—Mi relato no ha terminado. Aún queda mucho por contar. Déjenme continuar esta historia maravillosa.

En ese mismo instante, el doctor Morgenstern dejó de pensar en María Neumann como la Dorothy que llevaba a las ciencias por el camino amarillo en busca de la Ciudad Esmeralda del mundo de Oz. A su mente acudió una nueva imagen muy intensa. Tan intensa, que, en un descuido, dejó escapar de su boca una palabra, apenas un susurro:

—Sherezade —dijo en voz baja.

Ella era Sherezade y estaban en Las mil y una noches. Una sucesión de historias interminable, un mundo de historias infinitas, un relato sin fin, como el número de granos de arena de todos los desiertos de Arabia, como el universo mismo.

—¿Dijo algo, doctor Morgenstern? —preguntó Nordheim.

Aquella pregunta sacó a Morgenstern de su ensimismamiento.

—No, perdónenme, no dije nada —respondió.

Pero al mirar a María 'Sherezade' Neumann y ver sus ojos fijos en él, comprendió que su fino oído de androide sí había captado el susurro. Sherezade le contaba cada noche un relato apasionante a su marido el sultán, con la esperanza de entretenerle y fascinarle, y así sobrevivir un día más a la tradición de decapitar a sus esposas al día siguiente de la noche de bodas...

—Ya hemos explicado cómo durante la Prehistoria y la Edad del Bronce se fueron sofisticando los instrumentos intelectuales de medida, pero la historia no ha terminado aquí. Continuemos.

—Los mesopotámicos y los egipcios habían tenido contacto con los números reales, pero sin ser conscientes de la extraña naturaleza de este nuevo instrumento intelectual de medida. De hecho, una valiosa tablilla cuneiforme mesopotámica nos da la aproximación muy notable de la raíz de 2 con 6 decimales correctos:

√2 = 1,41421296296296...

Otra estimación en un papiro egipcio nos da un cálculo de π muy razonable para la época:

π = 256 / 81 = 3,16049...

—Habían conocido los naturales (N), los racionales (Q, es decir, las fracciones) y los números reales (R) no eran sino un nuevo conjunto numérico más que sabían manejar. Otro más —dijo Morgenstern.

—No, en absoluto era así — contestó Sherezade—. Los naturales y los racionales podían ser entendidos razonablemente utilizando operaciones aritméticas como la suma y la división. Bastaba con eso. Como vimos, los sistemas numéricos permitían manejar los números grandes. Por ejemplo, para manejar el difícil número grande 1.978.765,437 basta conocer los sencillos números pequeños 1, 9, 7, 8, 6, 5, 4 y 3. Gracias a las operaciones aritméticas se traducía lo complejo a términos simples. Lo desconocido por su enormidad se descomponía en términos perfectamente determinados.

—¿Y con los números reales no es lo mismo? —preguntó Mosgenstern sorprendido.

—No, para dominar ese nuevo instrumento de medida llamado número real, se necesitaba algo más.

—¿Qué era ese "algo más"? —dijo en incisivo Nordheim.

—El conjunto de los números reales era mucho más grande que el de los números racionales. Su cardinal era mayor. La potencia del continuo era superior a la de los meros conjuntos numerables. Los números reales eran un conjunto numérico más grande y mucho más complejo que los números racionales.

—Ya, pero insisto. ¿Qué era ese "algo más" que se necesitaba para entenderlos? —insistió Nordheim, que no se quedaba satisfecho con la respuesta.

—Sigamos con la historia. Comenzada la Edad del Hierro, la originalidad del pensamiento griego supuso un claro impulso a las matemáticas. Tales de Mileto —el hijo de una familia de fenicios—, y Pitágoras visitaron Egipto y Mesopotamia, donde adquirieron los arcanos conocimientos de los matemáticos arcaicos.

"¿Por qué Maria 'Sherezade' Neumann no nos respondía directamente? ¿Por qué queria ganar tiempo?", se preguntó el doctor Morgenstern. "¿Por qué este sorprendente androide no nos describía sus revolucionarias ideas matemáticas directamente? ¿Por qué tantos rodeos para explicar la esencia de la Economía y poner fin a sus problemas?".

