Phép ¿m - các v¥n Á c¡ b£n và nâng cao

Tr§n Nam Ding

Tr°Ýng HKHTN Tp HCM

Phép ¿m hay còn gÍi là Gi£i tích tÕ hãp óng mÙt vai trò khá quan trÍng trong các môn khoa hÍc và ·c biÇt là trong Tin hÍc và Tóan éng dång. Có thà nói, lý thuy¿t xác su¥t cÕ iÃn có c¡ sß là các bài tóan ¿m, sinh hÍc di truyÁn cing sí dång ¿n phép ¿m, rÓi hóa hÍc c¥u trúc &

Nh°ng gi£i mÙt bài tóan ¿m không hÁ ¡n gi£n. Khi mÛi làm quen vÛi gi£i tích tÕ hãp, chúng ta v«n liên tåc ¿m nh§m vì nhïng vå ¿m l·p, ¿m thi¿u, không phân biÇt °ãc các Ñi t°ãng tÕ hãp c§n áp dång, không bi¿t khi nào thì dùng quy t¯c cÙng, khi nào quy t¯c nhân. Khi ã v°ãt qua nhïng khó khn ban §u này, ta l¡i g·p nhïng bài tóan mà viÇc áp dång trñc ti¿p các quy t¯c ¿m c¡ b£n và các Ñi t°ãng tÕ hãp không em l¡i k¿t qu£ mong muÑn ngay l­p téc. VÛi nhïng bài tóan nh° v­y, ta c§n ¿n các ph°¡ng pháp ¿m nâng cao h¡n.

Trong bài vi¿t này, Ã có tính hÇ thÑng, tr°Ûc h¿t chúng tôi s½ trình bày mÙt cách v¯n t¯t ph§n lý thuy¿t c¡ b£n cça phép ¿m, sau ó, chúng tôi s½ t­p trung vào giÛi thiÇu các ph°¡ng pháp ¿m nâng cao gÓm ph°¡ng pháp song ánh, ph°¡ng pháp quù ¡o, ph°¡ng pháp thêm bÛt, ph°¡ng pháp quan hÇ Ç quy và ph°¡ng pháp hàm sinh.

Bài vi¿t này °ãc xây dñng dña trên bài gi£ng cça chúng tôi t¡i các khóa cao hÍc, các lÛp cí nhân tài nng và lÛp t­p hu¥n cho Ùi tuyÃn ViÇt Nam thi toán quÑc t¿. Các tài liÇu tham kh£o °ãc trình bày ß cuÑi bài vi¿t.

Chúng tôi xin chân thành c£m ¡n Tr°Ýng HKHTN HN, ·c biÇt là GS NguyÅn Vn M­u ã cho chúng tôi c¡ hÙi °ãc trình bày chuyên Á này.

Bài 1. - Phép ¿m. Các nguyên lý c¡ b£n cça phép ¿m

Ënh ngh)a:

i) MÙt t­p hãp A °ãc nói là hïu h¡n và có n ph§n tí n¿u tÓn t¡i mÙt song ánh giïa A và t­p hãp con (1, 2, ..., n( cça N. Ta vi¿t |A| = n.

ii) N¿u A không hïu h¡n, ta nói A vô h¡n.

BÕ Á (Nguyên bù trë): Gi£ sí B là mÙt t­p con cça t­p hãp hïu h¡n A. GÍi CA(B) là ph§n bù cça B trong A. Khi ¥y ta có

|A| = |B| + |C(B)|.

Ënh lý: Gi£ sí A, B là các t­p hãp hïu h¡n. N¿u tÓn t¡i mÙt ¡n ánh të A vào B và mÙt ¡n ánh të B vào A thì A và B có cùng sÑ ph§n tí.

Nguyên lý cÙng: N¿u A, B là các t­p hãp không giao nhau thì

|A ( B| = |A| + |B|.

Nguyên lý cÙng còn có thà phát biÃu mÙt cách khác nh° sau:

N¿u mÙt công viÇc có thà thñc hiÇn b±ng mÙt trong hai ph°¡ng án lÍai trë l«n nhau: ph°¡ng án thé nh¥t có m cách thñc hiÇn và ph°¡ng án thé hai có n cách thñc hiÇn. Khi ó công viÇc ó có m+n cách thñc hiÇn.

Nguyên lý cÙng mß rÙng: N¿u t­p hãp hïu h¡n C là hãp cça n t­p ôi mÙt rÝi nhau C1, C2, ..., Cn thì:

| C | = | C1 | + | C2 | +...+ | Cn |.

Ënh ngh)a: Tích Descartes cça hai t­p hãp A, B ký hiÇu bßi AxB là t­p hãp t¥t c£ các c·p thé tñ (a, b) vÛi a ( A, b ( B.

Nguyên lý nhân: N¿u A và B là hai t­p hãp hïu h¡n thì AxB cing hïu h¡n và ta có

|A x B| = |A|.|B|

Ënh ngh)a vÁ tích Descartes và nguyên lý nhân trên ây có thà mß rÙng cho nhiÁu t­p hãp. Nguyên lý nhân có thà phát biÃu mÙt cách khác nh° sau:

N¿u mÙt quá trình có thà °ãc thñc hiÇn qua hai công Ían: công Ían I có n1 cách thñc hiÇn, công Ían II (sau khi thñc hiÇn I) có n2 cách thñc hiÇn. Khi ó có n1.n2 cách thñc hiÇn quá trình ó.

Nguyên lý thêm bÛt: VÛi hai t­p hïu h¡n A, B b¥t kó ta có

|A ( B| = |A| + |B| - |A(B|

Câu hÏi và bài t­p:

1) Hãy tìm sÑ t­p con cça mÙt t­p hãp có n ph§n tí.

2) Hãy cho mÙt ví då vÁ áp dång cça nguyên lý bù trë.

3) Hãy cho mÙt ví då vÁ phép ¿m ph£i áp dång c£ nguyên lý cÙng và nguyên lý nhân.

4) Có bao nhiêu sÑ có 3 chï sÑ khác nhau?

5) Có bao nhiêu sÑ có 3 chï sÑ và chia h¿t cho 3?

6) Có bao nhiêu sÑ có 3 chï sÑ khác nhau và chia h¿t cho 3?

7) Trong trò ch¡i ti¿n lên, tính xác su¥t à mÙt ng°Ýi nào ó có té quí.

8) Nguyên lý thêm bÛt có thà mß rÙng nh° th¿ nào?

Bài 2. - Các Ñi t°ãng tÕ hãp và các sÑ tÕ hãp

1. HÍ các t­p con cça mÙt t­p hãp E

P(E) = (A| A ( E(

MÇnh Á: |P(E)| = 2|E|

2. ChÉnh hãp cça n ph§n tí chÍn k (hay chÉnh hãp ch­p k cça n ph§n tí)

Gi£ sí E = (a1, a2, ..., an(. ChÉnh hãp cça n ph§n tí chÍn k là mÙt bÙ s¯p thé tñ gÓm k ph§n tí (ai1, ..., aik).

SÑ các chÉnh hãp ch­p k cça n ph§n tí °ãc ký hiÇu là EMBED Equation.3 . Ta có

EMBED Equation.3 = n(n-1)..(n-k+1) = n!/(n-k)!

3. TÕ hãp cça n ph§n tí chÍn k (hay tÕ hãp ch­p k cça n ph§n tí)

Gi£ sí E = (a1, a2, ..., an(. TÕ hãp cça n ph§n tí chÍn k là mÙt bÙ không s¯p thé tñ gÓm k ph§n tí (ai1, ..., aik(. Nói cách khác, ó là mÙt t­p con gÓm k ph§n tí.

SÑ các tÕ hãp ch­p k cça n ph§n tí °ãc ký hiÇu là Ckn. Ta có

EMBED Equation.3 = n(n-1)..(n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)!

4. Hóan vË

Gi£ sí E = (a1, a2, ..., an(. MÙt hóan vË cça E là mÙt cách x¿p các ph§n tí cça E theo mÙt thé tñ nào ó. Nói cách khác, ó chÉnh là chÉnh hãp cça n ph§n tí chÍn n.

SÑ các hóan vË cça n ph§n tí ký hiÇu là Pn. Ta có Pn = n!.

5. ChÉnh hãp l·p

Gi£ sí E = (a1, a2, ..., an(. ChÉnh hãp l·p cça n ph§n tí chÍn k là mÙt bÙ s¯p thé tñ gÓm k ph§n tí (ai1, ..., aik), trong ó cho phép l¥y l·p l¡i.

SÑ các chÉnh hãp ch­p k cça n, theo quy t¯c nhân, b±ng nk.

6. TÕ hãp l·p

Gi£ sí E = (a1, a2, ..., an(. TÕ hãp l·p cça n ph§n tí chÍn k là mÙt bÙ không s¯p thé tñ gÓm k ph§n tí (ai1, ..., aik(, trong ó cho phép l¥y l·p l¡i. Nói cách khác, ó là mÙt a t­p hãp gÓm k ph§n tí l¥y të E.

SÑ các tÕ hãp l·p ch­p k cça n ph§n tí °ãc ký hiÇu là EMBED Equation.3 . Ta có

EMBED Equation.3

7. Hóan vË l·p

Xét a t­p hãp E(r1, r2, ..., rs) có n ph§n tí, trong ó ph§n tí a1 có r1 phiên b£n, ph§n tí a2 có r2 phiên b£n, ..., ph§n tí as có rs phiên b£n, r1+r2+...+rs = n. MÙt cách x¿p các ph§n tí cça E theo thé tñ nào ó °ãc gÍi là mÙt hóan vË l·p cça n ph§n tí cça E.

SÑ hóan vË l·p cça a t­p hãp E(r1, r2, ..., rs) b±ng n!/r1!...rs!.

BÕ Á: (Tính ch¥t hÇ sÑ nhË théc)

EMBED Equation.3

Ënh lý: (NhË théc Newton)

EMBED Equation.3 .

Câu hÏi và bài t­p:

1) Nêu rõ sñ khác biÇt giïa chÉnh hãp và tÕ hãp, hóan vË và hóan vË l·p.

2) Tìm hiÃu ý ngh)a cça các ký hiÇp A, C, P, H.

3) Hãy chéng minh Ënh lý nhË théc.

4) Nêu ví då áp dång cho tëng Ñi t°ãng tÕ hãp trên ây.

5) Tìm sÑ nghiÇm nguyên không âm cça ph°¡ng trình

x1 + x2 + x3 = 100

6) Có 5 nam và 5 nï. Có bao nhiêu cách chÍn ra 5 ng°Ýi trong ó có ít nh¥t 1 nam và ít nh¥t 1 nï.

7) Rút gÍn tÕng EMBED Equation.3 .

8) Chéng minh EMBED Equation.3

Bài 3. - Các ph°¡ng pháp ¿m nâng cao

C¡ sß cça phép ¿m là Ënh ngh)a phép ¿m, các nguyên lý ¿m và các sÑ tÕ hãp (là các sÑ th°Ýng n£y sinh mÙt cách tñ nhiên trong các bài tóan ¿m). Tuy nhiên, vÛi các công cå c¡ sß trên, chúng ta th°Ýng chÉ gi£i °ãc nhïng bài tóan ß d¡ng ¡n gi£n nh¥t. VÛi các bài tóan có yêu c§u phéc t¡p h¡n, c§n ¿n các ph°¡ng pháp ¿m nâng cao.

Có nhiÁu ph°¡ng pháp ¿m nâng cao dña trên các nÁn t£ng lý thuy¿t khác nhau. Ví då ph°¡ng pháp song ánh dña vào lý thuy¿t t­p hãp và ánh x¡, ph°¡ng pháp thêm bÛt cing dña vào lý thuy¿t t­p hãp (cå thà là tÕng quát hóa cça công théc |A ( B| = |A| + |B| - |A(B|), ph°¡ng pháp quù ¡o dña vào mÙt Ënh lý c¡ b£n vÁ sÑ °Ýng i ng¯n nh¥t giïa hai iÃm cça l°Ûi nguyên, ph°¡ng pháp quan hÇ Ç quy dña vào ý t°ßng quy n¡p, ph°¡ng pháp hàm sinh sí dång các ki¿n théc tÕng hãp cça ¡i sÑ và gi£i tích ...

