Đọc truyện AAAAAAAAAAAAAA1

♥ AzTruyen.Top - Trang đọc truyện hoàn toàn miễn phí!

AAAAAAAAAAAAAA1

Trước Sau

Màu nền

Font chữ

Font size

Chiều cao dòng

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1 SƠ LƯỢC VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ

1.1.1 Mệnh đề

Lôgíc mệnh đề là một hệ thống lôgích đơn giản nhất, với đơn vị cơ bản là các mệnh đề

mang nội dung của các phán đoán, mỗi phán đoán được giả thiết là có một giá trị chân lý nhất

định là đúng hoặc sai.

Để chỉ các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái p, q, r... và gọi chúng là các biến

mệnh đề. Nếu mệnh đề p đúng ta cho p nhận giá trị 1 và p sai ta cho nhận giá trị 0. Giá trị 1

hoặc 0 được gọi là thể hiện của p .

Mệnh đề phức hợp được xây dựng từ các mệnh đề đơn gián hơn bằng các phép liên kết

lôgích mệnh đề.

1.1.2 Các phép liên kết lôgíc mệnh đề

1. Phép phủ định (negation): Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề được ký hiệu p, đọc là

không p . Mệnh đề p đúng khi p sai và p sai khi p đúng.

2. Phép hội (conjunction): Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề được ký hiệu p ∧ q (đọc

là p và q ). Mệnh đề p ∧ q chỉ đúng khi p và q cùng đúng.

3. Phép tuyển (disjunction): Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề được ký hiệu p ∨ q

(đọc là p hoặc q ). p ∨ q chỉ sai khi p và q cùng sai.

4. Phép kéo theo (implication): Mệnh đề kéo theo , ký hiệu , là mệnh đề chỉ

sai khi

p q p⇒q

p đúng q sai.

5. Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề ( p⇒q) ∧ (q⇒ p) được gọi là mệnh đề

p tương đương q , ký hiệu p ⇔ q .

Một công thức gồm các biến mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề được gọi là một công

thức mệnh đề. Bảng liệt kê các thể hiện của công thức mệnh đề được gọi là bảng chân trị.

Từ định nghĩa của các phép liên kết mệnh đề ta có các bảng chân trị sau

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

0 1

1 0

p p

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

p q p ∧ q p ∨ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p⇒ q

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

p q p⇒q q⇒ p p⇔ q

Như vậy p ⇔ q là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q cùng đúng hoặc cùng

sai và mệnh đề p ⇔ q sai trong trường hợp ngược lại.

Một công thức mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn nhận giá trị 1 trong mọi thể hiện

của các biến mệnh đề có trong công thức. Ta ký hiệu mệnh đề tương đương hằng đúng là " ≡ "

thay cho "⇔".

1.1.3 Các tính chất

Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau:

1) p ≡ p luật phủ định kép.

2) ( p ⇒ q) ≡ ( p ∨ q) .

3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p luật giao hoán.

4) p ∧ (q ∧ r) ≡ ( p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ ( p ∨ q) ∨ r luật kết hợp.

5) [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)]

[p ∨ (q ∧ r)]≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)] luật phân phối.

6) Mệnh đề p ∨ p luôn đúng luật bài chung.

p ∧ p luôn sai luật mâu thuẫn.

7) p ∨ q ≡ p ∧ q

p ∧ q ≡ p ∨ q luật De Morgan.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

8) p⇒q ≡ q ⇒ p luật phản chứng.

9) p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p luật lũy đẳng.

10) p ∨ ( p ∧ q) ≡ p; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p luật hấp thu.

1.2 TẬP HỢP

1.2.1 Khái niệm tập hợp

Khái niệm tập hợp và phần tử là khái niệm cơ bản của toán học, không thể định nghĩa qua

các khái niệm đã biết. Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét trong mối quan hệ phân tử của tập

hợp trong lý thuyết tập hợp là giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" và quan hệ điểm trên

đường thẳng được xét trong hình học. Nói một cách nôm na, ta có thể xem tập hợp như một sự tụ

tập các vật, các đối tượng nào đó mà mỗi vật hay đối tượng là một phần tử của tập hợp. Có thể lấy

ví dụ về các tập hợp có nội dung toán học hoặc không toán học. Chẳng hạn: tập hợp các số tự

nhiên là tập hợp mà các phần tử của nó là các số 1,2,3..., còn tập hợp các cuốn sách trong thư viện

của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông là tập hợp mà các phần tử của nó là các cuốn

sách.

Ta thường ký hiệu các tập hợp bởi các chữ in hoa A,B,... X,Y,... còn các phần tử bởi các

chữ thường x, y,... Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x∈ A, nếu x không thuộc A ta ký hiệu

x∉ A. Ta cũng nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp".

1.2.2 Cách mô tả tập hợp

Ta thường mô tả tập hợp theo hai cách sau:

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp

Ví dụ 1.1: Tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 là {1,3,5,7,9 }.

Tập hợp các nghiệm của phương trình x2 −1= 0 là {−1,1}.

b) Nêu đặc trưng tính chất của các phần tử tạo thành tập hợp

Ví dụ 1.2: Tập hợp các số tự nhiên chẵn P = {n∈􀂲 n = 2m, m∈􀂲}

Hàm mệnh đề trên tập hợp D là một mệnh đề S(x) phụ thuộc vào biến x∈D. Khi cho

biến x một giá trị cụ thể thì ta được mệnh đề lôgích (mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc

đúng hoặc sai).

Nếu S(x) là một mệnh đề trên tập hợp D thì tập hợp các phần tử x∈D sao cho S(x)

đúng được ký hiệu {x∈D S(x)} và được gọi là miền đúng của hàm mệnh đề S(x) .

i) Xét hàm mệnh đề S(x) xác định trên tập các số tự nhiên 􀂲: " x2 +1 là một số nguyên

tố" thì S(1), S(2) đúng và S(3), S(4) sai ...

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

ii) Mỗi một phương trình là một hàm mệnh đề

{x∈􀀜 x2 −1= 0 }= {−1, 1}.

Để có hình ảnh trực quan về tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp như là miền phẳng

giới hạn bởi đường cong khép kín không tự cắt được gọi là giản đồ Ven.

c) Một số tập hợp số thường gặp

- Tập các số tự nhiên 􀂲 = {0, 1, 2, ...}.

- Tập các số nguyên 􀀜 = {0, ± 1, ± 2, ...}.

- Tập các số hữu tỉ 􀀴 = {p q q ≠ 0, p,q∈􀀜}.

- Tập các số thực 􀀖.

- Tập các số phức 􀀅 = {z = x + iy x, y∈􀀖; i2 = −1}.

1.2.3 Tập con

Định nghĩa 1.1: Tập A được gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử

của B, khi đó ta ký hiệu A⊂ B hay B ⊃ A.

Khi A là tập con của B thì ta còn nói A bao hàm trong B hay B bao hàm A hay B

chứa A.

Ta có: 􀂲⊂ 􀀜 ⊂ 􀀴 ⊂􀀖 ⊂ 􀀅.

Định nghĩa 1.2: Hai tập A,B bằng nhau, ký hiệu A = B, khi và chỉ khi A ⊂ B và

B ⊂ A.

Như vậy để chứng minh A ⊂ B ta chỉ cần chứng minh x∈ A⇒ x∈B và vì vậy khi

chứng minh A = B ta chỉ cần chứng minh x∈ A⇔ x∈B.

Định nghĩa 1.3: Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu φ .

Một cách hình thức ta có thể xem tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Tập hợp tất cả các tập con của X được ký hiệu P(X ) . Vậy A∈P(X ) khi và chỉ khi

A ⊂ X . Tập X là tập con của chính nó nên là phần tử lớn nhất còn φ là phần tử bé nhất trong

P(X ) .

Ví dụ 1.3: X = {a,b,c}

có P(X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{c,a}, X}.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ta thấy X có 3 phần tử thì P(X ) có 23 = 8 phần tử. Ta có thể chứng minh tổng quát

rằng nếu X có n phần tử thì P(X ) có phần tử. 2n

1.2.4 Các phép toán trên các tập hợp

1. Phép hợp: Hợp của hai tập A và B, ký hiệu A∪ B, là tập gồm các phần tử thuộc ít

nhất một trong hai tập A,B.

Vậy (x∈ A∪ B)⇔((x∈ A)∨ (x∈B)).

2. Phép giao: Giao của hai tập A và B, ký hiệu A∩ B, là tập gồm các phần tử thuộc

đồng thời cả hai tập A, B.

Vậy (x∈ A∩ B)⇔((x∈ A)∧ (x∈B)).

3. Hiệu của hai tập: Hiệu của hai tập A và B, ký hiệu A \ B hay A− B , là tập gồm các

phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Vậy (x∈ A \ B)⇔((x∈ A)∧ (x∉B)).

Đặc biệt nếu B ⊂ X thì tập X \ B được gọi là phần bù của B trong X và

được ký hiệu là B

CX . Nếu tập X cố định và không sợ nhầm lẫn thì ta ký hiệu B thay cho

CX .

Ta có thể minh hoạ các phép toán trên bằng giản đồ Ven:

A∩ B A∪ B B

Áp dụng lôgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại các tính chất sau:

1. A∪ B = B ∪ A,

A∩ B = B ∩ A tính giao hoán.

2. A∪(B ∪C) = (A∪ B) ∪C ,

A∩(B ∩C) = (A∩ B) ∩C tính kết hợp.

3. A∪(B ∩C) = (A∪ B) ∩ (A∪C) ,

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

A∩(B ∪C) = (A∩ B) ∪ (A∩C) tính phân bố.

Giả sử A,B là hai tập con của X thì:

4. A = A; A∪φ = A; A∩ X = A

5. A∪ A = X; A∩ A =φ

6. A∪ B = A∩ B; A∩ B = A∪ B luật De Morgan

7. ( ) A B

A B A B A A B A A B CA\ = ∩ = ∩ ∩ = \ ( ∩ ) = ∩ .

1.2.5 Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại

Giả sử S(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập D có miền đúng

DS(x) = {x∈DS(x)}. Khi đó:

a) Mệnh đề ∀x∈D, S(x) (đọc là với mọi x∈D, S(x) ) là một mệnh đề đúng nếu

DS(x) = D và sai trong trường hợp ngược lại.

Ký hiệu ∀(đọc là với mọi) được gọi là lượng từ phổ biến.

Khi D đã xác định thì ta thường viết tắt ∀x, S(x) hay (∀x), S(x).

b) Mệnh đề ∃x∈D, S(x) (đọc là tồn tại x∈D, S(x) ) là một mệnh đề đúng nếu

DS(x) ≠φ và sai trong trường hợp ngược lại.

Ký hiệu ∃(đọc là tồn tại) được gọi là lượng từ tồn tại.

Để chứng minh một mệnh đề với lượng từ phổ biến là đúng thì ta phải chứng minh đúng

trong mọi trường hợp, còn với mệnh đề tồn tại ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp đúng.

c) Người ta mở rộng khái niệm lượng tử tồn tại với ký hiệu ∃!x∈D, S(x) (đọc là tồn tại

duy nhất x∈D, S(x) ) nếu DS(x) có đúng một phần tử.

d) Phép phủ định lượng từ

∀x∈D, S(x) ⇔ (∃x∈D, S(x))

∃x∈D, S(x) ⇔ (∀x∈D, S(x)) (1.1)

Ví dụ 1.4: Theo định nghĩa của giới hạn

= ⇔∀ε > ∃δ > ∀ < − <δ ⇒ − <ε

→

f x L x x a f x L

x a

lim ( ) 0, 0; : 0 ( ) .

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Sử dụng tính chất hằng đúng ( p⇒q) ≡ ( p ∨ q) (xem tính chất 1.3) ta có

0 < x − a <δ ⇒ f (x) − L <ε tương đương với

(( x − a ≥δ ) ∨ (x = a))∨ ( f (x) − L <ε ).

Vậy phủ định của f x L là

x a

→

lim ( )

∃ε > 0, ∀δ > 0;∃x : (0 < x − a <δ )∧ ( f (x) − L ≥ε ).

1.2.6 Phép hợp và giao suy rộng

Giả sử ( ) là một họ các tập hợp. Ta định nghĩa là tập gồm các phần tử thuộc

ít nhất một tập nào đó và là tập gồm các phần tử thuộc mọi tập .

Ai i∈I U

i I

∈

Ai I

i I

∈

Vậy ( ) ( ) 0 x∈ i I Ai ⇔ ∃i0 ∈I; x∈ Ai U ∈

(x∈ i I Ai )⇔ (∀i∈I x∈ Ai ) I ∈ ; . (1.2)

Ví dụ 1.5: An = {x∈􀀖 0 ≤ x ≤ n (n +1)}

Bn = {x∈􀀖 −1 (n +1) ≤ x <1+1 (n +1)}

[0; 1)

∞

= Un

n A , [0; 1]

∞

= In

n B .

1.2.7 Quan hệ

1.2.7.1 Tích Đề các của các tập hợp

Định nghĩa 1.4: Tích Đề các của hai tập X , Y là tập, ký hiệu X ×Y , gồm các phần tử có

dạng (x, y) trong đó x∈ X và y∈Y .

Vậy X ×Y = {(x, y) x∈ X vμ y∈Y}. (1.3)

Ví dụ 1.6: X = {a,b,c}, Y = {1,2}

X ×Y = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}

Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu X có n phần tử, Y có m phần tử thì X ×Y có

n×m phần tử.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Cho là n tập hợp nào đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích Đề các của n tập

hợp này như sau:

X1, X2,..., Xn

X1 × X2 ×...× Xn = {(x1, x2,..., xn ) xi ∈ Xi , i =1,2,..., n}. (1.4)

Chú ý 1.1:

1. Khi X1 = ... = Xn = X thì ta ký hiệu X n thay cho 14243

n lÇn

X ×...× X .

2. Tích Đề các X1 × X2 ×...× Xn còn được ký hiệu Πi∈I Xi .

3. Giả sử (x1,..., xn )∈ X1 ×...× Xn ; (x'1 ,..., x'n )∈ X1 ×...× Xn thì

(x1,..., xn ) = (x'1 ,..., x'n ) ⇔ xi = x'i ,∀i = 1,..., n

4. Tích Đề các của các tập hợp không có tính giao hoán.

1.2.7.2 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 1.5: Cho tập X ≠φ , mỗi tập con R ⊂ X × X được gọi là một quan hệ hai

ngôi trên X . Với x, y∈ X mà (x, y)∈R ta nói x có quan hệ với y theo quan hệ R và ta

viết xRy .

Ví dụ 1.7: Ta xét các quan hệ sau trên tập các số:

R1 : xR1y⇔ xM y (x chia hết cho y) , ∀x, y∈􀂲

R2 : xR2 y⇔(x, y) =1 (x và y nguyên tố cùng nhau) ∀x, y∈􀀜

R3 : xR3 y⇔ x ≤ y (x nhỏ hơn hay bằng y) ∀x, y∈􀀖

R4 : xR4 y⇔ x − yMm, ∀x, y∈􀀜. Ta ký hiệu x ≡ y(modm) và đọc là

x đồng dư với y môđulô m.

Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là có tính:

a) Phản xạ, nếu xRx, ∀x∈ X ;

b) Đối xứng, nếu ∀x, y∈ X mà xRy thì cũng có yRx ;

c) Bắc cầu, nếu ∀x, y, z∈ X mà xRy và yRz thì cũng có xRz ;

d) Phản đối xứng, nếu ∀x, y∈ X mà xRy và yRx thì x = y .

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.8: R1 phản đối xứng, bắc cầu nhưng không đối xứng, không phản xạ (vì 0 không

chia hết cho 0). R2 đối xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu. R3 phản xạ,

phản đối xứng, bắc cầu. R4 phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

1.2.7.3 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên X ≠φ được gọi là quan hệ tương đương nếu có

ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

Với quan hệ tương đương R ta thường viết x ~ y(R) hoặc x ~ y thay cho xRy .

Ta định nghĩa và ký hiệu lớp tương đương của phần tử x∈ X là tập hợp

x = {y∈ X y ~ x}. Mỗi phần tử bất kỳ của lớp tương đương x được gọi là phần tử đại diện

của x . Người ta cũng ký hiệu lớp tương đương của x là cl(x).

Hai lớp tương đương bất kỳ thì hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau, nghĩa là x ∩ x'

hoặc bằng x = x' hoặc bằng φ , nói cách khác các lớp tương đương tạo thành một phân hoạch

các tập con của X.

Tập tất cả các lớp tương đương được gọi là tập hợp thương, ký hiệu X ~ . Vậy

X ~ = {x x∈ X}.

Ví dụ 1.9: Quan hệ R4 trong ví dụ 1.7 là một quan hệ tương đương gọi là quan hệ đồng

dư môđulô m trên tập các số nguyên 􀀜. Nếu x ~ y , ta viết

x ≡ y(modm) .

Ta ký hiệu tập thương gồm m số đồng dư môđulô m:

􀀜m = {0, 1,..., m −1}.

Ví dụ 1.10: Trong tập hợp các véc tơ tự do trong không gian thì quan hệ "véc tơ ur

bằng

véc tơ vr

" là một quan hệ tương đương. Nếu ta chọn gốc O cố định thì mỗi lớp tương đương bất

kỳ đều có thể chọn véc tơ đại diện dạng OA.

1.2.7.4 Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên X ≠φ được gọi là quan hệ thứ tự nếu có ba

tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.

Ví dụ 1.11:

1) Trong 􀂲, 􀀜, 􀀴, 􀀖 quan hệ " x ≤ y" là một quan hệ thứ tự.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

2) Trong 􀂲 quan hệ "xM y" là một quan hệ thứ tự.

3) Trong P(X ) , tập hợp tất cả các tập con của X , quan hệ "tập con" ( A ⊂ B) là một

quan hệ thứ tự.

Khái niệm quan hệ thứ tự được khái quát hoá từ khái niệm lớn hơn (hay đứng sau) trong

các tập số, vì vậy theo thói quen người ta cũng dùng ký hiệu "≤" cho quan hệ thứ tự bất kỳ.

Quan hệ thứ tự "≤" trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai phần tử bất

kỳ của X đều so sánh được với nhau. Nghĩa là với mọi x, y∈ X thì x ≤ y hoặc y ≤ x . Quan

hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

Tập X với quan hệ thứ tự "≤" được gọi là tập được sắp. Nếu là quan hệ thứ tự

toàn phần thì

"≤"

X được gọi là tập được sắp toàn phần hay sắp tuyến tính.

Ví dụ 1.12: Các tập ( 􀂲,≤), (􀀜,≤), (􀀴,≤), (􀀖,≤) được sắp toàn phần, còn ( 􀂲,M) và

(P(X ),⊂) được sắp bộ phận (nếu X có nhiều hơn 1 phần tử).

Định nghĩa 1.9: Cho tập được sắp (X ,≤) và tập con A ⊂ X . Tập A được gọi là bị chặn

trên nếu tồn tại q∈ X sao cho a ≤ q , với mọi a∈ A. Khi đó q được gọi là một chặn trên của A.

Hiển nhiên rằng nếu q là một chặn trên của A thì mọi p∈ X mà q ≤ p đều là chặn

trên của A.

Phần tử chặn trên nhỏ nhất q của A ( theo nghĩa q ≤ q', với mọi chặn trên q' của A)

được gọi là cận trên của A và được ký hiệu q = sup A. Rõ ràng phần tử cận trên nếu tồn tại là

duy nhất.

Tương tự tập A được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại p∈ X sao cho p ≤ a, với mọi

a∈ A. Phần tử chặn dưới lớn nhất được gọi là cận dưới của A và được ký hiệu inf A. Cận

dưới nếu tồn tại cũng duy nhất.

Nói chung sup A, inf A chưa chắc là phần tử của A. Nếu q = sup A∈ A thì q

được gọi là phần tử lớn nhất của A ký hiệu q = max A.

Tương tự nếu p = inf A∈ A thì p được gọi là phần tử bé nhất của A ký hiệu

p = min A.

Ví dụ 1.13: Trong (􀀖,≤) , tập A = [0;1)= {x∈􀀖 0 ≤ x <1} có

1= sup A∉ A, inf A = 0∈ A

do đó không tồn tại max A nhưng tồn tại min A = inf A = 0 .

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.3 ÁNH XẠ

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ

Khái niệm ánh xạ được khái quát hoá từ khái niệm hàm số trong đó hàm số thường được

cho dưới dạng công thức tính giá trị của hàm số phụ thuộc vào biến số. Chẳng hạn, hàm số

y = 2x với x∈􀂲 là quy luật cho ứng

0a0,1a2, 2a4,3a6,...

Ta có thể định nghĩa ánh xạ một cách trực quan như sau:

Định nghĩa 1.10: Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho tương ứng mỗi một

phần tử x∈ X với một phần tử duy nhất y = f (x) của Y .

Ta ký hiệu hay Y X f ⎯→ ⎯ : Y X f⎯⎯→

xa y = f (x) xa y = f (x)

X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.

Ví dụ 1.14:

X Y X Y X Y

Trong 3 tương ứng trên chỉ có tương ứng thứ 3 xác định một ánh xạ từ X vào Y .

Ví dụ 1.15: Mỗi hàm số y = f (x) bất kỳ có thể được xem là ánh xạ từ tập D là miền

xác định của y = f (x) vào 􀀖. Chẳng hạn:

Hàm lôgarit y = ln x là ánh xạ 􀀖+ →􀀖

ln : *

xa y = ln x

Hàm căn bậc hai y = x là ánh xạ :􀀖+ →􀀖

xa y = x .

Định nghĩa 1.11: Cho ánh xạ f : X →Y và A⊂ X , B ⊂Y .

f (A) = {f (x) x∈ A} (1.5)

•

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

được gọi là ảnh của A qua ánh xạ f .

Nói riêng f (X ) = Im f được gọi là tập ảnh hay tập giá trị của f .

f −1(B) = {x∈ X f (x)∈ B} (1.6)

được gọi là nghịch ảnh của tập con B của Y .

