Bài 4.b/

            Công thức tính sai số phương pháp:

            |Rn(x)| = | f(n+1)(c).(x-x0)n+1)/(n+1)! | với x0≤ c ≤x

            Ta có e = f(1) với f(x) = ex. Nếu dùng công thức xấp xỉ:

            e ~ 1+x/1! +x2/2! +..+xn/n!, với x=1 và x0=0 thì sai số mắc phải là:

            ∆e1 = |Rn(1)| = | ec/(n+1)! | với 0≤ c ≤1.

            Do đó |Rn(1)| < 3/(n+1)!. Để đạt độ chính xác với 4 chữ số lẻ thập phân đáng tin

            ∆e1 ≤ 0.5.10-4. Vậy chỉ cần xác định n sao cho: 3/(n+1)! < 0.5.10-4.

            Thử trực tiếp thấy chỉ cần lấy n= 8. Khi đó ∆e1 = 8.10-6.

            Tính trực tiếp từng số hạng của tổng cùng sai số tính toán do quy tròn số. Có:

1/1! = 1

Θ1= 0

1/5!=0.00833

Θ5= 3.10-6

1/2! = 0.5

Θ2= 0

1/6!=0.00139

Θ6= 1.10-6

1/3!= 0.16667

Θ3= 4.10-6

1/7!=0.00020

Θ7= 2.10-6

1/4!=0.04167

Θ4= 4.10-6

1/8!=0.00002

Θ8= 5.10-6

            => ∆e2 = Θ1+Θ2+Θ3+Θ4+Θ5+Θ6+Θ7+Θ8= 19.10-6.

            => ∆e = ∆e1+∆e2 = 19.10-6+8.10-6 = 2.7.10-5.

            => e ~ 1+1+0.5+0.16667+0.04167+0.00833+0.00139+0.00020+0.00002 =

            = 2.71828.

            Có thể viết: e = 2.71828 ± 2.7.10-5, làm tròn tiếp đến 4 chữ số lẻ thập phân:

                                e = 2.7183 ± (2.10-5+2.7.10-5) = 2.7183 ± 0.47.10-4.

            Kết quả này có sai số tổng hợp = 0.47.10-4 < 0.5.10-4 nên thỏa mãn bốn chữ số

            lẻ thập phân là đáng tin. 

Bài 5:

1.      Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

Đặt f (x)= x-sinx-0.25.

Có f’(x)=1-cosx, mà -1≤ cosx≤ 1 hay 0≤ 1-cosx≤ 2,

=> 0<=f’(x)<=2.

Hàm cosx là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn: [-π; π] như sau:

     x

-π                            0                        +π 

   f’(x)

  2           +               0             +           2

   f (x)

                          -0.25                       π-0.25

-π-0.25               -0.25

Có f (π/4) =  π/4-√2/2-0.25 ~ -0.1717< 0

      f (π/2)= π/2-1-0.25 ~ 0.3208 > 0

=> f (π/4).f (π/2)< 0

Vậy một khoảng phân ly nghiệm của phương trình là: [π/4;π/2]

2.      Chọn hàm lặp:

Từ phương trình đầu => x= sinx+0.25.

Chọn φ(x)= sinx+ 0.25 thì x= φ(x) và φ’(x)= cosx.

Trong đoạn [π/4;π/2] có 0≤ φ’(x)≤ √2/2 = q<1, nên phương pháp lặp hội tụ.

Do φ’(x)≥0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x0 = π/4.

Tóm lại:          x0 = π/4

                                    xn = φ(xn-1 ) = sin(xn-1 )+ 0.25.

            Công thức tính sai số: |x-xn| ≤ q/(1-q). |xn-xn-1| = 1/(√2-1). |xn-xn-1| .