D°Ûi ây, qua các ví då, chúng ta s½ giÛi thiÇu mÙt sÑ ph°¡ng pháp ¿m nâng cao.

1. Ph°¡ng pháp song ánh.

Ph°¡ng pháp song ánh dña vào mÙt ý t°ßng r¥t ¡n gi£n: N¿u tÓn t¡i mÙt song ánh të A vào B thì |A| = |B|. Do ó, muÑn chéng minh hai t­p hãp có cùng sÑ ph§n tí, chÉ c§n xây dñng mÙt song ánh giïa chúng. H¡n nïa, ta có thà ¿m °ãc sÑ ph§n tí cça mÙt t­p hãp A b±ng cách xây dñng song ánh të A vào mÙt t­p hãp B mà ta ã bi¿t cách ¿m.

Ví då 1. (Bài tóan chia k¹o cça Euler)

Cho k, n là các sÑ nguyên d°¡ng. Tìm sÑ nghiÇm nguyên không âm cça ph°¡ng trình

x1 + x2 + ... + xn = k (*)

LÝi gi£i: Ta xây dñng mÙt ánh x¡ të t­p hãp A các nghiÇm nguyên không âm cça (*) vÛi t­p hãp B các xâu nhË phân Ù dài n+k-1 vÛi k bit 1 và n-1 bit 0 nh° sau:

(x1, x2, & , xn) ( 1..101..101..1& 01..1

trong ó có x1 sÑ 1 liên ti¿p, sau ó ¿n sÑ 0, sau ó ¿n x2 sÑ 1 liên ti¿p, l¡i ¿n 1 sÑ 0 & , cuÑi cùng là xn sÑ 1 liên ti¿p.

DÅ dàng chéng minh °ãc ánh x¡ này là mÙt song ánh (hãy gi£i thích t¡i sao ây là mÙt tòan ánh b±ng cách xây dñng ánh x¡ ng°ãc). Të ó | A | = | B | = EMBED Equation.3

Ví då 2. (Ënh lý c¡ b£n cça ph°¡ng pháp quù ¡o) Chéng minh r±ng sÑ °Ýng i ng¯n nh¥t trên l°Ûi nguyên të iÃm A(0, 0) ¿n B(m, n) b±ng EMBED Equation.3 .

LÝi gi£i: MÙt °Ýng i ng¯n nh¥t të A ¿n B s½ bao gÓm m Ían i ngang và n Ían i lên. Ta cho t°¡ng éng mÙt °Ýng i ng¯n nh¥t të A ¿n B b±ng mÙt xâu nhË phân gÓm m bit 1 (t°¡ng éng vÛi Ían i ngang) và n bit 0 (t°¡ng éng vÛi Ían i lên). DÅ dàng chéng minh t°¡ng éng này là mÙt song ánh, të ó sÑ °Ýng i ng¯n nh¥t të A ¿n B b±ng sÑ xâu nhË phân Ù dài m+n trong ó có m bit 1, và nh° v­y b±ng EMBED Equation.3 .

Ví då 3. Xây dñng mÙt song ánh të N vào ZxZ.

H°Ûng d«n: ánh sÑ các iÃm nguyên theo vòng trôn Ñc.

Ví då 4. Chéng minh không tÓn t¡i mÙt song ánh të t­p hãp các sÑ hïu t÷ thuÙc o¡n [0, 1] vào t­p hãp các sÑ thñc thuÙc o¡n này.

H°Ûng d«n: Ph°¡ng pháp °Ýng chéo!

Ví då 5. Có n ng°Ýi x¿p hàng dÍc. HÏi có bao nhiêu các chÍn ra k ng°Ýi sao cho không có hai ng°Ýi liên ti¿p °ãc chÍn?

LÝi gi£i: Ta ánh sÑ n ng°Ýi b±ng các sÑ thé tñ 1, 2, & , n. MÙt cách chÍn thích hãp chính là mÙt bÙ sÑ 1 ( a1 < a2 < & < ak ( n thÏa mãn iÁu kiÇn ai+1 ai > 1 (téc là ( 2). V­y ta c§n tìm sÑ ph§n tí cça

A = ((a1, a2, & , ak) | 1 ( a1 < a2 < & < ak ( n, ai+1 ai ( 2 vÛi i=1, 2, & , k-1(

Xét ánh x¡ f(a1, a2, & , ak) = (b1, b2, & , bk) vÛi bi = ai i + 1 thì rõ ràng ta có

b1 = a1 ( 1;

bi+1 bi = (ai+1 (i+1) + 1) (ai i + 1) = ai+1 ai 1 > 0

bk = ak k + 1 ( n k + 1.

Suy ra (b1, b2, & , bk) là ph§n tí cça t­p hãp B:

B = ((b1, b2, & , bk) | 1 ( b1 < b2 < & < bk ( n k + 1(

DÅ th¥y f là mÙt ¡n ánh.

Ngòai ra, ánh x¡ g(b1, b2, & , bk) = (a1, a2, & , ak) vÛi ai = bi + i 1 cho chúng ta mÙt ¡n ánh të B vào A. V­y | A | = | B | = EMBED Equation.3 .

Ph°¡ng pháp song ánh còn có thà °ãc áp dång à chéng minh cách ³ng théc tÕ hãp mÙt cách vô cùng hiÇu qu£. Y t°ßng c¡ b£n là: N¿u ta ¿m mÙt t­p hãp b±ng hai cách khác nhau thì các k¿t qu£ thu °ãc ph£i b±ng nhau, cho dù, vÛi các cách ¿m khác nhau ta có thà ra các biÃu théc r¥t khác nhau.

Ví då 6: Chéng minh hÇ théc

EMBED Equation.3

LÝi gi£i: Hãy gi£i bài tóan sau b±ng hai cách Có n nhà v­t lý và n nhà tóan hÍc tham gia mÙt HÙi nghË khoa hÍc. HÏi có bao nhiêu cách chÍn ra mÙt nhóm làm viÇc gÓm n ng°Ýi, trong ó có 1 nhà v­t lý làm nhóm tr°ßng .

Cách 1: ChÍn nhóm tr°ßng v­t lý, sau ó chÍn n-1 thành viên còn l¡i të 2n-1 ng°Ýi còn l¡i.

Cách 2: ChÍn k nhà v­t lý, chÍn nhóm tr°ßng là nhà v­t lý sau ó chÍn n-k nhà tóan hÍc vÛi k = 1, 2, & , n.

(Xem thêm bài: Song ánh và các bài toán gi£i tích tÕ hãp TH&TT, sÑ 1, 2/2001)

2. Ph°¡ng pháp quan hÇ Ç quy.

Ph°¡ng pháp quan hÇ Ç quy là ph°¡ng pháp gi£i bài tóan vÛi n Ñi t°ãng thông qua viÇc gi£i bài tóan t°¡ng tñ vÛi sÑ Ñi t°ãng ít h¡n b±ng cách xây dñng các quan hÇ nào ó, gÍi là quan hÇ Ç quy. Sí dång quan hÇ này, ta có thà tính °ãc ¡i l°ãng c§n tìm n¿u chú ý r±ng vÛi n nhÏ, bài tóan luôn có thà gi£i mÙt cách dÅ dàng.

Ta minh hÍa ph°¡ng pháp này thông qua mÙt sÑ ví då:

Ví då 1. (Bài tóan chia k¹o cça Euler)

Cho k, n là các sÑ nguyên d°¡ng. Tìm sÑ nghiÇm nguyên không âm cça ph°¡ng trình

x1 + x2 + ... + xn = k (*)

Gi£i. GÍi sÑ nghiÇm nguyên không âm cça ph°¡ng trình trên là S(n, k). DÅ dàng th¥y r±ng S(1, k) = 1. Ã tính S(n, k), ta chú ý r±ng (*) t°¡ng °¡ng vÛi

x1 + ...+ xn-1 = k - xn (**)

Suy ra vÛi xn cÑ Ënh thì sÑ nghiÇm cça (**) là S(n-1, k-xn). Të ó ta °ãc công théc

S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + ...+ S(n-1, 0)

ây có thà coi là công théc truy hÓi tính S(n, k). Tuy nhiên, công théc này ch°a th­t tiÇn lãi. Vi¿t công théc trên cho (n, k-1) ta °ãc

S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + ...+ S(n-1, 0)

Të ây, trë các ³ng théc trên v¿ theo v¿, ta °ãc

S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k)

Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k)

Të công théc này, b±ng quy n¡p ta có thà chéng minh °ãc r±ng S(n, k) = EMBED Equation.3 .

Ví då 2. Có bao nhiêu xâu nhË phân Ù dài n trong ó không có hai bit 1 éng c¡nh nhau?

Gi£i. GÍi cn là sÑ xâu nhË phân Ù dài n thÏa mãn iÁu kiÇn §u bài. Ta có c1 = 2, c2 = 3. Ã tìm công théc truy hÓi, ta xây dñng xâu nhË phân Ù dài n thÏa mãn iÁu kiÇn §u bài có d¡ng anan-1an-2......a2a1. Có hai tr°Ýng hãp

an = 1. Khi ó an-1 = 0 và an-2......a2a1 có thà chÍn là mÙt xâu b¥t kó Ù dài n-2 thÏa iÁu kiÇn. Có cn-2 xâu nh° v­y, suy ra tr°Ýng hãp này có cn-2 xâu.

an = 1. Khi ó an-1......a2a1 có thà chÍn là mÙt xâu b¥t kó Ù dài n-1 thÏa iÁu kiÇn. Có cn-1 xâu nh° v­y, suy ra tr°Ýng hãp này có cn-1 xâu.

V­y tÕng cÙng xây dñng °ãc cn-1 + cn-2 xâu, ngh)a là ta có hÇ théc truy hÓi

cn = cn-1 + cn-2.

Ví då 3. Có bao nhiêu cách lát °Ýng i kích th°Ûc 3x2n b±ng các viên g¡ch kích th°Ûc 1x2?

LÝi gi£i: GÍi cn là sÑ cách lát °Ýng i kích th°Ûc 3 x 2n. DÅ th¥y c1 = 3. à tính cn, ta chia các cách lát °Ýng i kích th°Ûc 3x2n thành n lÍai, trong ó lÍai thé k là các cách lát mà ph§n °Ýng i 3x2k §u tiên °ãc phç kín hòan tòan, nh°ng không tÓn t¡i i < k sao cho ph§n °Ýng i 3x2i §u tiên °ãc phç kín hòan tòan. GÍi Ak là t­p hãp các cách lát lÍai k thì rõ ràng cn = |A1| + |A2| + & + |An|. DÅ dàng nh­n th¥y |A1| = 3cn-1 (ph§n °Ýng i 3x2 °ãc lát kín b±ng 3 cách, ph§n còn l¡i °ãc lát b±ng cn-1 cách). Ti¿p theo, có thà chéng minh dÅ dàng r±ng, chÉ có hai cách phç ph§n °Ýng i 3x2k cho các cách phç thuÙc Ak vÛi k = 2, 3, & , n, chính là cách phç

và cách phç thu °ãc b±ng cách l¥y Ñi xéng.

Të ó suy ra |Ak| = 2cn-k. Nh° v­y, ta có cn = 3cn-1 + 2cn-2 + & + 2. ây là d¡ng công théc truy hÓi b­c vô h¡n. Ã thu °ãc mÙt công théc truy hÓi b­c hïu h¡n, ta thay n ( n+1 và °ãc

cn+1 = 3cn + 2cn-1 + 2cn-2 + & + 2

Të ó, trë hai ³ng théc cuÑi cùng v¿ theo v¿, ta °ãc

cn+1 cn = 3cn cn-1

và cuÑi cùng là

cn+1 = 4cn cn-1.

Ví då 4. n °Ýng tròn chia m·t ph³ng thành nhiÁu nh¥t bao nhiêu miÁn?

H°Ûng d«n: 1 °Ýng tròn có thà c¯t n-1 °Ýng tròn khác ß tÑt a bao nhiêu iÃm?