Khi B là tập hợp chỉ có một phần tử { } y thì ta viết ) ( 1 y f − thay cho . Vậy { } (y

f −1 )

f −1( y) = {x∈ X y = f (x)}. (1.7)

1.3.2 Phân loại các ánh xạ

Định nghĩa 1.12:

1) Ánh xạ f : X →Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là hai phần

tử phân biệt.

Nghĩa là: Với mọi x1, x2 ∈ X; x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2 ) hay một cách tương đương,

với mọi x1, x2 ∈ X ; .

f (x1) = f (x2 )⇒ x1 = x2 (1.8)

2) Ánh xạ f : X →Y được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của Y là ảnh của phần tử nào

đó của X . Nghĩa là f (X ) = Y hay

∀y∈Y, ∃x∈ X sao cho y = f (x) . (1.9)

3) Ánh xạ f : X →Y vừa đơn ánh vừa toàn ánh được gọi là song ánh.

Chú ý 1.2: Khi ánh xạ f : X →Y được cho dưới dạng công thức xác định ảnh y = f (x)

thì ta có thể xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh của ánh xạ f bằng cách giải phương trình:

y = f (x), y∈Y (1.10)

trong đó ta xem x là ẩn và y là tham biến.

♦ Nếu với mọi y∈Y phương trình (1.10) luôn có nghiệm x∈ X thì ánh xạ f là toàn

ánh.

♦ Nếu với mỗi y∈Y phương trình (1.10) có không quá 1 nghiệm x∈ X thì ánh xạ f

là đơn ánh.

♦ Nếu với mọi y∈Y phương trình (1.10) luôn có duy nhất nghiệm x∈ X thì ánh xạ

f là song ánh.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.16: Cho ánh xạ

Xét phương trình y = f (x) = x(x +1) = x2 + x hay x2 + x − y = 0.

Biệt số Δ =1+ 4y > 0 (vì y∈􀂲). Phương trình luôn có 2 nghiệm thực

x1 = (−1+ 1+ 4y ) 2, x2 = (−1− 1+ 4y ) 2. Vì x2 < 0 nên phương trình có không

quá 1 nghiệm trong 􀂲. Vậy f là đơn ánh. Mặt khác tồn tại y∈􀂲 mà nghiệm 􀂲 (chẳng hạn

), nghĩa là phương trình trên vô nghiệm trong 􀂲. Vậy

x1 ∉

y =1 f không toàn ánh.

Ví dụ 1.17: Các hàm số đơn điệu chặt:

• Đồng biến chặt: x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2 )

• Nghịch biến chặt: x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 )

là các song ánh từ tập xác định lên miền giá trị của nó.

Ví dụ 1.18: Giả sử A là tập con của X thì ánh xạ

là một đơn ánh gọi là nhúng chính tắc.

Đặc biệt khi A = X ánh xạ i được ký hiệu IdX gọi là ánh xạ đồng nhất của X .

Ví dụ 1.19: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương thì ánh xạ sau là một toàn ánh

1.3.3 Ánh xạ ngược của một song ánh

Định nghĩa 1.13: Giả sử f : X →Y là một song ánh khi đó với mỗi y∈Y tồn tại duy

nhất x∈ X sao cho y = f (x) . Như vậy ta có thể xác định một ánh xạ từ Y vào X bằng cách

cho ứng mỗi phần tử y∈Y với phần tử duy nhất x∈ X sao cho y = f (x) . Ánh xạ này được

gọi là ánh xạ ngược của f và được ký hiệu f −1.

Vậy f −1 :Y → X và f −1( y) = x⇔ y = f (x) .

(1.11)

f −1 cũng là một song ánh.

f : 􀂲 → 􀂲

x a y = f (x) = x(x + 1)

x i x x

i A X

→

( )

x p x x

p : X → X

( ) =

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.20: Hàm mũ y = ax , a > 0, a ≠1

là một song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược là hàm lôgarit

y a x a y .

= x ⇔ = log

Ví dụ 1.21 Các hàm lượng giác ngược

Xét hàm

đơn điệu tăng chặt và toàn ánh nên nó là một song ánh. Hàm ngược được ký hiệu

x = arcsin y ⇔ y = sin x , ∀x∈[−1;1], y∈[−π 2;π 2].

Tương tự hàm cos :[0; ]→[−1;1

[ ] [ ]

x x

sin : 2

sin

; 2 1;1

−π π → −

[ ] [ ]

y arcsin y

arcsin : 1;1 2; 2

− → −π π

π ] đơn điệu giảm chặt có hàm ngược

arccos :[−1;1]→[0;π ];

x = arccos y ⇔ y = cos x .

Hàm ngược arctg, arcotg được xác định như sau

x = arctg y ⇔ y = tg x, ∀x∈(− ∞;∞), y∈(−π 2;π 2).

x = arccot g y ⇔ y = cot g x, ∀x∈(− ∞;∞), y∈(0;π ).

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ

Định nghĩa 1.14: Với hai ánh xạ X Y Z

f g

→ → thì tương ứng xa g( f (x)) xác định một

ánh xạ từ X vào Z được gọi là hợp (hay tích) của hai ánh xạ f và g , ký hiệu g o f . Vậy

g o f : X →Z có công thức xác định ảnh

g o f (x) = g( f (x)) . (1.12)

Ví dụ 1.22: Cho f :􀀖→􀀖 , g :􀀖→􀀖 với công thức xác định ảnh f (x) = sin x,

g(x) = 2x2 + 4. Ta có thể thiết lập hai hàm hợp g o f và f o g từ 􀀖 vào 􀀖.

f o g(x) = sin(2x2 + 4) , g o f (x) = 2sin2 x + 4 .

Qua ví dụ trên ta thấy nói chung f o g ≠ g o f , nghĩa là phép hợp ánh xạ không có tính

giao hoán.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Nếu f : X →Y là một song ánh có ánh xạ ngược f −1 :Y → X , khi đó ta dễ dàng

kiểm chứng rằng f −1 o f = IdX và f o f −1 = IdY . Hơn nữa ta có thể chứng minh được

rằng ánh xạ f : X →Y là một song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ g :Y → X sao cho

g o f = Id X và f o g = IdY , lúc đó g = f −1.

1.3.5 Lực lượng của một tập hợp

Khái niệm lực lượng của tập hợp có thể xem như là sự mở rộng khái niệm số phần tử của

tập hợp.

Định nghĩa 1.15: Hai tập hợp X,Y được gọi là cùng lực lượng nếu tồn tại song ánh từ X

lên Y .

Tập cùng lực lượng với tập {1,2,...,n} được gọi là có lực lượng n . Vậy X có lực lượng

n khi và chỉ khi X có n phần tử. n còn được gọi là bản số của X , ký hiệu Card X hay X .

Quy ước lực lượng của φ là 0.

Định nghĩa 1.16: Tập có lực lượng hoặc 0 được gọi là các tập hữu hạn. Tập không hữu

hạn được gọi là tập vô hạn. Tập có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên 􀂲 hay hữu hạn được gọi

là tập đếm được.

Chú ý 1.3:

1) Tập vô hạn đếm được là tập cùng lực lượng với 􀂲.

2) Bản thân tập 􀂲 là tập vô hạn đếm được.

3) Người ta chứng minh được 􀀜, 􀀴 là tập vô hạn đếm được, còn tập 􀀖 không đếm được.

4) Giả sử X ,Y là hai tập hữu hạn cùng lực lượng. Khi đó ánh xạ f : X →Y là đơn ánh

khi và chỉ khi là toàn ánh, do đó là một song ánh.

1.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON

1.4.1 Hoán vị, phép thế

Cho tập hữu hạn E = {x1, x2,...xn}. Mỗi song ánh từ E lên E được gọi là một phép

thế, còn ảnh của song ánh này được gọi là một hoán vị n phần tử của E.

Nếu ta xếp các phần tử của E theo một thứ tự nào đó thì mỗi hoán vị là một sự đổi chỗ

các phần tử này.

Đặc biệt nếu E = {1,2,...n} thì mỗi phép thế được ký hiệu bởi ma trận

(1.13) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

(1) (2) ... ( )

1 2 ...

σ σ σ

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

trong đó hàng trên là các số từ 1 đến sắp theo thứ tự tăng dần, hàng dưới là ảnh tương

ứng của nó qua song ánh

σ . Còn [σ (1),σ (2),...,σ (n)] là hoán vị của phép thế σ .

Ví dụ 1.23: là hoán vị từ phép thế có [ 3 1 2 4 ] ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

4 2 1 3

1 2 3 4

σ σ (1) = 4,

σ (2) = 2 , σ (3) =1, σ (4) = 3.

Tập hợp {1,2} có hai hoán vị là [1 2] và [2 1].

Tập hợp {1,2,3} có sáu hoán vị là [1 2 3], [2 1 3], [3 1 2], [1 3 2], [2 3 1] và [3 2 1].

Với tập E = {x1, x2 ,..., xn} thì có n cách chọn giá trị σ (x1) , n −1 cách chọn giá trị

σ (x2 ) .... cho một phép thế σ bất kỳ.

Vậy có n(n −1)(n − 2)...1 = n! hoán vị (phép thế) của tập n phần tử.

1.4.2 Chỉnh hợp

Cho tập hợp hữu hạn có n phần tử E = {x1, x2,..., xn} và tập hợp hữu hạn

B = {1,2,..., p}.

Định nghĩa 1.17: Một chỉnh hợp lặp chập p các phần tử của E là ảnh của một ánh xạ từ

B đến E.

Ta cũng có thể xem một chỉnh hợp lặp chập p như một bộ gồm p thành phần là các phần

tử có thể trùng nhau của E. Nói cách khác, một chỉnh hợp lặp chập p là một phần tử của tích

Descartes E p . Vậy số các chỉnh hợp lặp chập p của n vật là n p .

Ví dụ 1.24: Cho n vật E = {x1, x2,..., xn} và tiến hành bốc có hoàn lại p lần theo cách

sau: Bốc lần thứ nhất từ tập E được , ta trả lại cho xi1 xi1 E và bốc tiếp lần thứ hai ... Mỗi kết

quả sau p lần bốc ( ) xi , xi ,..., xi p 1 2 là một chỉnh hợp có lặp n chập p .

Định nghĩa 1.18: Một chỉnh hợp (không lặp) chập p gồm n phần tử của E ( p ≤ n) là

ảnh của một đơn ánh từ B vào E.

Hai chỉnh hợp n chập p là khác nhau nếu:

􀂃 hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau,

􀂃 hoặc gồm p phần tử như nhau nhưng có thứ tự khác nhau.

Như vậy ta có thể xem mỗi chỉnh hợp là một bộ có p thành phần gồm các phần tử khác

nhau của E hay có thể xem như một cách sắp xếp n phần tử của E vào p vị trí.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Có n cách chọn vào vị trí thứ nhất, n −1 cách chọn vào vị trí thứ hai, ... và n − p +1

cách chọn vào vị trí thứ p . Vậy số các chỉnh hợp n chập p là

( )!

( 1)...( 1) !

n p

Ap n n n p n

n −

= − − + = (1.14)

1.4.3 Tổ hợp

Định nghĩa 1.19: Một tổ hợp n vật của E chập p là một cách lấy ra đồng thời p vật từ

E có n vật. Như vậy ta có thể xem một tổ hợp n chập p là một tập con p phần tử của tập có

n phần tử E.

Nếu ta hoán vị p vật của một tổ hợp thì ta có các chỉnh hợp khác nhau của cùng p vật này.

Vậy ứng với một tổ hợp p vật có đúng p! chỉnh hợp của p vật này. Ký hiệu là số các tổ

hợp chập

n p thì

!( )!

! p n p

C A

p n

n −

= = . (1.15)

Ví dụ 1.25: a) Có bao nhiêu cách bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư chi đoàn

mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.

b) Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí

thư chi đoàn mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.

Giải:

a) Mỗi kết quả bầu là một chỉnh hợp 50 chập 3.

Vậy có 3 50 49 48 117.600 cách bầu.

A50 = × × =

b) Mỗi kết quả bầu một ban chấp hành là một tổ hợp 50 chập 3.

Vậy có 19.600

50 49 48

3!47!

3 50!

50 =

× ×

C = = cách bầu.

1.4.4 Nhị thức Niu-tơn

Xét đa thức bậc n : 144424443

n thõa sè

(x +1)n = (x +1)(x +1)...(x +1)

Khai triển đa thức này ta được:

( 1) 2 ... 1

+ = + 1 + + + −

−

x n xn a x a x

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Hệ số của x p bằng số cách chọn p thừa số trong thừa số trên. Mỗi cách chọn là một tổ

hợp chập

n p , do đó p .

a p = Cn

Vậy ( 1) 1 1 ... ... n0

p p

n n

x + n = C x + C − x − + + C x + + C

Thay x = a b (nếu b ≠ 0) ta có:

Σ=

+ = + − − + + = −

p p n p

n n

a b n C a C a b C b C a b

( ) 1 1 ... 0 (1.16)

Công thức này được gọi là nhị thức Niu-tơn, đúng với mọi a,b∈􀀅 (kể cả trường hợp

b = 0).

1.4.5 Sơ lược về phép đếm

Khi muốn đếm số phần tử của các tập hữu hạn ta có thể áp dụng các cách đếm hoán vị,

chỉnh hợp, tổ hợp và các công thức sau:

a) A∪ B + A∩ B = A + B , (công thức cộng) (1.17)

b) A× B = A ⋅ B , (công thức nhân) (1.18)

c) {f : A→ B} = A B , (chỉnh hợp có lặp) (1.19)

d) P (A) = 2 A , (1.20)

e) Nếu f : A→B song ánh thì A = B . (1.21)

Công thức cộng a) thường được sử dụng trong trường hợp đặc biệt khi A, B rời nhau

A∩ B =φ , lúc đó A∪ B = A + B .

Công thức nhân b) có thể mở rộng cho k tập bất kỳ

A1 ×...× Ak = A1 ⋅...⋅ Ak (1.22)

Hoặc nếu một hành động H gồm k giai đoạn A1,..., Ak . Mỗi giai đoạn có thể thực hiện

theo phương án thì cả thảy có

ni n1 ×...× nk phương án thực hiện H.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.26: Cho mạch điện

a) Có bao nhiêu trạng thái của mạch.

b) Có bao nhiêu trạng thái có thể của mạch để có dòng điện chạy từ A đến B

Giải:

Áp dụng công thức nhân ta có:

a) Số các trạng thái của mạch 22.23.24 = 29 = 512 .

b) Ở có trạng thái nhưng có 1 trạng thái dòng điện không qua được, do đó ở

có 3 trạng thái dòng điện qua được. Tương tự ở có

U1 22 U1

U2 2 1 3 − và ở có trạng thái

dòng điện qua được. Vậy số các trạng thái của mạch có dòng điện chạy từ A đến B là

U3 2 1 4 −

3× 7×15 = 315

Ví dụ 1.27: Có bao nhiêu số tự nhiên viết dưới dạng thập phân có chữ số trong

đó có đúng hai chữ số 8.

n (n ≥ 3)

Giải: Giả sử N là số tự nhiên có chữ số mà chữ số thứ nhất bên trái khác chữ số 0 và có

đúng hai chữ số 8.

♦Trường hợp 1: Nếu chữ số thứ nhất bên trái là chữ số 8 thì có n −1 vị trí để đặt chữ số 8

thứ hai, có 9 cách chọn cho mỗi chữ số ở n − 2 vị trí còn lại. Vậy có đúng (n −1)9n−2 số N

thuộc loại này.

♦Trường hợp 2: Nếu chữ số thứ nhất bên trái không phải là chữ số 8 thì có 2

Cn−1 vị

trí để đặt 2 chữ số 8, có 8 cách chọn chữ số cho vị trí thứ nhất, có 9 cách chọn cho mỗi chữ

số ở n − 3 vị trí khác vị trí thứ nhất và hai vị trí đã chọn cho chữ số 8. Vậy có đúng

2 3 3

1 8 9

8 9 − ( 1)( 2) −

− ⋅ ⋅

− −

⋅ ⋅ n = n

C n n số N thuộc loại này.

Sử dụng công thức cộng ta suy ra số các số tự nhiên cần tìm là:

(n −1)9n−2 + 4(n −1)(n − 2)9n−3 = (4n +1)(n −1)9n−3

A B

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.28: Trong mặt phẳng cho đường thẳng đôi một cắt nhau và các giao điểm này

khác nhau .

(n ≥ 4)

a) Tìm số các giao điểm của chúng.

b) Tìm số các đường thẳng mới được tạo bởi các giao điểm trên.

Giải:

a) Số các giao điểm của đường thẳng bằng số các cặp của đường thẳng này. Vậy có

giao điểm.

n n

b) Xét tại điểm A bất kỳ trong giao điểm của câu a). Tồn tại đúng hai đường trong n

đường trên đi qua

A là Di ,Dj ;i < j .

Trên mỗi đường có đúng n −1 điểm trong số 2 giao điểm của câu a).

Vậy trên Di ,Dj có 2(n −1) −1điểm, do đó có

2 (2( 1) 1) ( − 2)( − 3)

Cn − n − − = n n đường thẳng mới nối đến A. Vì mỗi đường

thẳng mới đều nối hai điểm ở câu a) nên số đường thẳng mới là:

( 1)( 2)( 3)

( 2)( 3)

1 2 = − − −

− − Cn n n n n n n .

Ví dụ 1.29: Cho tập con A có p phần tử của tập E có n phần tử. Hãy đếm số các cặp

(X ,Y) các tập con của E sao cho:

j D

n = 4

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

X ∪Y = E, X ∩Y ⊃ A (1.23)

Giải: Ký hiệu B = E \ A.

Đặt A = {(X ,Y ) X ∪Y = E, X ∩Y ⊃ A}

B = {(X ',Y') X '⊂ B,Y'⊂ B; X '∪Y'= B }

Tương ứng f : A → B; f (X ,Y)a(X ∩ B,Y ∩ B) là một song ánh.

Mặt khác X '⊂ B,Y'⊂ B, X '∪Y'= B⇔B \ X '⊂Y'.

Vậy số các cặp (X ,Y) thoả mãn điều kiện (1.23) cần tìm bằng bản số của tập

{(X",Y') X"⊂ B,Y'⊂ B, X"⊂ Y'}.

Với mỗi tập Y'⊂ B có bản số y' thì bản số của tập {X" X"⊂Y'} là ; Số các tập

con

2y'

Y'⊂ B có phần tử là . Áp dụng công thức cộng suy ra bản số cần tìm là

y' y'

Cn− p

Σ −

−

− =

n p

y n p

n p

y C

' 0

2 ' ' 3

1.5 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.5.1 Luật hợp thành trong

Định nghĩa 1.20: Một luật hợp thành trong trên tập X ≠φ là ánh xạ từ X × X vào X .

Ta thường ký hiệu *: X × X → X

(x, y)a x * y

Luật hợp thành trong kết hợp hai phần tử x, y của X thành một phần tử x ∗ y của X vì

vậy luật hợp thành trong còn được gọi là phép toán hai ngôi.

Ví dụ 1.30: Phép cộng và phép nhân là các luật hợp thành trong của các tập số 􀂲, 􀀜, 􀀴, 􀀖,

􀀅.

Ví dụ 1.31: Phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành là phép toán trong của tập

các véc tơ tự do trong không gian, nhưng tích vô hướng không phải là phép toán trong vì

u ⋅ v = u ⋅ v cos(u, v)∉R3 r r r r r r

Định nghĩa 1.21: Luật hợp thành trong * của tập X được gọi là:

1) Có tính kết hợp nếu ∀x, y, z∈ X : x ∗ ( y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

2) Có tính giao hoán nếu ∀x, y∈ X : x ∗ y = y ∗ x

3) Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơn vị) là e∈ X nếu

∀x∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x

4) Giả sử * có phần tử trung hoà e∈ X . Phần tử x'∈ X được gọi là phần tử đối xứng

của x∈ X nếu x ∗ x'= x'∗x = e .

Ta dễ dàng thấy rằng phần tử trung hoà có phần tử đối xứng là chính nó.

Các phép hợp thành trong hai ví dụ trên đều có tính kết hợp và giao hoán. Số 0 là phần tử

trung hoà đối với phép cộng và 1 là phần tử trung hoà đối với phép nhân trong. Véc tơ

là phần

tử trung hoà của phép toán cộng véc tơ trong . Đối với phép cộng thì mọi phần tử

R3 x trong 􀀜,

􀀴, 􀀖, 􀀅 đều có phần tử đối là − x . Phần tử đối của x ≠ 0 ứng với phép nhân trong 􀀴, 􀀖, 􀀅 là

1 x , nhưng mọi phần tử khác 0 trong 􀂲 với phép + không có phần tử đối.

Tính chất 1.4:

1) Phần tử trung hoà nếu tồn tại là duy nhất.

2) Nếu * có tính kết hợp, thì phần tử đối của mỗi phần tử là duy nhất.

3) Nếu * có tính kết hợp và phần tử a có phần tử đối thì có luật giản ước:

a ∗ x = a ∗ y⇒x = y và phương trình a ∗ x = b có duy nhất nghiệm x = a'∗b với ' là

phần tử đối của .

Chứng minh:

1) Giả sử e và e' là hai phần tử trung hoà thì e'= e'∗e = e (dấu "=" thứ nhất có được do

e là phần tử trung hoà, còn dấu "=" thứ hai là do e' là phần tử trung hoà).

2) Giả sử a có hai phần tử đối xứng là a' và a", khi đó:

a'= e ∗ a'= (a"∗a) ∗ a'= a"∗(a ∗ a') = a"∗e = a" .

Theo thói quen ta thường ký hiệu các luật hợp thành trong có tính giao hoán bởi dấu "+",

khi đó phần tử trung hoà được ký hiệu là 0 và phần tử đối của x là − x . Nếu ký hiệu luật hợp

thành bởi dấu nhân "." thì phần tử trung hoà được ký hiệu 1 và gọi là phần tử đơn vị, phần tử đối

của x là x−1.

1.5.2 Nhóm

Định nghĩa 1.22: Giả sử là tập khác trống với luật hợp thành *, cặp được gọi là

một vị nhóm nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

G (G,*)

G1: * có tính kết hợp.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

G2: * có phần tử trung hoà e .

