La doctora María Neumann comenzó con su historia. Morgenstern creyó entrever un ápice de emoción en sus ojos cibernéticos.

—La utilización de los números para medir es muy antigua, más antigua incluso que la civilización misma. Ya en el paleolítico, hace decenas de miles de años, diversos utensilios eran utilizados en asuntos contables.

—En el paleolítico —dijo el doctor Morgenstern—, antes incluso de la aparición de la ganadería y la agricultura...

—¿Pero qué pruebas tenemos de esas matemáticas paleolíticas? —preguntó Nordheim con escepticismo.

—Se han encontrado algunos utensilios que se sospecha que eran empleados para contar. El más famoso es el llamado hueso de Ishango. Un peroné de babuino descubierto en 1950 en el Congo, quizá con 20.000 años de antigüedad. En la zona del hallazgo se encontraron otros útiles que nos hablan de poblaciones seminómadas, cazadores-recolectores que pululaban cerca de los lagos que constituyen las fuentes del Nilo. En el hueso son visibles numerosas incisiones, como si alguien hubiera querido llevar la cuenta de algún fenómeno.

—¿Qué fenómeno? —preguntó Nordheim.

—Se desconoce y hay muchas teorías alternativas sobre ello. Una explicación es que podrían ser "marcas de caza", con la contabilidad de las piezas cobradas o algo similar, pero no es el único objeto encontrado. Otro hallazgo famoso es el hueso de Lebombo, encontrado cerca de Sudáfrica. Datado en unos 40.000 años de antigüedad, también es un peroné de babuino, exactamente con 29 incisiones y que se sospecha que podría ser una especie de calendario lunar.

—¿Por qué se utilizaban los peronés de los babuinos? —preguntó Morgenstern.

—Eran huesos largos —respondió María—, ideales para realizar muchas incisiones, pero no siempre era así. Los útiles encontrados en Europa datados del paleolítico eran huesos de lobo.

—Ya veo, y con esos huesos realizaban sus cálculos —dijo Morgenstern.

—No se sabe si conocían la suma y la resta, pero sí que contaban. Pensemos que contar es un estadio previo al empleo de operaciones aritméticas. Conocían los números naturales y contaban.

—Contar o, como dicen ustedes los matemáticos,: la medida de conteo —apuntó Nordheim.

—Sin duda la medida de conteo es el tipo de medida más primitivo —continuó María—. Las sociedades paleolíticas eran suficientemente complejas como para demandar métodos matemáticos que les sirvieran para gestionar (y medir) los escasos recursos disponibles. El éxito de las sociedades depende de lo que son capaces de medir. El número natural, ese instrumento de medida nacido del intelecto humano, les permitía contar y medir pequeñas cantidades de objetos. El número creaba una sociedad más grande, más próspera y más cohesionada.

—Apasionante —el doctor Morgenstern sintió que se emocionaba.

—Pero no nos engañemos —continuó María—. Era un conteo de números naturales pequeños, limitados por el número de incisiones que caben en el hueso de un animal. Era una contabilidad de números pequeños.

—¿Cuándo llegaron entonces los números naturales grandes? —preguntó Morgenstern entusiasmado.

—Mucho más tarde, con las primeras civilizaciones. Ya en el Antiguo Egipto de los faraones hay constancia de sistemas de numeración que permitían representar y contar números naturales muy grandes. Les pongo un ejemplo en el sistema jeroglífico:

𓁏𓂰 𓆾 𓍦 𓎌 𓏿

La doctora María Neumann les tradujo la cifra. Era sencillo:

1 x 1.000.000 + 4 x 10.000 + 3 x 1.000 + 5 x 100 + 7 x 10 + 6 x 1 = 1.043.576,

siendo:

𓏺=1
𓎆=10
𓍢=100
𓆼=1.000
𓂭=10.000
𓆐=100.000
𓁏=1.000.000

—Era un sistema de numeración práctico, aunque sencillo. Un simple sistema decimal aditivo, en el que el valor de cada cifra se va sumando a las demás. Era aditivo, no posicional. Es decir, el valor de 𓁏 es 1.000.000 tanto si se ubica al final o al principio del número.

—En nuestro sistema posicional actual, el número 61 = 6 x 10 + 1. Por estar a la izquierda, el 6 vale 10 veces más —comentó el físico Ernesto Nordheim.

