Trường Midwood cung cấp 22 khóa học Nâng cao (Advanced Placement), và danh sách các khóa học AP của trường đã được College Board công nhận là một trong những chương trình tốt nhất trên toàn quốc. Thường thì các học sinh xuất sắc tại đây sẽ được khuyến khích đăng ký từ năm đến tám môn AP trong các môn thuộc lĩnh vực Y Khoa ( Medical Science ) , Nhân văn ( Humanities ) và Nghệ thuật tự do ( Liberal Arts ) . Audrey khi mới nhập học tại trường giáo viên chủ nhiệm vì nhận thấy sự đặc biệt của Mây trong các môn tư duy logic như Toán học khi trong tiết AP Calculus BC cô giáo yêu cầu sử dụng định nghĩa về giải tích để biện minh cho lập luận của mỗi học sinh , Audrey đã trả lời nhanh nhất và có lập luận khá vững chắc về ứng dụng đạo hàm trong lĩnh vực kinh tế :

' Thưa cô Andrew theo định nghĩa của đạo hàm cơ bản Đạo hàm ( derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Nó cho biết tốc độ biến đổi của hàm tại một điểm cụ thể, trong đó, đạo hàm được biểu diễn như giới hạn của tỷ số biến thiên của hàm khi khoảng cách nhỏ tới điểm đó tiến về 0. Cụ thể, nếu f(x) là một hàm số và x0 là một điểm, đạo hàm f'(x0) được tính bằng giới hạn:

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf′(x0)=Δx→0lim​Δxf(x0+Δx)−f(x0)​

Đạo hàm còn có thể được hiểu như vận tốc tức thời trong vật lý, thể hiện tốc độ chuyển động tại một thời điểm nào đó.

" Excellent ! Tuyệt vời Audrey em có thể cho cô biết đạo hàm quan trọng như thế nào trong toán học không ? " Cô Andrew vừa đẩy cặp kính vừa nhẹ nhàng tóm gọn lại định nghĩa mà Mây vừa phát biểu và yêu cầu Mây trả lời câu hỏi thực tiễn liên quan đến chủ đề của buổi học .

Nhưng Mây vẫn luôn là một cô bé nhanh nhẹn và thông minh cô không chỉ giải thích tầm quan trọng của đạo hàm trong toán học khi nó giúp ta mô tả sự biến đổi thông qua việc hàm số thay đổi khi biến số đầu vào thay đổi hay nó còn được ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế để tính toán tỷ lệ lợi nhuận, rủi ro đầu tư, và các chỉ số quan trọng khác.

Toán học là môn học Mây thích thú vì nó mang lại cho cô cảm giác trật tự và logic .

Ngày hôm nay tiết đầu tiên là môn AP Calculus AB và Mây và các bạn được học về tích phân và đạo hàm , sau đó cả lớp ứng dụng đạo hàm trong việc vẽ biểu đồ lồi lóm để xác định biến đổi của các biến số kinh tế như tỷ lệ thay đổi của giá cả, lợi nhuận, và cung cấp .

Mây không tỏ ra quan ngại và lo lắng trước nội dung của bài giảng , thật ra nếu so sánh thì chương trình giáo dục môn toán ở Mỹ còn nhẹ nhàng hơn với Việt Nam , tuy nhiên vì đây là một lớp nâng cao nên những môn học mà Mây và các bạn ở Mỹ phải học cũng không khác xa so với Việt Nam . Ở Mỹ lớp nâng cao mới học về đạo hàm , các khái niệm cơ bản còn ở Việt Nam chương trình phổ thông lớp 11 đã học rồi . Đó là khi bố Mây kể khi ông nhớ về thời học sinh của mình ở một trường Trung học phổ thông trọng điểm ở Việt Nam . Bố Mây thích Toán học , có lẽ mọi người con trai nào cũng có hứng thú bẩm sinh với những con số , Mây cũng không thấy đó là vấn đề nếu nó làm cho ba mình hạnh phúc . Thật ra ông Daniel đáng lẽ đã có một cơ hội phát triển trong ngành giáo sư Toán học tại trường đại học California nhưng Mây không biết vì lý do gì ông lại để cơ hội trôi đi mất và tạm dừng sự nghiệp với Toán . Tuy vậy ông vẫn luôn truyền lại lửa đam mê cho con gái mình . Ông Daniel luôn bảo Mây :

" Khi con buồn hay gặp phải vấn đề nan giải trong cuộc sống vật chất , Toán học sẽ giúp con giải quyết được vấn đề " .

Mây chưa bao giờ được biết chuyện gì đã xảy ra với bố của mình khiến ông phải từ bỏ thứ đã nuôi sống tinh thần của mình từ cách đây rất lâu . Nhưng cô biết nếu cô chăm chỉ học và thành công trong niềm đam mê của bố , ông ấy sẽ hạnh phúc tới khi cô rời xa ông . Điều đó nghe thật vất vả nhưng với mọi đứa con trên đời , nếu có thể làm gì đó để bố mình vui thì họ sẽ kiên trì theo đuổi nó .

Kết thúc tiết học đầu tiên , giáo viên khen cả lớp đã rất chăm chỉ và nỗ lực trong buổi sáng ngày hôm nay . Audrey Mây cũng thấy vui khi nhớ lại những ký ức nhỏ bé về bố , về những lần cô toả ánh hoà quang trí tuệ trong lớp học . Nhưng không hay tâm trí của cô trở về thực tại khi giáo viên nhận thấy tiềm năng của Audrey và giao cho cô một bài toán khó với hy vọng tiết sau cô sẽ đến phòng học nâng cao để tham gia giải nó cùng các bạn học sinh chuyên Toán Quốc tế .

1.
The function f has derivatives of all orders at and the Maclaurin series for f is

(a) Find and

(b) Does f have a relative minimum, a relative maximum, or neither at Justify your answer.

(c) Using the ratio test, determine the interval of convergence of the Maclaurin series for f. Justify your answer.