Vị nhóm (G,*) là một nhóm nếu thoả mãn thêm điều kiện:

G3: Mọi phần tử của G đều có phần tử đối.

Nhóm (G,*) được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu :

G4: * có tính giao hoán.

Ví dụ 1.32: (􀀜,+) , (􀀴,+) , (􀀖,+) , (􀀅,+) , (R3,+) , (􀀴*,⋅) , (􀀖*,⋅) , (􀀴*+ ,⋅) ,

(􀀖*+ ,⋅) , (􀀅*,⋅) là các nhóm Abel.

Chú ý 1.5: Một nhóm là tập khác rỗng với luật hợp thành * thoả mãn G1, G2, G3,

nhưng nếu * đã xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta nói tắt nhóm G thay cho nhóm .

(G,*)

Định nghĩa 1.23: Đồng cấu nhóm từ nhóm (G,*) vào nhóm (G',􀀀) là ánh xạ f :G→G'

sao cho

∀x, y∈G: f (x ∗ y) = f (x)􀀀f ( y) . (1.24)

Nếu f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu, một

cách tương ứng).

loga :􀀖*+ →􀀖 ; 0 < a ≠1 là một đẳng cấu nhóm từ nhóm (􀀖*+ ,⋅) lên nhóm (􀀖,+) .

1.5.3 Vành

Định nghĩa 1.24: Giả sử trên tập A ≠φ có hai luật hợp thành trong ký hiệu bởi dấu cộng

và dấu nhân, khi đó (A,+,⋅) được gọi là một vành nếu:

A1: (A,+) là một nhóm Abel,

A2: Luật nhân có tính kết hợp,

A3: Luật nhân có tính phân phối hai phía đối với luật cộng, nghĩa là:

∀x, y, z∈ A: x ⋅ ( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z phân phối bên trái

∀x, y, z∈ A: (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z phân phối bên phải

Nếu thoả mãn thêm điều kiện:

A4: Luật nhân có tính giao hoán thì (A,+,⋅) là vành giao hoán.

A5: Luật nhân có phần tử đơn vị là 1 thì (A,+,⋅) là vành có đơn vị.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Chú ý 1.6:

1) Tồn tại vành giao hoán nhưng không có đơn vị và ngược lại.

2) Ta nói tắt vành A thay cho vành (A,+,⋅) .

Định nghĩa 1.25:

1) Phần tử x ≠ 0 của A được gọi là ước của 0 nếu tồn tại y∈ A, y ≠ 0 sao cho

x ⋅ y = 0 (0 là phần tử trung hoà của luật cộng của vành (A,+,⋅) ).

2) Vành không có ước của 0 được gọi là vành nguyên.

Vậy vành (A,+,⋅) là vành nguyên khi và chỉ khi mọi x, y∈ A sao cho x ⋅ y = 0 thì

x = 0 hoặc y = 0 .

Ví dụ 1.33:

1) (􀀜,+,⋅) là một vành nguyên.

2) Ký hiệu là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn . Ta định nghĩa phép cộng

và phép nhân trong xác định như sau:

C[a;b] [a;b]

C[a;b]

∀f , g ∈C[a;b] : ( f + g)(x) = f (x) + g(x); fg(x) = f (x)g(x)

Ta có thể kiểm chứng được rằng với hai phép toán này thì là một vành giao hoán có

đơn vị và có ước của 0.

C[a;b]

3) (K[x],+,⋅) là một vành nguyên, trong đó K[x] là tập các đa thức của biến x có hệ số

thuộc vào vành số K = 􀀜,􀀴,􀀖,􀀅.

4) Tập 􀀜n = 􀀜 mod n các số đồng dư môđulô n .

Ta có thể chứng minh được rằng nếu x ≡ x'(modn) , y ≡ y'(mod n) thì

x + y ≡ x'+ y'(mod n) và xy ≡ x' y'(mod n) . Vì vậy ta có thể định nghĩa phép cộng và phép

nhân trong 􀀜n bởi:

x + y = x + y và x ⋅ y = x ⋅ y (1.25)

Chẳng hạn 5(mod 7) + 4(mod 7) = 2(mod 7)

5(mod 7) ⋅ 4(mod 7) = −1(mod 7) = 6(mod 7) .

Với hai phép toán này ( ,+,⋅) 􀀜n là một vành giao hoán có đơn vị.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.5.4 Trường

Định nghĩa 1.26: Vành giao hoán có đơn vị (K,+,⋅) được gọi là một trường nếu mọi phần

tử x ≠ 0 của K đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân). Nghĩa là:

K1: (K,+) là nhóm Abel,

K2: (K*,⋅) là nhóm Abel, K* = K \ {0},

K3: Luật nhân phân phối đối với luật cộng.

Rõ ràng rằng mọi trường là vành nguyên, nhưng điều ngược lại không đúng. (􀀜,+,⋅) là

một ví dụ về vành giao hoán nguyên có đơn vị nhưng không phải là trường.

Ví dụ 1.34: (􀀴,+,⋅) , (􀀖,+,⋅) , (􀀅,+,⋅) là trường.

Ví dụ 1.35: (􀀜n,+,⋅) là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

Giải:

Giả sử n là số nguyên tố và m ∈􀀜n , m ≠ 0(modn) thì do đó tồn tại hai

số nguyên sao cho (Định lý Bezout)

(m,n) =1

u,v um + vn =1 ⇒u ⋅m = 1(modn) . Vậy u là phần

tử nghịch đảo của m .

Ngược lại, nếu 􀀜n là trường thì với mọi m∈􀀜 (0 < m < n) tồn tại m'∈􀀜 sao cho:

m ⋅m'= 1 ⇒ mm'=1+ kn ⇒ (m,n) =1

Vậy n là số nguyên tố.

1.6 ĐẠI SỐ BOOLE

Lý thuyết đại số Boole được George Boole (1815 - 1864) giới thiệu vào năm 1854 trong bài

báo "Các quy luật của tư duy", trong đó kỹ thuật đại số được dùng để phân tích các quy luật của

lôgích và các phương pháp suy diễn. Sau đó đại số Boole được áp dụng trong các lĩnh vực khác

nhau của toán học như đại số, giải tích, xác suất... Vào khoảng năm 1938, Claude Shannon (Clau

Sê-nôn) ( một kỹ sư viễn thông người Mỹ) là người đầu tiên đã áp dụng đại số Boole vào lĩnh vực

máy tính điện tử và lý thuyết mạng.

1.6.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại số Boole

Định nghĩa 1.27: Một đại số Boole (B,∨,∧, ') là một tập khác trống B với hai phép toán

hai ngôi ∨,∧ : B× B→B

và phép toán một ngôi ': B→ B thoả mãn các tiên đề sau:

• B1: ∨,∧ có tính kết hợp, nghĩa là với mọi a,b,c∈B

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

• B2: ∨,∧ có tính giao hoán, nghĩa là với mọi a,b∈B

a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a

• B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơn vị 0,1∈B sao cho 0 ≠ 1 và với mọi

a∈B a ∨ 0 = a, a ∧1 = a

• B4: Với mọi a∈B thì a'∈B là phần tử đối theo nghĩa là:

a ∨ a'=1, a ∧ a'= 0

• B5: Luật ∨ phân phối đối với luật ∧ và luật ∧ phân phối đối với luật , nghĩa là với

mọi

∨

a,b,c∈B

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) .

Ví dụ 1.36: Giả sử X ≠φ , xét P (X ) là tập các tập con của X . Các luật hợp thành

∨,∧ là phép hợp, phép giao các tập con của X và phép toán một ngôi ' là phép lấy phần bù của

tập con trong X . Khi đó (P (X ),∪,∩, ') là đại số Boole với phần tử không là φ và phần tử

đơn vị là chính tập X .

Ví dụ 1.37: Xét B2 = {0;1} tập gồm hai số 0 và 1. Ta định nghĩa:

a ∨ b = max(a,b) , a ∧ b = min(a,b) , a'= 1− a

thì ( 2 , , ,') là một đại số Boole. B ∨ ∧

Ví dụ 1.38: Xét , ta định nghĩa các phép toán {b

B4 = 0;1;a; }

b b b

a a a

a b

1 1

1 1 1 1 1

0 0 1

∨ 0 1

b b b

a a a

a b

0 0

1 0 1

0 0 0 0 0

∧ 0 1

b a

a b

1 0

0 1

thì (B4,∨,∧, ') là đại số Boole.

Định nghĩa 1.28: Hai công thức Boole trong đại số Boole (B,∨,∧, ') được gọi là đối ngẫu

nếu trong một công thức ta thay ∨,∧,0,1, bằng ∧,∨,1,0 thì ta được công thức hai.

Ví dụ 1.39: Hai công thức x ∧ ( y ∨1) và x ∨ ( y ∧ 0) là đối ngẫu.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Trong mỗi tiên đề của hệ tiên đề B1-B5 của đại số Boole đều chứa từng cặp công thức đối

ngẫu nhau, vì vậy ta có nguyên lý đối ngẫu sau:

Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole được chứng minh là đúng dựa

trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.

Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh a ∨1 =1, do đó theo nguyên lý đối ngẫu ta cũng có

a ∧ 0 = 0 .

Tính chất 1.7: Giả sử (B,∨,∧,') là đại số Boole với phần tử không và đơn vị là thì

với mọi

0, 1

a,b∈B ta có:

1) a ∨ a = a , a ∧ a = a ;

2) 0'=1, 1'= 0 ;

3) a ∨1 =1, a ∧ 0 = 0 ;

4) a ∨ (a ∧ b) = a , a ∧ (a ∨ b) = a ; (tính hấp thu)

5) Nếu tồn tại c∈B sao cho a ∨ c = b ∨ c và a ∧ c = b ∧ c thì a = b ;

6) Nếu a ∨ b = 1 và a ∧ b = 0 thì b = a'; (tính duy nhất của phần bù)

7) (a ∨ b)'= a'∧b' và (a ∧ b)'= a'∨b' . (công thức De Morgan)

Chứng minh:

Theo nguyên lý đối ngẫu ta chỉ cần chứng minh các đẳng thức thứ nhất từ 1)-7).

1) a = a ∨ 0 theo B3

= a ∨ (a ∧ a') theo B4

= (a ∨ a) ∧ (a ∨ a') theo B5

= (a ∨ a) ∧1 theo B4

= a ∨ a theo B3

2) 0'= 0'∨0 theo B3

=1 theo B2,B4

3) a ∨1 = a ∨ (a ∨ a') theo B4

= (a ∨ a) ∨ a' theo B1

= a ∨ a' theo 1)

=1 theo B4

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

4) a ∨ (a ∧ b) = (a ∧1) ∨ (a ∧ b) theo B3

= a ∧ (1∨ b) theo B5

= a ∧1 theo 1)

= a theo B3

5) a = a ∨ (a ∧ c) theo 4)

= a ∨ (b ∧ c) vì a ∧ c = b ∧ c

= (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) theo B5

= (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) vì a ∨ c = b ∨ c

= b ∨ (a ∧ c) theo B5

= b ∨ (b ∧ c) vì a ∧ c = b ∧ c

= b theo 4)

6) Vì a ∨ b =1 = a ∨ a' và a ∧ b = 0 = a ∧ a', theo 5) suy ra b = a' .

7) Ta dễ dàng kiểm chứng (a ∨ b) ∨ (a'∧b') = 1 và (a ∨ b) ∧ (a'∧b') = 0, áp dụng 6)

suy ra điều phải chứng minh.

Áp dụng các tính chất này cùng với hệ tiên đề B1-B5 ta có thể đơn giản hoá các công thức

Boole bất kỳ.

Ví dụ 1.40: Đơn giản hoá công thức Boole (x ∧ y) ∨ (x ∧ y') ∨ (x'∨y) .

Giải:

Ta có (x ∧ y) ∨ (x ∧ y') = x ∧ ( y ∨ y') = x ∧1 = x .

⇒ (x ∧ y) ∨ (x ∧ y') ∨ (x'∨y)

= x ∨ (x'∨y) = (x ∨ x') ∨ y =1∨ y =1.

Ví dụ 1.41: Đơn giản hoá công thức Boole (x ∧ y') ∨ [x ∧ ( y ∧ z)']∨ z .

Giải:

Ta có (x ∧ y') ∨ [x ∧ ( y ∧ z)']∨ z

= (x ∧ y') ∨ [(x ∧ y') ∨ (x ∧ z')]∨ z

= (x ∧ y') ∨ (x ∧ z') ∨ z = (x ∧ y') ∨ [(x ∨ z) ∧ (z'∨z)]

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

= (x ∧ y') ∨ [(x ∨ z) ∧1]

= (x ∧ y') ∨ (x ∨ z) = [(x ∧ y') ∨ x]∨ z = x ∨ z .

Ví dụ 1.42: Đơn giản công thức (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z') ∨ (x'∧y ∧ z)

Giải: Ta có (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z') ∨ (x'∧y ∧ z)

= [(x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z')]∨ [(x ∧ y ∧ z) ∨ (x'∧y ∧ z)]

= [(x ∧ y) ∧ (z ∨ z')]∨ [( y ∧ z) ∧ (x ∨ x')]

= (x ∧ y) ∨ ( y ∧ z) = y ∧ (x ∨ z) .

x y

1.6.2 Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch (switching networks)

Ta chỉ xét các mạng gồm các chuyển mạch có hai trạng thái đóng (dòng điện đi qua được)

và mở (dòng điện không qua được). Hai mạng đơn giản nhất là mạng song song cơ bản (basic

parallel network) và mạng nối tiếp cơ bản (basic series network) được mô tả trong hình vẽ sau:

• • • •

mạng song song cơ bản (hình 1) mạng nối tiếp cơ bản (hình 2)

Một mạng bất kỳ có thể nhận được bằng cách ghép nối tiếp hay song song các mạng cơ bản

này.

Ta ký hiệu các chuyển mạch bởi các chữ x, y, z,.... Nếu x ở trạng thái mở ta x cho nhận

giá trị 0 và ở trạng thái đóng ta cho x nhận giá trị 1. Trong một mạng nếu hai chuyển mạch luôn

cùng trạng thái thì ta ký hiệu cùng một chữ. Hai chuyển mạch có trạng thái luôn ngược nhau, nếu

một chuyển mạch được ký hiệu là x thì chuyển mạch kia được ký hiệu là x'.

Mạng song song (hình 1) nhận giá trị 1 khi có ít nhất một trong hai chuyển mạch x, y nhận

giá trị 1, ta ký hiệu x ∨ y . Còn mạng nối tiếp (hình 2) nhận giá trị 1 khi cả hai chuyển mạch

x, y nhận giá trị 1, ta ký hiệu x ∧ y . Như vậy x', x ∨ y, x ∧ y có thể được xem như các biến

nhận giá trị trong đại số Boole B2 (ví dụ 1.37). Bằng phương pháp này ta có thể mô tả một mạng

bất kỳ bởi một công thức Boole và ngược lại. Chẳng hạn mạng sau đây:

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

tương ứng với công thức ( y ∨ z) ∨ (x ∧ y').

Còn công thức Boole (x ∧ z) ∨ ( y ∧ z) ∨ ( y'∧x) mô tả mạng:

Chú ý rằng trong các công thức cần xét ta thay (x ∨ y)' bởi x'∧y' và (x ∧ y)' bởi

x'∨ y' .

Hai mạng N1 và N2 được gọi là tương đương nếu nó thực hiện cùng một chức năng, nghĩa

là với bất kỳ cách chọn các trạng thái đóng mở ở mọi vị trí chuyển mạch trong mạng thì trạng thái

đầu vào và đầu ra của N1 và N2 đều như nhau.

Ta có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết hai vấn đề sau:

x y'

• z •

y' x

x z

y z

1.6.3 Với một mạng cho trước tìm mạng tương đương đơn giản hơn

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau

• •

Công thức Boole tương ứng: [(x ∨ z) ∧ y]∨ [((x ∧ w) ∨ w)∧ y].

x w

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ta có (x ∧ w) ∨ w = w (luật hấp thu), do đó công thức trên có thể biến đổi thành

[(x ∨ z) ∧ y]∨ [w ∧ y] = (x ∨ z ∨ w) ∧ y .

Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn

• •

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau:

• •

Công thức Boole tương ứng: [(z ∧ x) ∨ (x ∧ ( y ∨ z'))]∧ (z ∨ x) ∧ (z ∨ y) .

Ta có [(z ∧ x) ∨ (x ∧ ( y ∨ z'))]∧ (z ∨ x) ∧ (z ∨ y)

= [(z ∧ x) ∨ ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z'))]∧ [z ∨ (x ∧ y)]

= [(x ∧ (z ∧ z'))∨ (x ∧ y)]∧ [z ∨ (x ∧ y)]

= x ∧ [z ∨ (x ∧ y)] = (x ∧ z) ∨ [x ∧ (x ∧ y)]

= (x ∧ z) ∨ (x ∧ y) = x ∧ (z ∨ y)

Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn

• •

z y

z x

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.6.4 Thiết kế một mạng thoả mãn các điều kiện cho trước

Ví dụ 1.45: Thiết kế một mạng điện cho một bóng đèn ở cầu thang mà có thể bật tắt ở cả hai

đầu cầu thang.

Giải:

Gọi x và là hai công tắc ở hai đầu cầu thang. Theo yêu cầu đặt ra ta cần thiết kế một

mạng điện sao cho khi thay đổi trạng thái của một trong hai vị trí

x, y thì trạng thái của đầu ra

(bóng đèn) phải thay đổi.

Ta biết rằng, mỗi mệnh đề logic cũng nhận hai giá trị, vì vậy ta có thể xem mệnh đề như

một biến nhận giá trị trong B2 (ví dụ 1.37). Ta biết rằng mệnh đề x ⇔ y chứa hai mệnh đề

x, y và mệnh đề này thay đổi giá trị khi một trong hai mệnh đề x hay thay đổi giá trị. Mặc dù

mệnh đề

x ⇔ y hay (x⇒ y) ∧ ( y⇒ x) không phải là công thức Boole nhưng nó có công

thức tương đương dưới dạng công thức Boole (x'∨y) ∧ ( y'∨x) . Ta có:

(x'∨ y) ∧ ( y'∨x) = [x'∧( y'∨x)]∨ [y ∧ ( y'∧x)]= (x'∧y') ∨ ( y ∧ x) .

Vậy mạng cần tìm là

x y

x' y'

Chương 2: Không gian Véc tơ

2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 2.1: Giả sử V là tập khác φ , K là một trường. V được gọi là không gian véc

tơ trên trường K nếu có hai phép toán:

- Phép toán trong

u u

K V V

(α , ) aα

⋅ : × →

u v u v

V V V

+ × →

( , )a

- Phép toán ngoài

thoả mãn các tiên đề sau với mọi u,v,w∈V và α ,β ∈ K

V1) (u + v) + w = u + (v + w)

V2) Có 0∈V sao cho u + 0 = 0 + u = u

V3) Với mỗi u∈V có − u∈V sao cho u + (−u) = (−u) + u = 0

V4) u + v = v + u

V5) (α + β )u =αu + βu

V6) α (u + v) =αu +αv

V7) (αβ )u =α (βu)

V8) 1u = u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K .

Khi K = 􀀖 thì V được gọi là không gian véc tơ thực.

Khi K = 􀀅 thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức.

Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử

vô hướng.

Chương 2: Không gian Véc tơ

Bốn tiên đề đầu chứng tỏ (V,+) là nhóm Abel. Tiên đề V5),V6) nói rằng phép nhân số vô

hướng với véc tơ phân phối đối với phép cộng của số vô hướng và phép cộng véc tơ. Tiên đề V7)

là tính kết hợp của tích các số vô hướng với phép nhân với véc tơ.

Ví dụ 2.1: Tập các véc tơ tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ

tương đẳng: các véc tơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Xét phép cộng hai véc tơ theo

quy tắc hình bình hành và tích một số thực với một véc tơ theo nghĩa thông thường thì là

không gian véc tơ thực.

Ví dụ 2.2: Giả sử K là một trường, xét

K {x x xn xi K i n }

n ( ,..., ) , 1, = = 1 ∈ =

Ta định nghĩa: (x1,..., xn ) + ( y1,..., yn ) = (x1 + y1,..., xn + yn )

α (x1,..., xn ) = (αx1,...,αxn ) , ∀α ∈K

Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ có véc

tơ không là . 123

n phÇn tö

0 = (0,...,0)

Khi K = 􀀖 ta có không gian véc tơ thực 􀀖n .

K = 􀀅 ta có không gian véc tơ phức 􀀅n .

Ví dụ 2.3: Gọi [b

Ca, ] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a,b]⊂􀀖. Ta định nghĩa phép

toán cộng và nhân với số thực như sau:

( f + g)(t) = f (t) + g(t) , (αf )(t) =αf (t) , ∀t∈[a,b]

Rõ ràng f + g, αf ∈C[a,b], ∀f , g ∈C[a,b], ∀α ∈􀀖.

Với hai phép toán này [b

Ca, ] có cấu trúc không gian véc tơ thực với véc tơ không là

0(t) = 0,∀t ∈[a,b].

Ví dụ 2.4: Gọi Pn là tập các đa thức bậc ≤ n , n là số nguyên dương cho trước:

= { = + + + n ∈􀀖}

Pn p p a0 a1t ... ant ; a0, a1,..., a .

Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một đa thức như phép cộng

hàm số và phép nhân một số với hàm số trong Ví dụ 2.3 thì là không gian véc tơ với véc tơ

không là đa thức .

Chương 2: Không gian Véc tơ

Ví dụ 2.5: Gọi P là tập các đa thức

{ } +

∈

= = = + + + ∈ ∈

􀀖 􀀜

􀀜

P P p p a a t a t a a an n

U n 0 1 ... ; 0, 1,..., ,

Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân với một số với đa thức theo

nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.4 thì P là không gian véc tơ và Pn ⊂ P với mọi n∈􀀜+ .

2.1.2 Tính chất

1) Vì (V,+) là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối − u của u là duy nhất với mọi

u∈V .

