—¿Qué es para ustedes un instrumento de medida? —dijo María sonriendo, divertida por el acertijo.

—¿Un instrumento de medida? —preguntó Nordheim perplejo por la pregunta—. ¿Se refiere a un metro, una báscula o un contador Geiger?

—Eso es, pero no hablo de instrumentos hechos de plástico y metal. Hablo de instrumentos de medida construidos con ideas... con pensamientos.

—¿Qué? —preguntó Nordheim, incrédulo.

—Piensen. ¿Para qué sirve un número natural?

—Para muchas cosas. Entre ellas, contar —dijo Morfenstern.

—Es curioso —dijo Nordheim pensativo—. Nunca lo habría planteado así.

—Los números son instrumentos de medida porque sirven para contar y medir longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, tiempo —continuó Morgenstern, que empezaba a comprender el planteamiento de María.

—No todos —dijo Nordheim—. Hay sistemas numéricos que por limitaciones en su ordenación no sirven para eso; sin embargo, son magníficos para describir la naturaleza ondulatoria de la materia. Me refiero a los números complejos.

—Volviendo a los números naturales —María redirigió el diálogo—, ¿qué es para ustedes un número natural?

—Son los números 1, 2, 3, 4, 5... —dijo Morgenstern.

—Muy bien —continuó María—. Ha habido numerosas definiciones de estos números. Una de ellas, quizá la más famosa, es la axiomática de Giuseppe Peano. Los postulados son sencillos: 1) 1 ∈ N; 2) ∀ n ∈ N, ∃ n* ∈ N, llamado el sucesor de n; 3) 1 nunca es sucesor; 4) Si n, m ∈ N y ocurre que n* = m*, entonces n = m; 5) Si para un conjunto cualquiera A, se cumple que 1 ∈ A y ∀ n ∈ N, n*∈A, entonces, N ⊆ A.

El economista pensó que aquello no era sencillo, pero se calló, no queriendo realizar preguntas demasiado triviales. Sin embargo, de alguna manera, María, la genial androide, pudo leer en su rostro el desconcierto.

—Básicamente —dijo María, queriendo aclarar un poco el galimatías—, dicen que N es un conjunto discreto (es decir, no continuo), en el que puede razonarse por inducción y dotado de un orden total, un orden es muy útil para medir.

—Es una definición razonable —dijo el doctor Ernesto Nordheim—. Le propongo otra. El número es una abstracción. Al número natural se llega por un proceso de abstracción doble: por un lado de la naturaleza y por otro del orden de los objetos que forman un conjunto. El cinco es lo que tienen en común cinco elefantes, cinco camiones y cinco agujeros negros; y además cinco elefantes siguen siendo cinco tanto ordenados por tamaño como ordenados por edad.

—Efectivamente —respondió María—, siguiendo a Georg Cantor, si para dos conjuntos de objetos cualesquiera puede establecerse una relación uno a uno entre sus elementos, podemos decir que tienen el mismo número o, si quiere, el mismo cardinal. Así, el cinco se definiría como la clase de todos los conjuntos con cinco elementos.

Morgenstern no supo qué añadir a lo que apuntaban sus colegas. Sin embargo, intuyó que María no había terminado de exponer sus ideas.

—Pero lo cierto es —dijo María— que durante muchos siglos los números naturales fueron considerados como simples instrumentos de medida.

—Como un metro, una báscula o un contador Geiger. Es curioso —dijo Nordheim pensativo—. Nunca habría definido así un número.

—O un mercado financiero—apuntó Morgenstern, el economista.

—¿Un mercado es un instrumento de medida? —preguntó Nordheim sorprendido.

—Si funciona correctamente —replicó Morgenstern—, determina los precios de los bienes y servicios que están a la venta. En cierto modo, los mide o, si queréis, mide su valor.

—¿Pero funcionan correctamente? —apuntó Nordheim inquisitivo.

Morgenstern no pudo dar respuesta. No la había.

—Sí —continuó María—, los números pueden ser instrumentos de medida salvo que no son objetos físicos, sino objetos de nuestro intelecto, que en vez de estar hechos de plástico o metal están construidos con ideas, y en vez de tener engranajes y tuercas, poseen otros mecanismos, como la suma o la multiplicación.

Nordheim se reclinó en su asiento. No parecía convencido por el planteamiento.

—Hubo un tiempo en el que el número y la medida estaban íntimamente relacionados —insistió María—. Comencemos por el principio, porque para entender adónde vamos hay que conocer de dónde venimos. Piensen que una parte fundamental del avance de la matemáticas ha consistido en la medida de objetos matemáticos cada vez más complejos, desde la humilde superficie de un cuadrado hasta los objetos más extraordinarios...

Mosgerntern y Nordheim quedaron en silencio, expectantes.

—Ahora permítanme que les cuente una bonita historia —María volvió a sonreír.

—Bien —concedió Nordheim—, pero después deberá describirnos sus teorías matemáticas, por favor. Estamos muy interesados en ellas.

María siguió sonriendo.

—Todo a su debido tiempo. Tengamos paciencia.