỗi đỉnh v không được vượt quá d[v]:
u V
f[u, v] d[v]
∈
Σ ≤ .
Nếu ta thay mỗi đỉnh v trên đồ thị bằng hai đỉnh vin, vout và một cung (vin, vout) có khả năng
thông qua là d[v], sau đó thay mỗi cung đi vào v thành cung đi vào vin và thay mỗi cung đi ra
từ v bằng cung đi ra từ vout (Hình 82) thì bài toán tìm luồng cực đại trên mạng G có thể giải
quyết bằng cách tìm luồng cực đại trên mạng giả này và gán luồng trên mỗi cung (u, v) trên
mạng ban đầu bằng giá trị luồng trên cung (uout, vin) trên mạng giả.
274 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
u
in
d
out
Hình 82: Thay một đỉnh u bằng hai đỉnh uin, uout
10.5.3. Mạng với ràng buộc luồng thông qua của các cung bị chặn cả trên và dưới
Xét mạng G trong đó mỗi cung (u, v) ngoài khả năng thông qua c[u, v] còn được gán một số
không âm d[u, v] là cận dưới của luồng. Bài toán đặt ra là có tồn tại luồng tương thích trên G
hay không. (Luồng tương thích trên G là một phép gán cho mỗi cung (u, v) một giá trị f[u, v]
thỏa mãn: d[u, v] ≤ f[u, v] ≤ c[u, v] ).
Đưa vào mạng G một đỉnh phát giả s' và một đỉnh thu giả t', xây dựng một mạng giả G' theo
quy tắc: với mỗi cung (u, v) trên G sẽ tương ứng với 3 cung trên G': cung (s', v) và (u, t') với
khả năng thông qua là d[u, v], cung (u, v) với khả năng thông qua là c[u, v] - d[u, v]. Ngoài ra
thêm vào một cung (t, s) trên G' với khả năng thông qua +∞ (Hình 83).
s u v t
c[u,v]-d[u,v]
t' s'
d[u,v] d[u,v]
+∞
Hình 83: Mạng giả của mạng có khả năng thông qua của các cung bị chặn hai phía
Định lý 16: Điều kiện cần và đủ để tồn tại luồng tương thích trên G là trên G' phải tồn tại
luồng từ s' tới t' với giá trị luồng là d[u, v]
(u,v) E
Σ
∈
.
Dễ thấy nếu tồn tại luồng trên G' từ s' tới t' với giá trị luồng d[u, v]
(u,v) E
Σ
∈
thì luồng đó phải là
luồng cực đại trên G'. Để chỉ ra luồng tương thích trên G, ta chỉ việc lấy giá trị luồng trên
cung (u, v) của G' cộng thêm d[u, v] là được luồng trên cung (u, v) của G.
Bài tập:
Bài 1
Cho một đồ thị gồm n đỉnh và m cạnh và 2 đỉnh A, B. Hãy tìm cách bỏ đi một số ít nhất các
cạnh để không còn đường đi từ A tới B.
Lý thuyết đồ thị 275
Lê Minh Hoàng
Hướng dẫn: Coi G = (V, E) là mạng với điểm phát A và điểm thu B, loại bỏ tất cả các cung đi
vào A và các cung đi ra khỏi B, đặt khả năng thông qua của các cung đều bằng 1, tìm luồng
cực đại trên mạng và lát cắt s-t hẹp nhất (X, Y), những cạnh nỗi giữa X và Y là những cạnh
cần bỏ.
Bài 2: Hệ đại diện phân biệt
Một lớp học có n bạn nam, n bạn nữ. Cho m món quà lưu niệm, (n ≤ m). Mỗi bạn có sở thích
về một số món quà nào đó. Hãy tìm cách phân công mỗi bạn nam tặng một món quà cho một
bạn nữ thoả mãn:
Mỗi bạn nam chỉ tặng quà cho đúng một bạn nữ
Mỗi bạn nữ chỉ nhận quà của đúng một bạn nam
Bạn nam nào cũng đi tặng quà và bạn nữ nào cũng được nhận quà, món quà đó phải hợp sở
thích của cả hai người.
Món quà nào đã được một bạn nam chọn thì bạn nam khác không được chọn nữa.
Hướng dẫn: Xây dựng mạng G = (V, E), trong đó V gồm 4 lớp đỉnh:
Lớp đỉnh A[1..n], mỗi đỉnh tượng trưng cho một bạn nam
Lớp đỉnh B[1..m], mỗi đỉnh tượng trưng cho một món quà
Lớp đỉnh C[1..m], mỗi đỉnh tượng trưng cho một món quà
Lớp đỉnh D[1..n], mỗi đỉnh tượng trưng cho một bạn nữ.
Tập các cung E được xây dựng như sau:
Một cung nối từ lớp A tới lớp B tương ứng với một bạn nam và một món quà hợp sở thích
của bạn nam đó.
Một cung nối từ lớp B sang lớp C nối một đỉnh tượng trưng cho một món quà từ lớp B tới
đỉnh tượng trưng cho chính món quà đó ở lớp C.
Một cung nối từ lớp C sang lớp D tương ứng với một món quà và một bạn nữ thích món
quà đó.
Tất cả các cung đều có khả năng thông qua bằng 1
Tìm luồng cực đại trên mạng, nếu giá trị luồng bằng m thì cách phân công là tồn tại và có thể
chỉ ra bằng cách: Trên những cung có luồng đi qua (giá trị luồng đi qua bằng 1 theo định lý về
tính nguyên), mỗi cung nối từ lớp A sang lớp B tương đương với một bạn nam và một món
quà bạn nam đó sẽ chọn, mỗi cung từ lớp C sang lớp D tương đương với một món quà và một
bạn nữ sẽ nhận món quà đó.
Bài 3: Minimum Path Cover
Cho một đồ thị G = (V, E) có hướng và không có chu trình (Directed Acyclic Graph-DAG),
một phủ đường (Path Cover) là một tập P gồm các đường đi trên G thoả mãn: Với mọi đỉnh
v∈V, tồn tại duy nhất một đường đi p∈P chứa v. Đường đi có thể bắt đầu và kết thúc ở bất cứ
đâu, có tính cả đường đi độ dài 0 (chỉ gồm 1 đỉnh).
276 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Hãy tìm phủ đường gồm ít đường đi nhất (⎪P⎪→min).
Hướng dẫn:
Giả sử V = {1, ..., n}. Xây dựng đồ thị G'=(V', E'), trong đó:
V' = {x0, x1, ..., xn} ∪ {y0, y1, ..., yn}
E' = {(x0, xi)|i ∈ V} ∪ {(yj, y0)|j ∈ V} ∪ {(xi, yj)|(i, j) ∈ E}
Tìm luồng nguyên cực đại trên mạng G' với đỉnh phát x0, đỉnh thu y0 và tất cả khả năng thông
qua của các cung được gán bằng 1. Mỗi cung (xi, yj) trên G' có luồng đi qua sẽ tương ứng với
một cung (i, j) của G được chọn vào một đường đi nào đó trong P. Cuối cùng, những đỉnh nào
của G chưa thuộc P sẽ được đưa nốt vào P với tư cách là đường đi độ dài 0.
x4
y1
y2
G G'
P={(1, 3, 5), (2, 4, 6)}
x1
x2
x3
x5
x6
x0
y3
y4
y5
y6
y0
1 2
3 4
5 6
Trước hết ta có nhận xét rằng có một sự tương ứng giữa phủ đường trên G và luồng nguyên
cực đại trên G'. Thật vậy:
Với mỗi đường đi 〈v[1], v[2], ..., v[q]〉 của P, với mỗi đỉnh v[j] (j=1, ..., q), ta có thể đẩy 1
đơn vị luồng từ x0 tới xv[j] qua yv[j+1] đến y0. Dễ thấy luồng trên G' được xây dựng như vậy
là thoả mãn định nghĩa luồng, bởi các đường đi trong P đôi một không có đỉnh chung.
Ngược lại, với một luồng nguyên trên G', ta bỏ qua không xét những cung nối từ x0 và
những cung nối tới y0 trên G', theo định lý về tính nguyên, luồng trên mỗi cung của G'
hoặc bão hoà (luồng = khả năng thông qua = 1), hoặc bằng 0. Khởi tạo P gồm n đỉnh ∈ V
và chưa có cung nào, có thể coi P gồm n đường đi độ dài 0. Mỗi khi đưa vào P một cung (u,
v) tương ứng với một cung bão hoà (xu, yv) trên G', cung đó sẽ nối 2 đường trên P thành
một đường. Tại sao vậy?, bởi trên G', mỗi đỉnh xu có nhiều nhất một cung bão hoà đi ra và
mỗi đỉnh yv có nhiều nhất một cung bão hoà đi vào, vậy nên nếu thêm vào P cung (u, v)
tương ứng với cung bão hoà (xu, yv) trên G' sẽ không bao giờ làm cho bán bậc ra của u
cũng như bán bậc vào của v vượt quá 1 (tức là không tạo thành ngã rẽ). Từ đó suy ra, theo
thuật toán, mỗi lần thêm vào P một cung thì số đường đi trong P sẽ giảm đi 1. Vì số cung
bão hoà dạng (xu, yv) trên G' đúng bằng giá trị luồng cực đại trên mạng G' nên số đường đi
trên P xây dựng theo cách trên sẽ là n – f với f là giá trị luồng thông qua mạng G'. Việc cực
Lý thuyết đồ thị 277
Lê Minh Hoàng
tiểu hoá số đường đi trong P tương đương với cực đại hoá giá trị luồng qua mạng G', tức là
phủ đường suy ra từ luồng cực đại là phủ đường tối thiểu.
Thuật toán trên không thực hiện được trong trường hợp đồ thị có chu trình, hãy tự giải thích
tại sao. Cho tới nay, người ta vẫn cho rằng bài toán tìm phủ đường cực tiểu trong trường hợp
đồ thị tổng quát là NP-Hard, có nghĩa là một thuật toán với độ phức tạp đa thức để giải quyết
bài toán phủ đường cực tiểu trên đồ thị tổng quát sẽ là một phát minh lớn và đáng ngạc nhiên.
Bài 4: The minimum cut
Ta quan tâm đến đồ thị vô hướng liên thông G = (V, E), các cạnh được gán trọng số không âm,
bài toán đặt ra là hãy phân hoạch tập đỉnh V thành hai tập khác rỗng rời nhau X và Y sao cho
tổng trọng số các cạnh nối giữa X và Y là nhỏ nhất có thể. Cách phân hoạch này gọi là lát cắt
tổng quát hẹp nhất của G. Ký hiệu MinCut(G).
Hướng dẫn:
Gọi c là ma trận trọng số của G, c[u, v] = 0 nếu (u, v) không là cạnh.
Bài toán có thể phát biểu: Tìm X ⊆ V và Y ⊆ V thoả mãn:
(X ∪ Y = V) and (X ∩ Y = ∅) and (c(X, Y) → min)
Cách 1: Một cách tệ nhất có thể thực hiện là thử tất cả các cặp đỉnh (s, t). Với mỗi lần thử ta
cho s làm điểm phát và t làm điểm thu trên mạng G, tìm luồng cực đại và lát cắt s-t hẹp nhất.
Cuối cùng là chọn lát cắt s-t có trọng số nhỏ nhất trong tất cả các lần thử. Cách này có thể nói
là rất chậm (mất n.(n-1)/2 lần tìm luồng cực đại) nên không khả thi với dữ liệu lớn. Dưới đây
ta trình bày cách làm khác.
Với hai điểm u và v của G, ta gọi đồ thị G/{u, v} là đồ thị tạo thành từ G bằng cách chập 2
đỉnh u và v thành 1 đỉnh uv. Trọng số của các cạnh (uv, w) được tính bằng tổng c[u, w] + c[v,
w]. Khi đó ta có định lý:
Định lý 17: Với s và t là hai đỉnh bất kỳ của G, khi đó MinCut(G) có thể thu được bằng cách
lấy lát cắt nhỏ hơn trong hai lát cắt:
Lát cắt s-t hẹp nhất: Coi s và t lần lượt là điểm phát và điểm thu trên G, lát cắt s-t hẹp nhất
có thể xác định bằng việc giải quyết bài toán luồng cực đại trên G với c là ma trận khả
năng thông qua.
Lát cắt tổng quát hẹp nhất trên G/{s, t}: MinCut(G/{s, t}).
Chứng minh: Lát cắt tổng quát hẹp nhất trên G có thể đưa s và t vào hai thành phần liên
thông khác nhau hoặc đưa chúng vào cùng một thành phần liên thông. Trong trường hợp 1,
MinCut(G) là lát cắt s-t hẹp nhất, trường hợp 2, MinCut(G) là MinCut(G/{s, t}).