—Eso es —continuó María—, pero los agrimensores del Antiguo Egipto tenían necesidades mucho más allá de las medidas de conteo. Los constructores de las pirámides necesitaban medir longitudes, áreas y volúmenes. Y para eso los números naturales eran insuficientes.

—Tuvieron entonces que desarrollarse instrumentos de medida más complejos —dijo el doctor Morgenstern.

—Claro —dijo María—. Empezaron a utilizarse tímidamente los números racionales, es decir, Q.

—O sea, hablando como un economista, comenzaron con las fracciones —apuntó Morgenstern.

—Eso es. Eran sistemas de fracciones primitivos, sencillos e incompletos, que solo representaban las fracciones más básicas. Sin querer mostrar de forma sistemática todos los esquemas, les puedo describir el utilizado para las medidas de capacidad de cereales, basado en las partes del llamado Ojo de Horus, 𓂀 que quizá fue el más sorprendente.

𓂁  = 1/2
𓂂   = 1/4
𓂃 = 1/8
𓂄  = 1/16
𓂅 = 1/32
𓂆    = 1/64

De esta manera para representar ¾ de heqat de grano (algo así como tres litros) se expresaba como
𓂁 𓂂 = ½ + ¼ = ¾
—Pero este sistema de fracciones o de números racionales es tan incompleto como el de los números naturales paleolíticos —apuntó Morgenstern.

—Eso es. Los sumerios y los posteriores babilonios en cambio desarrollaron un sistema numérico mucho más avanzado. A diferencia del egipcio era posicional, al igual que nuestro sistema numérico, pero en vez de ser decimal era en base 60. Les pongo unos ejemplos en el sistema cuneiforme de Babilonia:

𒌍𒐈

3 x 10 + 3 = 33

Como es una cifra inferior a 60 el funcionamiento es aditivo. Sin embargo:

𒐗𒌍𒐈

3 x 60 + 3 x 10 + 3 = 213

—Nuevos instrumentos de medida —comentó Morgenstern—. Esta vez más precisos.

—Además era un sistema contextual. No existía la coma decimal y en determinadas situaciones, en función del contexto, podría interpretarse como un número decimal 𒐗𒌍𒐈 = 0,213, es decir, el sistema numérico podía representar cualquier fracción.

—Entonces era un sistema con capacidad para representar números muy grandes y números muy pequeños, incluyendo todas las posibles fracciones —dijo Morgenstern.

—De acuerdo —comentó Nordheim—, todo esto está muy bien, pero ¿adónde queremos llegar? ¿Qué tiene esto de relevante?

—Muy sencillo. Vamos a lo importante. El desarrollo de un instrumento intelectual de medida produjo un aumento de la ciencia muy acusado.

—Es verdad. A partir del siglo VIII a. C. en Babilonia comienza a realizarse una observación sistemática del firmamento.

—Solo —continuó María— cuando se desarrolló un instrumento de medida eficiente comenzó la ciencia de verdad. Aparecía revestida de magia, superstición y misticismo, pero el cielo se observaba. La Ciencia comenzaba.

—Quizá el hallazgo científico más llamativo del periodo fue el descubrimiento de los ciclos Saros —dijo Nordheim.

—Perdónenme —interrumpió Morgenstern—. Desconozco qué son los ciclos Saros.

—La posición relativa de la Tierra, la Luna y el Sol —contestó Nordheim— se repite cada 18 años 11 días y 8 horas, que es lo que se llama un ciclo Saros. Es decir, que si se produce un eclipse en un momento dado es muy probable que algo más de 18 años después vuelva a suceder.

—Y eso debió producir una profunda impresión en la sociedad —continuó María—. Los eclipses eran muy relevantes para la civilización de Mesopotamia porque eran asociados a sucesos que afectan a los países y la vida de las personas. Y empezaron a poder predecirlos.

—¿Quieren decir que eran astrólogos? —preguntó Morgenstern.

—Sí, y por ello realizaron un estudio sistemático de los cielos y fue así que, partiendo de sus creencias supersticiosas erróneas, descubrieron la ciencia de la Astronomía.

—Qué maravillosa historia, doctora Neumann —dijo Ernesto Nordheim—. He disfrutado cada momento, se lo agradezco, pero no olvido que sigue sin hablarnos de sus extraordinarias matemáticas.

La androide sonrió con un gesto travieso.

—Solo pido un poco de paciencia.