Ví då 5. (VMO 2003): VÛi m×i sÑ nguyên d°¡ng n ( 2 gÍi sn là sÑ các hoán vË (a1, a2, ..., an) cça t­p hãp En = (1, 2, ..., n(, mà m×i hoán vË có tính ch¥t 1 ( |ai - i| ( 2 vÛi mÍi i=1, 2, ..., n. Chéng minh r±ng vÛi n > 6 ta có 1.75sn-1 < sn < 2sn-1.

H°Ûng d«n. Chéng minh công théc truy hÓi sn+1 = sn + sn-1 + sn-2 + sn-3 - sn-4.

Ví då 6. Xét t­p hãp E = (1, 2, 3, ..., 2003(. VÛi t­p con A khác r×ng cça E, ta ·t

r(A) = a1 - a2 + ...+ (-1)k-1ak

trong ó a1, a2, ..., ak là t¥t c£ các ph§n tí cça A x¿p theo thé tñ gi£m d§n. Hãy tính tÕng u

S = (A ( E r(A).

3. Ph°¡ng pháp thêm bÛt

Ta xét bài toán thñc t¿ sau:

Ví då 1. Rút ng«u nhiên 13 quân bài të bÙ bài 52 quân. Tính xác su¥t à trong 13 quân ó có té quý .

Gi£i. Có EMBED Equation.3 cách rút 13 quân bài të bÙ bài 52 quân. Ta c§n tìm sÑ cách rút trong ó có 4 quân bài giÑng nhau (vÁ sÑ!).

Tr°Ûc h¿t ta

"&*.046<>BDTXZhjtx~€œ ¢¦ª¸ºÀÂÈÊÐÒØÚâäèêîòúü

& ( < ñâñâñÓâñâñâñâñâñâñâñóóóó䕤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤•¤hN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hY:qCJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

hY:q5CJaJmHsHhN_

hö_ACJ aJ mHsHhN_

hN_

CJ aJ mHsHhN_

hY:qCJ aJ mHsH:RTpšœÒ

Ô

ø ú €‚8:J L ¶ ¸ Ò òPR@ln‚„÷òêêòââââââââââòàààààààààà $a$gdY:q $a$gdY:q$a$ $a$gdY:q„ÀžÀþþ< > D F V X ^ ' b f n p v x ' ˜ š ž ¦ ¨ ° ² ¼ ¾ Ä Æ Ê Ì Ô Ö à â è ê ò ô ú ü þ

"

$

*

,

4

6

<

@

R

T

h

j

p

r

z

|

€

‚

ˆ

Œ

"

-

š

ž

¦

¨

®

°

¶

¸

¾

À

È

Ê

ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hY:qCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHUÊ

Ø

Ú

ä

æ

ì

î

ô

ö

ü

þ

"

*

,

<

>

D

F

V

X

'

b

h

j

r

t

x

z

„

†

"

-

ž

¦

¨

¬

°

¸

º

À

Â

È

Ê

Ò

Ô

Ö

Ú

à

â

è

ì

ö

ø

$

*

,

0

4

:

>

F

H

L

N

T

V

Z

\

b

d

p

r

|

~

Œ

ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hö_ACJaJmHsHYŒ

Ž

-

˜

œ

ž

®

°

¶

¸

Ê

Ì

Ú

Ü

ä

æ

ô

ø

ü

$

&

2

6

<

>

L

N

T

V

^

'

h

j

p

r

z

|

‚

„

ˆ

Š

'

œ

ž

¦

¨

®

°

¾

À

Ä

È

Î

Ð

Ô

Ö

Ü

Þ

â

ä

è

ì

ò

ö

þ

" ( * 2 4 D F V X ^ ' ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hö_ACJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHY' h j r t | ~ „ † ' - ˜ ¦ ¨ ¬ ° ¶ ¸ À Ä Î Ð Ô Ø Þ à ð ò

"&*,02:<BDPTZ\dfnpvx~€ˆŠ'˜š¢¤ª¬'¶¼¾ÈÊÐÒÖØÞàèêîò

ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hö_ACJaJmHsHY $&8:BDNPVX'dnptx~€'šž¨ª¸ºÆÊÔÖÞàâæðôþ

*,<>@DPRX\fhnp„†Ž-˜œ¢¨ª°²º¼ÄÆÌÎÖØàâêìôöüþñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hö_ACJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHY (*028:@BHJPRZ\'bhjrt€„Ž˜š²'¼¾ÄÆÊÌÎÔÖÞàòôöøþ &(0268>@HJZ\dfnptv~‚ˆŠž¢ª¬²ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÓâÓâÓâÓâÓñâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓñÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓhN_

håRICJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hö_ACJaJmHsHS²'ÄÆÌÎÔÖÚÞîðøú

$ & 2 4 8 < @ B J L N P b d h l t v ‚ „ Š Œ ' - ˜ ž ¨ ª ® ² ¶ ¸ ¼ È Ê ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÓĵĵĵĵĵĵĵĵĵĵĵĥ•¥•-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

hN_

CJ aJ mHsHhN_

h²mCJ aJ mHsHhN_

hö_ACJaJmHsHhN_

håRICJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH:Ê Ò ä æ ì î ô ö þ

"$(*,.0:<BDHJPRXZ'bpr|~ˆŠŽ-˜¤¦¾ÀÄÆÚÜïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÁ±Á±ÁàÑàÁ±Á±Á±àÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàŸààÑàÑà" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH7 &(68@BDHJLRTVX\^hjprxz|„†ŠŒ"-šœ¢¤²'º¼ÂÄÊÌÒÔàâèêôöüþñâñâñâñâñâÒÂÒÂÒâ²¢²¢²âñâñâñ²âñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ'âñâñâ-hN_

h²mCJH*aJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH9

.0<>nrz|~„†ŠŒšœ ¢¨ª°²¸ºÀÂÊÌÒÔÚÜâäèìðòúü $&.08:FHPRZ\'bjlrtz|„ŒŽ"-šñâñâñâñâÒÂÒÂâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÂÒÂÒÂ-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHLšœ¤¦¨¸º¾ÀÆÈÎÐØÚøú24:<@BJLRTZ\bdlntv|~ˆŠ'"¢¤ª¬²'¾ÀÆÈÎÐÖØàâèêòô "$.ïßÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁЯÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐ" jÈðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsHE„ü* @B

\^RTô@-È Ê >!z!|!¤!

"x"#r#Ö#N$à$D%ýýýýýýýýýýýýýøøýýýýýýýýýýýýý$a$.046JNTV^'fhnpxz„†Ž-˜ž¢¨ª²'ÀÂÊÌÖØàâðôøú

",.68BJLRTXZbdhjptv|~„†ŒŽ"- ¢¦ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒÂÒÂÒÂÒÂÒÂÒâñâñâñâñâñâñâ-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHL¦¨®°º¼ÀÄÊÌÒÔäæìîþ "$&(*08<>@BHLNPRTVXZ^bnpvxz-˜¦¨®°ÀÂñâñâñâñâñâñâÒâÒâÒâñâÃâÃâÃâÒ³âóÃâÃâÃâÃâÒ³âÃâ£"£"âñâñâñâñâñ-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

håRICJH*aJmHsHhN_

håRICJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH:ÂÈÊÐÒàâæèîðöøþ

02:<HJT\^dflnrvx‚„ŒŽšœ¢¤ª¬²'¼¾ÊÌÔÖÜÞäæðò".068<ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÐñÐñÀ°À°À°Àñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñ-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH" jÎðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHE<>Z\fhnpvx€‚†Š'˜šž ¤¦º¼ÂÄÊÌÚÜâäêìòôúü--

- - ----(-*-2-4-B-D-J-L-T-V-\-^-f-h-n-p-r-x-€-‚-Š-Œ-¢-¤-ª-®-¸-º-À-Ä-Ð-Ò-Ö-Ø-Ü-Þ-è-ê-ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒâñâñ-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHSê-ò-ô-ü-þ- * , 4 6 B D H J N P Z \ d f t x | ~ ‚ „ ˆ Š Ž š œ ¤ ¦ ® ° ¶ ¸ ¾ Â Ê Ò Ô Ú Ü â ä ê ì ò ô ö !!

! ! !!&!(!.!0!:!<!H!ñâñâñâñâñâñâñÒñâñâñâñâñâñÒñÒñâñâñâñâñâñâñ²²²²Âñâñâñâñâñâñâñâñ-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHAH!J!r!t!|!~!€!†!ˆ!Ž!!"!-!œ!ž!¤!¬!®!'!¶!¼!¾!Â!Ä!Ò!Ô!Ú!Ü!â!ä!ê!ì!ò!ô!þ!""" ""$"&","."2"4"8":"<">"D"F"N"P"\"^"d"f"j"l"r"t"€"îßÍß½­½­½­½­½­½ßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßžßhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH" jÇðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH" jÈðhN_

h²mCJaJmHsH>€"‚""'"˜"š"ž" "¤"¦"¬"®"²"¶"¾"À"Ä"Æ"Ì"Î"Ö"Ø"â"ä"ê"ì"ð"ò"ú"ü"## ####(#8#:#@#B#F#H#R#T#X#Z#'#b#z#|#Œ#Ž#"#-#š#œ#¦#¨#¬#®#²#'#Â#Ä#Þ#à#ð#ò#ø#ú#þ#$

$

$$$$$*$,$:$<$d$f$l$n$v$x$ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHYx$~$€$ˆ$Š$'$"$œ$ž$¢$¦$ª$¬$'$¸$¾$À$Ä$È$Ì$Î$Ò$Ô$Ú$Ü$î$ð$ö$ø$þ$%%% %%%%%%"%$%.%0%6%8%<%>%F%H%J%Z%\%'%d%j%n%v%x%|%~%„%†%Š%Œ%'%"%˜%š%ž% %¤%®%ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓ'-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

hN_

CJ aJ mHsHhN_

h²mCJ aJ mHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHGD%F%¤%¦%î%&D&F&Ô&¸'b(Ð(R)œ*+Ž++¨+ô,l-n--º.0/2/N/ö0¢1Ô1ýøýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýý$a$®%°%'%¶%¼%¾%Ì%Î%Ô%Ö%Ü%Þ%ä%æ%î%&&

& && &&& &$&<&F&P&R&Z&\&b&d&p&r&x&z&€&‚&Š&˜&š&¢&¤&¬&®&¸&º&Æ&ïßïßïßïßïßïßïßоЬКЋЋÐ{ßïßïßïßïßïßïßЋЋЋЋÐ-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH" jÍðhN_

h²mCJaJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH0Æ&È&Î&Ð&Ø&Ú&Þ&à&ê&ì&î&ð&ö&ø&'

'

'' ''' '&'('4'6'<'>'D'F'L'P'R'V'X'^'''d'f'n'p't'v'z'|'ˆ'Š''''˜'œ'¬'°'º'¼'À'Â'ñâñâñâñâÐâÀâÀâÀ®âžŽžŽžŽžŽžŽžŽžâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÀâÀâñâñ-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH8Â'Ê'Ì'Ô'Ö'Þ'à'ê'ì'ø'ú'(((

((((( ("($(&(L(N(P(R(^('(d(f(Œ(Ž(('(Ð(ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÏÀª•ÏñâñÏÀjÏñ)jhN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+jlM_H

hN_

håRIUVmHnHsHtH)jhN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+jVM_H

hN_

håRIUVmHnHsHtHhN_

håRICJaJmHsH%jhN_

håRICJUaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH#Ð(Ø(Ú(Þ(à(æ(è(ô(ö(ü(þ()) ))) )")*),)6)8)D)F)L)N)V)X)\)^)h)j)l)n)t)v)†)ˆ)Š)Ž))')-)ïßïßïßïßïßïßïÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁЯПППÐ}m}-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH*-)˜)ž) )¬)®)')¶)¼)¾)Ä)È)Ê)Î)Ð)Ö)Ø)Þ)à)è)ê)ò)ô)ø)ú)þ)*

* * ***** *0*4*6*<*>*D*F*P*R*X*\*'*b*f*h*n*p*~*€*Œ*Ž*ïßïßïßïßïßÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁЯППÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁ" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH-hN_

hN_

6CJaJmHsH7Ž*"*-*ž* *¤*¦*¬*®*²*'*¼*¾*È*Ê*Ö*Ø*Þ*à*â*è*î*ð*ö*ø*þ*++++ ++++B+D+F+H++˜+ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÒÂñâñ¯ Šu¯ñe-hN_

h²m5CJaJmHsH)j-hN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+jM_H

hN_

håRIUVmHnHsHtHhN_

håRICJaJmHsH%jhN_

håRICJUaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH'˜+š+¢+¤+¬+®+²+'+¾+À+Â+Ä+Ê+Ì+Ü+Þ+à+æ+è+î+ð+ø+ú+þ+,

,

,,,,,",$,*,,,4,6,<,>,B,D,X,Z,b,d,h,j,n,p,t,x,~,€,†,ˆ,',ïßïÐÁÐÁЯПППÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐ" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH7',",š,ž,¤,¦,®,°,¶,¸,À,Â,È,Ê,Ö,Ø,Þ,à,æ,è,ö,ø,ü,þ,-- -- --"-$-*-,-0-2-8-:-@-B-F-H-T-V-\-^-n-x-z-‚-„-Š-Œ--"---š-œ-¦-¨-ª-¬-²-'-ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒâñâÒâ²²²Ââñâñâ âÒâÒ" j{ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH?'-Ä-Æ-È-Ì-Ð-Ò-Ú-Ü-â-ä-ê-ì-ø-ú-...