           Quá trình tính cho ta kết quả với hai chữ số lẻ thập phân đáng tin là:

xn

|x-xn|

x1= 0.957106781

|x-x1| ≤ 0.414541273

x2= 1.067528823

|x-x2| ≤ 0.266582391

 x3= 1.126011355

|x-x3| ≤ 0.141189322

x4= 1.152703205

|x-x4| ≤ 0.064439826

x5= 1.163864829

|x-x5| ≤ 0.026946544

x6= 1.168339637

|x-x6| ≤ 0.010803141

x7= 1.170101535

|x-x7| ≤ 0.004253599

           Quy tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:

            x-1.17 = x- x7+ x7- 1.17

            |x-1.17| ≤ |x-x7| + |x7 -1.17| = 0.004253599 + 0.000101535

            |x-1.17| ≤ 0.004355134

            Có thể viết:     |x-1.17| ≤ 0.4.10-2 < 0.5.10-2

            => cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin.

            Vậy có: x = 1.17 ± 0.004.

Bài 6:

1.      Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

Đặt f (x)= 1.8x2 – sin10x.

            Có  f’(x)= 3.6x – 10cos10x.

                   f’’(x)= 3.6x + 10sin10x.

            Có hàm số y= 1.8x2 đồng biến trong khoảng (π/20; π/10) còn

            Hàm số y = sin10x nghịch biến trong khoảng này và ta có:

            f (π/20)= 1.8π2/400 -1 ~ -0.955< 0,

            f (π/10)= 1.8π2/100 ~ 0.178> 0,

            Hay f (π/20).f (π/10) < 0

            Vậy [π/20; π/10] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình.

2.     Quá trình tính:

            Trên đoạn [π/20; π/10] có f’’(x)> 0 do đó để phương pháp hội tụ thì ta chọn

            x0 = π/10 vì khi đó f(x0)> 0 cùng dấu với f’’(x). Ta có công thức lặp:

    x0 = π/10.

               xn = xn-1 - f(xn-1)/f’(xn-1) = xn-1 – (1.8x2n-1 – sin10xn-1)/( 3.6xn-1 – 10cos10xn-1)

            Với sai số tuyệt đối không vượt quá 10-5 quá trình tính cho ta kết quả như sau:

xn

|x-xn|

x1= 0.29820

|x-x1| ≤ 1.596.10-2

x2= 0.29810

|x-x2| ≤ 1.093.10-4

 x3= 0.29810

|x-x3| ≤ 9.363.10-6

Có  |x-x3| ≤ 9.363.10-6< 10-5 nên quá trình tính dừng lại.

            Vậy có thể viết nghiệm dương của phương trình là: x= 0.29810 ± 10-5.

Bài 7:

1.     Tìm khoảng phân ly nghiệm:

Đặt f (x)= x3 - x - 1000.

Có  f’(x)= 3x2 – 1

f’(x) = 0 ó x = ±1/√3.

Bảng biến thiên:

x

-∞                          -1/√3                              1/√3                           +∞

f’(x)

               +                  0                  -               0                 +

f(x)

                                 CĐ                                                                  +∞

-∞                                                               CT

            f(CĐ) = f(-1/√3) = -( 2/3√3 + 1000) < 0.    

            f(CT) = f(1/√3) = 2/3√3 – 1000 < 0.  

            Nhận xét: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số chỉ cắt trục dương Ox

            tại một điểm trên đoạn [1/√3; +∞].

            Xét  f(10) = -10 <0,

                    f(11) = 320 >0 => f(10).f(11) < 0

            Do đó [10;11] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho.

2.     Chọn hàm lặp:

Từ phương trình đã cho rút ra được: x= 3√(x+1000) = φ(x).

Có  φ’(x) = 1/(3.3√(x+1000) 2).

Trên đoạn [10;11]  có: 0 < 1/(3.3√10112)  ≤  φ’(x) ≤ 1/(3.3√10102) = q <1

Nên phương pháp lặp hội tụ.

Do φ’(x) ≥ 0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x0 = 10

Tóm lại:         

     x0 = 10

     xn = φ(xn-1 ) = 3√(xn-1+1000)    

            Công thức tính sai số: |x-xn| ≤ q/(1-q). |xn-xn-1| .

           Quá trình tính cho ta kết quả với sai số tuyệt đối không vượt quá 10-5 là:

xn

|x-xn|

x1= 10.03322284

|x-x1| ≤ 1.1.10-4

x2= 10.03333284

              |x-x2| ≤ 3.65.10-7

           Quy tròn đến 5 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:

            x-1.17 = x- x2+ x2- 1.17

            |x-1.17| ≤ |x-x2| + |x2 -1.17| = 0.00000284 + 3.65.10-7

            |x-1.17| ≤ 3.205.10-6 < 10-5

                        Vậy x = 10.03333 ± 10-5.