Đến đây ta có một thuật toán tốt hơn:
Cách 2: Nếu đồ thị có đúng 2 đỉnh thì chỉ việc cắt rời hai đỉnh, nếu không thì chọn lấy hai
đỉnh phân biệt s, t bất kỳ lần lượt là điểm phát và điểm thu, tìm luồng cực đại trên mạng và
ghi nhận lại lát cắt s-t. Sau đó chập s và t lại thành một đỉnh st và lặp lại. Cuối cùng là chỉ ra
lát cắt tổng quát hẹp nhất trong số các lát cắt đã ghi nhận. Cách 2 tốt hơn cách 1 ở chỗ: thay vì
278 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
n.(n-1)/2 lần tìm luồng cực đại ta chỉ cần n-1 lần tìm luồng cực đại. Tuy vậy cách này vẫn
chưa phải thật tốt.
Có thể nhận xét rằng tại mỗi bước của cách giải 2, ta có thể chọn hai đỉnh s và t bất kỳ, miễn
sao s ≠ t. Vậy ta sẽ tìm một "chiến thuật" chọn hai đỉnh s và t một cách hợp lý để có thể chỉ
ngay ra lát cắt s-t mà không cần tìm luồng cực đại.
Cách 3: Với một tập A ⊆ V và một đỉnh v ∈ V, ta quan tâm tới giá trị c(A, {v}), về mặt trực
quan, c(A, {v}) cho biết đỉnh v gắn với A "chặt" tới mức nào.
Lấy u là một đỉnh bất kỳ trong V, đặt A := {u}. Sau đó cứ chọn đỉnh gắn với A chặt nhất thêm
vào A cho tới khi A = V (Dùng kỹ thuật tương tự như thuật toán Prim -PHẦN 4, §9, 9.3). Gọi
t là đỉnh được kết nạp cuối cùng trong tiến trình này và s là đỉnh được kết nạp liền trước t.
Định lý 18: Lát cắt (V\{t}, {t}) là lát cắt s-t hẹp nhất.
Chứng minh: Với một lát cắt s-t bất kỳ, ta sẽ chứng minh rằng khả năng thông qua của lát cắt
này lớn hơn hay bằng khả năng thông qua của lát cắt (V\{t}, {t}).
Xét một lát cắt s-t bất kỳ ξ. Ta gọi đỉnh v là hoạt tính nếu v và đỉnh được kết nạp liền trước v
bị rơi vào hai phần khác nhau của lát cắt ξ. Với mỗi đỉnh v, ta gọi Av là tập những đỉnh được
kết nạp vào A trước đỉnh v. Gọi ξv là lát cắt ξ hạn chế trên Av∪{v} (lát cắt ξv dùng đúng cách
phân hoạch của lát cắt ξ, nhưng chỉ quan tâm đến tập đỉnh Av∪{v}). Ký hiệu w(ξ) là khả
năng thông qua của lát cắt ξ, ký hiệu w(ξv) là khả năng thông qua của lát cắt ξv.
Bổ đề: Nếu v là đỉnh hoạt tính thì c(Av, {v}) ≤ w(ξv)
Thật vậy, nếu v là đỉnh hoạt tính đầu tiên được kết nạp vào A, khi đó ξv sẽ chia tập Av∪{v}
thành hai tập con mà một trong hai tập con đó bằng {v} do v là đỉnh hoạt tính đầu tiên. Trong
trường hợp này ta có c(Av, {v}) = w(ξv). Giả thiết quy nạp rằng bổ đề đúng với u, ta sẽ chứng
minh bổ đề cũng đúng với đỉnh hoạt tính v được kết nạp vào A sau u. Thật vậy:
c(Av, {v}) = c(Au, {v}) + c(Av\Au, {v}) (Do Au ⊆ Av)
≤ c(Au, {u}) + c(Av\Au, {v}) (Do u phải gắn với Au chặt hơn hoặc bằng v)
≤ w(ξu) + c(Av\Au, {v}) (Giả thiết quy nạp)
≤ w(ξv) (Do u và v đều hoạt tính, Av\Au phải nằm
khác phía với v trong lát cắt ξ ⇒ Khi tính
w(ξv), tập cạnh có mặt trong phép tính w(ξu)
cũng có mặt do Au ⊆ Av, tập cạnh nối từ
Av\Au sang v cũng có mặt, hai tập cạnh này
không giao nhau)
Áp dụng bổ đề với t là đỉnh hoạt tính, ta có c(At, {t}) ≤ w(ξt) = w(ξ). Tức là khả năng thông
qua của lát cắt (V\{t}, t) nhỏ hơn khả năng thông qua của lát cắt ξ, điều này đúng với mọi ξ,
đây là điều phải chứng minh.
Lý thuyết đồ thị 279
Lê Minh Hoàng
Định lý 19: Bài toán tìm lát cắt tổng quát hẹp nhất trên đồ thị có thể giải quyết bằng thuật toán
có độ phức tạp O(n(m+n)lgn), với n và m lần lượt là số cạnh và số đỉnh của đồ thị.
Chứng minh: Với việc áp dụng kỹ thuật gán nhãn tương tự như thuật toán Prim kết hợp với
việc sử dụng cấu trúc Heap để chọn ra đỉnh gắn với A chặt nhất, việc xác định s, t và chọn ra
lát cắt s-t hẹp nhất có độ phức tạp O((m+n)lgn). Sau khi ghi nhận lát cắt s-t hẹp nhất này, ta
chập s và t lại thành một đỉnh st và lặp lại với đồ thị G/{s, t}. Tổng cộng có n - 2 lần lặp, từ đó
suy ra kết quả.
Đây là một bài toán hay, việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán phải dựa trên lý thuyết
về luồng cực đại và lát cắt s-t hẹp nhất, nhưng để lập trình giải bài toán lát cắt tổng quát hẹp
nhất thì không cần động chạm gì đến các thuật toán tìm luồng cực đại cả.
280 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§11. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA
11.1. ĐỒ THỊ HAI PHÍA (BIPARTITE GRAPH)
Các tên gọi đồ thị hai phía một dạng đơn đồ thị vô hướng G = (V, E) mà tập đỉnh của nó có
thể chia làm hai tập con X, Y rời nhau sao cho bất kỳ cạnh nào của đồ thị cũng nối một đỉnh
của X với một đỉnh thuộc Y. Khi đó người ta còn ký hiệu G là (X ∪ Y, E) và gọi một tập
(chẳng hạn tập X) là tập các đỉnh trái và tập còn lại (chẳng hạn tập Y) là tập các đỉnh phải
của đồ thị hai phía G. Các đỉnh thuộc X còn gọi là các X_đỉnh, các đỉnh thuộc Y gọi là các
Y_đỉnh.
X
Y
Hình 84: Đồ thị hai phía
Để kiểm tra một đồ thị liên thông có phải là đồ thị hai phía hay không, ta có thể áp dụng thuật
toán sau:
Với một đỉnh v bất kỳ:
X := {v}; Y := ∅;
repeat
Y := Y ∪ Kề(X);
X := X ∪ Kề(Y);
until (X ∩ Y ≠ ∅) or 〈X và Y là tối đại - không bổ sung được nữa〉;
if X ∩ Y ≠ ∅ then
〈Không phải đồ thị hai phía〉
else
〈Đây là đồ thị hai phía,
X là tập các đỉnh trái: các đỉnh đến được từ v qua một số chẵn cạnh
Y là tập các đỉnh phải: các đỉnh đến được từ v qua một số lẻ cạnh〉;
Đồ thị hai phía gặp rất nhiều mô hình trong thực tế. Chẳng hạn quan hệ hôn nhân giữa tập
những người đàn ông và tập những người đàn bà, việc sinh viên chọn trường, thầy giáo chọn
tiết dạy trong thời khoá biểu v.v...
11.2. BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI KHÔNG TRỌNG VÀ CÁC KHÁI NIỆM
Cho một đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E) ở đây X là tập các đỉnh trái và Y là tập các đỉnh phải
của G. X = {x[1], x[2], ..., x[m]}, Y = {y[1], y[2], ..., y[n]}
Một bộ ghép (matching) của G là một tập hợp các cạnh của G đôi một không có đỉnh chung.
Lý thuyết đồ thị 281
Lê Minh Hoàng
Bài toán ghép đôi (matching problem) là tìm một bộ ghép lớn nhất (nghĩa là có số cạnh lớn
nhất) của G
Xét một bộ ghép M của G.
Các đỉnh trong M gọi là các đỉnh đã ghép (matched vertices), các đỉnh khác là chưa ghép.
Các cạnh trong M gọi là các cạnh đã ghép, các cạnh khác là chưa ghép
Nếu định hướng lại các cạnh của đồ thị thành cung, những cạnh chưa ghép được định
hướng từ X sang Y, những cạnh đã ghép định hướng từ Y về X. Trên đồ thị định hướng đó:
Một đường đi xuất phát từ một X_đỉnh chưa ghép gọi là đường pha, một đường đi từ một
X_đỉnh chưa ghép tới một Y_đỉnh chưa ghép gọi là đường mở.
Một cách dễ hiểu, có thể quan niệm như sau:
Một đường pha (alternating path) là một đường đi đơn trong G bắt đầu bằng một X_đỉnh
chưa ghép, đi theo một cạnh chưa ghép sang Y, rồi đến một cạnh đã ghép về X, rồi lại đến
một cạnh chưa ghép sang Y... cứ xen kẽ nhau như vậy.
Một đường mở (augmenting path) là một đường pha. Bắt đầu từ một X_đỉnh chưa ghép kết
thúc bằng một Y_đỉnh chưa ghép.
Ví dụ: với đồ thị hai phía trong hình Hình 85 và bộ ghép M = {(x[1], y[1]), (x[2], y[2])}
x[3] và y[3] là những đỉnh chưa ghép, các đỉnh khác là đã ghép
Đường (x[3], y[2], x[2], y[1]) là đường pha
Đường (x[3], y[2], x[2], y[1], x[1], y[3]) là đường mở.
3 3
X Y
1
2
1
2
Hình 85: Đồ thị hai phía và bộ ghép M
11.3. THUẬT TOÁN ĐƯỜNG MỞ
Thuật toán đường mở để tìm một bộ ghép lớn nhất phát biểu như sau:
Bước 1:
Bắt đầu từ một bộ ghép bất kỳ M (thông thường bộ ghép được khởi gán bằng bộ ghép rỗng
hay được tìm bằng các thuật toán tham lam)
Bước 2:
Tìm một đường mở
Bước 3:
282 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nếu bước 2 tìm được đường mở thì mở rộng bộ ghép M: Trên đường mở, loại bỏ những
cạnh đã ghép khỏi M và thêm vào M những cạnh chưa ghép. Sau đó lặp lại bước 2.
Nếu bước 2 không tìm được đường mở thì thuật toán kết thúc
〈Khởi tạo một bộ ghép M〉;
while 〈Có đường mở xuất phát từ x tới một đỉnh y chưa ghép ∈ Y〉 do
〈Dọc trên đường mở, xoá bỏ khỏi M các cạnh đã ghép và thêm vào M những cạnh chưa ghép〉;
{Sau thao tác này, đỉnh x và y trở thành đã ghép, số cạnh đã ghép tăng lên 1}
Như ví dụ trên, với bộ ghép hai cạnh M = {(x[1], y[1]), (x[2], y[2])} và đường mở tìm được
gồm các cạnh:
(x[3], y[2]) ∉ M
(y[2], x[2]) ∈ M
(x[2], y[1]) ∉ M
(y[1], x[1]) ∈ M
(x[1], y[3]) ∉ M
Vậy thì ta sẽ loại đi các cạnh (y[2], x[2]) và (y[1], x[1]) trong bộ ghép cũ và thêm vào đó các
cạnh (x[3], y[2]), (x[2], y[1]), (x[1], y[3]) được bộ ghép 3 cạnh.
11.4. CÀI ĐẶT
11.4.1. Biểu diễn đồ thị hai phía
Giả sử đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E) có các X_đỉnh ký hiệu là x[1], x[2], ..., x[m] và các
Y_đỉnh ký hiệu là y[1], y[2], ..., y[n]. Ta sẽ biểu diễn đồ thị hai phía này bằng ma trận A cỡ
mxn. Trong đó:
A[i, j] = TRUE ⇔ có cạnh nối đỉnh x[i] với đỉnh y[j].
11.4.2. Biểu diễn bộ ghép
Để biểu diễn bộ ghép, ta sử dụng hai mảng: matchX[1..m] và matchY[1..n].
matchX[i] là chỉ số của đỉnh thuộc tập Y ghép với đỉnh x[i]
matchY[j] là chỉ số của đỉnh thuộc tập X ghép với đỉnh y[j].
Tức là nếu như cạnh (x[i], y[j]) thuộc bộ ghép thì matchX[i] = j và matchY[j] = i.
Quy ước rằng:
Nếu như x[i] chưa ghép với đỉnh nào của tập Y thì matchX[i] = 0
Nếu như y[j] chưa ghép với đỉnh nào của tập X thì matchY[j] = 0.