.. ....".$.(.*.2.4.8.:.>[email protected].\.'.p.t.†.Š.˜.š. .¢.¨.ª.°.².¼.¾.Â.Ä.Ì.Î.Ö.Ø.à.â.ì.î.ñáÏñ¿¯¿¯¿¯¿¯¿¯¿¯¿¯¿ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñáñáñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ hN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH?î.

/ /// /"/*/,/0/:/</@/B/H/J/N/R/T/X/Z/d/f/h/j/p/r/‚/„/†/Š/Œ/Ž/'/"/š/œ/ñâñâñâñÒñ²²²Âñâñâñ ñññ~ñn^n^n^-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH$œ/¢/¤/°/²/¸/º/À/Â/È/Ì/Î/Ò/Ô/Ú/Ü/â/ä/ì/î/ö/ø/ü/þ/00000000 0$04080:0J0N0\0^0d0f0l0n0t0v0~0€0†0ˆ0'0"0š0ž0¢0ïßïßïßïßïÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁЯППÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐ" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsH7¢0¤0¨0ª0®0°0¶0¸0¾0À0Æ0È0Ô0Ö0Ü0Þ0â0ä0ê0ì0ø0ú0þ0111

1 1 111 1*1,181:1@1B1D1J1P1R1X1Z1'1b1d1f1Œ1Ž11'1ž1 1¤1¦1Ì1ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÓÀÓª•ÀâñâÀÓ)j.hN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+j¡M_H

hN_

håRIUVmHnHsHtH%jhN_

håRICJUaJmHsHhN_

håRICJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH8Ì1Î1Ð1Ò1Ô1Ö1Þ1à1è1ê1î1ð1ô1ö1ø1ü1þ122

2 222 2"22242:2<2F2H2N2P2'2d2j2l2r2t2éÔÁ²¢'‚'‚'‚'²s²s²s²s²c²c²c²s²s²s²s²s²s-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

håRI5CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH%jhN_

håRICJUaJmHsH)j<hN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+j»M_H

hN_

håRIUVmHnHsHtH&Ô1Ö1ô14Œ4Ð4585l5n5-5(6ˆ6Ð6B7¦7Ì78â80929~9€9<<@@ýýõõýýýýýýýýýýýïýýýêêêåååå$a$$a$„ ^„ $a$gdåRIt2x2z2~2€2„2†2Ž22-2˜2¢2¤2ª2¬2°2²2¶2¸2¼2¾2Æ2È2Î2Ð2ä2æ2ì2î2ò2ô2ø2ú2þ233

333 3333 3"3.303>3@3F3H3P3R3X3Z3b3d3j3l3p3r3ˆ3Š3Ž33"3-3š3ž3 3¦3¬3®3'3¶3º3¼3Â3ñáñÒñáñÒñÒñÒñÒñáñÒñáñÒñÒñÒñÒñáñÒñáñÒñÒñÃñáñáñáñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñhN_

håRICJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHMÂ3Ä3Ì3Î3Ò3Ô3Ú3Ü3è3ê3ð3ò3ö3ø344

4

4 4444"4$4(4*4042484:4D4F4L4N4^4'4f4h4x4z4„4†4Œ4Ž44'4-4˜4ž4 4ª4¬4²4'4¸4º4À4Â4È4Ê4Ò4Ô4ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒâÒâÒâñâÒâÒâ²²ÂâñâñâñâñâñâñâŸ%jhN_

håRICJUaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH=Ô4ú4ü4þ4555 55555"5$5:5<5b5d5f5h5j5n5p5r5x5z5€5‚5†5ñÛƳ¤"„"„¤u¤u¤³ñ_J³ñ¤„"„"„"„)j,

hN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+jMN_H

hN_

håRIUVmHnHsHtHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH%jhN_

håRICJUaJmHsH)j«

hN_

håRICJEHôÿUaJmHsH+j

N_H

hN_

håRIUVmHnHsHtHhN_

håRICJaJmHsH†5ˆ5Ž55-5ž5 5¦5¨5¬5®5'5¶5¾5À5È5Ê5Ò5Ô5Ü5Þ5ä5æ5ê5ì5ð5ò5ú5ü566

6

66666 6"60626:6<6@6B6J6L6R6T6Z6\6b6d6j6l66'6š6œ6¬6°6¸6º6À6Â6È6Ê6Ø6Ú6à6â6æ6è6ê6ì6ò6ô6ïßïßÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁÐÁhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsHLô677

7777"7$7(7*7274787<7J7L7R7T7^7'7l7n7v7x7~7€7†7ˆ77"7ž7 7¨7ª7²7'7¼7¾7Ô7Ö7æ7è7ð7ò7ø7ú7

8

88 88 82868F8J8N8P8R8T8\8^8p8r8t8v8~8€8Š8Œ8˜8š8 8¢8¨8ª8°8ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÒñÒñÒñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñ-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHM°8²8Ø8Ú8Ü8Þ8ì8î899(9*9,9.90949ìÝDzì£"£r\G£8hN_

h²mCJ aJ mHsH)jîhN_

hShéCJEHäÿUaJmHsH+jO_H

hN_

hShéUVmHnHsHtHhN_

hShéCJaJmHsH%jhN_

hShéCJUaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH)jþhN_

hShéCJEHäÿUaJmHsH+j­N_H

hN_

hShéUVmHnHsHtHhN_

håRICJaJmHsH%jhN_

håRICJUaJmHsH4969F9H9P9T9^9'9d9h9n9p9€9‚9„9ˆ9Š9Ž99˜9š9ž9¢9¨9ª9¬9°9¼9¾9Æ9È9Ì9Ð9Ø9Ú9æ9è9î9ð9ò9ö9ü9þ9::

:

::::: :":&:(:.:0:6:::B:D:T:V:\:^:f:h:p:r:„:†:Œ:Ž:":-:œ: :¶:ñâñâñâñâñâñâÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓÄÓhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJ aJ mHsHhN_

hN_

CJ aJ mHsHM¶:¸:À:Â:È:Ê:Ð:Ò:Ú:Ü:à:â:æ:è:î:ð:ú:ü:

;;;;";$;(;.;6;8;@;B;H;J;P;R;V;X;^;b;j;l;t;v;~;€;†;ˆ;Ž;;-;˜; ;¢;¦;¨;®;°;¸;º;À;Â;È;Ê;Ò;Ô;Ø;Ü;â;ä;ì;ð;ú;ü;<<

<

< <"<*<,<4<8<B<D<H<L<R<T<d<f<ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHYf<n<p<v<x<~<€<†<ˆ<<'<œ<ž<¦<¨<º<¼<À<Â<È<Ì<Ö<Ø<æ<è<ð<ò<ø<ú<==

= = ====$=&=(=*=2=4=<=@=J=L=T=V=\=^=d=f=n=p=v=x=~=€=Š=Œ='="=š=œ=¤=¦=¬=®=²='=¸=º=Ä=Æ=Ì=Î=Ô=Ö=Ü=Þ=è=ê=ö=ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHSö=ø= >">0>4>>>@>H>J>L>P>V>X>^>'>f>h>l>p>x>z>~>€>„>†>Œ>Ž>'>">->œ>¢>¤>¬>®>¶>¸>À>Â>Î>Ð>Ò>Ô>Ú>Ü>â>æ>ò>ô>þ>?

? ?? ?"?&?2?4?:?<?@?B?F?J?Z?\?h?l?v?x?~?€??'?îßÍ߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾߾hN_

hN_

CJaJmHsH" jÇðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH" jÈðhN_

h²mCJaJmHsHK'?-?˜? ?¢?ª?¬?'?¶?¼?¾?Æ?È?Î?Ð?Ô?Ø?Þ?à?ä?æ?ì?î?ô?ö?@

@@ @$@&@,@.@2@4@<@>@L@N@T@V@'@b@h@j@p@r@x@|@†@ˆ@Œ@@-@˜@ª@'@¸@Â@Ä@Ò@Ô@Ü@à@ä@î@ð@þ@AA

AAAAAA AñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÒÂÒÂÒÂÒñâñâñâñâñâñâñâ-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHL@¨@ª@Ü@zC|CÊCjD¢D¤DèE6F6G8G˜H¦HðIJM¤MNNObOdOVPöQ¢Rúúúúúúøøøðäððððúúúúúúúúúúú

$„Ð'„Ða$gdShé $a$gdShé$a$ A$A(A0A2A6A:ABADALANATAVA\A^AdAfAtAvA~A€AˆAŠA-A˜A¶AºAÂAÄAÌAÎAèAêAðAòAøAúAþABB

BBBBB"B$B(B*B0B2B8B:BBBDBRBTB^B'BhBjBtBvB|B~BŒBŽB"B-B˜BœB B¦B¬B®B'B¶B¼B¾BÂBÄBÊBÌBÒBÔBÚBÜBæBèBðBñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHYðBòBúBüBCC CCC C(C*C0C2C8C:C@CBCLCNCVCZC'CbChCjCpCtC|C~C€C„C†CŒC'C"CšCœC®C°C¶C¸CÞCàCäCæCìCîCøCúCDD DDDD"D$D0D2D:D<DBDDDJDLDTDXDbDdDnDñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒÂÒÂÒâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHFnDpDxDzDŽDD¢D¤D¦D¨D°D²D'DÀDÂDÈDÊDÒDÔDØDÚDâDäDèDêDîDðDöDøDEEEEE E(E*E0E2E8E:EHEJEPEREXEZEdEfElEnEvExE~E€E„EˆEŒEŽEïàïàïàÑÁ±Á±Á¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"¢"hN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hShéCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

hShé>*CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH:ŽE¤E¦E¬E®E¾EÀEÂEÄEÚEÜEìEîEôEöEFFF

FBFFFJFLFPFRFVFXFbFdFlFnF|F€F‚F†FŒFŽFžF¢F¤F¨F®F°F'F¶FÀFÂFÊFÌFÔFÖFÚFÞFèFêFúFüFGG

G GG GGG$G&G.G0G:G<GñâñÓñâñÓñâñÃñÃñÃñ±ñâñâñÃñâñâñâñâñâñâñâñâñÃñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÃñâñâñâñâ" jàðhN_

hShéCJaJmHsH-hN_

hShéCJH*aJmHsHhN_

hYÃCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hShéCJaJmHsHF<G@GBGLGNG^GdGhGjGrGtGxGzG€G‚G†GˆG-G˜G¢G¤G¬G®G¶G¸GÀGÂGÎGÒGØGÚGÞGàGæGèGîGðGøGúGHH