—En general —continuó Sherezade—, los griegos se enfrentaron a la medida de las cosas con una visión novedosa, crítica y racional, alejada de la religiosidad y la superstición a las que no supieron escapar los mesopotámicos. Este proceso fue gradual, en la escuela pitagórica aún se observa un elevado grado de misticismo. Además, en el mundo griego los resultados no bastaba con enunciarlos. Las matemáticas eran un complejo constructo creado con la fuerza de la razón. Los resultados se demostraban.

—¿Y eso qué tiene que ver con nuestra historia? —preguntó Nordheim.

—Tiene que ver que analizaron los temas de siempre con una visión nueva. El escándalo surgió cuando intentaron medir la diagonal del cuadrado en comparación con el lado. Sus instrumentos intelectuales de medida fracasaron de manera estrepitosa.

—La diagonal dividida por el lado es la raíz de dos, un número real —dijo Nordheim.

—Los pitagóricos (posiblemente, Hipaso de Metaponto), utilizando el razonamiento lógico, fueron capaces de demostrar que la diagonal comparada con el lado del cuadrado no era un número racional, no podía ser expresada como una fracción.

—No podía ser entendida como una fracción, pero sí como una raíz cuadrada, una operación un poco más difícil, ¿cuál era el problema? —preguntó Nordheim, cada vez más inquieto por la situación.

—Los pitagóricos sostenían que el espacio podía conocerse utilizando los números, entendiendo por número solo los naturales y racionales. Al menos, a diferencia de egipcios y mesopotámicos, comprendieron que existía algo nuevo: había magnitudes del espacio que no se podían medir con sus estructuras de medida. Los naturales y racionales no eran suficientes, no existían p y q naturales, tales que √2 = p/q. Esas magnitudes "inconmensurables" que solo podían medirse construyendo los irracionales, es decir, los números reales no racionales. Les faltaban los irracionales, y eso supuso un mazazo para sus convicciones. Era un escándalo.

—Era una sencilla raíz cuadrada —dijo Morgenstern.

—La cosa se complicó más. Teodoro de Cirene mostró que aparecían muchos más inconmensurables tal como reflejan los Diálogos de Platón: √3, √5, √6, √7... eran irracionales que —como √2—, podían representarse con expresiones algebraicas (irracionales algebraicos). Posteriormente Teeteto, discípulo de Platón, demostró que √n, siendo n natural, o era un cuadrado perfecto (√4, √9, √16) o era inconmensurable (√3, √5, √6).

—Era una sencilla raíz cuadrada —insistió Nordheim.

—Algo sí ocurrió. Los matemáticos de la época de Platón empezaron a hablar de los conmensurables en cuadrado que incluían a todos estos. Aunque no eran conmensurables, su cuadrado sí lo era.

—Solucionado, entonces —Nordheim se sintió satisfecho.

—En absoluto. Aunque no fueron mencionados explícitamente como inconmensurables había otras magnitudes más misteriosas aún sobre las que no sabían nada (de hecho, eran la mayoría de los irracionales), como el área del círculo de radio unitario (el llamado número π), para las que no parecía posible encontrar ninguna expresión algebraica cerrada (irracionales trascendentes). Para ellos no había raíces cuadradas.

—¿Y no podían simplemente aceptar el nuevo conjunto numérico de los irracionales? —preguntó Nordheim.

—Aunque comenzaron el estudio de los irracionales, no fueron capaces de aceptarlos como números. Su pensamiento se sumió en una profunda crisis. Los números de la escuela pitagórica eran los naturales y los racionales y comprobaron, con gran irritación, que en el espacio aparecían unas magnitudes inconmensurables, entes extraños que no eran medibles y para las que no existía un número. No sabían qué hacer con ellas. La diagonal del cuadrado unitario (√2) y área del círculo de radio uno (π) no eran números.

—¿Cómo superaron la crisis? —preguntó el economista Morgenstern.

—Ya es interesante que se produjera una crisis, algo impensable para la mentalidad de la Edad del Bronce anterior. Este mero hecho ya nos dice mucho sobre la necesidad griega de coherencia y razonamiento lógico, un paso gigantesco en comparación con sus antecesores mesopotámicos y egipcios.

—¿Cómo superaron la crisis? —insistió el físico Nordheim.

—Los griegos eran muy ingeniosos y poco a poco fueron intentando comprender la naturaleza del nuevo personaje en escena: el número real, porque su personalidad era endiabladamente distinta a la de los naturales y las fracciones.

—¿Qué pasó, entonces?— preguntó Morgenstern, inquieto.