Suy ra
Thêm một cạnh (x[i], y[j]) vào bộ ghép ⇔ Đặt matchX[i] := j và matchY[j] := i;
Loại một cạnh (x[i], y[j]) khỏi bộ ghép ⇔ Đặt matchX[i] := 0 và matchY[j] := 0;
Lý thuyết đồ thị 283
Lê Minh Hoàng
11.4.3. Tìm đường mở như thế nào.
Vì đường mở bắt đầu từ một X_đỉnh chưa ghép, đi theo một cạnh chưa ghép sang tập Y, rồi
theo một đã ghép để về tập X, rồi lại một cạnh chưa ghép sang tập Y ... cuối cùng là cạnh
chưa ghép tới một Y_đỉnh chưa ghép. Nên có thể thấy ngay rằng độ dài đường mở là lẻ và
trên đường mở số cạnh ∈ M ít hơn số cạnh ∉ M là 1 cạnh. Và cũng dễ thấy rằng giải thuật tìm
đường mở nên sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng để đường mở tìm được là đường
đi ngắn nhất, giảm bớt công việc cho bước tăng cặp ghép.
Ta khởi tạo một hàng đợi (Queue) ban đầu chứa tất cả các X_đỉnh chưa ghép. Thuật toán tìm
kiếm theo chiều rộng làm việc theo nguyên tắc lấy một đỉnh v khỏi Queue và lại đẩy Queue
những nối từ v chưa được thăm. Như vậy nếu thăm tới một Y_đỉnh chưa ghép thì tức là ta tìm
đường mở kết thúc ở Y_đỉnh chưa ghép đó, quá trình tìm kiếm dừng ngay. Còn nếu ta thăm
tới một đỉnh y[j] ∈ Y đã ghép, dựa vào sự kiện: từ y[j] chỉ có thể tới được matchY[j] theo
duy nhất một cạnh đã ghép định hướng ngược từ Y về X, nên ta có thể đánh dấu thăm y[j],
thăm luôn cả matchY[j], và đẩy vào Queue phần tử matchY[j] ∈ X (Thăm liền 2 bước).
Input: file văn bản MATCH.INP
Dòng 1: chứa hai số m, n (m, n ≤ 100) theo thứ tự là số X_đỉnh và số Y_đỉnh cách nhau ít
nhất một dấu cách
Các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi hai số i, j cách nhau ít nhất một dấu cách thể hiện có
cạnh nối hai đỉnh (x[i], y[j]).
Output: file văn bản MATCH.OUT, ghi bộ ghép cực đại tìm được
X Y
1
2
3
4
1
2
3
4
5
MATCH.INP
4 5
1 1
1 4
2 1
2 2
2 4
3 2
3 3
4 2
4 3
MATCH.OUT
Match:
1) x[1] - y[1]
2) x[2] - y[4]
3) x[3] - y[3]
4) x[4] - y[2]
P_4_11_1.PAS * Thuật toán đường mở tìm bộ ghép cực đại
program MatchingProblem;
const
InputFile = 'MATCH.INP';
OutputFile = 'MATCH.OUT';
max = 100;
var
m, n: Integer;
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
matchX, matchY: array[1..max] of Integer;
Trace: array[1..max] of Integer;
procedure Enter;
var
284 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
i, j: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
ReadLn(f, m, n);
while not SeekEof(f) do
begin
ReadLn(f, i, j);
a[i, j] := True;
end;
Close(f);
end;
procedure Init; {Khởi tạo bộ ghép rỗng}
begin
FillChar(matchX, SizeOf(matchX), 0);
FillChar(matchY, SizeOf(matchY), 0);
end;
{Tìm đường mở, nếu thấy trả về một Y_đỉnh chưa ghép là đỉnh kết thúc đường mở, nếu không thấy trả về 0}
function FindAugmentingPath: Integer;
var
Queue: array[1..max] of Integer;
i, j, Front, Rear: Integer;
begin
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0); {Trace[j] = X_đỉnh liền trước y[j] trên đường mở}
Rear := 0; {Khởi tạo hàng đợi rỗng}
for i := 1 to m do {Đẩy tất cả những X_đỉnh chưa ghép vào hàng đợi}
if matchX[i] = 0 then
begin
Inc(Rear);
Queue[Rear] := i;
end;
{Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng}
Front := 1;
while Front <= Rear do
begin
i := Queue[Front]; Inc(Front); {Lấy một X_đỉnh ra khỏi Queue (x[i])}
for j := 1 to n do {Xét những Y_đỉnh chưa thăm kề với x[i] qua một cạnh chưa ghép}
if (Trace[j] = 0) and a[i, j] and (matchX[i] <> j) then
begin {lệnh if trên hơi thừa đk matchX[i] <> j, điều kiện Trace[j] = 0 đã bao hàm luôn điều kiện này rồi}
Trace[j] := i; {Lưu vết đường đi}
if matchY[j] = 0 then {Nếu j chưa ghép thì ghi nhận đường mở và thoát ngay}
begin
FindAugmentingPath := j;
Exit;
end;
Inc(Rear); {Đẩy luôn matchY[j] vào hàng đợi}
Queue[Rear] := matchY[j];
end;
end;
FindAugmentingPath := 0; {Ở trên không Exit được tức là không còn đường mở}
end;
{Nới rộng bộ ghép bằng đường mở kết thúc ở f∈Y}
procedure Enlarge(f: Integer);
var
x, next: Integer;
begin
repeat
x := Trace[f];
next := matchX[x];
Lý thuyết đồ thị 285
Lê Minh Hoàng
matchX[x] := f;
matchY[f] := x;
f := next;
until f = 0;
end;
procedure Solve; {Thuật toán đường mở}
var
finish: Integer;
begin
repeat
finish := FindAugmentingPath; {Đầu tiên thử tìm một đường mở}
if finish <> 0 then Enlarge(finish); {Nếu thấy thì tăng cặp và lặp lại}
until finish = 0; {Nếu không thấy thì dừng}
end;
procedure PrintResult; {In kết quả}
var
i, Count: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, 'Match: ');
Count := 0;
for i := 1 to m do
if matchX[i] <> 0 then
begin
Inc(Count);
WriteLn(f, Count, ') x[', i, '] - y[', matchX[i], ']');
end;
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Solve;
PrintResult;
end.
Khảo sát tính đúng đắn của thuật toán cho ta một kết quả khá thú vị:
Nếu ta thêm một đỉnh A và cho thêm m cung từ A tới tất cả những đỉnh của tập X, thêm một
đỉnh B và nối thêm n cung từ tất cả các đỉnh của Y tới B. Ta được một mạng với đỉnh phát A
và đỉnh thu B.
X Y
B
1 1
A
2
3
4
2
3
4
Hình 86: Mô hình luồng của bài toán tìm bộ ghép cực đại trên đồ thị hai phía
286 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nếu đặt khả năng thông qua của các cung đều là 1 sau đó tìm luồng cực đại trên mạng thì theo
định lý về tính nguyên, luồng dương tìm được trên các cung đều phải là số nguyên (tức là
bằng 1 hoặc 0). Khi đó dễ thấy rằng những cung có luồng dương bằng 1 từ tập X tới tập Y sẽ
cho ta một bộ ghép lớn nhất. Để chứng minh thuật toán đường mở tìm được bộ ghép lớn nhất
sau hữu hạn bước, ta sẽ chứng minh rằng số bộ ghép tìm được bằng thuật toán đường mở sẽ
bằng giá trị luồng cực đại nói trên, điều đó cũng rất dễ bởi vì nếu để ý kỹ một chút thì đường
mở chẳng qua là đường tăng luồng trên mạng thặng dư mà thôi, ngay cái tên augmenting path
đã cho ta biết điều này. Vì vậy thuật toán đường mở ở trường hợp này là một cách cài đặt
hiệu quả trên một dạng đồ thị đặc biệt, nó làm cho chương trình sáng sủa hơn nhiều so với
phương pháp tìm bộ ghép dựa trên bài toán luồng thuần túy.
Người ta đã chứng minh được chi phí thời gian thực hiện giải thuật này trong trường hợp xấu
nhất sẽ là O(n3) đối với đồ thị dày và O(n(n + m)logn) đối với đồ thị thưa. Tuy nhiên, cũng
giống như thuật toán Ford-Fulkerson, trên thực tế phương pháp này hoạt động rất nhanh.
Bài tập
Bài 1
Có n thợ và m công việc (n, m ≤ 100). Mỗi thợ cho biết mình có thể làm được những việc nào,
hãy phân công các thợ làm các công việc đó sao cho:
Mỗi thợ phải làm ít nhất hai việc
Một việc chỉ giao cho một thợ thực hiện
Số việc thực hiện được là nhiều nhất có thể.
Hướng dẫn: Dựng đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E), X tập các thợ và Y là tập các công việc. Sử
dụng thuật toán đường mở với cách hiểu đường mở là đường pha xuất phát từ 1 thợ chưa
được phân đủ hai việc và kết thúc ở một việc chưa được phân công.
Bài 2
Có n thợ và m công việc (n, m ≤ 100). Mỗi thợ cho biết mình có thể làm được những việc nào,
hãy phân công thực hiện các công việc đó sao cho:
Mỗi công việc chỉ giao cho một thợ thực hiện
Số công việc phân cho người thợ làm nhiều nhất là cực tiểu.
Hướng dẫn: Dựng đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E), X là tập các công việc và Y là tập thợ. Với
một số nguyên k (1 ≤ k ≤ m), tìm cách phân công thực hiện các công việc sao cho không thợ
nào làm quá k việc. Có thể sử dụng thuật toán đường mở với cách hiểu đường mở là đường
pha xuất phát từ một việc chưa được phân công và kết thúc ở một thợ chưa làm đủ k việc.
Số k sẽ được thử lần lượt từ 1 tới m, xác định số k đầu tiên cho phép tìm ra phép phân công
thực hiện hết các việc và in kết quả ra phép phân công tương ứng với số k đó. Có hai điều
quan trọng phải lưu ý: Thứ nhất là phép thử với k = k0 có thể tận dụng kết quả của phép phân
công với k = k0 - 1 chứ không cần thực hiện lại từ đầu. Thứ hai là việc "cải tiến" bằng áp dụng
thuật toán tìm kiếm nhị phân để chỉ ra số k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu phân công toàn bộ các
Lý thuyết đồ thị 287
Lê Minh Hoàng
công việc sẽ không giúp ích gì mà sẽ chỉ làm chương trình chậm đi, lý do là bởi mỗi lần tăng
cặp dựa trên đường mở thì số việc được phân công cũng chỉ tăng lên 1 mà thôi.
Bài 3
Xem lại bài toán Minimum Path Cover ở §10. Cài đặt lại theo cách bớt cồng kềnh hơn bằng
cách sử dụng những kỹ thuật đã học được trong bài toán tìm bộ ghép cực đại.
Bài 4
Cho đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E). Hãy chỉ ra một tập S gồm ít nhất các đỉnh sao cho mỗi
cạnh ∈ E đều liên thuộc với ít nhất một đỉnh thuộc S.
Hướng dẫn: Có thể đưa về mô hình bài toán luồng với khả năng thông qua của cả các cung và
các đỉnh: Đưa một đỉnh phát giả A nối tới mọi đỉnh ∈ X, một đỉnh thu giả B nối từ mọi đỉnh
∈ Y. Các cạnh trong E được định chiều từ X sang Y, khả năng thông qua của các cung được
đặt bằng +∞. Khả năng thông qua của các đỉnh ∈ X ∪ Y đặt bằng 1. Sau đó tìm luồng cực đại
từ A tới B và lát cắt hẹp nhất, lát cắt này chắc chắn cắt tại các đỉnh, những đỉnh bị cắt sẽ được
chọn vào tập S. Tuy nhiên, bằng một số suy luận, ta có thể đưa về mô hình bài toán bộ ghép
cực đại để dễ dàng hơn trong việc cài đặt bằng phương pháp sau:
Tìm bộ ghép cực đại trên G
Khi tìm xong bộ ghép, tức là thủ tục tìm đường mở không tìm ra đường mở, ta xác định
được:
Tập Y*={Tập các Y_đỉnh đi đến được từ một X_đỉnh chưa ghép qua một đường pha}
Tập X*={x∈X|x đã ghép và đỉnh ghép với x ∉ Y*}
Đặt S = X* ∪ Y*
288 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§12. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC TIỂU
TRÊN ĐỒ THỊ HAI PHÍA - THUẬT TOÁN HUNGARI
12.1. BÀI TOÁN PHÂN CÔNG
Đây là một dạng bài toán phát biểu như sau: Có m người (đánh số 1, 2, ..., m) và n công việc
(đánh số 1, 2, ..., n), mỗi người có khả năng thực hiện một số công việc nào đó. Để giao cho
người i thực hiện công việc j cần một chi phí là c[i, j] ≥ 0. Cần phân cho mỗi thợ một việc và
mỗi việc chỉ do một thợ thực hiện sao cho số công việc có thể thực hiện được là nhiều nhất và
nếu có ≥ 2 phương án đều thực hiện được nhiều công việc nhất thì chỉ ra phương án chi phí ít
nhất.