H H HHHH&H(H.H2H<H>H@HDHhHjHH'H"H-H¢HñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÏñ¹¤Ïñ)j'hN_

hYÃCJEHôÿUaJmHsH+j|Z_H

hN_

hYÃUVmHnHsHtH%jhN_

hShéCJUaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hShéCJaJmHsH=¢H¦H¨HªH®H°H¶HºH¾HÆHÈHÌHÎHÒHÔHÚHÜHäHèHòHôHüHþHII II"I$I,I.I0I6I<I>IFIHIPIRIZI\IbIfIrItIzI|I~I€I‚I„I˜IœI²I'I¸I¼IïßÏßÏßÀ±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À±À¢hN_

hShéCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

hShé>*CJaJmHsH8¼I¾IäIæIèIêIðIòIôIüIþIJJJ

JJJJ"J$J,J.J4J6J<J@JJJLJXJZJbJfJlJnJ€J‚JˆJŒJ'J"JìÝDzì£"ƒ"ƒ"tetetetetetetetetetetetetetehN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

hÙÎ>*CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH)jñhN_

hShéCJEHôÿUaJmHsH+j{O_H

hN_

hShéUVmHnHsHtHhN_

hShéCJaJmHsH%jhN_

hShéCJUaJmHsH'"JšJœJ²J¶J¼J¾JÆJÈJÌJÒJØJÚJâJäJìJîJôJöJüJK

K

K KKKK&K(K.K0K6K8KPKTKZK\KdKfKjKnKtKvKŠKŒK¢K¦K¬K®K¶K¸K¼KÀKÆKÈKÎKÐKÚKÜKàKâKìKîKLL

L

L LLLL"L$L2L4L>L@LBLFLJLLLNLTLZL\LdLfLnLpLvLñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHYvLxL~L‚LŒLŽL-L˜LœLžL¦L¨L®L°L'L¸L¼L¾LØLÜLàLâLøLúLMMMM MMMM>M@MBMDMHMJMLMNMRMTMXMñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÏ⹤Ïâ"„t„t„-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

hÙÎ>*CJaJmHsH)j'hN_

hÙÎCJEHôÿUaJmHsH+j{O_H

hN_

hÙÎUVmHnHsHtH%jhN_

hÙÎCJUaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH*XM^M'MfMhMpMrM€M‚MŠMŒM"M-M¤M¦MªM²M'MºM¾MÀMÂMÆMÈMÌMÎMÒMÔMÖMØMäMæMöMøMNNN

NN NNNN"N(N*N>N@NHNJNPNRNXNZNhNjNrNtNxNzN€N‚NˆNŠNNñâñâñâñâñâñâñÓâÓâÓâÓÄÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓ'¤'¤'ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñ-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

h·!JCJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH@N'N-N˜NžN N¨NªN®N°N²N'N¸N¾NÎNÐNÖNØNÞNàNæNèNîNðNöNøNOOO

O

O O OOOO"O*O,O6O:ODOFOJOPOZO\OdOfOhOlOnOrOxOzOˆOŒO'O"OšOœO¤O¦O®O°O¶O¸OÈOÊOÐOÒOñâñâñâñâñâñâÓâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÓñÓñÓñÓñÓñÓñÓóóÃÓñÓñÓñÓñÓñÓñÓñÓñÓñ-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

hÙÎ>*CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHFÒOÚOÜOîOòO

P

P PP$P(P0P2P:P<P@PFPNPPPRPVPXPZPbPdPfPpPtP|P~PˆPŒP'P"PœPžP¤P¦P¬P®P²P'PÐPÒPØPÚPäPæPîPðPøPúPQQ

Q QQ QQQ Q"Q(Q*QñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÓóóÃÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓ¡" j£ðhN_

hØZŒCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

hØZŒ>*CJaJmHsHhN_

hØZŒCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsH?*Q.Q0Q4Q:Q<QJQLQNQPQTQ\Q^QdQfQjQlQnQpQxQzQ‚QˆQQ'Q Q¢Q¨QªQ¬Q®QºQ¼QÈQÊQÐQÒQØQÚQàQâQèQêQîQðQRRRR RRRR*R,R0R2R6R<R>RLRNRïàïàïàïàÎïà¿à¿à¿à¿à¿àïàïà¿à¿à­à¿à¿à¿à¿à¿à¿à¿à›àïàïàïàÎïàïàïàï" j{ðhN_

hØZŒCJaJmHsH" j³ðhN_

hØZŒCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH" j£ðhN_

hØZŒCJaJmHsHhN_

hØZŒCJaJmHsH-hN_

hØZŒCJH*aJmHsH=NRPRRRVR'RfRnRpRrRtR|R~RžR R¤R¦RªR¬R'R¶R¾RÀRÆRÈRÔRÖRâRäRêRìRøRúRSS

S

S SS,S.S2S4S8S:SHSJSLSNSPSXSñßÏñÏñÏñ½ñ®ñœñ®ñ®ñ®ñÏñÏñÏñÏñÏñÏñ®ñÏñÏñ®ñ®ñ®ñ®ñ}-hN_

hrl CJH*aJmHsHhN_

hrl CJaJmHsH" j}ðhN_

hØZŒCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH" j³ðhN_

hØZŒCJaJmHsH-hN_

hØZŒCJH*aJmHsH" j£ðhN_

hØZŒCJaJmHsHhN_

hØZŒCJaJmHsH1¢RLSfSêS$TˆTþT4UtV|VÆXÈXY4YèZ [x\z\]]Z]\]æ_N'P'ž'>aúïïïççççúúúúúúúúúúúúúúúúúú $a$gdrl

$

&

Fa$gdrl $a$XSZS\S^ShSnSvSxS‚SˆS¬S®SÈSÎSÖSØSèSêSìSîSöSøS

T

T"T$T8T:T@TBTNTPTVTXT^T'TfThTlTnTtTvT|T~T'T"T˜TšT T¢T®T°T¼T¾TÂTïàÎàïàïàïàïàïàïà¾àïàïà¬à¾àïàïàïààààààà‹àïàïàïà¬ï" j{ðhN_

hrl CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH" j£ðhN_

hrl CJaJmHsH-hN_

hrl >*CJaJmHsH" j³ðhN_

hrl CJaJmHsHhN_

hrl CJaJmHsH-hN_

hrl CJH*aJmHsH6ÂTÄTÈTÎTÐTÞTàTâTäTèTúTüTUUU

U UUUU U$U(U*U8U:UHUJURUTU\U^UdUfUrUtU€U‚UˆUŠU-U˜UžU U¦U¨U°U²UÐUÒUàUâUæUêUîUðUøUúUVVVV6VñáñáñáñÏáñ½ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñáñáñáñáñáñáñ®ñáñáñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñ®ñhN_

hN_

CJaJmHsH" j}ðhN_

hrl CJaJmHsH" j£ðhN_

hrl CJaJmHsH-hN_

hrl CJH*aJmHsHhN_

hrl CJaJmHsH>6V8V^V'VbVdVhVpVtV€V„VŽVVžV V¤V¨VªV°V²V¸VºV¼VÂVÆVÈVÎVÐVÖVÚVàVâVôVöVüVW

W

WW WWìÝDzìÝ£"„u„u„u„fufufufufufufufufufufufufhN_

h>a|CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsH-hN_

hØZŒ>*CJaJmHsHhN_

hØZŒCJaJmHsH)j]hN_

h>a|CJEHôÿUaJmHsH+jéW_H

hN_

h>a|UVmHnHsHtHhN_

hrl CJaJmHsH%jhN_

hrl CJUaJmHsH(WW W"W(W*W2W4W8W:WDWFWNWPWVWZW^WfWhWlWnWtWvW|W~W€WˆWŒW'W"WšWœW¢W¤WªW¬W¼W¾WÈWÊWÜWÞWâWäWêWìWôWöWXX XXXX4X6X<X>XDXFXLXNXTXXX'XbXxXzX€X‚XŒXŽX-X˜X X¢X¨XªX²X'XÈXñâñâñâñâñâñâñâÓñÓñÓñÓñÓñÓâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâhN_

hYÃCJaJmHsHhN_

h>a|CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHPÈXÊXÌXÐXÒXØXÞXàXòXôXúXüXYYYY,Y.Y0Y2Y4Y6Y8Y@YBYJYLYTYVY\Y^YdYfYvYxYˆYŠY"Y-Y YïßïßïÐÁÐÁÐÁвПЉtŸ²eÁeÁeÁeÁeÁeÁeÁeÁeÁehN_

hYÃCJaJmHsH)j¥hN_

hYÃCJEHäÿUaJmHsH+jöX_H

hN_

hYÃUVmHnHsHtH%jhN_

h>a|CJUaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h>a|CJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h>a|>*CJaJmHsH' Y¢Y¦Y¨Y®Y°Y'Y¶YÀYÂYÆYÈYÐYÒYêYìYòYôYþYZ ZZZZ Z"Z2Z4Z:Z<ZFZHZTZVZ^Z'ZfZhZpZrZxZzZ†ZŠZœZ Z¤Z¦Z°Z²Z¶Z¸Z¾ZÀZÄZÆZÎZÐZØZÜZæZèZìZîZþZ[[

[[[[ [&[([4[8[>[@[P[R[\[^[d[f[ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÓâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

hYÃCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHSf[l[n[t[v[†[Š[['[˜[š[¤[¦[¶[¸[Ä[Æ[Ê[Ì[Ò[Ô[Ü[Þ[æ[è[ð[ô[ü[þ[\\

\

\\ \\"\(\*\:\<\@\B\J\L\R\T\v\x\z\ˆ\Š\\'\¢\¤\¬\®\²\'\º\¼\Ä\Æ\Î\Ð\Ö\Ø\à\â\æ\è\ê\ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÓñÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄâÄhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hÙÎCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hYÃCJaJmHsHHê\]]]]&]*]4]6]F]H]J]N]\]']d]n]p]€]‚]„]ˆ]"]-]œ] ]ª]¬]']¶]¼]¾]Ä]Æ]Î]Ð]Ø]Ü]â]æ]ð]ò]^^ ^^^^^ ^(^,^4^6^:^<^B^D^F^J^P^T^Z^\^b^d^j^l^t^v^~^ñâñÓóóóóÃÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓâÓ-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hØZŒCJaJmHsHF~^€^†^ˆ^^'^¢^¤^¨^ª^®^²^¸^º^À^Â^Ä^Ð^Ò^Ô^Ø^à^æ^è^ì^î^_______ _$_&_,_2_6_:_@_D_L_N_T_V_\_^_f_h_j_l_p_r_z_|_ˆ_Š__'_˜_š_¤_¦_¬_®_'_¶_¼_¾_Ä_Æ_Ì_Î_Ö_Ø_Ü_ñâñâñâñâñâñâñâñâÒÂÒÂÒâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ-hN_

hN_

6CJaJmHsH-hN_

h²m6CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHLÜ_Þ_ø_ú_''''''"'$'4'6'<'>'B'D'H'J'P'R'T'X'Z'''f'h'n'p'‚'„'Š'Œ'²'''¸'º'À'Â'Ì'Î'Ô'Ø'â'ä'ê'ì'ö'ø'aa aaaaa a(a,a6a8aBaDaLaNabadavaza|añâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒÂÒÂÒâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ²â²â²âÒÂ-hN_

h²mCJH*aJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHF>ava¬bèb-cþce‚eèe*ftf8g:gìg²i'iêjl¢lÊlÌl‚m¸rÀrÂrÄrÆrúúúúúúúúúúúúõúúííúúúõõúäää $$Ifa$$