2) Có luật giản ước: u + v = u + w⇒ v = w.

3) Với mọi u∈V , 0u = 0 , (−1)u = −u .

4) Với mọi α ∈ K , α 0 = 0 .

5) Nếu αu = 0 thì α = 0 hoặc u = 0 .

Chứng minh:

1) 2) Xem Tính chất 1.4.

3) Với mọi u∈V , (0 + 0)u = 0u + 0u . Mặt khác (0 + 0)u = 0u = 0u + 0 .

Theo luật giản ước ta có 0u = 0 .

Tương tự với mọi u∈V , u + (−u) = 0 = 0u = (1−1)u = 1u + (−1)u .

Suy ra (−1)u = −u .

4) 0 +α 0 =α 0 =α (0 + 0) =α 0 +α 0 ⇒ α 0 = 0,∀α ∈K .

5) Nếu αu = 0 và giả sử α ≠ 0 ⇒ ∃α −1 ∈ K

0 =α −10 =α −1(αu) = (α −1α )u = 1u = u .

Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các khái niệm sau:

1) Ta định nghĩa u − v := u + (−v) , khi đó

u + v = w⇔u = w − v .

2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp:

n n n

uk = u + + u = u + + u − + u

= Σ

1 ... ( 1 ... 1)

Chương 2: Không gian Véc tơ

Tương tự n n n n n n

αkuk =α u + +α u = α u + +α − u − +α u

= Σ

1 1 ... ( 1 1 ... 1 1)

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1,...,un .

Từ đây trở đi ta chỉ hạn chế xét các không gian véc tơ thực.

2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.2: Giả sử (V,+,.) là không gian véc tơ. Tập con W ≠φ của V sao cho

hai phép toán từ V thu hẹp vào W trở thành không gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì

W được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian con của V ).

Định lý sau đây chỉ ra rằng nếu 2 phép toán trong V có thể thu hẹp được vào W thì các

tiên đề V1-V8 luôn thoả mãn, do đó W là không gian véc tơ con của V .

Định lý 2.2: Giả sử W là tập con khác rỗng của V . Ba mệnh đề sau đây tương đương:

(i) W không gian véc tơ con của V .

(ii) Với mọi u,v∈W , với mọi α ∈􀀖 thì u + v∈W , αu∈W

(iii) Với mọi u,v∈W , với mọi α ,β ∈􀀖 thì αu + βv∈W .

Chứng minh: (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên theo định nghĩa.

(ii) ⇒ (iii): Với mọi u,v∈W , với mọi α ,β ∈􀀖 thì αu∈W , βv∈W ⇒

αu + βv∈W .

(iii) ⇒ (i): ∀u,v∈W , ∀α ∈􀀖: u + v = 1u +1v∈W , αu =αu + 0u∈W .

Vậy phép cộng và phép nhân với số thực thu hẹp được từ V vào W . Hơn nữa W ≠φ ⇒

∃u∈W ⇒ 0 = 0u + 0u∈W ( tiên đề V2), với mọi u∈W , − u = 0u + (−1)u∈W (tiên

đề V3), các tiên đề còn lại hiển nhiên đúng. Vậy W là không gian véc tơ con của V .

Ví dụ 2.6: Từ định lý trên ta thấy rằng mọi không gian véc tơ con của V đều phải chứa véc

tơ 0 của V . Hơn nữa tập {0} chỉ gồm véc tơ không và chính V cũng là các không gian véc tơ

con của V .

Ví dụ 2.7: Tập { 3

x = (x1, x2,0) x1, x2 ∈􀀖}⊂ 􀀖 là không gian con của . 􀀖3

Chương 2: Không gian Véc tơ

Ví dụ 2.8: Tập [ , ] { [ , ] ( ) 0} 0

Ca b = f ∈Ca b f a = là không gian con của C[a, b],

nhưng tập [ , ] { [ , ] ( ) 1} 1

Ca b = f ∈Ca b f a = không là không gian con của C[a,b].

Ví dụ 2.9: Pn là không gian con của Pm nếu n ≤ m, trong đó là không gian các đa

thức bậc .

≤ n

2.2.2 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ

Định lý 2.3: Nếu ( ) Wi i∈I là họ các không gian con của V thì cũng là không gian

con của

∈

V .

Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.2. ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.

Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn tại không gian con

W bé nhất của V chứa S . W chính là giao của tất cả các không gian con của V chứa S .

Định nghĩa 2.4: Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S , ký

hiệu W = spanS , và S được gọi là hệ sinh của W .

Định lý 2.4: W = spanS bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S .

Chứng minh: Gọi W' là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . Ta chứng minh W' là

không gian con bé nhất chứa S .

(i) Với mọi u∈S thì u = 1u∈W' vậy S ⊂W'.

(ii) u ∈W', v∈W',u =α1u1 + ... +α nun, v = β1v1 + ... + β mvm ∈W'

với u1,..., un , v1,..., vm ∈ S .

Do đó γu +δv =γα1u1 + ... +γα nun +δβ1v1 + ... +δβ mvm ∈W'

Vậy W' là không gian con của V chứa S . Giả sử W" là không gian con của V chứa S .

Với mọi u∈W' , u =α1u1 + ... +α nun , u1,..., un ∈ S . Vì W" chứa S nên

u1,..., un ∈W" ⇒ u =α1u1 + ... +α nun ∈W". Do đó . Nói cách khác là

không gian con nhỏ nhất của

W'⊂W" W'

V chứa S . Vậy W'=W = spanS .

2.2.3 Tổng của một họ không gian véc tơ con

Giả sử W1,...,Wn là n không gian con của V . Sử dụng định lý 2.2 ta chứng minh được tập

{u1 + ...+ un ∈V ui ∈Wi ,i =1,..., n} cũng là một không gian véc tơ con của V . Ta gọi

không gian véc tơ con này là tổng của các không gian con W1,...,Wn và ký hiệu W1 + ... +Wn .

Chương 2: Không gian Véc tơ

Vậy u∈W1 + ... +Wn ⇔u = u1 + ... + un , ui ∈Wi ; i =1,...,n . (2.1)

Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất .

Ta có thể chứng minh được W1 + ... +Wn = span(W1 ∪...∪Wn ) (2.2)

Một cách tổng quát ta định nghĩa tổng của một họ các không gian véc tơ con như sau.

Định nghĩa 2.5: Nếu ( ) là họ các không gian con của Wi i∈I V . Không gian con sinh bởi

được gọi là tổng của các không gian , ký hiệu UI

∈

i W Σ∈

i I

Wi .

Vậy ) ( span UI

i I

Wi W

∈ ∈ Σ

= . Theo định lý 2.4 ta có

{ ... , , 1,..., ; 1,2,...} 1 = = ∈ ∈ + + = Σ∈

W ui ui ui Wi i j I j k k

i I

i k j j . (2.3)

Định nghĩa 2.6: Nếu mọi u ∈W1 + ... +Wn được viết một cách duy nhất dưới dạng

u = u1 + ... + un ,ui ∈Wi ,i = 1,..., n thì tổng các không gian con này được gọi là tổng trực

tiếp. Lúc đó ta ký hiệu W1 ⊕...⊕Wn .

Định lý 2.5: Giả sử W1,W2 là hai không gian con của V , khi đó tổng hai không gian con

này là tổng trực tiếp W1 ⊕W2 khi và chỉ khi W1 ∩W2 = {0}.

Chứng minh:

(⇒): Giả sử W1 ⊕W2 , v∈W1 ∩W2 thì v = 0 + v = v + 0 ∈W1 ⊕W2. Do cách viết

duy nhất suy ra v = 0 . Vậy W1 ∩W2 = {0}.

(⇐): Giả sử u = u1 + u2 = v1 + v2 ∈W1 +W2 thì

u1 − v1 = v2 − u2 ∈W1 ∩W2 = {0} ⇒ u1 = v1,u2 = v2 .

Vậy tổng của hai không gian con là tổng trực tiếp W1 ⊕W2 .

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Ta xét các hệ véc tơ có tính chất là nếu một véc tơ bất kỳ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến

tính của hệ này thì cách viết đó là duy nhất.

Chương 2: Không gian Véc tơ

Định nghĩa 2.7: Cho hệ n véc tơ S = {u1,...,un} của V (các véc tơ này có thể trùng nhau).

Hệ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ:

α1u1 + ... +α nun = 0,α1,...,α n ∈􀀖 thì α1 = ... =α n = 0.

Hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể tìm được {n

S = u1,...,u }

α1,...,αn ∈􀀖 không đồng thời bằng 0 sao cho α1u1 + ... +α nun = 0 .

Ví dụ 2.10: Hệ trong đó là độc lập, vì nếu {2

e1, e } 2

e1 = (1,0), e2 = (0,1)∈􀀖

α1e1 +α 2e2 = (α1,α2 ) = (0,0) thì α1 =α2 = 0 .

Ví dụ 2.11: • Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính.

• Hệ hai véc tơ {u1,u2 } là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ, nghĩa là

u1 =αu2 hay u2 =αu1.

• Trong R2 hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi cùng phương.

• Trong R3 ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi đồng phẳng.

Tính chất 2.6:

1) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ

con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính.

2) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính

của các véc tơ còn lại.

3) Giả sử hệ độc lập tuyến tính. Khi đó hệ {n

v1,..., v } {v1,..., vn ,u} phụ thuộc tuyến

tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ {v1,..., vn}, khi đó ta có thể biểu diễn

duy nhất u = β1v1 + ... + β nvn

}

Chứng minh: Ta chứng minh 3).

(⇐): suy từ 2).

(⇒): Giả sử {v1,..., vn ,u phụ thuộc khi đó tồn tại các số β1',...,β n ',α ∈􀀖 không

đồng thời bằng 0 sao cho β1' v1 + ... + β n 'vn +αu = 0 , vì hệ {v1,..., vn} độc lập nên

α ≠ 0 , ⇒ n

u v n v

= − 1 −... −

1 .

Hơn nữa giả sử u = β1v1 + ... + β nvn thì

Chương 2: Không gian Véc tơ

) ' ...

( ') ... ( 1

1 1

= − = 1 + + + + ⇒ + = = + =

β n

n n

0 u u v n v

Do đó

β 1' ,..., '

= − n = − . Vậy cách viết trên là duy nhất.

2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ

2.4.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Định nghĩa 2.8: Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V . Hệ con {v1,..., vn} của hệ

S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ

véc tơ nào của S thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nói riêng hệ {v1,..., vn} là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu hệ { độc lập

và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của

v1,..., vn}

V ta có hệ mới là phụ thuộc.

Tính chất 2.7:

1) Nếu S' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của S là tổ hợp

tuyến tính các véc tơ của S' và cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất (điều này suy

từ tính chất 2.6 - 3)).

2) Giả sử {v1,..., vn} là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ hữu hạn S . Khi đó ta có thể

bổ sung thêm để được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {v1,..., vn}.

Thật vậy, nếu {v1,..., vn} không tối đại thì tồn tại một véc tơ của S , ta ký hiệu , sao

cho hệ { độc lập tuyến tính. Lập luận tương tự và vì hệ

vn+1

v1,...,vn ,vn+1} S hữu hạn nên quá trình

bổ sung thêm này sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ {v1,...,vn ,vn+1,...,vn+k } độc lập tuyến

tính tối đại của S .

2.4.2 Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ

Bổ đề 2.8 (Định lý thế Steinitz (Xtêi-nít)): Nếu hệ S độc lập tuyến tính có n véc tơ và mỗi

véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ R có k véc tơ thì n ≤ k .

Chứng minh: Giả sử S = {v1,..., vn}, R = {u1,...,uk }. Ta sẽ chứng minh rằng có thể

thay dần các véc tơ của hệ R bằng các véc tơ của hệ S để có các hệ , ,... mà mỗi véc tơ

của hệ

R1 R2

S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính của R1, R2 ,....

Thật vậy, ta có v1 =α1u1 + ... +α kuk , v1 ≠ 0 (vì S độc lập) nên α1,...,αk ∈􀀖

không đồng thời bằng 0, ta giả sử α1 ≠ 0 (có thể đánh lại số thứ tự của R), suy ra

u v u k u

1 ... 1

= − − − .

Chương 2: Không gian Véc tơ

Xét hệ R1 = {v1,u2,..., uk }. Rõ ràng mọi véc tơ của S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính các

véc tơ của R1.

Tương tự ta có v2 = β1v1 + β 2u2 + ... + β kuk , vì {v1, v2} độc lập nên β 2,...,β k ∈􀀖

không đồng thời bằng 0, ta giả sử β 2 ≠ 0 .

Khi đó k

u v v u k u

2 ... 1

= − − − − .

Xét hệ R2 = {v1, v2,u3,...,uk }, mọi véc tơ của S cũng là tổ hợp tuyến tính các véc tơ

của R2 .

Nếu n > k , tiếp tục quá trình này cuối cùng ta được mọi véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính

các véc tơ của hệ Rk = {v1, v2,..., vk }, là hệ con của S . Điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ

S độc lập tuyến tính. Vậy n ≤ k .

Định lý 2.9: Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S các véc tơ của V đều

có số phần tử bằng nhau.

Chứng minh: Giả sử { } vi ,...,vik 1 và { } v j ,...,v jn 1 là hai hệ con độc lập tuyến tính tối

đại của hệ S . Từ tính tối đại của mỗi hệ, suy ra rằng mọi véc tơ của hệ này là tổ hợp tuyến tính

các véc tơ của hệ kia. Do đó n ≤ k và k ≤ n , vậy n = k .

Định nghĩa 2.9: Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S được gọi

là hạng (rank) của S , ký hiệu r(S) .

Qui ước hệ chỉ có véc tơ 0 có hạng là 0.

2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định nghĩa 2.10:

1) Nếu không gian véc tơ V có một hệ sinh hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh.

2) Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V .

Giáo trình này chỉ hạn chế xét các không gian hữu hạn sinh.

Giả sử là hệ sinh của {n

S = v1,...,v } V thì với mọi u∈V

u = x1v1 + ... + xnvn , x1,..., xn ∈􀀖.

Chương 2: Không gian Véc tơ

Định lý 2.10: Giả sử là một hệ các véc tơ của {n

e1,...,e } V . Các mệnh đề sau là

tương đương:

(i) Hệ {e1,...,en} là một cơ sở của V .

(ii) Hệ {e1,...,en} là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V .

(iii) Mọi véc tơ u∈V tồn tại một cách viết duy nhất:

u = x1e1 + ... + xnen , x1,..., xn ∈􀀖. (2.4)

Chứng minh: (i)⇒(ii): Hiển nhiên từ định nghĩa của cơ sở.

(ii)⇒(iii): Suy từ tính chất 3.2 - 3).

(iii)⇒(i): Rõ ràng {e1,..., en} là hệ sinh. Ngoài ra nếu x1e1 + ... + xnen = 0 , mặt khác

0 = 0e1 + ... + 0en . Do cách viết duy nhất suy ra x1 = ... = xn = 0.

Định nghĩa 2.11: trong (2.4) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở

(x1,..., xn )

{e1,...,en}

Ta ký hiệu toạ độ của véc tơ u trong cơ sở B = {e1,...,en} là [ ]B u .

Vậy nếu u thỏa mãn (2.4) thì

[u] = (x1,..., xn )

B (2.5)

Định lý 2.11: Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và {v1,..., vk } là hệ độc lập tuyến tính

các véc tơ của V . Khi đó có thể bổ sung thêm để có được hệ {v1,...,vk ,vk +1,...,vk +m} là

một cơ sở của V .

Chứng minh: Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ. Nếu S = {v1,...,vk } không phải là cơ

sở thì S không phải là hệ sinh, theo tính chất 2.6-3) tồn tại véc tơ, ta ký hiệu vk +1, sao cho hệ

{v1,...,vk ,vk +1} độc lập tuyến tính. Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ

{v1,...,vk ,vk +1,...,vk +m} độc lập tuyến tính và là hệ sinh, k + m ≤ n (theo Bổ đề 2.8). Vậy

{v1,...,vk ,vk +1,...,vk +m} là một cơ sở cần tìm.

Hệ quả 2.12: Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở.

Định lý 2.13: Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau.

Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 2.8 ta có hai cơ sở bất kỳ của V đều có số phần tử bằng nhau.

Chương 2: Không gian Véc tơ

Định nghĩa 2.12: Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V , ký hiệu

dimV . Quy ước dim{0}= 0 .

Ví dụ 2.12: Trong không gian 􀀖n ta xét hệ B = {e1,...,en} trong đó:

e1 = (1,0,...,0) , e2 = (0,1,...,0) ,...,en = (0,0,...,1) (2.6)

là một cơ sở của 􀀖n gọi là cơ sở chính tắc. Vậy dim􀀖n = n .

Ví dụ 2.13: Hệ B = {1,t,...,t n} là một cơ sở của , gọi là cơ sở chính tắc. Vậy

dim Pn = n +1

Chú ý 2.14: Không gian là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu hạn

sinh. Thật vậy, hệ

U ∞

n 1

P Pn

{1,t,t 2,....} có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên không thể là hữu hạn

sinh.

Định lý 2.15: Giả sử dimV = n và S = {v1,..., vm} là hệ m véc tơ của V . Khi đó: (i)

Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì m ≤ n .

(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì m ≥ n .

(iii) Nếu m = n thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh.

Chứng minh: Gọi B là một cơ sở của V . Áp dụng bổ đề 2.8 cho hai hệ B và S suy ra

các điều cần chứng minh.

Định lý 2.16: Giả sử W1,W2 là hai không gian con của V thì

dimW1 + dimW2 = dim(W1 +W2 ) + dim(W1 IW2 ) (2.7)

Đặc biệt: dim(W1 ⊕W2 ) = dimW1 + dimW2

(2.8)

Chứng minh: Giả sử là một cơ sở của (nếu {l

e1,...,e } W1 IW2 W1 IW2 =φ thì

l = 0 ). Theo định lý 2.11 ta có thể bổ sung thêm để {e1,...,el ,u1,...,um} là một cơ sở của

và { } là một cơ sở của . Với mọi

e1,...,el ,v1,...,vk W2 v∈W1 +W2 thì:

v = (x1 + x'1 )e1 + ... + (xl + x'l )el + y1u1 + ... + ymum + z1v1 + ... + zkvk .

Vậy {e1,...,el ,u1,...,um,v1,...,vk } là hệ sinh của W1 +W2 . Mặt khác, giả sử

x1e1 + ... + xlel + y1u1 + ... + ymum + z1v1 + ... + zk vk = 0

Chương 2: Không gian Véc tơ

thì x1e1 + ... + xlel + y1u1 + ... + ymum = −z1v1 − ... − zk vk ∈W1 IW2 .

⇒ − z1v1 − ... − zkvk = t1e1 + ... + tlel ∈W1 IW2

⇒ z1v1 + ... + zkvk + t1e1 + ... + tlel = 0

⇒ z1 = ... = zk = t1 = ... = tl = 0 ⇒ x1 = ... = xl = y1 = ... = ym = 0 .

Vậy {e1,..., el ,u1,..., um, v1,..., vk } là một cơ sở của W1 +W2 .

dimW1 + dimW2 = 2l + m + k = dim(W1 +W2 ) + dim(W1 IW2 ) .

Định lý 2.17: Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V . Khi đó

(i) r(S) = dimW , với W = spanS .

(ii) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau lên hệ S :

• Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S ;

• Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của S ; thì hệ S

biến thành hệ S' có r(S) = r(S') .

Chứng minh: (i) Giả sử S0 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S thì cũng sinh ra

, do đó là một cơ sở của W ⇒

W S0 r(S) = số véc tơ của S0 = dimW .

(ii) Nếu W = spanS, W'= spanS' thì W =W' ⇒ r(S) = r(S') .

Nhận xét 2.18: Để tìm hạng của hệ véc tơ {v1,v2 ,...,vn} ta có thể sử dụng 2 cách sau:

1) Áp dụng định lý 2.17 bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp lên hệ véc tơ đã cho

để đưa về hệ véc tơ mà ta dễ dàng nhận được hạng của nó.

Khi thực hành ta có thể viết tọa độ các véc tơ thành một bảng, mỗi véc tơ nằm trên một

hàng, sau đó biến đổi để bảng số này có dạng tam giác.

2) Áp dụng tính chất 2.6 theo từng bước như sau:

1. Loại các véc tơ vi = 0 ,

2. Giả sử v1 ≠ 0 , loại các véc tơ vi tỉ lệ với v1,

3. Giả sử { } vi ,...,vik 1 độc lập, khi đó { } vi vi v j k ,..., , 1 độc lập khi và chỉ khi

v j không biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của { } vi ,...,vik 1 .

Ví dụ 2.14: Tìm hạng của hệ véc tơ sau:

v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,−1,1,−1), v3 = (1,3,1,3),

Chương 2: Không gian Véc tơ

v4 = (1,2,0,2), v5 = (1,2,1,2).

Giải:

• Cách1:

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

−

− −

→

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

− −

0 0 1 0

0 1 1 1

0 2 0 2

1 1 1 1

1 2 1 2

1 2 0 2

1 3 1 3

1 1 1 1

(Hàng1 → hàng 1, hàng 2 - hàng1 → hàng 2, hàng 3 - hàng1 → hàng 3, hàng 4 - hàng1

→ hàng 4, hàng 5 - hàng4 → hàng 5)

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

→

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

− −

→

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

1 1 1 1

0 0 1 0

0 0 0 0

0 2 0 2

1 1 1 1

(Hàng 3 + hàng 2 → hàng 3, hàng 4 +(1/2) hàng 2 - hàng 5 → hàng 4).

(-1/2hàng 2 → hàng 2, hàng 5 → hàng 3).

Vậy hệ véc tơ có hạng là 3.

• Cách 2: v1 , v2 không tỉ lệ nên độc lập. Nếu v3 = xv1 + y v2 thì

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

+ =

− =

+ =

x y

⇒ x = 2, y = −1.

Vậy v3 = 2v1 −v2 . Nghĩa là { } v1 ,v2 ,v3 phụ thuộc.