Dựng đồ thị hai phía G = (X ∪ Y, E) với X là tập m người, Y là tập n việc và (u, v) ∈ E với
trọng số c[u, v] nếu như người u làm được công việc v. Bài toán đưa về tìm bộ ghép nhiều
cạnh nhất của G có trọng số nhỏ nhất.
Gọi k = max(m, n). Bổ sung vào tập X và Y một số đỉnh giả để ⏐X⏐=⏐Y⏐= k.
Gọi M là một số dương đủ lớn hơn chi phí của mọi phép phân công có thể. Với mỗi cặp đỉnh
(u, v): u ∈ X và v ∈ Y. Nếu (u, v) ∉ E thì ta bổ sung cạnh (u, v) vào E với trọng số là M.
Khi đó ta được G là một đồ thị hai phía đầy đủ (Đồ thị hai phía mà giữa một đỉnh bất kỳ của
X và một đỉnh bất kỳ của Y đều có cạnh nối). Và nếu như ta tìm được bộ ghép đầy đủ k cạnh
mang trọng số nhỏ nhất thì ta chỉ cần loại bỏ khỏi bộ ghép đó những cạnh mang trọng số M
vừa thêm vào thì sẽ được kế hoạch phân công 1 người ↔ 1 việc cần tìm. Điều này dễ hiểu bởi
bộ ghép đầy đủ mang trọng số nhỏ nhất tức là phải ít cạnh trọng số M nhất, tức là số phép
phân công là nhiều nhất, và tất nhiên trong số các phương án ghép ít cạnh trọng số M nhất thì
đây là phương án trọng số nhỏ nhất, tức là tổng chi phí trên các phép phân công là ít nhất.
12.2. PHÂN TÍCH
Input: Đồ thị hai phía đầy đủ G = (X ∪ Y, E); X = {x[1], ..., x[k]}, Y = {y[1], ..., y[k]}.
Được cho bởi ma trận vuông C cỡ kxk, c[i, j] = trọng số cạnh nối đỉnh x[i] với y[j]. Giả thiết
c[i, j] ≥ 0 (∀i, j)
Output Bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất.
Hai định lý sau đây tuy rất đơn giản nhưng là những định lý quan trọng tạo cơ sở cho thuật
toán sẽ trình bày:
Định lý 1: Loại bỏ khỏi G những cạnh trọng số > 0. Nếu những cạnh trọng số 0 còn lại tạo ra
bộ ghép k cạnh trong G thì đây là bộ ghép cần tìm.
Chứng minh: Theo giả thiết, các cạnh của G mang trọng số không âm nên bất kỳ bộ ghép nào
trong G cũng có trọng số không âm, mà bộ ghép ở trên mang trọng số 0, nên tất nhiên đó là bộ
ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất.
Lý thuyết đồ thị 289
Lê Minh Hoàng
Định lý 2: Với đỉnh x[i], nếu ta cộng thêm một số Δ(dương hay âm) vào tất cả những cạnh
liên thuộc với x[i] (tương đương với việc cộng thêm Δ vào tất cả các phần tử thuộc hàng i của
ma trận C) thì không ảnh hưởng tới bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất.
Chứng minh: Với một bộ ghép đầy đủ bất kỳ thì có một và chỉ một cạnh ghép với x[i]. Nên
việc cộng thêm Δ vào tất cả các cạnh liên thuộc với x[i] sẽ làm tăng trọng số bộ ghép đó lên Δ.
Vì vậy nếu như ban đầu, M là bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất thì sau thao tác trên, M vẫn là
bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất.
Hệ quả: Với đỉnh y[j], nếu ta cộng thêm một số Δ (dương hay âm) vào tất cả những cạnh liên
thuộc với y[j] (tương đương với việc cộng thêm Δ vào tất cả các phần tử thuộc cột j của ma
trận C) thì không ảnh hưởng tới bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất.
Từ đây có thể nhận ra tư tưởng của thuật toán: Từ đồ thị G, ta tìm chiến lược cộng / trừ
một cách hợp lý trọng số của các cạnh liên thuộc với từng đỉnh để được một đồ thị mới vẫn
có các cạnh trọng số không âm, mà các cạnh trọng số 0 của đồ thị mới đó chứa một bộ
ghép đầy đủ k cạnh.
Ví dụ: Biến đổi ma trận trọng số của đồ thị hai phía 3 đỉnh trái, 3 đỉnh phải:
0 0 0
0 1 7
0 8 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
-1
-1
+1
x[1]-y[3]
x[2]-y[2]
x[3]-y[1]
1 0 0
0 0 6
0 7 8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hình 87: Phép xoay trọng số cạnh
12.3. THUẬT TOÁN
12.3.1. Các khái niệm:
Để cho gọn, ta gọi những cạnh trọng số 0 của G là những 0_cạnh.
Xét một bộ ghép M chỉ gồm những 0_cạnh.
Những đỉnh ∈ M gọi là những đỉnh đã ghép, những đỉnh còn lại gọi là những đỉnh chưa
ghép.
Những 0_cạnh ∈ M gọi là những 0_cạnh đã ghép, những 0_cạnh còn lại là những 0_cạnh
chưa ghép.
Nếu ta định hướng lại các 0_cạnh theo cách: Những 0_cạnh chưa ghép cho hướng từ tập X
sang tập Y, những 0_cạnh đã ghép cho hướng từ tập Y về tập X. Khi đó:
Đường pha (Alternating Path) là một đường đi cơ bản xuất phát từ một X_đỉnh chưa ghép
đi theo các 0_cạnh đã định hướng ở trên. Như vậy dọc trên đường pha, các 0_cạnh chưa
ghép và những 0_cạnh đã ghép xen kẽ nhau. Vì đường pha chỉ là đường đi cơ bản trên đồ
290 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
thị định hướng nên việc xác định những đỉnh nào có thể đến được từ x ∈ X bằng một
đường pha có thể sử dụng các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị (BFS hoặc DFS). Những đỉnh
và những cạnh được duyệt qua tạo thành một cây pha gốc x
Một đường mở (Augmenting Path) là một đường pha đi từ một X_đỉnh chưa ghép tới một
Y_đỉnh chưa ghép.
Như vậy:
Đường đi trực tiếp từ một X_đỉnh chưa ghép tới một Y_đỉnh chưa ghép qua một 0_cạnh
chưa ghép cũng là một đường mở.
Dọc trên đường mở, số 0_cạnh chưa ghép nhiều hơn số 0_cạnh đã ghép đúng 1 cạnh.
12.3.2. Thuật toán Hungari
Bước 1: Khởi tạo:
Một bộ ghép M := ∅
Bước 2: Với mọi đỉnh x*∈X, ta tìm cách ghép x*:
Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở bắt đầu ở x* bằng thuật toán tìm kiếm trên đồ thị. Có
hai khả năng có thể xảy ra:
Hoặc tìm được đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và
thêm vào M những cạnh chưa ghép, ta được một bộ ghép mới nhiều hơn bộ ghép cũ 1
cạnh và đỉnh x* trở thành đã ghép.
Hoặc không tìm được đường mở thì có thể xác định được:
VisitedX = {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
VisitedY = {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
Gọi Δ là trọng số nhỏ nhất của các cạnh nối giữa một đỉnh thuộc VisitedX với một đỉnh
không thuộc VisitedY. Dễ thấy Δ > 0 bởi nếu Δ = 0 thì tồn tại một 0_cạnh (x, y) với
x∈VisitedX và y∉VisitedY. Vì x* đến được x bằng một đường pha và (x, y) là một
0_cạnh nên x* cũng đến được y bằng một đường pha, dẫn tới y ∈ VisitedY, điều này vô
lý.
Biến đổi đồ thị G: Với ∀x ∈ VisitedX, trừ Δ vào trọng số những cạnh liên thuộc với x,
Với ∀ y ∈ VisitedY, cộng Δ vào trọng số những cạnh liên thuộc với y.
Lặp lại thủ tục tìm kiếm trên đồ thị thử tìm đường mở xuất phát ở x* cho tới khi tìm ra
đường mở.
Bước 3: Sau bước 2 thì mọi X_đỉnh đều được ghép, in kết quả về bộ ghép tìm được.
Mô hình cài đặt của thuật toán có thể viết như sau:
M := ∅;
for (x*∈X) do
begin
repeat
〈Tìm đường mở xuất phát ở x*〉;
if 〈Không tìm thấy đường mở〉 then 〈Biến đổi đồ thị G: Chọn Δ := ...〉;
Lý thuyết đồ thị 291
Lê Minh Hoàng
until 〈Tìm thấy đường mở〉;
〈Dọc theo đường mở, loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và thêm vào M những cạnh chưa ghép〉;
end;
〈Output: M là bộ ghép cần tìm〉;
Ví dụ minh hoạ:
Để không bị rối hình, ta hiểu những cạnh không ghi trọng số là những 0_cạnh, những cạnh
không vẽ mang trọng số rất lớn trong trường hợp này không cần thiết phải tính đến. Những
cạnh nét đậm là những cạnh đã ghép, những cạnh nét thanh là những cạnh chưa ghép.
1
2
3
4
1
2
3
4
2 1
9
2 1
9
x* = x1, tìm thấy đường mở
x1 → y1
Tăng căp
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2 1
9
x* = x2, tìm thấy đường mở
x2 → y1→ x1 → y2
Tăng căp
1
2
3
4
1
2
3
4
2 1
9
1
2
3
4
1
2
3
4
2 1
9
x* = x3, tìm thấy đường mở
y3 → y3
Tăng căp
1
2
4
1
2
4
2 1
9
3 3
4 4
2 1=Δ
9
x* = x4, không thấy đường mở
VisitedX = {x3, x4}
VisitedY = {y3}
Giá trị xoay Δ = 1 (=c[3,2])
Trừ trọng số những cạnh liên
thuộc với {x3,x4} đi 1
Cộng trọng số những cạnh
liên thuộc với {y3} lên 1
4 4
2 0
8
-1 +1
-1
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
3 3
292 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
4 4
2=Δ
8
x* = x4, không thấy đường mở
VisitedX = {x1, x2, x3, x4}
VisitedY = {y1, y2, y3}
Giá trị xoay Δ = 2 (=c[3,4])
Trừ trọng số những cạnh liên
thuộc với {x1, x2, x3, x4} đi 2
Cộng trọng số những cạnh
liên thuộc với {y1, y2, y3} lên 2
4 4
0
6
-2
-2
-2
-2
+2
+2
+2
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
3 3
8
x* = x4, Tìm thấy đường mở
x4→y3→x3→y2→x1→y1→x2→y4.
Tăng cặp
Xong
6
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
4
1
2
4
3 3
Hình 88: Thuật toán Hungari
Để ý rằng nếu như không tìm thấy đường mở xuất phát ở x* thì quá trình tìm kiếm trên đồ thị
sẽ cho ta một cây pha gốc x*. Giá trị xoay Δ thực chất là trọng số nhỏ nhất của cạnh nối một
X_đỉnh trong cây pha với một Y_đỉnh ngoài cây pha (cạnh ngoài). Việc trừ Δ vào những cạnh
liên thuộc với X_đỉnh trong cây pha và cộng Δ vào những cạnh liên thuộc với Y_đỉnh trong
cây pha sẽ làm cho cạnh ngoài nói trên trở thành 0_cạnh, các cạnh khác vẫn có trọng số ≥ 0.
Nhưng quan trọng hơn là tất cả những cạnh trong cây pha vẫn cứ là 0_cạnh. Điều đó đảm
bảo cho quá trình tìm kiếm trên đồ thị lần sau sẽ xây dựng được cây pha mới lớn hơn cây pha
cũ. Vì tập các Y_ đỉnh đã ghép là hữu hạn nên sau không quá k bước, cây pha sẽ quét tới một
Y_đỉnh chưa ghép, tức là tìm ra đường mở
12.3.3. Phương pháp đối ngẫu Kuhn-Munkres
Phương pháp Kuhn-Munkres đi tìm hai dãy số Fx[1..k] và Fy[1..k] thoả mãn:
c[i, j] - Fx[i] - Fy[j] ≥ 0
Tập các cạnh (x[i], y[j]) thoả mãn c[i, j] - Fx[i] - Fy[j] = 0 chứa trọn một bộ ghép đầy đủ k
cạnh, đây chính là bộ ghép cần tìm.