&

Fa$gdl%Ù$a$|a€a„a†aŒaŽa˜aša¦a¨a°a²a¸aºaÀaÂaÊaÎaØaÚaäaæaìaîabb

b bbb b"bBbFbJbLbnbpbrbtbxbzbŽb'b˜bžb¦b¨b°b²bÄbÊbÚbÜbøbúbccc

c

cccc c"c,c.c4c6cFcHc^c'chcjclcïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÁàÁàÁàÑàÁàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÁàÑà-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHLlcpcxc~c„c†cc'cþcdd

dddd d$d&d0d2dBdDdJdLdrdtd|d~dˆdŠdd'dšdœd¤d¦d®d°d¶d¸dÂdÄdÊdÌdÖdØdàdâde

e„e†eˆeŒe-e˜eœeže¢e¦e°e²eºe¼eÂeÄeÒeÔeÞeäevfxf|f~fˆfŠff'fšfœf¬f®fºf¼fÂfÄfÊfÌfÜfâfñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHYâfèfêfgg.g0g2g4g:g<g>gBgDgJgNgPg'gbghgjgrgtgzg|g€g„gˆgŠg g¤gªg¬g'g¶gÌgÐgØgÚgìgðgògögúgüghñâñÏÀª•Ïñ...u...u...ñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñ...u...ñâñ-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH)jd!hN_

hYÃCJEHôÿUaJmHsH+jBZ_H

hN_

hYÃUVmHnHsHtHhN_

hYÃCJaJmHsH%jhN_

hYÃCJUaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hhh

h hh hhh h&h(h,h0h4h6hBhDhJhLhPhRhThVh^h'hdhhhnhph~h€h„h†h"h-h¢h¦hªh¬h²h'h¾hÀhÐhÒhàhâhèhêhòhôhühþhii

i ii i i"i(i*i.i0i2i4iiBiFiLiNiTiViZi\idifihinipiïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàïàhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHRpivi„i†iˆiŠii'i i¤i¬i®i¶i¸iÌiÐiÔiÚiæièiìiòijjjj

j

jj jjj"j$j(j*j0j2j8j:j@jBjDjHjLjNj^j'jdjfjhjjjrjtj|j~j‚jˆjŒjŽj-j˜jœjžj¶jºjÂjÄjÊjÌjÒjÔjØjÞjâjäjìjîjkk

kkkïàïàïàÑàÑàÑàïàÑàïàÑàïàïàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàÑàïàÑàïàhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHRk k"k$k(k*k0k2k8k:k@kBkFkHkNkPkVkXk^k'kbkfkjklk|k~k‚k„k†kˆkk'kškœk k¦kªk¬k'k¶kºk¼kÔkØkàkâkèkêkðkòkökükll

l

ll lll&l(l.l0l6l<lBlHlPlVlZl\lhljlplrl|l~l‚l„lŠlŒlœlïàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHRœlžl¨lªl²l¸lÀlÆlÌlÎlÐlÔlÖlÜlàlâlòlôlúlülmm

mmmmm m*m.m>m@mHmJmRmTmZm\mdmfmpmtm‚m„m†mŽmm"m˜mšm¢m¤mñâÒâÒâÒâ²²Ââñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñ⢲¢²¢"ñ"ƒ-hN_

h>²CJH*aJmHsHhN_

h>²CJaJmHsH-hN_

h>²>*CJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH3¤m¨mªm®m°m'm¶m¾mÀmÄmÊmÐmÒmØmÚmämèmþmnnn nnnn n$n&n.n0nFnHnNnPnXnZn^ndnjnlnrntn~n‚n"n-n¢n¤n¸n¼nÀnÂnÌnÎnÖnØnÜnÞnänænînðnönønþnoo

ooo oñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñÒñÃâÃâóÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃâÃ-hN_

h

4yCJH*aJmHsHhN_

h

4yCJaJmHsH-hN_

h>²CJH*aJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h>²CJaJmHsHF o$o,o.o2o8o@oBoFoHoNoPoXoZofohoroto|o~o„o†oªo¬o°o¶o¼o¾oÎoÒoÚoÜoàoæoîoðoôoöoüoþoppp ppp p"p&p(p.p0p6p8p>p@pHpJpPpRp'pbpfphplpnpvpxp‚p„pp'p¦p¨p°p²p¶p¸pÂpÄpÌpÎpÖpØpñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÒâÒâÒâÒâñâñâñâñâÒ-hN_

h

4yCJH*aJmHsHhN_

h

4yCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHSØpäpêpòpôpøpþpqqqqq q&q(q.q0q<q>qJqLqRqTqZq\q'qfqlqnqtqvq~q„qˆqŠq˜qšq¬q®q'q¶q¼q¾qÐqÒqÖqØqàqâqæqîqðqôqöqrr rrrrr"r(r*rBrDrJrLrVrXr'rbrhrñáñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñáñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÒñÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃÒÃhN_

hƒB£CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

h

4yCJH*aJmHsHhN_

h

4yCJaJmHsHHhrjrnrpr˜ršr¢r¤r¨rªr'r¶r¼r¾rærèrìrîrørúrs

sssss$s&s*s.s4s6sBsDsFsJs^s'slsrszs|s€s‚ss's˜sšs¤sªs'sºsÎsÒsØsÚsÞsàsèsêsôsöstt tttttt$t(t2t8t>t@tFtïàÑàÑàÑàÑàÑàÂàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàïàïàÑàÑàÑàïàïàïàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàÑàhN_

h

4yCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

hƒB£CJaJmHsH-hN_

hƒB£CJH*aJmHsHLÆrÈrÊröö $$Ifa$ÊrÌräkd²#$$If-lÖÖrF¼ ÊØ è9= Öàà

tàÖ(ÿ™™™ÿ™™™ÿ

ÿ

Ö0ÿÿÿÿÿÿ ö6ööÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿ4Ö4Ö

laö²pÖ(ÿ™™™ÿ™™™ÿ

ÿ

ÌrÎrÐrÒrÔrÖrööööö $$Ifa$ÖrØräkd¹$$$If-lÖÖrF¼ ÊØ è9= Ö àà

tàÖ(ÿ

ÿ™™™ÿ™™™ÿ

Ö0ÿÿÿÿÿÿ ö6ööÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿ4Ö4Ö

laö²pÖ(ÿ

ÿ™™™ÿ™™™ÿ

ØrÚrÜrÞràrârööööö $$Ifa$ârär>s$a$äkdÀ%$$If-lÖÖrF¼ ÊØ è9= Ö àà

tàÖ(ÿ

ÿ™™™ÿ™™™ÿ

Ö0ÿÿÿÿÿÿ ö6ööÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿÖ ÿÿÿÿÿ4Ö4Ö

laö²pÖ(ÿ

ÿ™™™ÿ™™™ÿ

>s@s'tütjušuºuêuìuxvwwyºy¾ynz°zn{'{"{Ä{þ{Ê|æ}øMNQ€Q'QêQúõúõúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúgdl%Ù$a$FtHtRtTtdtftltntttvt|t~t˜tšt¦t¨tªt°t¸t¾tÈtÊtÔtÚtätêtþtuuu uuuu(u*u2u4u:u<uDuFuTuVu'ufunutu|u~uˆuŠu'u˜uœužu¤u¦u¬u®u¶u¸u¾uÄuÎuÐuØuÞuâuäuñâñâñâñâñâñâÐâñâñâÀâÀâÀâÀâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâÀâÀâÀâÀâñâñâñâñâÀâÀâÀâ±hN_

h

4yCJaJmHsH-hN_

hƒB£CJH*aJmHsH" jàðhN_

hƒB£CJaJmHsHhN_

hƒB£CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHEäuæuèuêuìuîuðuôuöuüuvvv v$v&v.v0v:v<vHvJvRvTvfvhvpvrvxvzv~v†vˆvŒv'v˜v¢v¤vªv¬v²v'v¸vºvÆvÌvÖvØvàvâvævèvìvñáÑñÑÁÑÁѲ£²£²£²£²£²£²£²£²£²"Á"Á"„£„£„£„£„£„£„£„£„£„hN_

hYÃCJaJmHsH-hN_

hYÃ>*CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

h>²>*CJaJmHsHhN_

h>²CJaJmHsH4ìvîvòvôvww

w wwwwwww"w$w*wFwHwNwPwVwXwbwdwjwnwxwzw‚w„wŒwŽw'w"w˜wšwžw w¨wªw°w²w¸wºwÀwÂwÒwÔwÚwÜwâwäwêwìwòwôwúwñâñâñâñâñâÓóóÃÓñÓñÓñÓñÓñÓ¡ÓñÓ'ÓñÓñÓñÓñÓñÓ'Ó'Ó'ÓñÓñÓñÓ'Ó-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j³ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hYÃCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH9úwüw xxxx"x$x,x.x4x6x:x<x@xBxLxNxXxZx'xbxnxpxxxzx€x‚xªx¬x¾xÀxÈxÊxâxäxòxøxyy

yyyyy&y(y,y2yîßÍ߾߾߾߾߾߾߾߬ߜ߬߾߾߾߾߾߾ߜߜߜߌ|Œ|Œß-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH" j£ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH" j}ðhN_

h²mCJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsH02y4yFyHyRyTydyfynyty|y~y†yŒy"yšy¢y¨y°y¶y¾yÀyÂyÆyÈyÎyÔyÖyÜyÞyäyæyôyöyzz"z$z*z,z@zBzHzJzRzTzdzhz€z‚zŠzŒz¤zñâñâñâñâÒâÒâÒâÒâÒâÒâ²²Ââñâñâñâ âŽâñâñâñâñâñâñâÒâÒâ" j}ðhN_

h²mCJaJmHsH" j{ðhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH4¤zªz¬z®z¼zÀzÄzÆzÌzÎzÞzàzäzæzêzìzòzôzøzúz{{

{

{{{{{0{2{6{8{>{@{F{H{P{R{X{Z{b{d{j{l{x{z{~{€{„{†{ïàÐàÁàÐàÐàÐàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁàÁà²à ÐÐ~hN_

h²mCJ aJ mHsH% jÍðhN_

h²mCJH*aJmHsH" jSðhN_

h²mCJ aJ mHsHhN_

h

4yCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH-hN_

h²mCJH*aJmHsH1†{'{"{ž{¢{¬{®{¶{¸{¾{À{Ä{Ì{Î{Ô{Ö{Þ{à{è{ê{ð{ò{þ{|||| || |||(|*|8|:|@|B|H|J|N|P|T|V|d|f|n|p|x|z|‚|„|ˆ|Œ|¤|¦|ª|®|²|ñâÒÂÒÂÒÂÒÂÒñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ£"£"£ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ³ñ-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH-hN_

hN_

5CJaJmHsH-hN_

h²m5CJaJmHsHhN_

hƒB£CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsH:²|'|º|¼|Â|Ä|Ê|Î|Ð|Ô|Ø|Ú|Ü|Þ|}}}

}}}}}*},}2}4}:}<}@}B}F}H}V}X}f}h}n}p}v}x}|}~}†}ˆ}˜}œ} }ñâñâñâÒÂÒâñ⯠Šu¯âñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ)j¹&hN_

h>²CJEHôÿUaJmHsH+jY\_H

hN_

h>²UVmHnHsHtHhN_

h>²CJaJmHsH%jhN_

h>²CJUaJmHsH-hN_

hN_

>*CJaJmHsH-hN_

h²m>*CJaJmHsHhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH. }¢}¬}®}'}¶}¾}À}Ô}Ö}Ú}Ü}ê}î}ô}ö}~LL

L

LLLLL"L$L*L,L2L4L@LBLFLHLPLRLTLVL|L~L€L‚L†LˆLL'LšLœL L¢LªL¬LÂLÄLÔLÖLÜLÞLñâñâñâñâñâñâñâñâàñâñâñâñâñâñâñâñâñâñâ;¨"Íâñâñâñâñâñâñâñâñ)jÌ(hN_

h>²CJEHôÿUaJmHsH+j~\_H

hN_

h>²UVmHnHsHtHhN_

h>²CJaJmHsH%jhN_

h>²CJUaJmHsHUhN_

h²mCJaJmHsHhN_

hN_

CJaJmHsH:¿m sÑ cách rút có té quý A. Rõ ràng có EMBED Equation.3 cách rút nh° v­y (l¥y 4 con A và 9 con b¥t kó të 48 con còn l¡i). VÛi các quân bài khác cing v­y. Vì có 13 quân bài khác nên sÑ cách rút là có té quý là 13. EMBED Equation.3 (!?).