Nếu v4 = xv1 + y v2 thì

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

+ =

− =

+ =

x y

, hệ vô nghiệm. Vậy {v1 ,v2 ,v4} độc lập.

Chương 2: Không gian Véc tơ

Nếu v5 = xv1 + y v2 + zv4 thì

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− + =

+ =

− + =

+ + =

2 2

x y z

x y

x y z

⇒ x = 3/ 2, y = −1/ 2, z = 0 .

Vậy v5 = 3/ 2v1 −1/ 2v2 . Nghĩa là { } v1 ,v2 ,v4 ,v5 phụ thuộc.

Vậy {v1 ,v2 ,v4} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {v1 ,v2 ,v3,v4 ,v5}.

Chương 3: Ma trận

3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN

3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Định nghĩa 3.1: Một bảng số có m hàng n cột

(3.1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

m m mn

a a a

...

1 2

21 22 2

11 12 1

M M O M

được gọi là một ma trận cỡ m× n . aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j .

Khi aij ∈􀀜, ∀i, j thì A được gọi là ma trận nguyên, aij ∈􀀅, ∀i, j thì A được gọi

là ma trận phức. Nếu không chỉ rõ aij thì ta quy ước A là ma trận thực.

Ma trận A cỡ m× n có thể được viết tắt dạng

[ ] m i

A aij j n 1,

= = hay [ ] A aij m n × = (3.2)

Khi m = n ta nói A là ma trận vuông cấp n .

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m× n được ký hiệu Mm×n .

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu Mn .

Ví dụ 3.1: ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

3 2 5

0 1 π

là ma trận cỡ 2×3.

Hai ma trận cùng cỡ [ ] A aij m n × = , [ ] B bij m n × = bằng nhau, ký hiệu A = B, khi và

chỉ khi aij= bij với mọi i =1,m ; j =1,n .

Chương 3: Ma trận

3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

3.2.1 Phép cộng

Cho hai ma trận cùng cỡ A [aij ]m n × = , [ ] B bij m n × =

Tổng của hai ma trận A,B là ma trận cùng cỡ được ký hiệu và định nghĩa bởi

[ ] với mọi A + B = cij m n cij = aij + bij × , i =1,m ; j =1, n .

(3.3)

Ví dụ 3.2: ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

+ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

6 5 6

2 5 5

3 1 7

0 8 5

9 4 1

2 3 0

3.2.2 Phép nhân ma trận với một số

Cho ma trận [ ] A aij m n × = cỡ m× n , và số thực k . Ta định nghĩa và ký hiệu

[ ] kA kaij m n × = . (3.4)

Ví dụ 3.3: ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

3 2 4 5

1 4 1 2 0

3 8 10

1 2 1 0

Tính chất 3.1: Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ:

1) A + (B + C) = (A + B) + C ;

2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký hiệu 0.

Khi đó: A + 0 = 0 + A = A;

3) A + (−A) = 0, trong đó [ ] A aij m n × − = − ;

4) A+ B = B + A.

Vậy (Mm×n ,+) là một nhóm Abel.

Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực k,h với mọi ma trận

[ ] , A aij m n × = [ ] B bij m n × = cỡ m× n :

5) k(A + B) = kA + kB ;

6) (k + h)A = kA + hA ;

Chương 3: Ma trận

7) k(hA) = (kh)A;

8) 1A = A.

Với 8 tính chất này tập Mm×n là không gian véc tơ.

Ký hiệu là ma trận cỡ có các phần tử đều bằng 0 ngoại trừ phần tử ở hàng i cột

j bằng 1 thì hệ các ma trận

Eij m× n

{Eij i =1,m ; j =1,n } là một cơ sở của Mm×n .

Vậy dimMm×n = m× n .

3.2.3 Phép nhân ma trận

Định nghĩa 3.2: Tích hai ma trận [ ] A aij m p × = và [ ] B bij p n × = là ma trận cỡ

m×n được ký hiệu và định nghĩa bởi [ ] AB cij m n × = , trong đó

Σ=

cij aikbkj

với mọi i =1,m ; j =1,n . (3.5)

Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích các phần tử của hàng thứ i

của A với các phần tử tương ứng của cột thứ j của B.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

ij i i ip

c a a a

1 2

Ví dụ 3.4: . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

7 17

9 15

2 4

1 0

1 3

1 2 5

1 2 3

[ ] ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

= − ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3 12 6

2 8 4

1 4 2

Chương 3: Ma trận

Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số cột của A bằng số hàng

của B. Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA nếu số cột của B

không bằng số hàng của A.

Khi A,B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và BA. Mặc dầu vậy

chưa chắc có đẳng thức AB = BA, nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán. Chẳng

hạn, xét

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

0 0 0 0 0

0 0 0 0

3 0 0 0

1 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

2 3 0 0

1 0 0 0

M M M O M

A B

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

≠ =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡− −

0 0 0 0 0

0 0 0 0

3 0 0 0

3 6 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

11 4 0 0

1 2 0 0

M M M O M

AB BA

Tính chất 3.2: Giả sử A,B,C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để các phép toán

sau xác định được thì ta có các đẳng thức:

1) A(BC) = (AB)C tính kết hợp.

2) A(B + C) = AB + AC tính phân phối bên trái phép nhân ma trận với phép cộng.

3) (B + C)A = BA + CA tính phân phối bên phải phép nhân ma trận với phép cộng.

4) Với mọi k ∈􀀖 , k(AB) = (kA)B = A(kB) .

5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường

chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

In O

Chương 3: Ma trận

Khi đó với mọi ma trận A cỡ m× n ta có ImA = A = AIn .

Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n.

Từ các tính chất trên ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp cùng với phép cộng và

nhân ma trận

n ≥ 2

(Mn ,+,.) là một vành không giao hoán, có đơn vị và không nguyên vì có ước của

0. Chẳng hạn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1 3 0 0

2 6 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

2 4 0 0

1 2 0 0

M M M O M

A B

A,B ≠ 0 nhưng AB = 0.

3.2.4 Ma trận chuyển vị

Định nghĩa 3.3: Cho ma trận A cỡ m× n, nếu ta đổi các hàng của ma trận A thành các

cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận mới cỡ n×m, gọi là ma trận chuyển vị

của ma trận trên A, ký hiệu At

A [cij ]n m cij a ji i n j m

t = ; = = 1, = 1, × . (3.6)

Ví dụ 3.5: . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

1 0 9

4 2 5

;

5 9

2 0

4 1

A At

Tính chất 3.3:

1) (A + B)t = At + Bt .

2) (kA)t = kAt .

3) (AB)t = Bt At .

Định nghĩa 3.4:

1) Nếu A = At thì A được gọi là ma trận đối xứng ( A là ma trận vuông có các phần tử

đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất).

Chương 3: Ma trận

2) A = −At thì A được gọi là phản đối xứng (hay đối xứng lệch) ( A là ma trận vuông

có các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các phần tử trên đường chéo thứ

nhất bằng 0).

3.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ NÀO ĐÓ

Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B = {e1,.....en}.

v1,...,v } là một hệ véc tơ của V có toạ độ trong cơ sở B:

Σ=

= =

v j aijei j m

, 1,

Khi đó ma trận có các cột là các toạ độ của các véc tơ trong

cơ sở được gọi là ma trận của hệ véc tơ

[ ] A aij n m × = {v1,...,vm}

B {v1,...,vm} trong cơ sở B.

Ngược lại, với ma trận A cỡ n×m cho trước thì ta có hệ m véc tơ mà toạ độ của nó

trong cơ sở B là các cột của A.

Vậy khi không gian véc tơ V với cơ sở cố định B = {e1,.....en} thì có tương ứng 1 - 1

giữa các ma trận cỡ n×m với các hệ m véc tơ của V .

Ma trận chuyển cơ sở

Giả sử B = {e1,.....en}, B'= {e'1 ,.....e'n} là hai cơ sở của V . Ma trận của hệ véc tơ

B' trong cơ sở B được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B'. Nghĩa là nếu

Σ=

= =

e j tijei j n

' , 1, ... thì [ ] P = tij (3.7)

là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B'.

Khi đó với véc tơ bất kỳ u∈V ; Σ Σ

= =

i i

u xiei x e

1 1

' ' .

Ta có: [ ] [ ] [ ] 1 ' 1 × = × ×

xi n tij n n x j n (3.8)

(3.8) được gọi là công thức đổi tọa độ

Nếu A, A' lần lượt là ma trận của {v1,...,vm} trong cơ sở B, B' thì

A = PA' (3.9)

Chương 3: Ma trận

3.4 HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa 3.5: Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) , là hạng của các véc tơ cột của A.

Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của một hệ con độc lập

tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS (xem Định lý 2.17). Vì vậy khi ta thực hiện liên

tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của

hệ không thay đổi:

1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ.

2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0.

3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của hệ.

Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ cấp lên các cột (sau này ta

sẽ chứng minh được rằng ta cũng có thể biến đổi theo các hàng) để đưa ma trận về dạng tam giác,

từ đó suy ra hạng của ma trận.

Ví dụ 3.6:

1 5 5 0

2 7 7 0

1 0 0 0

1 2 1 2

2 1 1 4

1 3 4 2

2 1 4 4

4 1 3 3

3 1 2 2

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − −

−

− + →

+ →

c c c

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

+ →

→

1 5 0 0

2 7 0 0

1 0 0 0

2 3 3

2 2

c1 c1

c c c

c c

Vậy r(A) = 2.

1 5 5

1 4 4

1 3 3

1 2 2

1 1

5 3

4 2

3 1

2 5

1 4

2 1 1 1 2

0 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 2

1 2 2 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

1 2 1 1 1

c c c

c c

− + →

+ →

− + →

+ →

→

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− − −

− −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− − −

− −

Chương 3: Ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − −

−

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− + −

+ →

− + + + + →

→

a a

a c a c c c

c c

2 1 1 2 2 2 2

0 1 1 0 0

1 2 0 0 0

1 0 0 0 0

2 1 1 3 2

0 1 1 1

1 0 2 1 3

1 0 0 0 0

-3c

(3-2a)c

4 4

( 1)

( 3)

1 1

Vậy

⎩ ⎨ ⎧

≠

3 1

4 1

( )

r B

nÕu

Xét các ma trận vuông cấp n sau:

[ ] (3.10) k

R k aij

hμng

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= =

( , )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= =

= ≠

≠

i j k

i j

aij

cột k

[ ]

hμng

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= =

1 0

0 1

P(i, j) akl

cột i cột j

(3.11)

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

= =

= ≠

trong c¸c tr−êng hîp kh¸c

vμ b»ng hay

;

k j l i

k i l j

k l i j

akl

Chương 3: Ma trận

[ ]

hμng i

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

( , ,λ ) = = Q i j akl

cột j

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= =

0 trong c¸c tr−êng hîp kh¸c

k i l j

k l

akl λ (3.12)

Tính chất 3.5: Ta dễ dàng kiểm tra được:

a) Nếu nhân R(k,λ ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AR(k,λ ) có được

bằng cách nhân thêm λ vào cột k của ma trận A.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

" " "

' ' '

0 0 1

0 0

1 0 0

" " "

' ' '

a b c

b) Nếu nhân P(i, j) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AP(i, j) có được bằng

cách đổi chỗ hai cột i và j của A cho nhau.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

" " "

' ' '

0 0 1

1 0 0

0 1 0

" " "

' ' '

b a c

a b c

c) Nếu nhân Q(i, j,λ ) vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích AQ(i, j,λ ) có được

bằng cách nhân λ vào cột i và cộng vào cột j của ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

" " " "

' ' ' '

0 1

0 1 0

1 0 0

" " "

' ' '

a c b c

a b c

Chương 3: Ma trận

d) Nếu nhân P,Q,R vào bên trái của ma trận A thì ta có các kết quả tương tự như trên,

trong đó các tác động lên hàng đổi thành tác động lên cột và ngược lại. Chẳng hạn

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

" " "

' ' '

" " "

' ' '

0 0 1

0 0

1 0 0

a b c

λ λ λ λ

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

+ + +

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

' " ' " ' "

' ' '

" " "

' ' '

0 1

0 1 0

1 0 0

a a b b c c

a b c

λ λ λ λ

Chương 4: Định thức

4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC

4.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ

Định nghĩa 4.1:

1) Mỗi song ánh σ :{1,2,..., n}→{1,2,...,n} được gọi là một phép thế bậc n.

Ta thường ký hiệu một phép thế bằng một ma trận có hàng thứ nhất là các số 1,2,...,n sắp

theo thứ tự tăng dần còn hàng thứ hai là ảnh của nó:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

(1) (2) ... ( )

1 2 ...

σ σ σ

2) Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị. Với phép thế σ ta có hoán vị tương ứng

[σ (1) σ (2) ... σ (n)].

3) Dấu của phép thế:

Cho hoán vị [σ (1) σ (2) ... σ (n)], nếu có cặp i < j mà σ (i) >σ ( j) thì ta nói

có một nghịch thế của σ .

Giả sử k là số các nghịch thế của σ , ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép thế σ là

sgnσ = (−1)k (4.1)

Ta dễ dàng kiểm chứng được rằng tập các phép thế bậc n với luật hợp thành là phép hợp của

hai ánh xạ tạo thành một nhóm không giao hoán, gọi là nhóm đối xứng bậc n, ký hiệu Sn .

Trong chương 1 ta đã biết tập có đúng n! phần tử. Chẳng hạn có 2 phần tử, có

6 phần tử ...

Sn S2 S3

Ví dụ 4.1: Hoán vị [ ứng với phép thế có một nghịch thế. Vậy

] 2 3 1 ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 3 2

1 2 3

sgnσ = (−1)1 = −1

Để tìm số các nghịch thế k của phép thế σ ta thực hiện các bước sau:

Trong hoán vị [σ (1) σ (2) ... σ (n)] có i1 là giá trị sao cho σ (i1) = 1.

Chương 4: Định thức

♦ Gọi k1 là số các số trong [σ (1) σ (2) ... σ (n)] đứng trước σ (i1) = 1;

♦ Xoá số σ (i1) = 1, tồn tại i2 sao cho σ (i2) = 2, gọi k2 là số các số còn lại trong

[σ (1) σ (2) ... σ (n)] đứng trước σ (i2) = 2;

♦ Xoá số σ (i2) = 2 và tiếp tục đếm như thế ...

Cuối cùng số các nghịch thế của σ là:

k = k1 + k2 + ... + kn−1

Ví dụ 4.2: Hoán vị [3 4 2 1] có k1 = 3, k2 = 2 , k3 = 0 .

Vậy k = 5 và sgnσ = (−1)5 = −1 .

Tính chất 4.1:

1) Cặp (i, j), i ≠ j là một nghịch thế của phép thế σ ( nghĩa là i < j và σ (i) >σ ( j) )

khi và chỉ khi dấu của

i j

−

σ ( ) −σ ( )

bằng −1. Vậy

≤ ≠ ≤

⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

i j n i j

i j

sgn ( ) ( )

σ σ

σ dÊu . (4.2)

2) Chuyển vị [0

σ = i0 j ] là phép thế chỉ biến đổi hai phần tử cho nhau và giữ

nguyên các phần tử còn lại:

i0, j0

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

j i n

i j n

1 2 ... ... ...

0 0

σ 0 0 (4.3)

Dễ dàng tính được: 1 ... 0 1 0 k = = ki − = , 0 0 0 ki = j − i ,

1 ... 1 1 0 0 ki + = = k j − = , ... 0

k j = = kn = ⇒ k = 2( j0 − i0 ) −1

Vậy sgnσ = (−1)k = −1.

3) Với mọi σ ,μ ∈Sn : sgn(σ oμ ) = sgnσ sgnμ . (4.4)

Thật vậy, khi (i, j) chạy khắp tập {1,2,..., n}×{1,2,..., n}\ {(1,1),..., (n, n)} thì

(μ (i),μ ( j)) cũng chạy khắp tập này. Do đó:

Chương 4: Định thức

Π Π

≤ ≠ ≤ ≤ ≠ ≤

⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

= ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

i j n i j n i j

i j

1 1 ( ) ( ) ( ) ( )

sgn ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

μ μ μ μ

σ σ σ μ σ μ

σ dÊu dÊu

≤ ≠ ≤

⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

i j n i j

i j

1 ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

μ μ

σ μ σ μ

dÊu .

Π Π

≤ ≠ ≤ ≤ ≠ ≤

⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

⋅ ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

i j n i j n i j

i j

1 1

( ) ( )

sgn sgn ( ( )) ( ( ))

μ μ

σ μ σ μ

σ μ dÊu dÊu

(σ μ )

σ μ σ μ

sgn o ( ( )) ( ( ))

= ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

−

= Π

≤i≠ j≤n i j

i j dÊu .

4) Với mọi chuyển vị [i0 j0 ] (xem 4.3) và phép thế σ :

sgnσ o [i0 j0 ]= −sgnσ .

4.2 ĐỊNH THỨC

Khi giải hệ phương trình tuyến tính

⎩ ⎨ ⎧

+ =

a' x b' y c'

ax by c

ta tính các định thức

' '

ab ba

a b

D = = − , ' '

' '

cb bc

c b

Dx = = − , ' '

' '

ac ca

a c

Dy = = − .

Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2 là ⎥⎦ ⎤

⎢⎣

⎡

21 22

11 12

a a

11 22 12 21

21 22

11 12 a a a a

a a

A = = − .

Mặt khác nhóm đối xứng có 2 phần tử là và có dấu 2 S ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 2

1 σ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2 1

1 2

σ 2

sgnσ1 =1 , sgnσ 2 = −1 . Vậy

11 22 12 21

21 22

11 12 a a a a

a a

A = = −

Chương 4: Định thức

Σ∈

= + =

sgn 1 1 1(1) 2 1(2) sgn 2 1 2 (1) 2 2 (2) sgn 1 (1) 2 (2)

a a a a a a

σ σ σ σ σ σ σ σ σ .

Ta mở rộng định nghĩa này cho ma trận vuông cấp n bất kỳ như sau.

Định nghĩa 4.2: Định thức của ma trận vuông [ ] A aij n n × = được ký hiệu là

det A hay A và định nghĩa bởi biểu thức:

Σ∈

= ⋅

A a an n

det sgnσ 1σ (1)... σ ( ) (4.5)

Như vậy định thức của ma trận vuông [ ] A aij n n × = là tổng tất cả các tích gồm n phần tử

trên n hàng mà ở trên n cột khác nhau của ma trận A và nhân với +1 hoặc -1.

Ví dụ 4.3: a) Nhóm đối xứng S2 có 6 phần tử là (xem ví dụ 1.23 chương 1)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 2 3

1 σ , , , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 3 2

1 2 3

2 σ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2 1 3

1 2 3

σ 3

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2 3 1

1 2 3

4 σ , , . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3 1 2

1 2 3

5 σ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3 2 1

1 2 3

σ 6

có dấu sgnσ1 = sgnσ 4 = sgnσ 5 =1 , sgnσ 2 = sgnσ 3 = sgnσ 6 = −1 . Vậy

sgn

12 23 31 13 21 32 13 22 31

11 22 33 11 23 32 12 21 33

1 (1) 2 (2) 3 (3)

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a a a a a a a

a a a

+ + −

= − −

= Σ ∈ σ

σ σ σ σ

(4.6)

b) Tính định thức

a a

a a a

a a a a

O M

33 3

22 23 2

11 12 13 1

...

Chương 4: Định thức

Xét phép thế có ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 2 ...

σ 0 sgn ( 1) 1 0

σ 0 = − = .

Với mọi σ ∈Sn , nếu σ ≠σ 0 thì tồn tại k sao cho σ (k) ≠ k ⇒ tồn tại k' sao cho

σ (k') < k' ⇒ ak'σ (k') = 0 ⇒ a1σ (1)...anσ (n) = 0 . Vậy

nn nn . (4.7)

Dn a an n a a a a

... ... sgn ... sgn 11 11 0 ) ( ) 1 ( 1 = ⋅ = ⋅ = Σ∈

σ σ

Tương tự nn

n n n nn

n a a

a a a a

a a a

a a

D ...

...

' 11

1 2 3

31 32 33

21 22

= =

M M M O

. (4.8)

c) Tính định thức

n n nn

n n n

n n

a a a

a a

... ...

1 2

1,2 1

2, 1 2

− −

−

= N M M

Xét phép thế thoả mãn ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

1 ... 1

1 2 ...

1 n n

σ σ1(k) + k = n +1, ∀k =1,...,n .

Ta dễ dàng tính được

k1 = n −1, k2 = n − 2,..., kn−1 = 1 ⇒ k =1+ ... + (n −1) = n(n −1) 2

( 1) 2

sgn 1 ( 1) ⇒ σ = − n n− . Mặt khác với mọi σ ∈ Sn , nếu σ ≠σ1 thì tồn tại k sao

cho σ (k) + k < n +1 ⇒ akσ (k) = 0 ⇒ a1σ (1)...anσ (n) = 0 .

Vậy n k n k n

D n a an n a a a

" sgn 1 (1)... ( ) sgn 1 1... , − ... 1

∈

= Σ σ ⋅ = σ ⋅

σ σ

n k n k n

n n a a a1 , 1

( 1) ( 1) 2 ... ... −

= − − (4.9)

Tương tự

Chương 4: Định thức

n k n k n

n n

n a a a

a a a

a a a a

D 1 , 1

( 1) 2

21 22 2 1

11 12 1 1 1

( 1) ... ...

...

"' −

−

= = −

M N

M M N . (4.10)

Định nghĩa 4.3: Định thức của ma trận [ ] A aij n n × = của hệ véc tơ ứng với

cơ sở trong không gian véc tơ

v1,...,v }

B V cũng được gọi là định thức của hệ véc tơ { } và ký

hiệu

v1,...,vn

DB{v1,...,vn}. Vậy

DB{v1,...,vn}= det A. (4.11)

4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC

Tính chất 4.2:

1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu:

[ ] A aij n n × = , [ ] , thì A a ij n n × '= '

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠

a i k

a i m

a i k m

nÕu

nÕu ,

' det A'= −det A.