Rõ ràng nếu tìm được hai dãy số thoả mãn trên thì ta chỉ việc thực hiện hai thao tác:
Với mỗi đỉnh x[i], trừ tất cả trọng số của những cạnh liên thuộc với x[i] đi Fx[i]
Với mỗi đỉnh y[j], trừ tất cả trọng số của những cạnh liên thuộc với y[j] đi Fy[j]
(Hai thao tác này tương đương với việc trừ tất cả trọng số của các cạnh (x[i], y[j]) đi một
lượng Fx[i] + Fy[j] tức là c[i, j] := c[i, j] - Fx[i] - Fy[j])
Thì dễ thấy đồ thị mới tạo thành sẽ gồm có các cạnh trọng số không âm và những 0_cạnh của
đồ thị chứa trọn một bộ ghép đầy đủ.
Lý thuyết đồ thị 293
Lê Minh Hoàng
1 2 3 4
1 0 0 M M Fx[1] = 2
2 0 M M 2 Fx[2] = 2
3 M 1 0 M Fx[3] = 3
4 M M 0 9 Fx[4] = 3
Fy[1] = -2 Fy[2] = -2 Fy[3] = -3 Fy[4] = 0
(Có nhiều phương án khác: Fx = (0, 0, 1, 1); Fy = (0, 0, -1, 2) cũng đúng)
Vậy phương pháp Kuhn-Munkres đưa việc biến đổi đồ thị G (biến đổi ma trận C) về việc biến
đổi hay dãy số Fx và Fy. Việc trừ Δ vào trọng số tất cả những cạnh liên thuộc với x[i] tương
đương với việc tăng Fx[i] lên Δ. Việc cộng Δ vào trọng số tất cả những cạnh liên thuộc với y[j]
tương đương với giảm Fy[j] đi Δ. Khi cần biết trọng số cạnh (x[i], y[j]) là bao nhiêu sau các
bước biến đổi, thay vì viết c[i, j], ta viết c[i, j] - Fx[i] - Fy[j].
Sơ đồ cài đặt phương pháp Kuhn-Munkres có thể viết như sau:
Bước 1: Khởi tạo:
M := ∅;
Việc khởi tạo các Fx, Fy có thể có nhiều cách miễn sao c[i, j] - Fx[i] - Fy[j] ≥ 0, đơn giản
nhất có thể đặt tất cả các Fx[.] và Fy[.] bằng 0
Bước 2: Với mọi đỉnh x*∈X, ta tìm cách ghép x* như sau:
Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở bắt đầu ở x* bằng thuật toán tìm kiếm trên đồ thị (BFS
hoặc DFS). Có hai khả năng xảy ra:
Hoặc tìm được đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và
thêm vào M những cạnh chưa ghép.
Hoặc không tìm được đường mở thì xác định được:
VisitedX = {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
VisitedY = {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
Đặt Δ := min{c[i, j] - Fx[i] - Fy[j] ⏐ ∀x[i] ∈ VisitedX; ∀y[j] ∉ VisitedY}
Với ∀x[i] ∈ VisitedX: đặt Fx[i] := Fx[i] + Δ;
Với ∀y[j] ∈ VisitedY: đăt Fy[j] := Fy[j] - Δ;
Lặp lại thủ tục tìm đường mở xuất phát tại x* cho tới khi tìm ra đường mở.
Bước 3:
Lưu ý rằng bước 2 luôn tìm ra đường mở vì đồ thị đã được làm cho trở nên cân bằng (|X|=|Y|)
và đầy đủ, ta chỉ việc trả về đường mở tìm được.
Đáng lưu ý ở phương pháp Kuhn-Munkres là phương pháp này không làm thay đổi ma trận C
ban đầu. Điều đó thực sự hữu ích trong trường hợp trọng số của cạnh (x[i], y[j]) không được
294 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
cho một cách tường minh bằng giá trị c[i, j] mà lại cho bằng hàm c(i, j): trong trường hợp này,
việc trừ hàng/cộng cột trực tiếp trên ma trận chi phí C là không thể thực hiện được.
12.3.4. Cài đặt
a) Biểu diễn bộ ghép
Để biểu diễn bộ ghép, ta sử dụng hai mảng: matchX[1..k] và matchY[1..k].
matchX[i] là chỉ số của đỉnh thuộc tập Y ghép với đỉnh x[i]
matchY[j] là chỉ số của đỉnh thuộc tập X ghép với đỉnh y[j].
Tức là nếu như cạnh (x[i], y[j]) thuộc bộ ghép thì matchX[i] = j và matchY[j] = i.
Quy ước:
Nếu như x[i] chưa ghép với đỉnh nào của tập Y thì matchX[i] = 0
Nếu như y[j] chưa ghép với đỉnh nào của tập X thì matchY[j] = 0
Suy ra:
Thêm một cạnh (x[i], y[j]) vào bộ ghép ⇔ Đặt matchX[i] := j và matchY[j] := i;
Loại một cạnh (x[i], y[j]) khỏi bộ ghép ⇔ Đặt matchX[i] := 0 và matchY[j] := 0;
b) Tìm đường mở như thế nào
Ta sẽ tìm đường mở và xây dựng hai tập VisitedX và VisitedY bằng thuật toán tìm kiếm theo
chiều rộng, chỉ xét những 0_cạnh định hướng như đã nói trong phần đầu:
Khởi tạo một hàng đợi (Queue) ban đầu chỉ có một đỉnh x*. Thuật toán tìm kiếm theo chiều
rộng làm việc theo nguyên tắc lấy một đỉnh v khỏi Queue và lại đẩy Queue những nối từ v
chưa được thăm. Như vậy nếu thăm tới một Y_đỉnh chưa ghép thì tức là ta tìm đường mở kết
thúc ở Y_đỉnh chưa ghép đó, quá trình tìm kiếm dừng ngay. Còn nếu ta thăm tới một đỉnh y[j]
∈ Y đã ghép, dựa vào sự kiện: từ y[j] chỉ có thể tới được matchY[j] theo duy nhất một 0_cạnh
định hướng, nên ta có thể đánh dấu thăm y[j], thăm luôn cả matchY[j], và đẩy vào Queue
phần tử matchY[j] ∈ X.
Input: file văn bản ASSIGN.INP
Dòng 1: Ghi hai số m, n theo thứ tự là số thợ và số việc cách nhau 1 dấu cách (m, n ≤ 100)
Các dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi ba số i, j, c[i, j] cách nhau 1 dấu cách thể hiện thợ i làm
được việc j và chi phí để làm là c[i, j] (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n; 0 ≤ c[i, j] ≤ 100).
Output: file văn bản ASSIGN.OUT, mô tả phép phân công tối ưu tìm được.
Lý thuyết đồ thị 295
Lê Minh Hoàng
9
19
X Y
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6
2 1
ASSIGN.INP
5 6
1 1 0
1 2 0
2 1 0
2 4 2
3 2 1
3 3 0
4 3 0
4 4 9
5 4 19
ASSIGN.OUT
Optimal assignment:
1) x[1] - y[1] 0
2) x[2] - y[4] 2
3) x[3] - y[2] 1
4) x[4] - y[3] 0
Cost: 3
P_4_12_1.PAS * Thuật toán Hungari
program AssignmentProblemSolve;
const
InputFile = 'ASSIGN.INP';
OutputFile = 'ASSIGN.OUT';
max = 100;
maxC = 10001;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
Fx, Fy, matchX, matchY, Trace: array[1..max] of Integer;
m, n, k, start, finish: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
i, j: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, m, n);
if m > n then k := m else k := n;
for i := 1 to k do
for j := 1 to k do c[i, j] := maxC;
while not SeekEof(f) do ReadLn(f, i, j, c[i, j]);
Close(f);
end;
procedure Init; {Khởi tạo bộ ghép rỗng và các giá trị Fx[.], Fy[.]}
begin
FillChar(matchX, SizeOf(matchX), 0);
FillChar(matchY, SizeOf(matchY), 0);
FillChar(Fx, SizeOf(Fx), 0);
FillChar(Fy, SizeOf(Fy), 0);
end;
function GetC(i, j: Integer): Integer; {Hàm trả về trọng số cạnh (x[i], y[j])}
begin
GetC := c[i, j] - Fx[i] - Fy[j];
end;
procedure FindAugmentingPath; {Thủ tục tìm đường mở xuất phát ở x[start]}
var
Queue: array[1..max] of Integer; {Hàng đợi dùng cho BFS, chỉ chứa chỉ số các đỉnh ∈ X}
i, j, Front, Rear: Integer;
begin
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0);
296 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Queue[1] := start;
Front := 1; Rear := 1;
repeat
i := Queue[Front]; Inc(Front); {Lấy i ra khỏi Queue, xét x[i]}
for j := 1 to k do
if (Trace[j] = 0) and (GetC(i, j) = 0) then {Nếy y[j] chưa thăm và kề với x[i] qua 0_cạnh}
begin
Trace[j] := i; {Lưu vết đường đi}
if matchY[j] = 0 then {Nếu y[j] đã ghép thì ghi nhận và thoát ngay}
begin
finish := j;
Exit;
end;
Inc(Rear); Queue[Rear] := matchY[j]; {Không thì đẩy matchY[j] vào Queue, chờ duyệt tiếp}
end;
until Front > Rear;
end;
procedure SubX_AddY; {Phép xoay trọng số cạnh}
var
i, j, t, Delta: Integer;
VisitedX, VisitedY: set of Byte;
begin
{Trước hết tìm hai tập VisitedX và VisitedY chứa chỉ số các đỉnh đến được từ x[start] qua một đường pha}
VisitedX := [start];
VisitedY := [];
for j := 1 to k do
if Trace[j] <> 0 then
begin
Include(VisitedX, matchY[j]);
Include(VisitedY, j);
end;
{Tính Delta := min(GetC(i, j)|i ∈ VisitedX và j ∉ VisitedY)}
Delta := maxC;
for i := 1 to k do
if i in VisitedX then
for j := 1 to k do
if not (j in VisitedY) and (GetC(i, j) < Delta) then
Delta := GetC(i, j);
{Xoay}
for t := 1 to k do
begin
if t in VisitedX then Fx[t] := Fx[t] + Delta;
if t in VisitedY then Fy[t] := Fy[t] - Delta;
end;
end;
procedure Enlarge; {Nới rộng bộ ghép bằng đường mở kết thúc tại y[finish]}
var
i, next: Integer;
begin
repeat
i := Trace[finish];
next := matchX[i];
matchX[i] := finish;
matchY[finish] := i;
finish := Next;
until finish = 0; {finish = 0 ⇔ i = start}
end;
procedure Solve; {Thuật toán Hungari}
var
i: Integer;
Lý thuyết đồ thị 297
Lê Minh Hoàng
begin
for i := 1 to k do
begin
start := i; finish := 0;
repeat {Tìm cách ghép x[start]}
FindAugmentingPath;
if finish = 0 then SubX_AddY; {Nếu không tìm ra đường mở xuất phát từ x[start] thì xoay các trọng số cạnh}
until finish <> 0;
Enlarge; {Khi đã tìm ra đường mở thì chỉ cần tăng cặp theo đường mở}
end;
end;
procedure Result; {In kết quả}
var
i, j, Count, W: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, 'Optimal assignment:');
W := 0; Count := 0;
for i := 1 to m do
begin
j := matchX[i];
if c[i, j] < maxC then {Chỉ in quan tâm tới những cạnh trọng số < maxC}
begin
Inc(Count);
WriteLn(f, Count:3, ') x[', i, '] - y[', j, '] ', c[i, j]);
W := W + c[i, j];
end;
end;
WriteLn(f, 'Cost: ', W);
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Solve;
Result;
end.
Nhận xét:
Có thể giải quyết bài toán phân công nếu như ma trận chi phí C có phần tử âm bằng cách
sửa lại một chút trong thủ tục khởi tạo (Init): Với ∀i, thay vì gán Fx[i] := 0, ta gán Fx[i] :=
giá trị nhỏ nhất trên hàng i của ma trận C, khi đó sẽ đảm bảo c[i, j] - Fx[i] - Fy[j] ≥ 0 (∀i, j).
Sau khi kết thúc thuật toán, tổng tất cả các phần tử ở hai dãy Fx, Fy bằng trọng số cực tiểu
của bộ ghép đầy đủ tìm được trên đồ thị ban đầu.
Một vấn đề nữa phải hết sức cẩn thận trong việc ước lượng độ lớn của các phần tử Fx[.] và
Fy[.], các giá trị này có thể lớn hơn rất nhiều lần so với giá trị lớn nhất của các c[i, j]. Hãy
tự tìm ví dụ để giải thích tại sao.
12.4. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ
THỊ HAI PHÍA
Bài toán tìm bộ ghép cực đại với trọng số cực đại cũng có thể giải nhờ phương pháp Hungari
bằng cách đổi dấu tất cả các phần tử ma trận chi phí.