Trong lÝi gi£i trên, chúng ta ã ¿m l·p. Cå thà là nhïng cách rút bài có hai té quý, ch³ng h¡n té quý K và té quý A °ãc ¿m hai l§n: mÙt l§n ß té quý A và mÙt l§n ß té quý K. Nh°ng ta ang ¿m không h£i là sÑ té quý mà là sÑ l§n g·p té quý. Nh° th¿, nhïng l§n ¿m l·p ó ph£i trë i. DÅ th¥y, sÑ cách rút có té quý K và A s½ là EMBED Equation.3 . Lý lu­n ti¿p tåc nh° th¿, ta có con sÑ chính xác cách rút có té quý là:

EMBED Equation.3

và xác su¥t c§n tìm b±ng

EMBED Equation.3 .

téc là vÛi mÙt ng°Ýi ch¡i bài ng«u nhiên, cé trung bình 29 l§n s½ có 1 l§n ¡t té quý. Xác su¥t có 1 té quý trong 1 ván ch¡i cao h¡n và cing có thà tíng b±ng ph°¡ng pháp thêm bÛt.

P ~ 4p 6p2 + 4p3 p4 = 0.1299

téc là cé khÏang 8 ván s½ có xu¥t hiÇn 1 té quý.

Trong lÝi gi£i trên à không bË ¿m l·p, chúng ta ã l§n l°ãt bÛt i, rÓi l¡m thêm vào, rÓi l¡i bÛt i & C¡ sß tóan hÍc cça ph°¡ng pháp này chính là Ënh lý sau:

Ënh lý. VÛi n t­p hãp A1, ..., An b¥t kó ta có công théc

|A1 ( ... ( An| = ( |Ai| - ( |Ai ( Aj| + ...+ (-1)n-1|A1(...(An|

Chéng minh: Dùng quy n¡p và tính phân phÑi.

Ví då 2. Có bao nhiêu cách x¿p 8 con xe lên bàn cÝ quÑc t¿ ã bË g¡ch i mÙt °Ýng chéo chính sao cho không có con nào n con nào?

Gi£i. Có 8! cách x¿p 8 con xe con xe lên bàn cÝ quÑc t¿ sao cho không có con nào n con nào. Ta c§n ¿m sÑ cách x¿p không hãp lÇ, téc là sÑ cách x¿p có ít nh¥t mÙt con xe n±m trên °Ýng chéo.

GÍi Ai là t­p hãp các cách x¿p có quân xe n±m ß ô (i, i). Ta c§n tìm |A1 ( ... ( A8|. Nh°ng dÅ dàng th¥y r±ng |Ai| = 7!, |Ai ( Aj| = 6! ... |A1(...(A8| = 1 nên të Ënh lý trên ta suy ra

|A1 ( ... ( A8| = C18.7! - C28.6! + C38.6! - ... - C88.1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! -...- 8!/8!.

Nh° v­y sÑ cách x¿p 8 con xe lên bàn cÝ quÑc t¿ ã bË g¡ch i mÙt °Ýng chéo chính sao cho không có con nào n con nào b±ng

N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! -...- 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + ...+ 1/8!).

Ví då 3. Có bao nhiêu cách x¿p 8 con xe lên bàn cÝ quÑc t¿ ã bË g¡ch i hai °Ýng chéo chính sao cho không có con nào n con nào?

Bài nói thêm: Ënh lý vÁ xe và a théc xe.

4. Ph°¡ng pháp quù ¡o

Ví då 1. Có m+n ng°Ýi ang éng quanh qu§y vé, trong ó n ng°Ýi có tiÁn 5.000 và m ng°Ýi chÉ có tiÁn 10.000. §u tiên ß qu§y không có tiÁn, vé giá 5.000. HÏi có bao nhiêu cách x¿p m+n ng°Ýi thành hàng à không mÙt ng°Ýi nào ph£i chÝ tiÁn tr£ l¡i (m ( n).

Ví då 2. (Bài toán b§u cí) Trong cuÙc b§u cí, éng cí viên A °ãc a phi¿u b§u, éng cí viên B °ãc b phi¿u b§u (a > b). Cí tri bÏ phi¿u tu§n tñ. Có bao nhiêu cách s¯p x¿p viÇc bÏ phi¿u à lúc nào A cing h¡n B vÁ sÑ phi¿u b§u?

Cho x > 0 và y là sÑ nguyên. Quù ¡o të gÑc to¡ Ù ¿n iÃm (x; y) là °Ýng g¥p khúc nÑi các iÃm O, (1; s1), ..., (k; sk), ...(x; sx), trong ó

|si - si-1| = 1, sx = y.

GÍi Nx,y là sÑ các quù ¡o nÑi iÃm (0; 0) vÛi iÃm (x; y). Ta có các Ënh lý sau:

Ënh lý 1. Nx,y = EMBED Equation.3 vÛi p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 n¿u x, y cùng tính chµn l» và Nx,y = 0 n¿u x, y khác tính chµn l».

Chéng minh: Gi£ sí quù ¡o gÓm p o¡n h°Ûng lên trên và q o¡n h°Ûng xuÑng d°Ûi. Khi ó

p + q = x, p - q = y

të ó

p = (x+y)/2, q = (x-y)/2

(vì p và q là các sÑ nguyên nên x, y c§n ph£i có cùng tính chµn l»). Vì quù ¡o s½ hoàn toàn °ãc xác Ënh n¿u ta chÉ ra o¡n nào °ãc h°Ûng lên trên, do ó sÑ các quù ¡o të iÃm O ¿n iÃm (x; y) b±ng Nx,y = EMBED Equation.3 .

Ënh lý 2. (Nguyên lý Ñi xéng g°¡ng) Gi£ sí A(a; (), B(b; () là các iÃm có to¡ Ù nguyên, h¡n nïa b > a ( 0, ( > 0, ( > 0, và A (a; - () là iÃm Ñi xéng vÛi A qua tråc Ox. Khi ó sÑ các quù ¡o të A ¿n B c¯t tråc Ox ho·c có iÃm chung vÛi Ox b±ng sÑ các quù ¡o të A ¿n B.

Chéng minh. M×i mÙt quù ¡o T të A ¿n B, c¯t tråc Ox ho·c có iÃm chung vÛi Ox ta cho t°¡ng éng vÛi quù ¡o T të A ¿n B theo quy t¯c sau: xét o¡n quù ¡o T të A cho ¿n iÃm g·p nhau §u tiên giïa T và Ox và l¥y Ñi xéng o¡n này qua Ox, ti¿p theo T và T trùng nhau. Nh° v­y m×i mÙt quù ¡o T të A ¿n B c¯t Ox t°¡ng éng vÛi mÙt quù ¡o xác Ënh të A ¿n B. Ng°ãc l¡i m×i mÙt quù ¡o të A ¿n B t°¡ng éng vÛi mÙt và chÉ mÙt quù ¡o të A ¿n B c¯t Ox (l¥y o¡n quù ¡o të A ¿n B ¿n iÃm g·p §u tiên và l¥y Ñi xéng o¡n này qua Ox). Nh° v­y ta ã thi¿t l­p °ãc song ánh të t­p hãp các quù ¡o të A ¿n B c¯t Ox vào t­p hãp các quù ¡o të A ¿n B. Ënh lý °ãc chéng minh.

Ënh lý 3. Gi£ sí x > 0, y > 0. Khi ó sÑ quù ¡o të O ¿n (x; y) khôn có iÃm chung vÛi tråc Ox (ngo¡i trë iÃm O) b±ng (y/x)Nx,y.

5. Ph°¡ng pháp hàm sinh

Ph°¡ng pháp hàm sinh là mÙt ph°¡ng pháp hiÇn ¡i, sí dång các ki¿n théc vÁ chu×i, chu×i hàm (·c biÇt là công théc Taylor). ây là ph°¡ng pháp m¡nh nh¥t à gi£i bài tóan gi£i tích tÕ hãp

Ënh ngh)a: Cho dãy sÑ a0, a1, a2, ..., an, ...

Chu×i hình théc

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ...

°ãc gÍi là hàm sinh cça dãy (an(.

Ý t°ßng ph°¡ng pháp hàm sinh nh° sau: Gi£ sí ta c§n tìm công théc tÕng quát cça mÙt dãy sÑ (an( nào ó. Të công théc truy hÓi ho·c nhïng lý lu­n tÕ hãp trñc ti¿p, ta tìm °ãc hàm sinh

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ...

Khai triÃn A(x) thành chu×i và tìm hÇ sÑ cça xn trong khai triÃn ó ta tìm °ãc an.

Công théc khai triÃn th°Ýng sí dång (Công théc nhË théc Newton)

(1 + x)± = 1 + ±x + ±(±-1)x2/2 + ...+ ±(±-1)...(±-n+1)xn/n!+ ...

Ví då 1. Tìm sÑ h¡ng tÕng quát cça dãy sÑ f0 = 1, f1 = 2, fn+1 = fn + fn-1.

Gi£i: Xét hàm sinh

F(x) = f0 + f1x + f2x2 + ...+ fnxn + ...

= f0 + f1x + (f0+f1)x2 + ...+ (fn-1+fn-2)xn + ...

= f0 + f1x + x2(f0+f1x+...) + x(f1x+...)

= f0 + f1x + x2F(x) + x(F(x)-f0)

Të ó suy ra

F(x) = (1+x)/(1-x-x2)

Ti¿p theo, ta khai triÃn F(x) thành chu×i. Ta có

F(x) = (1+x)/(1-±x)(1-(x)

trong ó ±, ( là nghiÇm cça ph°¡ng trình x2 - x - 1 = 0. Ta dÅ dàng tìm °ãc hai h±ng sÑ A, B sao cho

F(x) = A/(1-±x) + B/(1-(x)

Të ó, sí dång công théc 1/(1-x) = 1 + x + x2 + ...+ xn + ... ta °ãc

F(x) = A + B + (A± + B()x + ...+ (A±n + B(n)xn+...

suy ra

fn = A±n + B(n

vÛi ±, ( là hai nghiÇm cça ph°¡ng trình x2 - x - 1 = 0 và A, B, là các h±ng sÑ hòan tòan xác Ënh.

Ví då 2. Tìm sÑ h¡ng tÕng quát cça dãy sÑ a0 = 1, ana0+an-1a1 + ...+ a0an = 1

Gi£i: Xét hàm sinh A(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn + ...

BiÃu théc truy hÓi gãi chúng ta ¿n hÇ sÑ cça hai a théc

A(x).A(x) = a0 + (a0a1+a1a0)x + ...+ (ana0+an-1a1 + ...+ a0an)xn + ... = 1 + x + x2 + ...+ xn = (1-x)-1.

Të ó suy ra

A(x) = (1-x)-1/2 = 1 + (1/2)x + (1/2)(3/2)x2/2+ ...+ (1/2)(3/2)...(n-1/2)xn/n! + ...

Và nh° v­y

an = (2n-1)!!/2n.n! = EMBED Equation.3

Ví då 3. (Bài tóan chia k¹o cça Euler)

Cho k, n là các sÑ nguyên d°¡ng. Tìm sÑ nghiÇm nguyên không âm cça ph°¡ng trình

x1 + x2 + ... + xn = k (*)

Gi£i: GÍi cn(k) là sÑ nghiÇm cça (*). Xét tích cça các tÕng vô h¡n

(1+x+x2+...)(1+x+x2+...)....(1+x+x2+...) = (1+x+x2+...)n

Ta nh­n xét r±ng n¿u khai triÃn tích trên thành chu×i liy thëa cça x

(1+x+x2+...)n = c0 + c1x + ...+ ckxk + ...

thì ck = cn(k) (Vì sao? Hãy thí gi£i thích)

Nh°ng

(1+x+x2+...)n = (1-x)-n = 1 + nx + ...+ n(n+1)...(n+k-1)xk/k! + ...

Suy ra

cn(k) = n(n+1)...(n+k-1)/k! = Ckn+k-1.

Ví då 4. Vé xe búyt trong hÇ thÑng giao thông công cÙng °ãc ánh sÑ të 000000 ¿n 999999. MÙt vé °ãc gÍi là vé h¡nh phúc n¿u tÕng ba chï sÑ §u tiên b±ng tÕng ba chï sÑ cuÑi cùng. Hãy tìm xác su¥t g·p vé h¡nh phúc cça mÙt ng°Ýi mua 1 vé b¥t kó.

Ví då 5. Có 2n iÃm trên °Ýng tròn. Hãy tìm sÑ cách nÑi 2n iÃm này b±ng n dây cung không c¯t nhau.