—El periodo muestra cierto interés por la naturaleza del contínuo, como delatan las paradojas de Zenón el Eleata. Eran razonamientos en los que el espacio se dividía un número infinito de veces, como la carrera entre el veloz Aquiles, el de los pies ligeros, frente a una humilde y lenta tortuga.

—¿Qué pasó, entonces? —insistió Nordheim, histérico.

—Hubo un matemático que solucionó el problema, tal como aparece descrito en Elementos de Euclides.

—Sabía que tenía que ser Euclides— dijo Morgenstern sonriente—. Lo sabía.

—Euclides, claro —Nordheim le dio la razón.

—No, no fue Euclides.

—¿Cómo? —Morgenstern pareció desconcertado.

—¿Qué? —dijo Norheim desencajado—. ¿Arquímedes de Siracusa? ¿Apolonio de Perga, el de las cónicas, quizá?

—No, se llamaba Eudoxo de Cnidos. Fue uno de los matemáticos más brillantes del mundo griego.

—¿Quién?

—Eudoxo, del que apenas nada se sabe, gran matemático y astrónomo, amigo además de Platón.

Morgenstern y Nordheim quedaron atónitos. Eudoxo aparecía en la historia de la doctora Maria 'Sherezade' Neumann como el genio de la lámpara en el cuento de Aladino.

—Nuestra principal referencia para el problema son los Elementos. Lo primero que llama la atención de la obra de Euclides es el Libro II, que trata de expresiones algebraicas comunes, pero en ellas no se muestra ni un solo número...

—¿Álgebra sin números? ¿Cómo puede ser?

—Los pitagóricos habían anunciado que el número (natural y racional) no había mostrado su capacidad para describir "lo continuo", es decir, las medidas del espacio, y estaba completamente desacreditado. Cuando se hablaba de una magnitud se mostraba un segmento de recta, la multiplicación de dos magnitudes se manifestaba como el rectángulo asociado. Fue un retroceso. Se había emprendido una geometrización del Álgebra que retrasaría el desarrollo matemático durante siglos, Las demostraciones griegas eran "geométricamente demostradas", solo así se creían el resultado.

—Qué barbaridad.

—Pero el meollo del tema estaba en el Libro V (sobre las proporciones, atribuido a Eudoxo) y también en el Libro X (de los inconmensurables, de Teeteto y Eudoxo) de Elementos.

—¿No los escribió Euclides?

—Euclides sistematizó en Elementos las matemáticas en un todo coherente en el que los hallazgos de sus geniales antecesores estaban incorporados.

—El Libro V de las proporciones de Eudoxo nos explicaba que dadas dos razones de números a/b y c/d, estas representaban la misma proporción si para cualesquiera m, n naturales ocurría alguna de estas tres situaciones:

(a m < b n y c m < d n) o (a m > b n y c m > d n) o (a m = b n y c m = d n)

—¡Qué galimatías! ¡No entiendo nada! —aulló Morgenstern, incapaz de seguir a la genial androide.

—¿Nos lo podría explicar un poco más intuitivamente, doctora Neumann? —preguntó Nordheim suplicante.

—Claro que sí. Seré poco rigurosa, pero más entendible. Si tenemos dos magnitudes cualesquiera, conmensurables o no, (llamemoslas x e y), estas serán iguales si se comportan de igual manera respecto a los racionales.

—¿"De igual manera" qué quiere decir? —preguntó Morgenstern.

—Pues para un racional r cualquiera que, cuando x > r, también y > r y viceversa. Es decir, si se encuentra un r con x > r > y (o viceversa), es que x e y no son iguales. No podía ocurrir x > r > y.

—¿Un ejemplo por favor?

—El área del círculo de radio unitario y la longitud de la circunferencia de diámetro uno ambos valen π. Es decir, ambas misteriosas magnitudes inconmensurables y desconocidas son menores que el número racional 3,1416 y ambas son mayores que el número racional 3,14159 y así, por muchos decimales que tomemos, porque son el mismo inconmensurable.

—Entonces, Eudoxo... —dijo Morgenstern.

—Eudoxo... —repitió Nordheim.

—Sí, Eudoxo, en el siglo IV antes de nuestra era, definió por primera vez el número real, aunque él realmente no lo consideraba un número. Era un nuevo instrumento de medida, mucho más poderoso que los naturales o los racionales.