298 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Khi cài đặt, ta có thể sửa lại đôi chút trong chương trình trên để giải bài toán tìm bộ ghép cực
đại với trọng số cực đại mà không cần đổi dấu trọng số. Cụ thể như sau:
Bước 1: Khởi tạo:
M := ∅;
Khởi tạo hai dãy Fx và Fy thoả mãn: ∀i, j: Fx[i] + Fy[j] ≥ c[i, j]; chẳng hạn ta có thể đặt
Fx[i] := Phần tử lớn nhất trên dòng i của ma trận C và đặt các Fy[j] := 0.
Bước 2: Với mọi đỉnh x*∈X, ta tìm cách ghép x*:
Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở bắt đầu ở x*. Có hai khả năng xảy ra:
Hoặc tìm được đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và
thêm vào M những cạnh chưa ghép.
Hoặc không tìm được đường mở thì xác định được:
VisitedX = {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
VisitedY = {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}
Đặt Δ := min{Fx[i] + Fy[j] - c[i, j] ⏐ ∀x[i] ∈ VisitedX; ∀y[j] ∉ VisitedY}
Xoay trọng số cạnh:
Với ∀x[i] ∈ VisitedX: Fx[i] := Fx[i] - Δ;
Với ∀y[j] ∈ VisitedY: Fy[j] := Fy[j] + Δ;
Lặp lại thủ tục tìm đường mở xuất phát tại x* cho tới khi tìm ra đường mở.
Bước 3: Sau bước 2 thì mọi X_đỉnh đều đã ghép, ta được một bộ ghép đầy đủ k cạnh với
trọng số lớn nhất.
Dễ dàng chứng minh được tính đúng đắn của phương pháp, bởi nếu ta đặt:
c'[i, j] = - c[i, j]; F'x[i] := - Fx[i]; F'y[j] = - Fy[j].
Thì bài toán trở thành tìm cặp ghép đầy đủ trọng số cực tiểu trên đồ thị hai phía với ma trận
trọng số c'[1..k, 1..k]. Bài toán này được giải quyết bằng cách tính hai dãy đối ngẫu F'x và F'y.
Từ đó bằng những biến đổi đại số cơ bản, ta có thể kiểm chứng được tính tương đương giữa
các bước của phương pháp nêu trên với các bước của phương pháp Kuhn-Munkres ở mục
trước.
12.5. NÂNG CẤP
Dựa vào mô hình cài đặt thuật toán Kuhn-Munkres ở trên, ta có thể đánh giá về độ phức tạp
tính toán lý thuyết của cách cài đặt này:
Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng được sử dụng để tìm đường mở có độ phức tạp O(k2),
mỗi lần xoay trọng số cạnh mất một chi phí thời gian cỡ O(k2). Vậy mỗi lần tăng cặp, cần tối
đa k lần dò đường và k lần xoay trọng số cạnh, mất một chi phí thời gian cỡ O(k3). Thuật toán
cần k lần tăng cặp nên độ phức tạp tính toán trên lý thuyết của phương pháp này cỡ O(k4).
Lý thuyết đồ thị 299
Lê Minh Hoàng
Có thể cải tiến mô hình cài đặt để được một thuật toán với độ phức tạp O(k3) dựa trên những
nhận xét sau:
12.5.1. Nhận xét 1
Quá trình tìm kiếm theo chiều rộng bắt đầu từ một đỉnh x* chưa ghép cho ta một cây pha gốc
x*. Nếu tìm được đường mở thì dừng lại và tăng cặp ngay, nếu không thì xoay trọng số cạnh
và bắt đầu tìm kiếm lại để được một cây pha mới lớn hơn cây pha cũ (Hình 89):
Y
Y
Y
X
-Δ
Δ
X
-Δ
X
-Δ
X
Y
0
0
Tìm thấy đường mở
-Δ
+Δ +Δ
-Δ -Δ
Δ
+Δ +Δ +Δ
Hình 89: Cây pha "mọc" lớn hơn sau mỗi lần xoay trọng số cạnh và tìm đường
12.5.2. Nhận xét 2
Việc xác định trọng số nhỏ nhất của cạnh nối một X_đỉnh trong cây pha với một Y_đỉnh
ngoài cây pha có thể kết hợp ngay trong bước dựng cây pha mà không làm tăng cấp phức tạp
tính toán. Để thực hiện điều này, ta sử dụng kỹ thuật như trong thuật toán Prim:
Với mọi y[j]∈Y, gọi d[j] := khoảng cách từ y[j] đến cây pha gốc x*. Ban đầu d[j] được khởi
tạo bằng trọng số cạnh (x*, y[j]) (cây pha ban đầu chỉ có đúng một đỉnh x*).
Trong bước tìm đường bằng BFS, mỗi lần rút một đỉnh x[i] ra khỏi Queue, ta xét những đỉnh
y[j]∈Y chưa thăm và đặt lại d[j]mới := min(d[j]cũ, trọng số cạnh (x[i], y[j])) sau đó mới kiểm
tra xem (x[i], y[j]) có phải là 0_cạnh hay không để tiếp tục các thao tác như trước. Nếu quá
trình BFS không tìm ra đường mở thì giá trị xoay Δ chính là giá trị nhỏ nhất trong các d[j]
dương. Ta bớt được một đoạn chương trình tìm giá trị xoay có độ phức tạp O(k2). Công việc
tại mỗi bước xoay chỉ là tìm giá trị nhỏ nhất trong các d[j] dương và thực hiện phép cộng, trừ
trên hai dãy đối ngẫu Fx và Fy, nó có độ phức tạp tính toán O(k). Tối đa có k lần xoay để tìm
đường mở nên tổng chi phí thời gian thực hiện các lần xoay cho tới khi tìm ra đường mở cỡ
O(k2). Lưu ý rằng đồ thị đang xét là đồ thị hai phía đầy đủ nên sau khi xoay các trọng số cạnh
bằng giá trị xoay Δ, tất cả các cạnh nối từ X_đỉnh trong cây pha tới Y_đỉnh ngoài cây pha đều
bị giảm trọng số đi Δ, chính vì vậy sau mỗi bước xoay, ta phải trừ tất cả các d[j] > 0 đi Δ để
giữ được tính hợp lý của các d[j].
300 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
12.5.3. Nhận xét 3
Ta có thể tận dụng kết quả của quá trình tìm kiếm theo chiều rộng ở bước trước để nới rộng
cây pha cho bước sau (grow alternating tree) mà không phải dựng cây pha lại từ đầu (BFS lại
bắt đầu từ x*).
Khi không tìm thấy đường mở, bước xoay trọng số cạnh sẽ được thực hiện. Sau khi xoay, ta
sẽ thăm luôn những đỉnh y[j]∈Y chưa thăm tạo với một X_đỉnh đã thăm một 0_cạnh (những
y[j] chưa thăm có d[j] = 0), nếu tìm thấy đường mở thì dừng ngay, nếu không thấy thì đẩy tiếp
những đỉnh matchY[j] vào hàng đợi và lặp lại thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng bắt đầu từ
những đỉnh này. Vậy nếu xét tổng thể, mỗi lần tăng cặp ta chỉ thực hiện một lần dựng cây pha,
tức là tổng chi phí thời gian của những lần thực hiện giải thuật tìm kiếm trên đồ thị sau mỗi
lần tăng cặp chỉ còn là O(k2).
12.5.4. Nhận xét 4
Thủ tục tăng cặp dựa trên đường mở (Enlarge) có độ phức tạp O(k)
Từ 3 nhận xét trên, phương pháp đối ngẫu Kuhn-Munkres có thể cài đặt bằng một chương
trình có độ phức tạp tính toán O(k3) bởi nó cần k lần tăng cặp và chi phí cho mỗi lần là O(k2).
P_4_12_2.PAS * Cài đặt phương pháp Kuhn-Munkres O(k3)
program AssignmentProblemSolve;
const
InputFile = 'ASSIGN.INP';
OutputFile = 'ASSIGN.OUT';
max = 100;
maxC = 10001;
var
c: array[1..max, 1..max] of Integer;
Fx, Fy, matchX, matchY: array[1..max] of Integer;
Trace, Queue, d, arg: array[1..max] of Integer;
Front, Rear: Integer;
start, finish: Integer;
m, n, k: Integer;
procedure Enter; {Nhập dữ liệu}
var
i, j: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, m, n);
if m > n then k := m else k := n;
for i := 1 to k do
for j := 1 to k do c[i, j] := maxC;
while not SeekEof(f) do ReadLn(f, i, j, c[i, j]);
Close(f);
end;
procedure Init; {Khởi tạo}
begin
FillChar(matchX, SizeOf(matchX), 0);
FillChar(matchY, SizeOf(matchY), 0);
FillChar(Fx, SizeOf(Fx), 0);
FillChar(Fy, SizeOf(Fy), 0);
end;
Lý thuyết đồ thị 301
Lê Minh Hoàng
function GetC(i, j: Integer): Integer; {Hàm trả về trọng số cạnh (x[i], y[j])}
begin
GetC := c[i, j] - Fx[i] - Fy[j];
end;
procedure InitBFS; {Thủ tục được gọi trước khi bắt đầu dựng một cây pha}
var
j: Integer;
begin
Front := 1; Rear := 1;
Queue[1] := start;
FillChar(Trace, SizeOf(Trace), 0);
for j := 1 to k do
begin
d[j] := GetC(start, j); {d[j]: Khoảng cách gần nhất từ một X_đỉnh trong cây pha đến y[j]}
arg[j] := start; {arg[j]: X_đỉnh nối với y[j] để tạo ra khoảng cách gần nhất đó}
end;
finish := 0;
end;
procedure Push(v: Integer);
begin
Inc(Rear); Queue[Rear] := v;
end;
function Pop: Integer;
begin
Pop := Queue[Front]; Inc(Front);
end;
procedure FindAugmentingPath; {Tìm đường mở xuất phát từ x[start]}
var
i, j, w: Integer;
begin
repeat
i := Pop; {Lấy i khỏi Queue, xét x[i]}
for j := 1 to k do
if Trace[j] = 0 then {Nếu y[j] chưa thăm}
begin
w := GetC(i, j); {Tính trọng số cạnh (x[i], y[j])}
if w = 0 then {Nếu cạnh (x[i], y[j]) là 0_cạnh}
begin
Trace[j] := i;
if matchY[j] = 0 then
begin
finish := j;
Exit;
end;
Push(matchY[j]);
end;
if d[j] > w then {Cập nhật lại d[j] theo cây pha đã nới rộng hơn đỉnh x[i]}
begin
d[j] := w;
arg[j] := i;
end;
end;
until Front > Rear;
end;
procedure SubX_AddY; {Phép xoay trọng số cạnh}
var
Delta: Integer;
i, j: Integer;
302 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
begin
{Trước hết tính Delta := Giá trị nhỏ nhất trong số các d[j] mà y[j] chưa thăm}
Delta := maxC;
for j := 1 to k do
if (Trace[j] = 0) and (d[j] < Delta) then Delta := d[j];
{Xoay}
Fx[start] := Fx[start] + Delta;
for j := 1 to k do
if Trace[j] <> 0 then
begin
i := matchY[j];
Fy[j] := Fy[j] - Delta;
Fx[i] := Fx[i] + Delta;
end
else
d[j] := d[j] - Delta;
for j := 1 to k do
if (Trace[j] = 0) and (d[j] = 0) then {Xét những y[j] nối với cây pha qua một 0_cạnh mới phát sinh}
begin
Trace[j] := arg[j];
if matchY[j] = 0 then {y[j] chưa ghép ⇔ tìm thấy đường mở kết thúc ở y[j]}
begin
finish := j;
Exit;
end;
Push(matchY[j]); {y[j] đã ghép, đẩy matchY[j] vào Queue chờ duyệt tiếp}
end;
end;
procedure Enlarge; {Nới rộng bộ ghép bởi đường mở kết thúc ở y[finish]}
var
i, next: Integer;
begin
repeat
i := Trace[finish];
next := matchX[i];
matchX[i] := finish;
matchY[finish] := i;
finish := Next;
until finish = 0; {finish = 0 ⇔ i = start}
end;
procedure Solve; {Thử ghép lần lượt các đỉnh từ x[1] tới x[k]}
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to k do
begin
start := i; {Tìm cách ghép x[start]}
InitBFS;
repeat
FindAugmentingPath;
if finish = 0 then SubX_AddY;
until finish <> 0;
Enlarge;
end;
end;
procedure Result; {In kết quả}
var
i, j, Count, W: Integer;
f: Text;
begin
Lý thuyết đồ thị 303
Lê Minh Hoàng
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
WriteLn(f, 'Optimal assignment:');
W := 0; Count := 0;
for i := 1 to m do
begin
j := matchX[i];
if c[i, j] < maxC then
begin
Inc(Count);
WriteLn(f, Count:3, ') x[', i, '] - y[', j, '] ', c[i, j]);
W := W + c[i, j];
end;
end;
WriteLn(f, 'Cost: ', W);
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Solve;
Result;
end.