Thật vậy: Σ∈

= ⋅

A a a k k a m m a n n

det ' sgnσ '1σ (1)... ' σ ( )... ' σ ( )... ' σ ( )

Σ∈

= ⋅

a am k ak m an n

sgnσ 1σ (1)... σ ( )... σ ( )... σ ( )

Σ∈

= ⋅

a ak k am m an n

sgnσ 1σ '(1)... σ '( )... σ '( )... σ '( )

a a a a A

sgn ' ... m k ... k m ... n n det

) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 1 ( ' 1 − = ⋅ − = Σσ ∈

σ σ σ σ σ

trong đó σ '=σ o [k m].

2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng:

Cho hai ma trận [ ] , A aij n n × = [ ] B bij n n × = và ma trận [ ] C cij n n × = có hàng thứ k

là tổ hợp tuyến tính của hàng thứ k của A và B.

Chương 4: Định thức

Nghĩa là

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= + =

= = ≠

c a b j 1,...,n.

c a b i k

kj kj kj

ij ij ij

; víi mäi

nÕu

α β

thì detC =α det A+ β det B.

Thật vậy: Σ∈

= ⋅

C c ck k cn n

det sgnσ 1σ (1)... σ ( )... σ ( )

Σ∈

= ⋅ +

a ak k bk k an n

sgnσ 1σ (1)...(α σ ( ) β σ ( ) )... σ ( )

Σ Σ

∈ ∈

= ⋅ + ⋅

n Sn

k k n n

a ak k an n b b b

σ σ σ

α sgnσ 1σ (1)... σ ( )... σ ( ) β sgnσ 1 (1)... ( )... ( )

=α det A + β det B.

3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức bằng 0.

4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì định thức không

thay đổi.

5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó:

Giả sử [ ] , A aij n n × = [ ] ij n n

At a × = ' , a'ij = a ji , i, j =1,...,n

thì det At = det A.

Σ∈

= ⋅

k k n n

At a a a

det sgnσ '1σ (1)... ' σ ( )... ' σ ( )

Σ∈

= ⋅

a a k k a n n

sgnσ σ (1)1... σ ( ) ... σ ( )

Σ∈

= ⋅ − − −

k k n n a a a

σ σ σ σ

sgn 1 1(1)... 1( )... 1( )

a a a A

sgn ... k k ... n n det 1 (1) ( ) ( )

1 1 1 = ⋅ = Σ∈

−

− − −

σ σ σ σ

vì sgnσ = sgnσ −1.

Chương 4: Định thức

6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột và

ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4)

suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức không thay đổi.

Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0.

n nn

n n

a a

A p a a

n ...

...

det( )(mod ) sgn ...

11 1

) ( ) 1 ( 1 M O M = = Σσ ∈

σ σ σ (4.12)

Ví dụ 4.4:

a n a

a n

1 1 1 ...

1 1 ... 1

1 1 1 ... 1

1 1 1 ...

1 1 ... 1

+ −

= =

M M M O M M M M O M

(cộng các cột vào cột 1)

1 0 0 ... 1

1 0 1 ... 0

1 1 0 ... 0

1 0 0 ... 0

( 1)

1 1 1 ...

1 1 ... 1

1 1 1 ... 1

( 1)

−

= + − = + −

a n

M M M O M M M M O M

⇒ = ( + −1)( −1)n−1

Dn a n a .

b) [ ] với A aij n n × = aij = ±1

= = 0(mod2) ⇒

1 ... 1

det(A)(mod2) M O M det A chẵn.

4.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

4.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột

Nếu ta nhóm theo cột thứ j công thức (4.5) thì ta được:

Chương 4: Định thức

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

= Σ ⋅

∈S = j

j n n

A a a a a

, (1)

det 1 sgn 2 (2) 3 (3)... ( )

σ σ

σ σ σ σ

+ +

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝

⎛

+ Σ ⋅

∈ =

sgn ... ...

, (2)

2 1 (1) 3 (3) ( )

S j

j n n

a a a a

σ σ

σ σ σ σ

. ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

+ Σ ⋅

∈ =

− −

S n j

nj n n

a a a a

, ( )

sgn 1 (1) 2 (2)... 1 ( 1)

σ σ

σ σ σ σ

Vì vậy định thức của ma trận A được viết lại dưới dạng

det A = a1 j A1 j + ... + anj Anj (4.13)

gọi là công thức khai triển của A theo cột thứ j.

Aij được gọi là phần bù đại số của aij .

Định lý 4.3: ij

i j

Aij M = (−1) + (4.14)

Trong đó là định thức của ma trận cấp n-1 có được bằng cách xoá hàng i cột j của ma

trận

Mij

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh A11 = M11. Ta có:

2 '(2) '( )

, (1) 1

11 2 (2) ( )

A sgn a ...a sgn ' a ...a M

n Sn

n n

n n = Σ = Σ =

∈ = σ ∈ −

σ σ

σ σ σ σ

với σ '=σ {2,...,n} là phép thế trong tập hợp {2,...,n}.

Trường hợp bất kỳ, ta thực hiện i-1 lần đổi chỗ các hàng và j-1 lần đổi chỗ các cột để

đưa về hàng 1 cột 1.

Aij

Do đó ij

i j

Aij M M = (−1)( −1)+( −1) = (−1) + .

Công thức khai triển theo hàng i được suy từ tính chất 3.7: 6)

Chương 4: Định thức

det A = ai1Ai1 + ... + ainAin (4.15)

Ví dụ 4.5:

1 2 1 7

3 1 4 6

1 0 0 0

1 2 2 2

1 2 0 5

3 1 1 0

1 0 1 2

1 2 3 4

2 1 4 4

1 3 3

− −

− − −

−

− −

− + →

c c c

2 3 9

1 3 5

2 0 0

2 1 7

1 4 6

2 2 2

( 1)2 1 1

− −

= − − − −

− −

= − + ⋅ ⋅ − − −

6(9 5) 24

1 9

1 5

= (−2)(−3)(−1) = − − = − .

4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)

Từ ma trận [ ] ta để ý k hàng: và k cột: . A aij n n × = i1,..., ik j1,..., jk

Giao của k hàng k cột này là một ma trận cấp k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là

k . Nếu từ ma trận

j j

Mi i ,...,

,...,

A ta xoá đi k hàng và k cột thì ta có ma trận con

cấp n-k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là

i1,..., ik j1,..., jk

j j

Mi i ,...,

,...,

và

k k k

j j

i i

j j i i j j

Ai i M ,...,

,...,

,..., ... ...

,...,

1 1 1

= (−1) + + + + + (4.16)

được gọi là phần bù đại số của k .

j j

Mi i ,...,

,...,

Ví dụ 4.6:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

41 42 43 44

31 32 33 34

21 22 23 24

11 12 13 14

a a a a

Có

32 33

23 12 13

13 a a

a a

M = ,

41 44

21 24

41 44

23 1 3 2 3 21 24

13 ( 1)

a a

A = − + + + = − .

Chương 4: Định thức

Định lý 4.4 (Laplace):

1) Khai triển k hàng i1,..., ik :

≤ < < ≤

j j n

j j

i i

j j

i i

A M A

1 ...

,...,

det (4.17)

Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằm trên k hàng i1,..., ik nhân

với phần bù đại số tương ứng của nó.

2) Khai triển k cột j1,..., jk :

≤ < < ≤

i i n

j j

i i

j j

i i

A M A

1 ...

,...,

det (4.18)

Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằm trên k cột nhân

với phần bù đại số tương ứng của nó.

j1,..., jk

Đặc biệt khi k =1 ta có công thức khai triển theo hàng và theo cột (3.4).

Chứng minh: Trường hợp i1 =1,..., ik = k :

Σ∈

= ⋅

k k

M k a a

σ 1σ (1) σ ( )

1,...,

1,..., sgn ...

k k n n

M a a A

n k

1,...,

1 '( 1) '( )

1,...,

1,..., = Σsgn '⋅ ... =

∈ −

+ +

σ σ σ

Ứng với mỗi phép thế σ của tập {1,..., k} và σ ' của {k +1,..., n} thì phép thế μ có

hoán vị tương ứng [σ (1),...,σ (k),σ (k +1),...,σ (n)] có số các nghịch thế bằng số các nghịch

thế của σ cộng với số các nghịch thế của σ '. Do đó sgnμ = sgnσ ⋅ sgnσ ' . Vì vậy mỗi tích

sgnσ ⋅ a1σ (1)...akσ (k) ⋅ sgnσ '⋅ak +1σ '(k +1)...anσ '(n)

là một hạng tử trong tổng của det A. Nói cách khác

M k M 1,...,

1,...,

1,..., chỉ bao gồm các

hạng tử của det A; nó là một bộ phận trong biểu thức tổng của det A. Trường hợp tổng quát

k , ta biến đổi hàng và cột của

j j

Mi i ,...,

,...,

det A để đưa về định thức con bậc k góc

trên bên trái. Ta thực hiện lần đổi chỗ hàng thứ để đưa về hàng thứ 1, ...,

j j

Mi i ,...,

,...,

i1 −1 i1 ik −1 lần đổi

Chương 4: Định thức

chỗ hàng thứ ik để đưa về hàng thứ k. Tương tự đổi chỗ j1 −1,..., jk −1 lần để đưa các cột

j1,..., jk về các cột 1,..., k. Vì vậy định thức đổi dấu

(−1)(i1 −1)+...+(ik −1)+( j1 −1)+...+( jk −1) = (−1)i1 +...+ik + j1 +...+ jk .

Khi đổi vị trí như vậy định thức bù của k vẫn là

j j

Mi i ,...,

,...,

j jk

Mi ik 1,...,

1,..., .

Do đó k

k k k

j j

i i

j j i i j j

Ai i M ,...,

,...,

,..., ... ...

,...,

1 1 1

= (−1) + + + + + , như vậy các hạng tử của

k cũng chỉ là các hạng tử của

j j

i i

j j

Mi i A ,...,

,...,

⋅ det A.

Mặt khác mỗi k có

j j

i i

j j

Mi i A ,...,

,...,

⋅ k!(n − k)! hạng tử. Số các định thức con

trên k hàng bằng số các tổ hợp n chập k và bằng . Các hạng tử của

và khác nhau từng đôi một nếu

j j

Mi i ,...,

,...,

1 i1,..., ik

j j

i i

j j

Mi i A ,...,

,...,

⋅ k

j j

i i

j j

Mi i A ' ,..., '

,...,

' ,..., '

,...,

⋅

{j1,..., jk }≠ {j'1 ,..., j'k }

Do đó tổng có hạng tử phân

biệt của

≤ j < < j ≤n

j j

i i

j j

i i

M A

1 ...

,...,

Ck k!(n k)! n!

n − =

det A nhưng det A cũng chỉ có n! hạng tử. Vậy mỗi hạng tử của det A đều là hạng tử

nào đó của một trong những k với

j j

i i

j j

Mi i A ,...,

,...,

⋅ 1≤ j1 < ...< jk ≤ n . Vậy ta có

đẳng thức (3.6).

Công thức khai triển theo cột (3.7) được chứng minh trực tiếp hoàn toàn tương tự cách trên

hoặc có thể suy ra từ kết quả trên và áp dụng tính chất det A = det At .

Ví dụ 4.7:

n nk kk nn

k k k k k k n

k kk

a a a a

a a

... ...

... 0 ... 0

1 1

11 1 1 1 1

11 1

+ + + + +

M O M M O M

Chương 4: Định thức

nk nn

k k k n

k kk

a a

...

1 1 1

11 1

+ + +

= M O M M O M

Vì ,..., 0 nếu { }

1,...,

j1 jk =

M k j1,..., jk ≠ {1,..., k}.

Ví dụ 4.8: Với mọi ma trận cùng cấp A,B luôn có det AB = det Adet B.

Thật vậy, giả sử [ ] , A aij n n × = [ ] B bij n n × = ,

[ ] C AB cij n n × = = , Σ=

cij aikbkj

Xét định thức cấp 2n:

0 0

−

Khai triển Laplace theo n hàng đầu ta có D2n = det Adet B . Mặt khác, nhân với cột

1, với cột 2,..., với cột n của xong cộng tất cả vào cột n+1 thì định thức trở

thành:

b11

b21 bn1 D2n D2n

n nn

n nn n

b b

a a c

12 1

1 1

11 1 11

1 0

... 0 0

−

M O M

M O M M O M

Chương 4: Định thức

Tiếp tục biến đổi tương tự như trên cuối cùng được:

1 0 0

... ...

1 1

11 1 11 1

−

= n nn n nn

n n

a a c c

M O M M O M

Khai triển Laplace theo n hàng cuối ta được:

n nn

n n n

c c

...

( 1)

11 1

1 2 ... 1 ... 2

2 M O M

−

= − + + + + + + +

C C

n n n

( 1) 2 det det

2 (2 1)

= − ⋅ =

4.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

4.5.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Ta đã biết vành ( ,+,.) Mn các ma trận vuông cấp n là không nguyên, vì vậy với ma trận

vuông cho trước chưa chắc đã có ma trận nghịch đảo đối với phép nhân ma trận.

Định nghĩa 4.4: Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng

cấp B sao cho AB = BA = I .

Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa trên nếu tồn tại thì duy

nhất, ta gọi ma trận này là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A−1.

4.5.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý 4.5: (điều kiện cần) Nếu A khả nghịch thì det A ≠ 0 (lúc đó ta nói ma trận A

không suy biến).

Chứng minh: AA−1 = I ⇒ det Adet A−1 = det AA−1 = det I =1.

Chương 4: Định thức

Do đó 0

det

det 1 1

= ≠ A−

A .

Định nghĩa 4.5: Ma trận [ ] B Aij n n × = , trong đó là phần bù đại số của phần tử

của ma trận

Aij aij

[ ] A aij n n × = , được gọi là ma trận phụ hợp của A.

Định lý 4.6: (điều kiện đủ) Nếu det A ≠ 0 thì A khả nghịch và

det

−1 = 1 , (4.19)

với B là ma trận phụ hợp của A.

Chứng minh: Khai triển định thức của ma trận A theo hàng thứ k ta được:

ak1Ak1 + ... + aknAkn = det A

Vậy ai1Ak1 + ... + ain Akn là khai triển theo hàng thứ k của định thức của ma trận có

được bằng cách thay hàng thứ k của A bởi hàng thứ i của A, do đó bằng 0.

Tóm lại

⎩ ⎨ ⎧

≠

+ + =

i k

A i k

ai Ak ainAkn nÕu

nÕu

det

1 1 ... ⇒ ABt = (det A)I .

Tương tự, khai triển theo cột ta có:

⎩ ⎨ ⎧

≠

+ + =

i k

A i k

a i A k ani Ank nÕu

nÕu

det

1 1 ... ⇒ Bt A = (det A)I . (4.20)

Hệ quả 4.7: Nếu BA = I hoặc AB = I thì tồn tại A−1và A−1 = B.

Chứng minh: BA = I ⇒ det A ≠ 0 ⇒ ∃A−1 và

B = B(AA−1) = (BA)A−1 = A−1.

Ví dụ 4.9: Ma trận có

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

1 0 8

2 5 3

1 2 3

A det A = −1.

0 8

5 3

( 1)1 1

11 = − = A + , 13

1 8

2 3

( 1)1 2

12 = − = − A + ,

Chương 4: Định thức

1 0

2 5

( 1)1 3

13 = − = − A + , 16

0 8

2 3

( 1)2 1

21 = − = − A + ,

1 8

1 3

( 1)2 2

22 = − = A + , 2

1 0

1 2

( 1)2 3

23 = − = A + ,

5 3

2 3

( 1)3 1

31 = − = − A + , 3

2 3

1 3

( 1)3 2

32 = − = A + ,

2 5

1 2

( 1)3 3

33 = − = A + ,

Vậy

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

= −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

−

− =

5 2 1

13 5 3

40 16 9

5 2 1

13 5 3

40 16 9

9 3 1

16 5 2

40 13 5

1 1

A .

4.5.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan

Khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận A để đưa A

về ma trận đơn vị, theo tính chất 3.5 chương 3 thì điều này cũng có nghĩa là ta nhân bên trái của

A các ma trận sao cho E1...Ek A = I , trong đó E1,..., Ek là các ma trận dạng R(k,λ ) ,

P(i, j) , Q(i, j,λ ) (xem 3.10, 3.11, 3.12). Mặt khác theo Hệ quả 4.7 thì A E1...Ek

−1 = .

Cũng với lập luận như trên ta có: E1...Ek = E1...Ek I là ma trận có được bằng cách

thực hiện bởi cùng các phép biến đổi sơ cấp tương ứng như đã thực hiện đối với ma trận A lên

các hàng của ma trận đơn vị I . Vì vậy để tìm ma trận A−1 ta thực hiện các bước sau:

1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A I

2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng của A I để đưa ma trận A

ở vế trái về ma trận đơn vị.

3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A−1.

A I →..........→ I A−1 . (4.21)

Chương 4: Định thức

Ví dụ 4.10: Tìm A−1 với

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

1 0 8

2 5 3

1 2 3

1 0 1

2 1 0

1 0 0

0 2 5

0 1 3

1 2 3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 0 8

2 5 3

1 2 3

3 3

2 2

2 1 1 1

−

− →− + →

− + →

→

h h h

h h

5 2 1

2 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 3

1 2 3

5 2 1

2 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 3

1 2 3

3 3

2 2

2 3 3

2 2

1 1 1 1

2 − −

− −

−

− →

→

− →

→

+ →

→

h h

h h h

h h

5 2 1

13 5 3

40 16 9

5 2 1

13 5 3

14 6 3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 0

1 2 0

3 3

2 2

2 1 1

3 3

3 2 2

3 1 1 3

− −

−

− −

−

→ →→ →

− + →

→

+ →

− + →

h h

h h h

h h

h h h

Vậy .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

− =

5 2 1

13 5 3

40 16 9

A 1

Chú ý 4.8: Tìm A−1 theo phương pháp Gauss-Jordan sẽ dễ dàng khi các phần tử của A−1

là các số nguyên ( thường gặp khi det A = ±1).

4.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC

Từ tính chất 4.2 ta biết rằng định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu

định thức DB{v1,..., vn}≠ 0 thì hệ {v1,..., vn} độc lập tuyến tính.

Ngược lại, giả sử hệ độc lập tuyến tính, ta sẽ chứng minh {n

v1,..., v }

{ } 0 ,..., 1 ≠ n v v DB . Thật vậy, giả sử Σ=

v j aijei

, [ ] A = aij ,

det A = DB{v1,..., vn}, vì hệ {v1,..., vn} độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của V .

Chương 4: Định thức

Vậy ta có Σ=

e j bijvi

, [ ] B = bij ⇒ AB = I ⇒ det A ≠ 0 . (4.22)

Định lý 4.9: Hệ {v1,..., vn} độc lập khi và chỉ khi DB{v1,..., vn}≠ 0 .

Định lý 4.10: Giả sử [ ] là một ma trận cỡ A = aij m× n. Nếu có định thức con cấp p

khác 0 và mọi định thức con cấp p +1 bao quanh nó đều bằng 0 thì r(A) = p .

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết định thức con cấp p góc trái

1,..., 0 . Khi đó

1,..., ≠ p

M p p véc tơ cột đầu độc lập tuyến tính, vì nếu có một véc tơ là tổ hợp tuyến

tính của p −1 véc tơ còn lại thì mâu thuẫn với giả thiết 1,..., 0, do đó

1,..., ≠ p

M p r(A) ≥ p . Ta cần

chứng minh bất đẳng thức ngược lại.

Với mọi k =1,...,m; s = p +1,..., n ; Xét ma trận cấp p +1:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

k kp ks

p pp ps

p s

a a a

... ...

21 2 2

11 1 1

M M M M M

Khi k ≤ p : Ma trận B có hai hàng bằng nhau, do đó det B = 0 .

Khi k > p : det B = 0 , vì det B là định thức cấp p +1 bao p .

M p 1,...,

1,...,

Mặt khác khai triển theo hàng cuối ta được dạng sau:

... 1,..., 0

1 1 + + + 1,..., = p

ak μ akpμ p aksM p

⇒ aks =λ1ak1 + ... + λ pakp , với mọi k = 1, 2, ..., m

Vì vậy véc tơ cột vs là tổ hợp tuyến tính của p véc tơ cột đầu. Vậy r(A) ≤ p .

Hệ quả 4.11: A là một ma trận cỡ m× n thì r(A) = r(At ) ≤ min(m,n) .

Chương 4: Định thức

Chú ý 4.12: 1) Từ công thức (4.20) ta đã chứng minh được nếu A là ma trận chuyển từ từ

cơ sở B sang cơ sở B' thì A−1 là ma trận chuyển từ từ cơ sở B' sang cơ sở B.

2) Để tìm hạng ma trận A ta tìm định thức con cấp 2 khác 0. Bao định thức này bởi các

định thức con cấp 3. Nếu tất cả các định thức cấp 3 bao quanh đều bằng 0 thì r(A) = 2. Nếu có

định thức con cấp 3 khác 0 thì ta tiếp tục bao định thức cấp 3 này bởi các định thức cấp 4...

Ví dụ 4.11: a) Ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

4 3 1 1

2 9 4 7

2 1 2 3

có 20

2 9

2 1

−

, 0

4 3 1

2 9 7

2 1 3

4 3 1

2 9 4

2 1 2

− −

= −

−

− −

−

Vậy r(A) = 2

b) Ma trận có

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

− − −

1 4 3 4

3 1 1 4

4 2 1 7

2 1 0 4

B 0

4 2

2 1

− −

nhưng 1

2 1

1 0

−

Bao định thức này bởi định thức cấp 3 1

3 1 1

4 2 1

2 1 0

−

− − .

Định thức cấp 4 duy nhất B = 0 . Vậy r(B) = 3.

Ví dụ 4.12: Tìm hạng của ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

1 1 1

Ta có A = (a + 3)(a −1)3 .

Vậy: • Khi a ≠ −3, a ≠ 1 thì r(A) = 4;

Chương 4: Định thức

• Khi a =1 thì r(A) =1;

• Khi a = −3, − ≠ ⇒

−

1 1 1

1 1 3

1 3 1

r(A) = 3.