Câu hÏi và bài t­p

1. 1) n °Ýng th³ng có thà chia °Ýng th³ng thành nhiÁu nh¥t bao nhiêu miÁn?

2) n m·t ph³ng có thà chia không gian thành nhiÁu nh¥t bao nhiêu miÁn?

2. Hàm sinh cça dãy (an( b±ng A(x). Hãy tính hàm sinh cça các dãy sÑ sau

1) bn = can

2) bn = an + b

3) bn = an + an-1 + ...+ a1 + a0

4) bn = a2n

3. Gi£ sí ( là mÙt t­p hãp gÓm n ph§n tí. HÍ các t­p con A1, A2, ..., Ak °ãc gÍi là hÍ Sperner n¿u trong các t­p hãp A1, A2, ..., Ak không có t­p nào là t­p con cça t­p khác.

1) Gi£ sí A1, A2, ..., Ak là mÙt hÍ Sperner vÛi sÑ ph§n tí t°¡ng éng là i1, i2 ..., ik. Chéng minh r±ng 1/Ci1n + 1/1/Ci2n + ... + 1/Cinn ( 1.

2) (Ënh lý Sperner). Gi£ sí A1, A2, ..., Ak là mÙt hÍ Sperner. Khi ó k ( C[n/2]n.

3) GÍi An là sÑ các hÍ Sperner khác nhau cça (. Chéng minh r±ng

2Tn < An < CTn2^Tn

trong ó Tn = C[n/2]n.

4. (Mù 1996) GÍi an là sÑ các xâu nhË phân Ù dài n không chéa chu×i con 010, bn là sÑ các xâu nhË phân Ù dài n không chéa chu×i con 0011 ho·c 1100. Chéng minh r±ng bn+1 = 2an vÛi mÍi n nguyên d°¡ng.

5. (ViÇt Nam 1996) Cho các sÑ nguyên k và n sao cho 1 ( k ( n. Tìm t¥t c£ các bÙ s¯p thé tñ (a1, a2, ..., ak) trong ó a1, a2, ..., ak là các sÑ khác nhau të t­p hãp (1, 2, ..., n(, tho£ mãn iÁu kiÇn:

1) TÓn t¡i s và t sao cho 1 ( s < t ( k và as > at.

2) TÓn t¡i s sao cho 1 ( s ( k và as không Óng d° vÛi s theo mod 2.

6. Tìm sÑ t¥t c£ các bÙ n sÑ (x1, x2, ..., xn) sao cho

(i) xi = ( 1 vÛi i=1, 2, ..., n;

(ii) 0 ( x1 + x2 + ...+ xr < 4 vÛi r = 1, 2, ..., n-1;

(iii) x1 + x2 + ...+ xn = 4.

7. (PTNK 2000) Cho M = (1, 2, ..., n(.

1) Tìm sÑ t¥t c£ các bÙ ba t­p con A, B, C cça M tho£ iÁu kiÇn

A ( B ( C = M, B ( C = (;

2) Tìm sÑ t¥t c£ các bÙ bÑn t­p con A, B, C, D cça M tho£ iÁu kiÇn

A ( B ( C ( D = M, B ( C ( D = (.

8. (Vietnam ST 94) Tính tÕng

T = ( 1/n1!n2!...n1994!(n2+2n3+...+1993n1994)!

ß ây tÕng l¥y theo t¥t c£ các bÙ có thé tñ các sÑ tñ nhiên (n1, n2, ..., n1994) tho£ mãn iÁu kiÇn

n1+2n2+3n3+...+1994n1994 = 1994.

9. Cho 3n iÃm trên °Ýng tròn. Có bao nhiêu cách nÑi các iÃm ó l¡i à t¡o thành n tam giác không có iÃm chung?

10. Ta gÍi (i, j) là mÙt nghËch th¿ cça hoán vË ( cça En = (1, 2, & , n( n¿u ((i) > ((j) mà i < j. Tìm sÑ các nghËch th¿ trung bình cça mÙt hóan vË °ãc chÍn ng«u nhiên.

Bài 4. - èng dång cça phép ¿m

Gi£i tích tÕ hãp không chÉ gi£i quy¿t các bài toán °ãc ·t ra trong chính lý thuy¿t này mà còn nhiÁu éng dång thú vË trong các ngành toán hÍc khác, ví då nh° trong ¡i sÑ, sÑ hÍc, hình hÍc tÕ hãp, lý thuy¿t xác su¥t...

Các hÇ sÑ nhË théc th°Ýng °ãc n£y sinh mÙt cách tñ nhiên trong sÑ hÍc modular, trong ¡i sÑ giao hoán, trong lý thuy¿t ¡i sÑ Lie modular, vì v­y, nhïng ³ng théc liên quan ¿n hÇ sÑ nhË théc óng mÙt vai trò ·c biÇt quan trÍng.

D°Ûi ây, chúng ta xét mÙt sÑ ví då liên quan ¿n éng dång cça gi£i tích tÕ hãp trong các l)nh vñc khác nhau cça toán hÍc.

Ví då 1. Cho p là mÙt sÑ nguyên tÑ. °Ýng tròn °ãc chia thành p cung b±ng nhau. HÏi có bao nhiêu cách tô p cung b±ng a màu khác nhau (Hai cách tô màu thu °ãc b±ng mÙt phép quay °ãc coi là giÑng nhau)?

Gi£i. M×i mÙi cung có a cách tô màu, nh° v­y có ap cách tô màu p cung (vÛi quy °Ûc cÑ Ënh vË trí). Trong sÑ này có a cách tô màu b±ng chÉ mÙt màu. VÛi m×i cách tô màu dùng 2 màu trß lên, ta có thà dùng phép quay à t¡o ra p cách tô màu khác °ãc tính trong ap cách tô màu trên nh°ng không °ãc tính theo cách tính Á bài. Nh° v­y sÑ cách tô màu tho£ mãn iÁu kiÇn Á bài là (ap-a)/p + a.

HÇ qu£. (Ënh lý nhÏ Fermat) Cho p là sÑ nguyên tÑ và a là sÑ nguyên, khi ó ap - a chia h¿t cho p.

Ví då 2. Chéng minh r±ng të 2n-1 sÑ nguyên b¥t kó luôn tìm °ãc n sÑ có tÕng chia h¿t cho n.

Gi£i. Ta gÍi mÇnh Á ß Á bài là A(n). Tr°Ûc h¿t ta chéng minh r±ng n¿u A(m), A(n) úng thì A(mn) cing úng (hãy chéng minh!). Të ây, bài toán quy vÁ viÇc chéng minh A(p) vÛi p là sÑ nguyên tÑ. Xét E = (a1, a2, ..., a2p-1(. Gi£ sí ng°ãc l¡i r±ng vÛi mÍi bÙ ai1, ..., aip l¥y të E ta có ai1 + ...+ aip không chia h¿t cho p. Khi ó, theo Ënh lý nhÏ Fermat

(ai1 + ...+ aip)p-1 ( 1 (mod p)

Të ó suy ra

( (ai1 + ...+ aip)p-1 ( EMBED Equation.3 (mod p)

trong ó tÕng tính theo t¥t c£ các t­p con p ph§n tí cça E. M·t khác, ta ¿m sÑ l§n xu¥t hiÇn cça ¡n théc aj1(1...ajk(k vÛi (1 + ...+ (k = p-1 trong tÕng ß v¿ trái. Có EMBED Equation.3 tÕng d¡ng ai1 + ...+ aip có chéa aj1, ..., ajk. Trong m×i tÕng này, ¡n théc aj1(1...ajk(k xu¥t hiÇn vÛi hÇ sÑ (p-1)!/(1!...(k!. Nh° v­y, ¡n théc aj1(1...ajk(k s½ xu¥t hiÇn trong tÕng v¿ trái vÛi hÇ sÑ EMBED Equation.3 .[ (p-1)!/(1!...(k!] = [(2p-1)!/k!(p-k)!(p-1)!].[ (p-1)!/(1!...(k!].

Do 1 ( k ( p-1 nên hÇ sÑ này luôn chia h¿t cho p, suy ra tÕng v¿ trái chia h¿t cho p. M·t khác EMBED Equation.3 = (2p-1)/p!(p-1)! = (p+1)...(2p-1)/(p-1)! không chia h¿t cho p. Mâu thu«n.

Ví då 3. Chéng minh r±ng EMBED Equation.3 .

Ví då 4. Cho a là sÑ thñc d°¡ng và n là sÑ nguyên d°¡ng cho tr°Ûc. Tìm giá trË lÛn nh¥t cça biÃu théc x1x2...xn/(1+x1)(x1+x2)...(xn-1+xn)(xn+an+1), trong ó x1, x2, ..., xn là các sÑ d°¡ng tuó ý.

Gi£i. ·t u0 = x1, u1 = x2/x1, ..., un = an+1/xn thì u0u1...un = an+1 và ta c§n tìm giá trË nhÏ nh¥t cça (1+u0)(1+u1)...(1+un). Ta có (1+u0)(1+u1)...(1+un) = 1 + (ui + (ui1ui 2 + ...+ (ui1...ui k + ... + u0u1...un. TÕng (ui1...ui k có EMBED Equation.3 sÑ h¡ng. Tích cça chúng s½ là mÙt biÃu théc b­c kCkn. Do tính Ñi xéng, m×i mÙt sÑ h¡ng s½ úng góp b­c là kCkn+1/(n+1). Suy ra tích cça t¥t c£ các sÑ h¡ng này b±ng (an+1)^(kCkn+1/(n+1)) = a^(kCkn+1). Áp dång b¥t ³ng théc Cauchy, ta có (ui1...ui k ( Ckn+1ak. Do ó 1 + (ui + (ui1ui 2 + ...+ (ui1...ui k + ... + u0u1...un

( 1 + (n+1)a + C2n+1a2 + ...+ Ckn+1ak + ... + an+1 = (1+a)n+1. D¥u b±ng x£y ra khi và chÉ khi u0 = u1 = ...= un = a téc là khi x1 = a, x2 = a2, ..., xn = an.

Ví då 5: (Dãy phç §y ç)

VÛi m×i sÑ nguyên d°¡ng k > 1, ta nói bÙ (a1, b1), & (ak, bk) l­p thành mÙt dãy phç §y ç n¿u vÛi mÍi sÑ tñ nhiên n, tÓn t¡i duy nh¥t chÉ sÑ i thuÙc (1, 2, & , k( sao cho n Óng d° ai moun bi.

Chéng minh r±ng n¿u (a1, b1), & (ak, bk) là mÙt dãy phç §y ç thì

1/b1 + 1/b2 + & + 1/bk = 1.

a1/b1 + a2/b2 + & + ak/bk = (k-1)/2.

Ví då 6: (T­p thé c¥p c¥p 2)

VÛi a t­p hãp A = (a1, a2, & , an( (các ai có thà b±ng nhau), ta gÍi A(2) = (ai + aj | 1 ( i < j ( n(. Chéng minh r±ng n¿u tÓn t¡i các a t­p hãp A, B sao cho

|A| = |B| = n

A ( B

A(2) = B(2)

thì n = 2k vÛi k nguyên d°¡ng nào ó.

Tài liÇu tham kh£o

NguyÅn Hïu Anh, Tóan rÝi r¡c, NXB HQG Tp HCM, 2001

Tr§n NgÍc Danh, Tóan rÝi r¡c nâng cao, NXB HQG Tp HCM, 2003

NguyÅn Kh¯c Minh, Tài liÇu bÓi d°áng giáo viên, Hà NÙi 1996

T¡p chí Tóan hÍc và tuÕi tr», sÑ 1, 2/2001.

Hebert S. Wilf, Generating Functionology, A.K. Peters Ltd, 2005

M. Hall, Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1986

Cohen, D., Basic Techniques of Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1978

Stanley R.P, Enumerative Combinatorics, New York, Cambridge University Press, 1999.

T¡p chí Kvant

Tài liÇu Internet, ·c biÇt là các website: HYPERLINK "http://www.mathlinks.ro" www.mathlinks.ro, HYPERLINK "http://www.diendantoanhoc.net" www.diendantoanhoc.net, HYPERLINK "http://www.mccme.ru" www.mccme.ru.