304 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
§13. BÀI TOÁN TÌM BỘ GHÉP CỰC ĐẠI TRÊN ĐỒ THỊ
13.1. CÁC KHÁI NIỆM
Xét đồ thị G = (V, E), một bộ ghép trên đồ thị G là một tập các cạnh đôi một không có đỉnh
chung.
Bài toán tìm bộ ghép cực đại trên đồ thị tổng quát phát biểu như sau:
Cho một đồ thị G, phải tìm một bộ ghép cực đại trên G (bộ ghép có nhiều cạnh nhất).
Với một bộ ghép M của đồ thị G, ta gọi:
Những cạnh thuộc M được gọi là cạnh đã ghép hay cạnh đậm
Những cạnh không thuộc M được gọi là cạnh chưa ghép hay cạnh nhạt
Những đỉnh đầu mút của các cạnh đậm được gọi là đỉnh đã ghép, những đỉnh còn lại gọi
là đỉnh chưa ghép
Một đường đi cơ bản (đường đi không có đỉnh lặp lại) được gọi là đường pha nếu nó bắt
đầu bằng một cạnh nhạt và tiếp theo là các cạnh đậm, nhạt nằm nối tiếp xen kẽ nhau.
Một chu trình cơ bản (chu trình không có đỉnh trong lặp lại) được gọi là một Blossom nếu
nó đi qua ít nhất 3 đỉnh, bắt đầu và kết thúc bằng cạnh nhạt và dọc trên chu trình, các cạnh
đậm, nhạt nằm nối tiếp xen kẽ nhau. Đỉnh xuất phát của chu trình (cũng là đỉnh kết thúc)
được gọi là đỉnh cơ sở (base) của Blossom.
Đường mở là một đường pha bắt đầu ở một đỉnh chưa ghép và kết thúc ở một đỉnh chưa
ghép.
Ví dụ: Với đồ thị G và bộ ghép M trong Hình 90:
Đường (8, 1, 2, 5, 6, 4) là một đường pha
Chu trình (2, 3, 4, 6, 5, 2) là một Blossom
Đường (8, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7) là một đường mở
Đường (8, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 2, 1, 9) tuy có các cạnh đậm/nhạt xen kẽ nhưng không phải đường
pha (và tất nhiên không phải đường mở) vì đây không phải là đường đi cơ bản.
8
9
7
1 2
3 4
5 6
Hình 90: Đồ thị G và một bộ ghép M
Ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau:
Lý thuyết đồ thị 305
Lê Minh Hoàng
Đường mở cũng như Blossom đều là đường đi độ dài lẻ với số cạnh nhạt nhiều hơn số
cạnh đậm đúng 1 cạnh.
Trong mỗi Blossom, những đỉnh không phải đỉnh cơ sở đều là đỉnh đã ghép và đỉnh ghép
với đỉnh đó cũng phải thuộc Blossom.
Vì Blossom là một chu trình nên trong mỗi Blossom, những đỉnh không phải đỉnh cơ sở
đều tồn tại hai đường pha từ đỉnh cơ sở đi đến nó, một đường kết thúc bằng cạnh đậm và
một đường kết thúc bằng cạnh nhạt, hai đường pha này được hình thành bằng cách đi dọc
theo chu trình theo hai hướng ngược nhau. Như ví dụ ở Hình 90, đỉnh 4 có hai đường pha
đi đỉnh cơ sở 2 đi tới: (2, 3, 4) là đường pha kết thúc bằng cạnh đậm và (2, 5, 6, 4) là
đường pha kết thúc bằng cạnh nhạt
13.2. THUẬT TOÁN EDMONDS (1965)
Cơ sở của thuật toán là định lý (C.Berge): Một bộ ghép M của đồ thị G là cực đại khi và chỉ
khi không tồn tại đường mở đối với M.
Thuật toán Edmonds:
M := ∅;
for (∀ đỉnh u chưa ghép) do
if 〈Tìm đường mở xuất phát từ u〉 then
〈Dọc trên đường mở: Loại bỏ những cạnh đậm khỏi M; Thêm vào M những cạnh nhạt〉;
〈Trả về M là bộ ghép cực đại trên G〉;
Điều khó nhất trong thuật toán Edmonds là phải xây dựng thuật toán tìm đường mở xuất phát
từ một đỉnh chưa ghép. Thuật toán đó được xây dựng bằng cách kết hợp một thuật toán tìm
kiếm trên đồ thị với phép chập Blossom.
Xét những đường pha xuất phát từ một đỉnh x chưa ghép. Những đỉnh có thể đến được từ x
bằng một đường pha kết thúc là cạnh nhạt được gán nhãn "nhạt" (gọi tắt là đỉnh nhạt), những
đỉnh có thể đến được từ x bằng một đường pha kết thúc là cạnh đậm được gán nhãn "đậm"
(gọi tắt là đỉnh đậm).
Với một Blossom, ta định nghĩa phép chập (shrink) là phép thay thế các đỉnh trong Blossom
bằng một đỉnh duy nhất. Những cạnh nối giữa một đỉnh thuộc Blossom tới một đỉnh v nào đó
không thuộc Blossom được thay thế bằng cạnh nối giữa đỉnh chập này với v và giữ nguyên
tính đậm/nhạt. Có thể kiểm chứng được nhận xét: sau mỗi phép chập, các cạnh đậm vẫn được
đảm bảo là bộ ghép trên đồ thị mới:
306 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
= đỉnh cơ sở của blossom
Shrink Shrink
= đỉnh chập từ blossom
Blossom
Blossom
Hình 91: Phép chập Blossom
Thuật toán tìm đường mở xuất phát từ đỉnh x có thể phát biểu như sau.
Trước hết đỉnh xuất phát x được gán nhãn đậm.
Tiếp theo là thuật toán tìm kiếm trên đồ thị bắt đầu từ x, theo nguyên tắc: từ đỉnh đậm chỉ
được phép đi tiếp theo cạnh nhạt và từ đỉnh nhạt chỉ được đi tiếp theo cạnh đậm. Mỗi khi
thăm tới một đỉnh, ta gán nhãn đậm/nhạt cho đỉnh đó và tiếp tục thao tác tìm kiếm trên đồ thị
như bình thường. Cũng trong quá trình tìm kiếm, mỗi khi phát hiện thấy một cạnh nhạt nối hai
đỉnh đậm, ta dừng lại ngay vì nếu gán nhãn tiếp sẽ gặp tình trạng một đỉnh có cả hai nhãn
đậm/nhạt, trong trường hợp này, Blossom được phát hiện (xem tính chất của Blossom) và bị
chập thành một đỉnh, thuật toán được bắt đầu lại với đồ thị mới cho tới khi trả lời được câu
hỏi: "có tồn tại đường mở xuất phát từ x hay không?".
Nếu đường mở tìm được không đi qua đỉnh chập nào thì ta chỉ việc tăng cặp dọc theo đường
mở. Nếu đường mở có đi qua một đỉnh chập thì ta lại nở đỉnh chập đó ra thành Blossom để
thay đỉnh chập này trên đường mở bằng một đoạn đường xuyên qua Blossom:
Expand Expand
Hình 92: Nở Blossom để dò đường xuyên qua Blossom
Lý thuyết đồ thị 307
Lê Minh Hoàng
Lưu ý rằng không phải Blossom nào cũng bị chập, chỉ những Blossom ảnh hưởng tới quá
trình tìm đường mở mới phải chập để đảm bảo rằng đường mở tìm được là đường đi cơ bản.
Tuy nhiên việc cài đặt trực tiếp các phép chập Blossom và nở đỉnh khá rắc rối, đòi hỏi một
chương trình với độ phức tạp O(n4).
Dưới đây ta sẽ trình bày một phương pháp cài đặt hiệu quả hơn với độ phức tạp O(n3),
phương pháp này cài đặt không phức tạp, nhưng yêu cầu phải hiểu rất rõ bản chất thuật toán.
13.3. THUẬT TOÁN LAWLER (1973)
Trong thuật toán Edmonds, sau khi chập mỗi Blossom thành một đỉnh thì đỉnh đó hoàn toàn
lại có thể nằm trên một Blossom mới và bị chập tiếp. Thuật toán Lawler chỉ quan tâm đến
đỉnh chập cuối cùng, đại diện cho Blossom ngoài nhất (Outermost Blossom), đỉnh chập cuối
cùng này được định danh (đánh số) bằng đỉnh cơ sở của Blossom ngoài nhất.
Cũng chính vì thao tác chập/nở nói trên mà ta cần mở rộng khái niệm Blossom, có thể coi
một Blossom là một tập đỉnh nở ra từ một đỉnh chập chứ không đơn thuần chỉ là một chu
trình pha cơ bản nữa.
Xét một Blossom B có đỉnh cơ sở là đỉnh r. Với ∀v∈B, v ≠ r, ta lưu lại hai đường pha từ r tới
v, một đường kết thúc bằng cạnh đậm và một đường kết thúc bằng cạnh nhạt, như vậy có hai
loại vết gãn cho mỗi đỉnh v (hai vết này được cập nhật trong quá trình tìm đường):
S[v] là đỉnh liền trước v trên đường pha kết thúc bằng cạnh đậm, nếu không tồn tại đường
pha loại này thì S[v] = 0.
T[v] là đỉnh liền trước v trên đường pha kết thúc bằng cạnh nhạt, nếu không tồn tại đường
pha loại này thì T[v] = 0.
Bên cạnh hai nhãn S và T, mỗi đỉnh v còn có thêm:
Nhãn b[v] là đỉnh cơ sở của Blossom chứa v. Hai đỉnh u và v thuộc cùng một Blossom ⇔
b[u] = b[v].
Nhãn match[v] là đỉnh ghép với đỉnh v. Nếu v chưa ghép thì match[v] = 0.
Khi đó thuật toán tìm đường mở bắt đầu từ đỉnh x chưa ghép có thể phát biểu như sau:
Bước 1: (Init)
Hàng đợi Queue dùng để chứa những đỉnh đậm chờ duyệt, ban đầu chỉ gồm một đỉnh đậm
x.
Với mọi đỉnh u, khởi gán b[u] = u và match[u] = 0 với ∀u.
Gán S[x] ≠ 0; với ∀u≠x, gán S[u] = 0
Với ∀v: gán T[v] = 0
Bước 2: (BFS)
Lặp lại các bước sau cho tới khi hàng đợi rỗng:
Với mỗi đỉnh đậm u lấy ra từ Queue, xét những cạnh nhạt (u, v):
Nếu v chưa thăm:
308 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Nếu:
v là đỉnh chưa ghép → Tìm thấy đường mở kết thúc ở v, dừng
v là đỉnh đã ghép → thăm v → thăm luôn match[v] và đẩy match[v] vào Queue.
Lưu vết: Cập nhật hai nhãn S và T
Nếu v đã thăm
Nếu v là đỉnh nhạt hoặc b[v] = b[u] ⇒ bỏ qua
Nếu v là đỉnh đậm và b[v] ≠ b[u] ta phát hiện được blossom mới chứa u và v, khi đó:
Phát hiện đỉnh cơ sở: Truy vết đường đi ngược từ hai đỉnh đậm u và v theo hai đường
pha về nút gốc, chọn lấy đỉnh a là đỉnh đậm chung gặp đầu tiên trong quá trình truy
vết ngược. Khi đó Blossom mới phát hiện sẽ có đỉnh cơ sở là a.
Gán lại vết: Gọi (a = i[1], i[2], ..., i[p] = u) và (a = j[1], j[2], ..., j[q] = v) lần lượt là
hai đường pha dẫn từ a tới u và v. Khi đó (a = i[1], i[2], ..., i[p] = u, j[q] = v, j[q-
1], ..., j[1] = a) là một chu trình pha đi từ a tới u và v rồi quay trở về a. Bằng cách đi
dọc theo chu trình này theo hai hướng ngược nhau, ta có thể gán lại tất cả các nhãn S
và T của những đỉnh trên chu trình. Lưu ý rằng không được gán lại nhãn S và T cho
những đỉnh k mà b[k] = a, và với những đỉnh k có b[k] ≠ a thì bắt buộc phải gán lại
nhãn S và T theo chu trình này bất kể S[k] và T[k] trước đó đã có hay chưa.
Chập Blossom: Xét những đỉnh v mà b[v]∈{b[i[1]], b[i[2]], ..., b[i[p]], b[j[1]],
b[j[2]], ..., b[j[q]]}, gán lại b[v] = a. Nếu v là đỉnh đậm (có nhãn S[v] ≠ 0) mà chưa
được duyệt tới (chưa bao giờ được đẩy vào Queue) thì đẩy v vào Queue chờ duyệt
tiếp tại những bước sau.