—¿Y por qué era tan distinto al número racional?—preguntó el doctor Nordheim

—Porque sus reglas eran totalmente diferentes. Para comprender y manejar un número racional basta con dividir dos números naturales p/q, o mostrar una expresión de suma de números sencillos, como 3,14, que es 3 + 1/10 + 4/100.

—¿Y para un número irracional no es lo mismo?

—Para esos números irracionales no era posible un conjunto finito de expresiones algebraicas. Se necesitaba algo más.

—¿Qué era ese "algo más"? —dijo Nordheim, sumamente inquieto.

—El concepto de cercanía —respondió el androide con tranquilidad.

—¿Cómo dice?

—Cercanía —repitió.

—¿Qué?

—Suponía una nueva forma de hacer matemáticas.

—¿Por qué la "cercanía" era tan importante?

—Se iba de lo conocido a lo desconocido. De lo sencillo a lo complejo. No podemos conocer el valor exacto del número real π, pero para tratarlo bastaba con saber que había una fracción racional tan "cercana" como quisiéramos. Para conocer una fracción se utilizaba una operación aritmética p/q, para conocer un número irracional bastaba con la "cercanía" de una fracción p/q. Si un objeto desconocido estaba cerca de otro conocido, heredaba algunas de sus propiedades.

—Ah —exclamó Nordheim, boquiabierto.

—La operación era la base del Álgebra; la cercanía, la de la Topología.

—¿Topología?

—Sí. Para definir un objeto matemático complejo es necesario determinar sus operaciones (su estructura algebraica) y su concepto de cercanía (su estructura topológica).

—¿Podría poner un ejemplo?

—Sin duda. Fíjense en los esfuerzos realizados para calcular la cuadratura del círculo. La expresión dada por los egipcios fue esta:

π = 256 / 81 = 3,16049...

—Sí, ya lo ha comentado, doctora Neumann.

—Arquímedes por su parte, en Medición del Círculo construyó polígonos con cada vez más lados inscritos y circunscritos en un círculo, acercándose cada vez más al área del círculo que quería medir.

—Cercanía otra vez.

—Eso es. Se acercaba al dato. Su estimación fue

3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 = 3,142857142857...

—Tanto lío para ganar solo un poco de precisión... —dijo Nordheim.

—No, hay algo nuevo. Una nueva forma de hacer matemáticas.

—En el caso egipcio se identifica π con un número racional, lo que es un error de concepto, pero en Arquímedes vemos que hay consciencia de que π no puede ser conocido con exactitud. Solo puede acotarse.

—Meros teoricismos sin aplicación práctica —Nordheim seguía escéptico.

—No, en absoluto. Era el amanecer de una forma de medir que cambiaría el mundo. Unas nuevas matemáticas. El nacimiento de la indeterminación...

Los esquemas mentales de aquel notable físico, con toda una vida dedicada a la ciencia, comenzaron a tambalearse...

—¿Qué? —dijo Nordheim—. La indeterminación nació con el mundo cuántico y el principio de Heisenberg, ya en el siglo XX.

—No para los matemáticos. La indeterminación nació con los griegos en el siglo VI antes de nuestra era, con el escándalo de los inconmensurables.

El doctor Ernesto Nordheim se quedó callado. Estaba perplejo.

—Había indeterminación e incertidumbre —María Neumann insistió—. El número π solo podía aproximarse, podía llegarse muy cerca de él, tanto como fuera deseable, pero jamás llegaría a determinarse. En el mundo cuántico que vino muchos siglos después simplemente hay aún más incertidumbre, mucha más, pero vamos poco a poco.

—Hoy he aprendido algo nuevo —dijo Nordheim humildemente—. Algo importante. Por favor, doctora Neumann, siga contándonos estos relatos tan maravillosos. Se lo suplico.

El doctor Morgenstern comprendió que Sherezade los había embrujado. Solo quería que siguiese hablando de sus mil y una historias. Nada más le importaba. Estaban dando vueltas, recorriendo un camino en círculos que no llegaba a ninguna parte, cada vez más alejados de la Ciudad Esmeralda del Mago de Oz y los problemas reales de la Economía. Pero Morgenstern no se sentía molesto. Al contrario:

—Por favor —susurró—, continúe con estos maravillosos relatos. Siga, Sherezade.

La androide sonrió levemente. Parecía divertirse con la situación.