Bài 10:

1.     Lập bảng các tỉ hiệu:

Vì ta cần tính ln2 mà hàm đã cho có dạng y=exó x = lny, nếu đổi vai trò của x và y thì ta có y = lnx, do đó ta đi tìm đa thức nội suy Newton tiến P5(y).

Trước tiên ta lập bảng tỉ hiệu:

yi

xi

THC1

THC2

THC3

THC4

THC5

1.91554

0.65

0.496376451

0.449135414

0.406404941

0.367728175

0.332734411

-0.111388642

-0.091166188

-0.074665571

-0.061126614

0.03017511

0.022278562

0.016540373

-8.38.10-3

-5.51.10-3

2.87.10-3

2.11700

0.75

2.33965

0.85

2.58571

0.95

2.85765

1.05

3.15819

1.15

Đa thức nội suy Newton tiến thu được là:

P5(y) = 0.65 +

         + (y-1.91554).0.496376451 +

         +(y-1.91554).(y-2.11700).(-0.111388642) +

         + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).0.03017511 +

         + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(-8.38.10-3) +

         + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(y-2.85765).2.87.10-3.

Thay y=2 vào ta tính được:

ln2 ~ P5(2) = 0.693147268.

Làm tròn đến 6 chữ số thập phân ta được ln2 ~ 0.693147.

Bài 11:

1.     Công thức hình thang:

a.      Tính IT:

Có h= (b-a)/n = (1-0)/10 =0.1.

xi

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

yi

1

1/1.1

1/1.2

1/1.3

1/1.4

1/1.5

1/1.6

1/1.7

1/1.8

1/1.9

1/2

Do đó có bảng:

=> IT = 0.1((1+1/2)/2 +1/1.1+1/1.2+1/1.3+..+1/1.9) = 0.693771403.

b.      Tính | I- IT |:

Có f’’(x)= 2/(1+x)3,

=> M= max[0;1] |f’’(x)| = max[0;1](2/(1+x)3) = f’’(0) = 2.

Vậy ta có sai số là:

| I- IT | ≤ M.h2(b-a)/12 = 2.0.12.(1-0)/12 = 1.67.10-3.

Nếu làm tròn IT = 0.69377 thì sai số mắc phải là:

| I- IT | ≤ 0.0000071403+1.67.10-3 < 1.68.10-3

Vậy có thể viết I = 0.69377 ± 1.68.10-3

2.     Công thức Simson:

a.      Tính IS:

h= (b-a)/(2.n) = (1-0)/20 =0.05.

Do đó có bảng:

Có h

xi

0

0.05

0.1

0.15

0.2

…

0.80

0.85

0.90

0.95

1

yi

1

1/1.05

1/1.1

1/1.15

1/1.2

…

1/1.8

1/1.85

1/1.9

1/1.95

1/2

=> IS = 0.05.[(1+1/2) +4.(1/1.05+1/1.15+..+1/1.95) + 2.(1.1+1.2+..+1.9)]/3 =

         = 0.693147374

b.      Tính | I- IS |:

Có f(4)(x)= 24/(1+x)5,

=> M= max[0;1] |f’’(x)| = max[0;1](24/(1+x)5) = f’’(0) = 24.

Vậy ta có sai số là:

| I- IT | ≤ M.h4(b-a)/180 = 24.0.054.(1-0)/180 = 8.3.10-7.

Nếu làm tròn IS = 0.69315 thì sai số mắc phải là:

| I- IT | ≤ 0.00005-0.000047374+8.3.10-7 < 3.5.10-6

Vậy có thể viết I = 0.69315 ± 3.5.10-6.

*Chú ý *

Ở đây tính hoàn toàn bằng máy tính, không làm tròn mỗi kết quả đơn lẻ (như 1/1.05 chẳng hạn) do đó sai số tính toán của kết quả tính được là nhỏ hơn rất nhiều so với đáp án trong sách Giáo khoa.