Bước 3:
Nếu bước 2 tìm ra đường mở thì trả về đường mở, nếu bước 2 không tìm thấy đường mở
và thoát ra do hàng đợi rỗng thì kết luận không tìm thấy đường mở.
Sau đây là một số ví dụ về các trường hợp từ đỉnh đậm u xét cạnh nhạt (u, v):
Trường hợp 1: v chưa thăm và chưa ghép:
u
x 1 2
T:1
S:2
v u
1 2
3 4
x
T:1
v
S:2 T:3
3 4
⇒ Tìm thấy đường mở
Trường hợp 2: v chưa thăm và đã ghép
Lý thuyết đồ thị 309
Lê Minh Hoàng
u
x 1 2
T:1
S:2
v u
1 2
3 4
x
T:1
v
S:2 T:3
3 4 5 5
S:4
⇒ Thăm cả v lẫn match[v], gán nhãn T[v] và S[match[v]]
Trường hợp 3: v đã thăm, là đỉnh đậm thuộc cùng blossom với u
u
x 1 2
T:1
v
3
5
6
S:2
T:3
S:5
T:7
S:4
T:5
S:6
T:3
S:7
b[.] = 3
7
4
⇒ Không xét, bỏ qua
Trường hợp 4: v đã thăm, là đỉnh đậm và b[u] ≠ b[v]
x 1 2
T:1
3
S:2
4
6
8
T:3 S:4
T:3 S:6
5
7
x 1 2
T:1
3
S:2
4
6
8
T:3
S:5
T:7
S:4
T:5
S:6
T:3
S:7
5
7
a
⇒ Phát hiện Blossom, tìm đỉnh cơ sở a = 3, gán lại nhãn S và T dọc chu trình pha. Đẩy hai
đỉnh đậm mới 4, 6 vào hàng đợi, Tại những bước sau, khi duyệt tới đỉnh 6, sẽ tìm thấy đường
mở kết thúc ở 8, truy vết theo nhãn S và T tìm được đường (1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8)
Tư tưởng chính của phương pháp Lawler là dùng các nhãn b[v] thay cho thao tác chập trực
tiếp Blossom, dùng các nhãn S và T để truy vết tìm đường mở, tránh thao tác nở Blossom.
Phương pháp này dựa trên một nhận xét: Mỗi khi tìm ra đường mở, nếu đường mở đó xuyên
qua một Blossom ngoài nhất thì chắc chắn nó phải đi vào Blossom này từ nút cơ sở và thoát
ra khỏi Blossom bằng một cạnh nhạt.
13.4. CÀI ĐẶT
Ta sẽ cài đặt phương pháp Lawler với khuôn dạng Input/Output như sau:
Input: file văn bản GMATCH.INP
310 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Dòng 1: Chứa hai số n, m lần lượt là số cạnh và số đỉnh của đồ thị cách nhau ít nhất một
dấu cách (n ≤ 100)
m dòng tiếp theo, mỗi dòng chứa hai số u, v tượng trưng cho một cạnh (u, v) của đồ thị
Output: file văn bản GMATCH.OUT, ghi bộ ghép cực đại tìm được
9 5 6
1 2
3 4
10
7 8
GMATCH.INP
10 11
1 2
1 6
2 4
2 8
3 4
3 6
5 6
5 9
5 10
7 8
7 9
GMATCH.OUT
1) 1 6
2) 2 8
3) 3 4
4) 5 10
5) 7 9
Chương trình này sửa đổi một chút mô hình cài đặt trên dựa vào nhận xét:
v là một đỉnh đậm nếu và chỉ nếu v = x hoặc match[v] là một đỉnh nhạt, vậy để kiểm tra
một đỉnh v có phải đỉnh đậm hay không ta có thể kiểm tra bằng biểu thức:
(v = x) or (match[v] <> 0) and (T[match[v]] <> 0) = TRUE
Nếu v là đỉnh đậm thì S[v] = match[v]
Các biến được sử dụng với vai trò như sau:
match[v] là đỉnh ghép với đỉnh v
b[v] là đỉnh cơ sở của Blossom chứa v
T[v] là đỉnh liền trước v trên đường pha từ đỉnh xuất phát tới v kết thúc bằng cạnh nhạt,
T[v] = 0 nếu quá trình BFS chưa xét tới v.
InQueue[v] là biến Boolean, InQueue[v] = True ⇔ v là đỉnh đậm đã được đẩy vào Queue
để chờ duyệt.
start và finish: Nơi bắt đầu và kết thúc đường mở.
P_4_13_1.PAS * Phương pháp Lawler áp dụng cho thuật toán Edmonds
program MatchingInGeneralGraph;
const
InputFile = 'GMATCH.INP';
OutputFile = 'GMATCH.OUT';
max = 100;
var
a: array[1..max, 1..max] of Boolean;
match, Queue, b, T: array[1..max] of Integer;
InQueue: array[1..max] of Boolean;
n, Front, Rear, start, finish: Integer;
procedure Enter;
var
i, m, u, v: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
FillChar(a, SizeOf(a), False);
Lý thuyết đồ thị 311
Lê Minh Hoàng
ReadLn(f, n, m);
for i := 1 to m do
begin
ReadLn(f, u, v);
a[u, v] := True;
a[v, u] := True;
end;
Close(f);
end;
procedure Init; {Khởi tạo bộ ghép rỗng}
begin
FillChar(match, SizeOf(match), 0);
end;
procedure InitBFS; {Thủ tục này được gọi để khởi tạo trước khi tìm đường mở xuất phát từ start}
var
i: Integer;
begin
{Hàng đợi chỉ gồm một đỉnh đậm start}
Front := 1; Rear := 1;
Queue[1] := start;
FillChar(InQueue, SizeOf(InQueue), False);
InQueue[start] := True;
{Các nhãn T được khởi gán = 0}
FillChar(T, SizeOF(T), 0);
{Nút cơ sở của outermost blossom chứa i được khởi tạo là i}
for i := 1 to n do b[i] := i;
finish := 0; {finish = 0 nghĩa là chưa tìm thấy đường mở}
end;
procedure Push(v: Integer); {Đẩy một đỉnh đậm v vào hàng đơi}
begin
Inc(Rear);
Queue[Rear] := v;
InQueue[v] := True;
end;
function Pop: Integer; {Lấy một đỉnh đậm khỏi hàng đợi, trả về trong kết quả hàm}
begin
Pop := Queue[Front];
Inc(Front);
end;
{Khó nhất của phương pháp Lawler là thủ tục này: Thủ tục xử lý khi gặp cạnh nhạt nối hai đỉnh đậm p, q}
procedure BlossomShrink(p, q: Integer);
var
i, NewBase: Integer;
Mark: array[1..max] of Boolean;
{Thủ tục tìm nút cơ sở bằng cách truy vết ngược theo đường pha từ p và q}
function FindCommonAncestor(p, q: Integer): Integer;
var
InPath: array[1..max] of Boolean;
begin
FillChar(InPath, SizeOf(Inpath), False);
repeat {Truy vết từ p}
p := b[p]; {Nhảy tới nút cơ sở của Blossom chứa p, phép nhảy này để tăng tốc độ truy vết}
InPath[p] := True; {Đánh dấu nút đó}
if p = start then Break; {Nếu đã truy về đến nơi xuất phát thì dừng}
p := T[match[p]]; {Nếu chưa về đến start thì truy lùi tiếp hai bước, theo cạnh đậm rồi theo cạnh nhạt}
until False;
repeat {Truy vết từ q, tương tự như đối với p}
312 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
q := b[q];
if InPath[q] then Break; {Tuy nhiên nếu chạm vào đường pha của p thì dừng ngay}
q := T[match[q]];
until False;
FindCommonAncestor := q; {Ghi nhận đỉnh cơ sở mới}
end;
procedure ResetTrace(x: Integer); {Gán lại nhãn vết dọc trên đường pha từ start tới x}
var
u, v: Integer;
begin
v := x;
while b[v] <> NewBase do {Truy vết đường pha từ start tới đỉnh đậm x}
begin
u := match[v];
Mark[b[v]] := True; {Đánh dấu nhãn blossom của các đỉnh trên đường đi}
Mark[b[u]] := True;
v := T[u];
if b[v] <> NewBase then T[v] := u; {Chỉ đặt lại vết T[v] nếu b[v] không phải nút cơ sở mới}
end;
end;
begin {BlossomShrink}
FillChar(Mark, SizeOf(Mark), False); {Tất cả các nhãn b[v] được khởi tạo là chưa bị đánh dấu}
NewBase := FindCommonAncestor(p, q); {xác định nút cơ sở}
ResetTrace(p); ResetTrace(q); {Gán lại nhãn}
if b[p] <> NewBase then T[p] := q;
if b[q] <> NewBase then T[q] := p;
{Chập blossom ⇔ gán lại các nhãn b[i] cho đỉnh i nếu blossom b[i] bị đánh dấu}
for i := 1 to n do
if Mark[b[i]] then b[i] := NewBase;
{Xét những đỉnh đậm i chưa được đưa vào Queue nằm trong Blossom mới, đẩy i và Queue để chờ duyệt sau}
for i := 1 to n do
if not InQueue[i] and (b[i] = NewBase) then
Push(i);
end;
{Thủ tục tìm đường mở}
procedure FindAugmentingPath;
var
u, v: Integer;
begin
InitBFS; {Khởi tạo}
repeat {BFS}
u := Pop; {Rút một đỉnh đậm u ra khỏi hàng đợi}
{Xét những đỉnh v kề u qua một cạnh nhạt mà v không nằm cùng blossom với u}
for v := 1 to n do
if (a[u, v]) and (match[u] <> v) and (b[u] <> b[v]) then
if (v = start) or (match[v] <> 0) and (T[match[v]] <> 0) then {Nếu v là đỉnh đậm}
BlossomShrink(u, v) {thì gán lại vết, chập blossom...}
else
if T[v] = 0 then {Nếu v là đỉnh nhạt chưa thăm tới}
if match[v] = 0 then {Nếu v chưa ghép nghĩa tìm được đường mở kết thúc ở v, thoát}
begin
T[v] := u;
finish := v;
Exit;
end
else {Nếu v đã ghép thì ghi vết đường đi, thăm v, thăm luôn cả match[v] và đẩy match[v] vào Queue}
begin
T[v] := u;
Push(match[v]);
end;
Lý thuyết đồ thị 313
Lê Minh Hoàng
until Front > Rear;
end;
procedure Enlarge; {Nới rộng bộ ghép bởi đường mở bắt đầu từ start, kết thúc ở finish}
var
v, next: Integer;
begin
repeat
v := T[finish];
next := match[v];
match[v] := finish;
match[finish] := v;
finish := next;
until finish = 0;
end;
procedure Solve; {Thuật toán Edmonds}
var
u: Integer;
begin
for u := 1 to n do
if match[u] = 0 then
begin
start := u; {Với mỗi đỉnh chưa ghép start}
FindAugmentingPath; {Tìm đường mở bắt đầu từ start}
if finish <> 0 then Enlarge; {Nếu thấy thì nới rộng bộ ghép theo đường mở này}
end;
end;
procedure Result; {In bộ ghép tìm được}
var
u, count: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
count := 0;
for u := 1 to n do
if match[u] > u then {Vừa tránh in lặp cạnh (u, v) và (v, u), vừa loại những đỉnh không ghép được (match[.]=0)}
begin
Inc(count);
WriteLn(f, count, ') ', u, ' ', match[u]);
end;
Close(f);
end;
begin
Enter;
Init;
Solve;
Result;
end.
13.5. ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN
Thủ tục BlossomShrink có độ phức tạp O(n). Thủ tục FindAugmentingPath cần không quá n
lần gọi thủ tục BlossomShrink, cộng thêm chi phí của thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng, có
độ phức tạp O(n2). Phương pháp Lawler cần không quá n lần gọi thủ tục FindAugmentingPath
nên có độ phức tạp tính toán là O(n3).
314 Chuyên đề
ĐHSPHN 1999-2004
Cho đến nay, phương pháp tốt nhất để giải bài toán tìm bộ ghép tổng quát trên đồ thị được
biết đến là của Micali và Vazizani (1980), nó có độ phức tạp tính toán là O( n.m) . Bạn có
thể tham khảo trong các tài liệu khác.
TÀI LIỆU ĐỌC THÊM
Dưới đây là hai cuốn sách có thể nói là kinh điển mà hầu hết các tài liệu về thuật toán đều
trích dẫn ít nhiều từ hai cuốn sách này. Các bạn nên tìm mọi cách để đọc.
Title: The Art of Computer Programming
Author: Donald E. Knuth
Volume 1: Fundamental Algorithms
Volume 2: Seminumerical Algorithms
Volume 3: Sorting and Searching
Volume 4: Combinatorial Algorithms (in preparation)
Volume 5: Syntactic Algorithms (in preparation)
Title: Introduction to Algorithms
Authors: Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest
Bạn đang đọc truyện trên: AzTruyen.Top