Estas duas palavras - mas e mais - existem na língua portuguesa e estão corretas. Porém, os seus significados são diferentes e devem ser usadas em situações diferentes.

Mas é usado, principalmente, com sentido de porém, todavia, contudo.
Mais indica, principalmente, o aumento da quantidade, sendo antônima de menos

Quando usar mas?

Mas é usado principalmente como conjunção adversativa, indicando uma ideia de oposição. Pode ser substituído por porém, todavia, contudo.

Além de conjunção, mas também pode ser um substantivo comum ou um advérbio. Como substantivo se refere a um defeito, um senão. Como advérbio, dá ênfase a uma afirmação.

Exemplos com mas:

Os médicos fizeram todos os possíveis, mas o paciente não sobreviveu.Ele é bom aluno, mas tão bom aluno que tem sempre nota máxima nas provas.Nem mas nem meio mas, faça já o que estou mandando!

Quando usar mais?

Mais transmite sempre uma noção de maior quantidade ou intensidade, de excesso. Pode ser um substantivo comum, uma conjunção, um advérbio de intensidade, uma preposição ou um pronome indefinido. No plural, pode significar também: os outros, os demais, os restantes.

Exemplos com mais:

Sílvia é a menina mais bonita da turma.Três mais três são seis.Vou mais minha irmã ao cinema.Isto é o mais que ele consegue fazer.Não faço mais nada do que for preciso.Vou embora, os mais que se decidam.

Bônus: aprenda quando usar a vírgula com "mas"!

Usa-se vírgula antes de "mas" entre duas orações. Exemplos:

– O carro não era meu, mas de um amigo.

– A obra foi bem planejada, mas esqueceram alguns detalhes.

Usa-se vírgula depois de "mas" quando se intercalar oração ou adjunto adverbial de certa extensão na oração adversativa. Exemplos:

– A empresa era bem administrada, mas, por falta de recursos, não se modernizara. (veja que a vírgula também aparece antes porque são mais de uma oração)

– A natureza é mãe generosa e boa, mas, todas as vezes que a maltratamos, castiga-nos impiedosamente. (a vírgula também aparece antes pelo mesmo caso do exemplo acima)

Não há vírgula depois de "mas" no início do período, em frases do tipo:

 "Mas como ele conseguiu dominar a rebelião?"

"Mas que crimes cometera ele para ser tão odiado?" 

(observação: fique atento! Escrever "mas" no início do período, muitas vezes, é incorreto. Exemplo (do que não fazer): "Ele não foi ao teatro. Mas ao cinema.". O correto é: Ele não foi ao teatro, mas ao cinema".)

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