Trong thực hành ta có thể kết hợp phương pháp này với phương pháp biến đổi sơ cấp lên

các hàng các cột ma trận thì quá trình tìm hạng ma trận sẽ nhanh hơn.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng tổng quát:

(5.1)

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

m m mn n m

n n

a x a x a x b

...

..............................................

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

Hay i , i = 1, ..., m

j ij b x a = Σ=1

Trong đó x1, x2,..., xn là n ẩn,

aij là hệ số của ẩn thứ j trong phương trình i,

bi là vế phải của phương trình thứ i; i = 1,..., n; j = 1,..., m.

Khi các vế phải bi = 0 thì hệ phương trình được gọi là thuần nhất.

Nghiệm của hệ phương trình là bộ gồm n số (x1, x2,..., xn ) sao cho khi thay vào (5.1)

ta có các đẳng thức đúng. Giải một hệ phương trình là đi tìm tập hợp nghiệm của hệ. Hai hệ

phương trình cùng ẩn là tương đương nếu tập hợp nghiệm của chúng bằng nhau. Vì vậy để giải

một hệ phương trình ta có thể giải hệ phương trình tương đương của nó.

5.1.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Với hệ (5.1) ta xét các ma trận:

, , (5.2)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

m m mn

a a a

...

1 2

21 22 2

11 12 1

M M O M

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

A, B, X lần lượt được gọi là ma trận hệ số, ma trận vế sau và ma trận ẩn. Khi đó hệ

phương trình (5.1) được viết lại dưới dạng ma trận:

AX = B (5.3)

5.1.3 Dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i của ma trận A là và véc tơ vế

sau , thì hệ (5.1) được viết dưới dạng véc tơ:

vi = (a1i ,..., ami )∈􀀖

b = (b1,...,bm)∈􀀖

x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = b (5.4)

Với cách viết này ta thấy rằng hệ phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi

b∈Span{v1,...,vn}.

5.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

Định lý 3.18: (Kronecker-Kapelli) Hệ phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi

) ~ ( ) ( A r A r = trong đó A ~

là ma trận có được bằng cách bổ sung thêm vào ma trận hệ số A một

cột cuối là vế phải của hệ phương trình.

(5.5)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

m mn m

a a b

...

11 1 1

M O M M

Chứng minh: Hệ (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại sao cho

. Nghĩa là được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của { }.

Vậy . Do đó

x1, x2,..., xn ∈􀀖

x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = b b v1,..., vn

r(v1,..., vn ) = r(v1,..., vn ,b) r(A) = r(A~) .

5.3 PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Định nghĩa 5.1: Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số A không suy biến được

gọi là hệ Cramer.

Định lý 5.2: Mọi hệ Cramer đều tồn tại duy nhất nghiệm. Cụ thể

hệ i , i = 1, ..., n có nghiệm

j ij b x a = Σ=1

xi = Di D, i = 1,..., n;

Trong đó D = det A = DB{v1,..., vi−1, vi , vi+1,..., vn}

Di = DB{v1,..., vi−1,b, vi+1,..., vn} (5.6)

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

Di là định thức của hệ các véc tơ cột là các hệ số của hệ phương trình nhưng véc tơ cột thứ

i được thay bởi véc tơ cột vế sau.

Chứng minh: det A ≠ 0 ⇒ hệ {v1,...,vn} là một cơ sở của . Do đó được biểu

diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của

􀀖n b

{v1,...,vn}. Nghĩa là tồn tại duy nhất

sao cho

x1, x2,..., xn

x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = b .

Gọi là cơ sở chính tắc của . Khi đó: {n

B = e1,...,e }

xiD v vi vi vi vn xiD

􀀖n

{ }

⎪⎭

⎪⎬ ⎫

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= = +

− + − Σ i n

Di D v ,..., vi ,b, vi ,..., vn D v ,..., vi , xkvk , v 1,..., v

B 1 1 1 B 1 1

= B{ 1,..., −1, , +1,..., } = ⇒ xi = Di D, i = 1,..., n;

Giải hệ phương trình tuyến tính trường hợp tổng quát

Giả sử hệ phương trình có nghiệm, do đó r(v1,..., vn ) = r(v1,..., vn ,b) . Giả sử

r(v1,..., vn ) = r(v1,..., v p ) ; p ≤ n (trong trường hợp khác cách giải hoàn toàn tương tự). Với

giả thiết này p véc tơ hàng phía trên của A tạo thành hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ các véc

tơ hàng của A. Vì vậy hệ (5.1) tương đương với p phương trình đầu

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

p p pn n p

n n

a x a x a x b

...

..............................................

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

Giả sử 0

...

11 1

≠

p pp

a a

M O M (trường hợp khác cách giải hoàn toàn tương tự)

Hệ phương trình trên được viết lại:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + = − − −

+ +

p p pp p p pp p pn n

p p p p n n

a x a x a x b a x a x

... ...

............................................................................

... ...

1 1 2 2 1 1

21 1 22 2 2 2 2 1 1 2

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

đây là hệ Cramer có vế sau phụ thuộc vào các ẩn . Vậy hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc .

x p+1,..., xn

Ví dụ 5.1: Giải và biện luận theo tham số λ hệ

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

1 2 3 4

x x x x

Từ ví dụ 4.12 chương 4 ta có det A = (λ + 3)(λ −1)3 .

♦ Khi λ ≠ −3,λ ≠1: Hệ đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ngoài ra vai trò

của các ẩn trong hệ đều như nhau, do đó nghiệm của hệ:

x1 = x2 = x3 = x4 ⇒

1 2 3 4 +

= = = =

x x x x

♦ Khi λ =1: r(A) = r(A~) =1, hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

Hệ phương trình có vô số nghiệm x1 =1− x2 − x3 − x4 với x2, x3, x4 tuỳ ý.

♦ Khi λ = −3 : det A = 0 ⇒ r(A) < 4 (theo Ví dụ 3.18 r(A) = 3) nhưng ma trận bổ

sung A ~

có định thức con cấp 4

64 0

1 1 3 1

1 3 1 1

3 1 1 1

1 1 1 1

= ≠

−

⇒ ) 4 r(A~ = ⇒ hệ vô nghiệm.

5.4 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định lý 5.3: Hệ Cramer i , i = 1, ..., n, với các ma trận tương ứng

j ij b x a = Σ=1

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

, ,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

n n nn

a a a

...

1 2

21 22 2

11 12 1

M M O M

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

có nghiệm X = A−1B .

5.5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

Ta có thể kiểm tra được rằng: khi thực hiện các biến đổi sơ cấp sau lên các phương trình

của hệ thì sẽ được hệ mới tương đương:

• Đổi chỗ hai phương trình;

• Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phương trình;

• Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss là thực hiện các phép biến đổi

sơ cấp (có thể đổi chỉ số các ẩn nếu cần) để đưa hệ phương trình (5.1) ; i = 1,..., m

về hệ tương đương ;

j ij b x a = Σ=1

a'ij x' j b'

= Σ=

i = 1,..., m. Các ẩn là các ẩn nhưng có thể thay đổi thứ tự chỉ số và

ma trận bổ sung của hệ mới có dạng

x'1 ,..., x'n x1,..., xn

(5.7)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

pp p

a b

' '

11 1

trong đó a'11...a' pp ≠ 0.

♦Nếu một trong các khác 0 thì có phương trình mà vế trái bằng 0, vế phải

khác 0 nên hệ vô nghiệm.

b' p+1 ,...,b'm

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

♦Nếu b' p+1 = ... = b'm = 0 thì hệ đã cho tương đương với hệ p phương trình

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + =

+ + + =

p pn n p

n n

a x a x b

a x a x a x b

' ' ... ' ' '

.........................................

' ' ... ' ' '

' ' ' ' ... ' ' '

1 1

22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

(5.8)

Ta được các nghiệm x'1 ,..., x' p phụ thuộc x' p+1 ,..., x'n .

Chú ý rằng khi ta biến đổi tương đương lên các phương trình thì thực chất là biến đổi các

hệ số trong các phương trình. Vì vậy khi thực hành ta chỉ cần biến đổi ma trận bổ sung (5.5) của

hệ để đưa về ma trận có dạng (5.7), từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 5.2: Giải hệ phương trình

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ − =

8 7 12

2 3 5 7

4 3 9 9

2 5 8 8

1 2 3

x x x

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0 2 3 1

0 7 7 7

2 5 8 8

1 8 7 12

2 3 5 7

4 3 9 9

2 5 8 8

1 8 7 12

2 3 5 7

4 3 9 9

2 5 8 8

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

− −

−

↔

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 1

1 8 7 12

0 0 1 1

0 0 5 5

0 1 1 1

1 8 7 12

0 2 3 1

0 1 1 1

0 11 6 16

1 8 7 12

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

↔

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 2

1 0 0 3

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 5.3: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

− − − = −

+ + + =

4 4 2

6 9 20 11

2 3 6 8 5

3 2 5 4 3

1 2 3 4

x x x mx

x x x x

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − − − −

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − − −

4 1 4 2

2 3 6 8 5

3 2 5 4 3

1 6 9 20 11

4 1 4 2

1 6 9 20 11

2 3 6 8 5

3 2 5 4 3

m m

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − − − −

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − − −

↔

0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 5 8 16 9

1 6 9 20 11

0 5 8 16 8

0 15 24 48 27

0 20 32 64 36

1 6 9 20 11

m m

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − − − −

↔

0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 5 8 16 9

1 1 1 4 2

Hệ đã cho tương đương với hệ:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

− − − = −

5 8 16 9

4 2

2 3 4

1 2 3 4

x x x

x x x x

♦ m = 0: hệ vô nghiệm;

♦ m ≠ 0: hệ có vô số nghiệm

x 1

4 = , 2 5 3

9 16 x

x m −

−

= , 1 3 5

4 x

x m −

−

= .

hay 3 3 3 ; 3 , , 1

, 9 16

4 x

x x

x m

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

−

tùy ý.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 5.4: Giải hệ phương trình

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + = −

+ + − − = −

− + − − = −

+ + − =

− + − = −

2 2

6 16 5 3

3 8 4 2

2 2 9 2

1 2 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 3 4 5

x x x x

x x x x x

x x x x

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− − −

−

− − −

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− − −

− − − −

−

− − −

0 1 1 0 3 1

0 1 7 22 1 15

0 1 4 11 1 7

0 2 3 11 2 8

1 0 1 1 1 3

1 1 0 1 2 2

0 1 1 16 5 3

3 1 1 8 4 2

2 2 1 9 0 2

1 0 1 1 1 3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

− − −

↔

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

− −

− − −

↔

0 0 0 44 22 22

0 0 1 11 4 6

0 1 1 0 3 1

1 0 1 1 1 3

0 0 6 22 2 14

0 0 5 11 2 8

0 0 1 11 4 6

0 1 1 0 3 1

1 0 1 1 1 3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔

0 0 0 0 0 0

0 0 0 2 1 1

0 0 1 3 0 2

0 1 1 0 3 1

1 0 0 0 0 2

Hệ đã cho tương đương với hệ:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ = −

− =

+ + =

= −

2 1

3 2

3 1

4 5

3 4

2 3 5

x x

x x x

có nghiệm

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= − −

= +

= −

5 4 4 tuú ý

3 4

2 4

1 2 ;

2 3

3 3

x x x

x x

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

5.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

... 0

..............................................

... 0

1 1 2 2

21 1 22 2 2

11 1 12 2 1

m m mn n

n n

a x a x a x

(5.9)

Rõ ràng rằng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) thì r A) = r(A) ≤ n ( ~ và

luôn có nghiệm tầm thường x1 = ... = xn = 0 .

Định lý 5.4:

a) Hệ (3.14) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi r(A) = n.

b) Nếu r(A) = p < n thì nghiệm của hệ (5.9) là không gian con n − p chiều của 􀀖n .

Chứng minh: Ta chứng minh b). Thực hiện các biến đổi tương đương lên ma trận bổ sung

(5.8) của hệ để đưa về hệ tương đương với ma trận bổ sung có dạng

(5.10)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 0

1 0

Suy ra nghiệm có dạng

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

+ −

p p p pn p n

p n p n

x c x c x

' ' ... '

.........................................

' ' ... '

1 1

1 11 1 1

Trong đó (x'1 ,..., x'n ) là một hoán vị của (x1,..., xn ) . Để đơn giản ta giả sử x'1 = x1,..., x'n = xn

(trường hợp khác được chứng minh tương tự), khi đó tập hợp nghiệm:

{(c11xp+1 + ... + c1n− p xn ,...,cp1xp+1 + ... + cpn− p xn , x p+1,..., xn ) x p+1,..., xn ∈􀀖}

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

= {(c11,...,cp1,1,0,...,0)xp+1 + ... + (c1n− p ,...,cpn− p ,0,0,...,1)xn xp+1,..., xn ∈􀀖}

là không gian con n − p chiều của . 􀀖n

Định lý 5.5: Giả sử (x1,..., xn ) là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (5.1) thì

(x1,..., xn ) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng (5.9) khi và chỉ khi (x1 + x1,..., xn + xn )

là nghiệm của phương trình (5.1).

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6. CHƯƠNG 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 6.1: Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian W thoả mãn:

(i) với mọi u,v∈V ; f (u + v) = f (u) + f (v)

(ii) với mọi u,v∈V , α ∈􀀖; f (αu) =αf (u) (6.1)

được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W .

Khi V =W thì f được gọi là tự đồng cấu.

Ví dụ 6.1: Xét các ánh xạ sau:

1) Ánh xạ không 0:V → W

u a 0(u) = 0

2) Ánh xạ đồng nhất IdV :V → V

u a IdV (u) = u

3) Phép vị tự tỷ số k ∈􀀖 f :V → V

u a f (u) = ku

4) Giả sử W1 ⊕W2 ⊂V , xét phép chiếu lên thành phần thứ nhất :

Pr1 :W1 ⊕W2 → V

v1 + v2 a v1

5) Phép tịnh tiến theo véc tơ v ∈V 0 , T :V → V

u a u + v0

Ánh xạ 1), 2), 3), 4) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; 5) không phải là ánh xạ

tuyến tính nếu 0 0. v ≠

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6) Cho ma trận [ ] , A aij m n × =

ánh xạ T : 􀀖n → 􀀖m

(x1,..., xn ) aT (x1,..., xn ) = ( y1,..., ym)

xác định bởi

[ ] (6.2)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

m x

M M

1 1

là một ánh xạ tuyến tính.

Ngược lại ta có thể chứng minh được (xem mục 4) mọi ánh xạ tuyến tính từ vào

đều có dạng như trên.

􀀖n 􀀖m

6.1.2 Các tính chất

Định lý 6.1: Nếu f :V →W là ánh xạ tuyến tính thì

(i) f (0) = 0

(ii) với mọi v∈V : f (−v) = − f (v)

(iii) Σ Σ ,

= =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ n

i i

f xivi x f v

1 1

( ) ∀x1,..., xn ∈􀀖, ∀v1,..., vn ∈V .

Chứng minh: (i) f (0) = f (0 ⋅ 0) = 0 f (0) = 0

(ii) f (v) + f (−v) = f (v + (−v)) = f (0) = 0

(iii) Dễ dàng chứng minh bằng cách quy nạp theo n .

Định lý 6.2: ánh xạ f :V →W là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u,v∈V,α ,β ∈􀀖:

f (αu + βv) =αf (u) + βf (v) .

Chứng minh: Với mọi u, v∈V,α ,β ∈􀀖:

(⇒) : f (αu + βv) = f (αu) + f (βv) =αf (u) + βf (v)

⎩ ⎨ ⎧

= + = + =

+ = + = + = +

⇐

( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) ( ) .

( ) (1 ) (1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) :

f u f u v f u f v f u

f u v f u f v f u f v f u f v

α α α α

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Định lý 6.3: Mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của một

cơ sở của V , nghĩa là với cơ sở B = {e1,...,en} của V và hệ véc tơ cho trước

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

u1,...,un ∈W

f :V →W sao cho f (ei ) = ui , i = 1,..., n .

Chứng minh:

*) Tồn tại: Với mọi v∈V, giả sử là toạ độ của trong cơ sở , nghĩa là

. Đặt

(x1,..., xn ) v B

v = x1e1 + ... + xnen f (v) = x1u1 + ... + xnun ∈W .

Ta có thể kiểm chứng được rằng f là ánh xạ tuyến tính và với mọi

f (ei ) = ui ,

i =1,...,n

*) Duy nhất: Giả sử g :V →W là ánh xạ tuyến tính sao cho với mọi

khi đó với bất kỳ

g(ei ) = ui ,

i =1,...,n v∈V, v = x1e1 + ... + xnen ,

g(v) = g(x1e1 + ... + xnen ) = x1g(e1) + ... + xng(en )

= x1u1 + ... + xnun = f (v)

Vậy g = f .

6.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính

6.1.3.1 Hom(V,W)

Cho hai không gian véc tơ V,W . Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là

Hom(V,W) hay L(V,W) .

Với f , g∈Hom(V,W) , tương ứng V → W

va f (v) + g(v) (6.3)

là một ánh xạ tuyến tính, được ký hiệu f + g và gọi là tổng của f và g .

Tương tự, với k ∈􀀖, tương ứng V → W

vakf (v) (6.4)

là ánh xạ tuyến tính được ký hiệu là kf .

Vậy ta đã xác định hai phép toán "+,⋅" trên tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Với hai phép

toán này thì (Hom(V ,W),+,⋅) có cấu trúc không gian véc tơ và dimHom(V,W) = dimV ⋅ dimW .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.1.3.2 EndV

Giả sử f :V →V ' và g :V '→V" là hai ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ hợp g o f :V →V"

cũng là một ánh xạ tuyến tính. Vì vậy tập các tự đồng cấu của V , ký hiệu EndV , với hai phép toán

cộng và hợp ánh xạ thì (EndV,+,o) là một vành không giao hoán, có đơn vị , không nguyên. Ngoài

ra với hai phép toán định nghiã ở (1.3.1) (EndV,+,⋅) còn là một không gian véc tơ.

6.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 6.4: Giả sử f :V →W là ánh xạ tuyến tính, khi đó:

(i) Nếu V1 là không gian con của V thì là không gian con của và

f (V1) W

dim f (V1) ≤ dimV1

(ii) Nếu W1là không gian con của W thì ( 1)

f −1 W là không gian con của V và

dim dim ( 1) .

W1 f W ≤ −

Chứng minh: (i) • Với mọi u1,u2 ∈ f (V1);α ,β ∈􀀖 tồn tại sao cho

. Do đó

v1,v2 ∈V1

u1 = f (v1), u2 = f (v2 )

αu1 + βu2 =αf (v1) + βf (v2 ) = f (αv1) + f (βv2 )∈ f (V1) .

• Giả sử là một cơ sở của với mọi {n

e1,...,e } V1 u ∈ f (V1) , tồn tại v∈V1:

v = x1v1 + ... + xnvn và f (v) = u ⇒ u = x1 f (e1) + ... + xn f (en )

⇒ {f (e1),..., f (en )} là một hệ sinh của f (V1) .

Điều này suy ra dim f (V1) ≤ dimV1.

(ii) được chứng minh tương tự.

Định nghĩa 6.2: Với ánh xạ tuyến tính f :V →W ta ký hiệu và định nghĩa

Kerf = f −1{0}, Im f = f (V ) (6.5)

là hạt nhân và là ảnh của f , ký hiệu

r( f ) = dimIm f (6.6)

là hạng của ánh xạ f .

Định lý 6.5: Với mọi ánh xạ tuyến tính f :V →W

dimV = r( f ) + dimKerf (6.7)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Chứng minh: Giả sử {e1,..., em} là một cơ sở của Kerf (khi Kerf = {0} thì m = 0). Ta bổ

sung để {e1,...,em,em+1,...,em+k } là một cơ sở của V . Ta chứng minh {f (em+1),..., f (em+k )}

là một hệ sinh, độc lập tuyến tính của Im f (do đó là một cơ sở).

• Với mọi f (v)∈Im f ;

v = x1e1 + ... + xmem + xm+1em+1 + ... + xm+k em+k ∈V

f (v) = x1 f (e1) + ... + xm f (em) + xm+1 f (em+1) + ... + xm+k f (em+k )

= xm+1 f (em+1) + ... + xm+k f (em+k ) .

• Giả sử y1 f (em+1) + ... + yk f (em+k ) = 0 thì

y1em+1 + ... + yk em+k ∈Kerf

⇒ y1em+1 + ... + yk em+k = z1e1 + ... + zmem

⇒ y1em+1 + ... + yk em+k − z1e1 − ... − zmem = 0

⇒ y1 = ... = yk = −z1 = ... = −zm = 0.

6.3 TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU

6.3.1 Toàn cấu

Định nghĩa 6.3: Ánh xạ tuyến tính mà toàn ánh được gọi là toàn cấu.

Định lý 6.6: Với ánh xạ tuyến tính f :V →W , các mệnh đề sau tương đương:

(i) f toàn cấu.

(ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W .

(iii) r( f ) = dimW .

Chứng minh: (i)⇒(ii) : Giả sử {v1,..., vn} là hệ sinh của V . Khi đó với mọi u∈W ,

tồn tại v∈V sao cho f (v) = u (vì f (V ) =W ).

v = x1v1 + ... + xnvn ⇒ u = x1 f (v1) + ... + xn f (vn ) .

Vậy {f (v1),..., f (vn )} là hệ sinh của W .

(ii)⇒(i) : Giả sử {e1,...,en} là một cơ sở của V thì {f (e1),..., f (en )} là hệ sinh của

W ⇒ W = span{f (e1),..., f (en )}= f (V ) .

(i) ⇔ f (V ) =W ⇔ dim f (V ) =dimW ⇔ r( f ) =dimW .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.3.2 Đơn cấu

Định nghĩa 6.4: Ánh xạ tuyến tính mà đơn ánh được gọi là đơn cấu.

Định lý 6.7: Với ánh xạ tuyến tính f :V →W , các mệnh đề sau tương đương:

(i) f đơn cấu.

(ii) Kerf = {0}.

(iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập tuyến tính của W .

(iv) r( f ) =dimV .

Chứng minh: (i)⇒(ii) : Hiển nhiên.

(ii)⇒(i) : Giả sử f (v1) = f (v2 ) ⇒ 0 = f (v1) − f (v2 ) = f (v1 − v2 )

⇒ v1 − v2 = 0 ⇒ v1 = v2 .

(ii)⇒(iii) : Giả sử {v1,..., vm} độc lập:

x1 f (v1) + ... + xm f (vm) = 0 ⇒ x1v1 + ... + xmvm ∈Kerf

⇒ x1v1 + ... + xmvm = 0 ⇒ x1 = ... = xm = 0

(iii)⇒(iv) : Giả sử {e1,..., en} là một cơ sở của V thì {f (e1),..., f (en )} là hệ sinh

độc lập tuyến tính của f (V) . Do đó r( f ) =dimV .

(iv)⇒ (ii) : dimKer 0 Ker {0}.

dim ( )

dim ( ) dimKer

⇒ = ⇒ =

⎭ ⎬ ⎫

= +

f f

V r f

V r f f

6.3.3 Đẳng cấu

Định nghĩa 6.5: Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu.

Vậy đẳng cấu là một ánh xạ tuyến tính và song ánh.

Hai không gian V,W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu

f :V →W .

Phép đẳng cấu f :V →V được gọi là tự đẳng cấu của không gian V . Tập hợp các tự

đẳng cấu của V được ký hiệu là Gl(V) .

Định lý 6.8: V và W đẳng cấu khi và chỉ khi dimV = dimW .

Chứng minh: (⇒) : Nếu f :V →W đẳng cấu thì

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

V W

W r f

V r f

dim dim

dim ( )

⇒ =

⎭ ⎬ ⎫

(toμn cÊu)

(don cÊu)

(⇐) : Ngược lại nếu dimV = dimW = n .

Giả sử B = {e1,..., en}, B'= {ω1,...,ωn} là cơ sở lần lượt của V và W . Gọi f :V →W

là ánh xạ tuyến tính thoả mãn f (ei ) =ωi ; i = 1,..., n (xem chứng minh định lý 4.3). Khi đó

r( f ) = dimV = dimW ⇒ f đẳng cấu.

Định lý 6.9: (Gl(V ),o) là một nhóm (không giao hoán).

Chứng minh: Ta dễ dàng chứng minh nếu f là tự đẳng cấu của V thì ánh xạ ngược

f −1cũng là tự đẳng cấu của V . Nếu f , g tự đẳng cấu thì g o f cũng tự đẳng cấu.

Ta đã biết rằng ánh xạ từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn có cùng số phần tử là đơn

ánh khi và chỉ khi là toàn ánh ( Chú ý 1.3-4, chương 1 trang 20). Điều này cũng còn đúng đối với

ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véc tơ có cùng số chiều.

Định lý 6.10: Giả sử dimV = dimW và f :V →W là ánh xạ tuyến tính từ V vào

W thì: f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu.

Chứng minh:

f toàn cấu ⇔ r( f ) = dimW ⇔ r( f ) = dimV ⇔ f đơn cấu.

6.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

6.4.1 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Theo định lý 6.3, mọi ánh xạ tuyến tính f :V →W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của

một cơ sở của V . Giả sử là một cơ sở của {n

B = e1,...,e } V thì ánh xạ tuyến tính f hoàn

toàn được xác định bởi hệ véc tơ {f (e1),..., f (en )}. Mặt khác theo chương 3-(1.3), nếu

B'= {ω1,...,ωm} là một cơ sở của W thì hệ {f (e1),..., f (en )} hoàn toàn được xác định bởi

ma trận cỡ có cột là các toạ độ của các véc tơ trong cơ sở . Vì

vậy với hai cơ sở , cho trước thì ánh xạ tuyến tính

m× n n f (e1),..., f (en ) B'

B B' f hoàn toàn được xác định bởi ma

trận [ ] , trong đó A aij m n × =

f e a j n (6.8)

( j ) ij i ; 1,...,

= =Σ=

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 6.6: Ma trận A có các phần tử xác định bởi (6.8) được gọi là ma trận của ánh

xạ tuyến tính

aij

f trong cơ sở B của V và B' của W .

Như vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B của V và của W là ma trận có

các cột là toạ độ của { } viết trong cơ sở '.

f (e1),..., f (en ) B

Ví dụ 6.2: Xét ánh xạ f : 􀀖3 → 􀀖2

(x, y, z)a (2x + y − 4z,3x + 5z)

f (1,0,0) = (2,3) = 2(1,0) + 3(0,1) .

f (0,1,0) = (1,0) = 1(1,0) + 0(0,1) .

f (0,0,1) = (−4,5) = −4(1,0) + 5(0,1) .

Vậy ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 􀀖3 và 􀀖2 là

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

3 0 5

2 1 4

Nếu (x1,..., xn ) là toạ độ của v∈V trong cơ sở B.

( y1,..., ym) là toạ độ của f (v)∈W trong cơ sở B' thì

[ ] (6.9)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

ij m n

m x

M M

1 1

hay (6.10)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

m m mn n

n n

y a x a x

...

....................................

...

1 1

1 11 1 1

(6.10) được gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ tuyến tính f .

Giả sử V,W là hai không gian véc tơ với hai cơ sở lần lượt B = {e1,...,en} và

B'= {ω1,...,ωm}. Với ánh xạ tuyến tính f :V →W thì có ma trận tương ứng [ ] A aij m n × =

xác định bởi ( 6.8).

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Ngược lại, cho ma trận A [aij ]m n × = , biểu thức toạ độ (6.9) xác định ánh xạ f :V →W

có ma trận là A∈Mm×n . Vậy có tương ứng 1 - 1 giữa Hom(V,W) và m×n M . Hơn nữa, ta dễ

dàng chứng minh được rằng nếu A,B là ma trận của f , g thì A+ B là ma trận của f + g và

kA là ma trận của kf , với mọi k ∈􀀖.

Định lý 6.11: Tương ứng Hom(V ,W) → Mm×n

f a A

xác định bởi (6.8) là một đẳng cấu tuyến tính và r( f ) = r(A).

Chứng minh: Hạng r(A) của ma trận A là hạng của hệ các véc tơ cột { }

do đó

f (e1),..., f (en )

r(A) = dim f (V) = r( f ) .

Cho hai ánh xạ tuyến tính f , g : V ⎯⎯f →V '⎯⎯g→V" . V,V',V" có cơ sở lần lượt

là B = {e1,..., en}, B'= {e'1 ,..., e'm}, B"= {e1",..., el "}. Giả sử A là ma trận của f

trong cơ sở B, B' và B là ma trận của g trong cơ sở B', B" thì BA là ma trận của

g o f trong cơ sở B, B" (xem thêm (3.1)). Thật vậy:

[ ] , trong đó A aij m n × = Σ=

f e j aije i

( ) ' ; j =1,...,n

[ ] , trong đó m l ki b B × = Σ==

g e i bkie k

( ' ) " ; i =1,...,m

Ta có Σ Σ

= =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

ij i

g f e j g aije i a g e

1 1

o ( ) ' ( ' )

Σ Σ Σ Σ .

= = = =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

ki ij

aij bkie b a e

1 1 1 1

" "

Điều này chứng tỏ BA là ma trận của g o f .

Khi V =V '=V" và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương ứng 1-1 giữa các tự

đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Định lý 6.12: Tương ứng End(V )→ Mn

f a A

là một đẳng cấu vành, trong đó A là ma trận của f trong một cơ sở cố định của V xác

định bởi (6.8).

Chú ý: Nếu ta ký hiệu ma trận A, B tương ứng với ánh xạ tuyến tính f , g trong một cơ

sở cố định của V xác định bởi (6.8) là f ↔ A, g ↔ B thì:

f + g ↔ A + B

kf ↔kA

f o g ↔ AB

r( f ) = r(A)

6.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Giả sử f :V →W là ánh xạ tuyến tính.

Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B1 = {e1,..., en} sang cơ sở của

không gian

B'1 = {e'1 ,..., e'n}

V .

Gọi P là ma trận chuyển cơ sở B2 = {ω1,...,ωm} sang cơ sở B'2 = {ω '1 ,...,ω 'm}

của W .

A là ma trận của f trong cơ sở B1,B2 ,

A' là ma trận của f trong cơ sở B'1 ,B'2

Thì A'= P−1AT (6.11)

Thật vậy: Giả sử [ ] , A = aki m×n [ ] A'= a'ki m×n , [ ] P = pki m×m , [ ] . T tij m n × =

Σ=

f ei aki k

) ( ω ; Σ=

f e j a ij i

( ' ) ' ω'

Σ=

i pki k

' ω ω ; Σ=

e j tijei

100

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Ta có Σ Σ Σ Σ Σ

= = = = =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= =

ki ij

ij ki k

f e j a ij i a p p a

1 1 1 1 1

( ' ) ' ω ' ' ω ' ω

Mặt khác:

Σ Σ Σ Σ Σ Σ

= = = = = =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

ki ij

ij i ij ki k

f e j f tijei t f e t a a t

1 1 1 1 1 1

( ' ) ( ) ω ω

Do đó Σ với mọi

pkia ij

' Σ=

akitij

j =1,...,n ; k =1,...,m.

Suy ra PA'= AT . Vậy A'= P−1AT .

Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V . Gọi A, A' là ma trận của f

trong hai cơ sở B,B' và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì:

A'= T −1AT (6.12)

Chú ý: Nếu T là ma trận chuyển cơ sở B sang cơ sở B' thì T −1 là ma trận chuyển cơ

sở B'sang cơ sở B (xem chú ý 4.12 chương 4 trang 114).

Định nghĩa 6.7: Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy

biến T sao cho B = T −1AT .

Từ (6.12) cho thấy hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau là

đồng dạng. Nếu A, B đồng dạng thì det A = det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa định thức của

một tự đồng cấu f là

det f = det A (6.13)

trong đó A là ma trận của f trong một cơ sở nào đó.

6.4.3 Ánh xạ tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f có biểu thức toạ độ xác định bởi (6.7), (6.8). Khi đó hệ phương

trình tuyến tính (5.1-5.4) tương ứng (trang 130-131) có nghiệm khi và chỉ khi

b∈Im f (6.14)

và (x1,..., xn ) là nghiêm khi và chỉ khi f (x1,..., xn )= b .

101

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

(x1,..., xn ) là nghiêm của phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) (trang 137) khi và

chỉ khi

(x1,..., xn )∈Ker f (6.15)

Nhận xét: Từ hai định lý 6.11 và 6.12 ta thấy rằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể

chuyển sang bài toán ma trận, hệ phương trình tuyến tính và ngược lại. Chẳng hạn để chứng minh

định thức của ma trận A khác 0 ta chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính có ma trận là A là

đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng có duy nhất nghiệm.

6.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán: Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V ,

hãy tìm một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

λn

(6.16)

Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm ma trận không suy biến

T sao cho T −1AT có dạng chéo.

Ta sẽ chỉ ra khi nào bài toán này có lời giải, cách tìm ma trận và tìm cơ sở để ma trận

của

f trong cơ sở này có dạng chéo.

6.5.1 Không gian con bất biến

Định nghĩa 6.8: Không gian con W của không gian V được gọi là bất biến đối với tự đồng

cấu f trên V nếu f (W) ⊂W .

Giả sử {e1,..., ek } là một cơ sở của W , ta bổ sung để { } e1,..., ek , ek +1,..., en là cơ sở

của V . Với cơ sở này ma trận của f có dạng

n k

− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

k n − k

102

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Nếu V =W1 ⊕W2 , W1,W2 bất biến đối với f thì có thể chọn cơ sở để ma trận của f

có dạng

n k

− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

k n − k

6.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng

Định nghĩa 6.9: Nếu tồn tại véc tơ v∈V , v ≠ 0 sao cho f (v) = λv thì λ được gọi là

một giá trị riêng và v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của tự đồng cấu f .

Với mỗi λ ∈􀀖, ký hiệu

Vλ = {v∈V f (v) =λv}= Ker( f −λidV ) (6.17)

Rõ ràng rằng Vλ là không gian con của V .

Định nghĩa 6.10: Nếu λ là giá trị riêng thì Vλ được gọi là không gian riêng ứng với giá trị

riêng λ.

Định lý 6.13: 1) λ là giá trị riêng của f khi và chỉ khi Vλ ≠ {0}.

2) Nếu λ là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v ≠ 0 của Vλ đều là véc tơ riêng ứng với

giá trị riêng λ .

3) Vơi mọi λ , không gian con Vλ bất biến đối với f .

Chứng minh: Ta chứng minh 3)

a) Trường hợp Vλ = {0} là hiển nhiên.

b) Trường hợp Vλ là không gian riêng:

Với mọi v∈Vλ ⇒ f (v) = λv

103

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

⇒ f ( f (v)) = f (λv) = λf (v)⇒ f (v)∈Vλ (6.18)

Định nghĩa 6.11: λ được gọi là giá trị riêng của ma trận [ ] A aij n n × = nếu tồn tại

x1,..., xn không đồng thời bằng 0 sao cho

hay ( ) (6.19)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

n xn

A M M

1 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 0

M M

A λ I

Khi đó n được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

v = (x1,..., xn )∈􀀖 λ .

6.5.3 Đa thức đặc trưng

Định nghĩa 6.12: Giả sử f là một tự đồng cấu trong không gian véc tơ n chiều V có ma

trận A trong một cơ sở nào đó của V . Khi đó:

P(λ ) := det( f −λidV ) = det(A −λI ) (6.20)

là một đa thức bậc n của λ không phụ thuộc vào cơ sở của V được gọi là đa thức đặc

trưng của f và của A.

Định lý 6.14: λ0 là giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ0 là nghiệm của đa thức đặc trưng.

Chứng minh: λ0 là giá trị riêng khi và chỉ khi {0} 0 Vλ ≠ . Điều này tương đương với các điều

tương đương sau: ánh xạ f −λ0idV không đơn cấu, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) có

nghiệm không tầm thường. Vậy r( f − λ0idV )< n ; det( f −λ0idV ) = 0, det(A −λ0I )= 0.

Ví dụ 6.3: Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu trong có ma trận chính tắc

là .

􀀖2

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

1 0

3 2

Phương trình đặc trưng

(1 )(2 ) 0

0 2

1 2

3 2

( ) = − − =

−

− −

−

− −

−

= λ λ

λ λ

P λ

có các nghiệm λ1 = 1, λ2 = 2.

104

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

* Véc tơ riêng v = (x, y) ứng với giá trị riêng λ1 = 1 là nghiệm của hệ

hay . ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

1 y

I A λ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− − 0

1 1

2 2

Hệ phương trình tương đương với phương trình x + y = 0.

Vậy v = (x,−x) = x(1,−1), x ≠ 0 .

* Véc tơ riêng v = (x, y) ứng với giá trị riêng λ2 = 2 là nghiệm của hệ

hay . ( ) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

2 y

I A λ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− − 0

1 2

Hệ phương trình tương đương với phương trình x + 2y = 0 .

Vậy v = (−2y, y) = y(−2,1); y ≠ 0 .

Định lý 6.15: Mọi tự đồng cấu f trong không gian thực chiều đều có ít nhất

một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều.

n (n ≥ 1)

Chứng minh: Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f trong cơ sở {e1,..., en}. Đa thức đặc

trưng P(λ ) = A −λI là đa thức bậc n của λ . Nếu phương trình P(λ ) = 0 có nghiệm thực

λ0 thì theo Định lý 6.14 và Định nghĩa 6.9 tồn tại v ≠ 0 sao cho f (v) = λ0v . Không gian con

một chiều sinh bởi {v} bất biến đối với f . Nếu phương trình P(λ ) = 0 không có nghiệm thực

thì có ít nhất một nghiệm phức λ1 = a + ib (xem phụ lục). Xét hệ phương trình tuyến tính phức

[ ] (6.21)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 0

1 M M

A λ I

Tương tự như trường hợp hệ phương trình thuần nhất thực (5.9), vì det(A −λ1I ) = 0 nên

hệ phương trình (6.21) tồn tại nghiệm không đồng thời bằng 0, nghiệm

không thể là nghiệm thực.

(z1,..., zn ) (z1,..., zn )

Giả sử z1 = x1 + iy1,... , zn = xn + iyn thì và không tỉ lệ. Thật

vậy, nếu thì

x1,..., xn y1,..., yn

x1 = ky1, ... , xn = kyn

[ ] [ ]( ) [ ]

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⇒ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= − +

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 M M M M M

n n x n

A I

A I ki

A λ I λ λ

105

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

điều này trái với giả thiết λ1 là một số phức nên (6.21) không thể có nghiệm thực khác 0.

Đặt v = x1e1 + ... + xnen , u = y1e1 + ... + ynen , vì và không tỉ

lệ nên hệ hai véc tơ độc lập. Mặt khác bằng cách đồng nhất phần thực và phần ảo của số

phức ta suy ra

x1,..., xn y1,..., yn

{v,u}

;

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

n n y n

A M M M

1 1 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

n n y n

A M M M

1 1 1

Vậy

⎩ ⎨ ⎧

= +

= −

f u bv au

f v av bu

( )

(6.22)

Do đó là không gian con hai chiều bất biến đối với {u

W = span v, } f .

6.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá được

Định nghĩa 6.13: Tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V chéo hoá được nếu tồn tại một

cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo.

Từ định nghĩa này ta thấy rằng f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

V gồm các véc tơ riêng của f .

Một cách tương đương, ta nói ma trận A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không suy biến

T sao cho T −1AT là ma trận chéo.

Định lý 6.16: Giả sử v1,...,vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt

λ1,...,λm của tự đồng cấu f thì hệ véc tơ {v1,...,vm} độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ {v1,..., vk } độc lập tuyến tính với

1 ≤ k ≤ m.

* Khi k =1 hệ một véc tơ v1 ≠ 0 là độc lập tuyến tính.

* Giả sử hệ {v1,..., vk } với 1 ≤ k ≤ m −1 độc lập tuyến tính. Ta chứng minh hệ

{v1,...,vk ,vk +1} độc lập. Thật vậy, giả sử

x1v1 + ... + xkvk + xk +1vk +1 = 0 (6.23)

⇒ f (x1v1 + ... + xkvk + xk +1vk +1) = 0

⇒λ1x1v1 + ... + λk xk vk + λk+!xk +1vk +1 = 0 (6.24)

106

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Nhân λk +1 vào (6.23) rồi trừ cho (6.24) ta được

(λk +1 −λ1)x1v1 + ... + (λk +1 −λk )xk vk = 0

Vì {v1,..., vk } độc lập và các λ1,...,λm khác nhau từng đôi một suy ra

x1 = ... = xk = 0⇒ xk +1 = 0.

Hệ quả 6.17: Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n chiều V có

đúng n nghiệm thực phân biệt thì f chéo hoá được.

Chứng minh: Vì đa thức đặc trưng có nghiệm phân biệt nên véc tơ riêng tương ứng

với giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của

n n

n V gồm các véc tơ riêng của f .

Vậy f chéo hoá được.

Hệ quả 6.18: Giả sử đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f chỉ có các nghiệm thực:

P( ) ( 1)n ( )m1 ...( ) λ = − λ −λ1 λ −λ với m1 + ... + mk = n và các λ1,...,λk khác

nhau từng đôi một. Khi đó f chéo hoá được khi và chỉ khi với mọi i =1,..., k :

V mi i dim λ = . (6.25)

Chứng minh: Trong mỗi ta chọn một cơ sở gồm véc tơ. Hệ véc tơ gộp

lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở

của

(⇐) : i Vλ mi n

V gồm các véc tơ riêng của f . Vậy f chéo hoá được.

(⇒) : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma trận f

có dạng chéo

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

μn

( ) ( 1) ( 1)...( n )

⇒ P λ = − n λ − μ λ − μ

Suy ra các giá trị riêng μ1,...,μn phải trùng với λ1,...,λk .

Vậy có đúng giá trị riêng trong các i m n μ μ ,..., 1 bằng i λ

, i =1,..., k . Do đó có đúng

véc tơ riêng ứng với giá trị riêng i m i λ

, nghĩa là V mi i dim λ = .

107

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.5.5 Thuật toán chéo hoá

􀂙 Bài toán 1: Cho tự đồng cấu f trên không gian V . Hãy tìm cơ sở của V để ma trận

f trong cơ sở này có dạng chéo.

􀂙 Bài toán 2: Cho ma trận A vuông cấp n . Tìm ma trận không suy biến T sao cho

T −1AT có dạng chéo.

Cho tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V . Giả sử B = {e1,..., en} là một cơ sở

trong V và ma trận của f trong cơ sở B là A. Khi đó bài toán 1 trở thành bài toán 2. Ngược

lại, cho ma trận vuông A ta xét ánh xạ tuyến tính có ma trận trong cơ sở chính

tắc là

f :􀀖n →􀀖n

A. Khi đó bài toán 2 trở thành bài toán 1.

Vì vậy, để giải hai bài toán này ta cần tìm cơ sở B'= {e'1 ,..., e'n} gồm các véc tơ riêng

của f và ma trận cần tìm T chính là ma trận chuyển từ cơ sở sang . Vậy ta cần thực hiện

các bước sau:

B B'

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:

P(λ ) := det( f −λidV ) = det(A −λI ) = 0

P( ) ( 1)n ( )m1 ...( ) ⇒ λ = − λ −λ1 λ −λ .

Bước 2: Với mỗi giá trị riêng i λ

ta tìm các véc tơ riêng v = x1e1 + ... + xnen có

là nghiệm của hệ phương trình (n

x1 ,..., x )

[ ] (6.26)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 0

M M

A λ I

Tập hợp nghiệm là không gian con di chiều; di = n − r(A − λi I ).

Nếu di < mi với i nào đó, 1≤ i ≤ k thì f không hoá chéo được.

Nếu thì ta chọn véc tơ độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng i i m d = i m i λ

, với mọi

i =1,..., k . Hệ gồm m1 + ... + mk = n các véc tơ riêng này là cơ sở B' cần tìm.

Ví dụ 6.4: Chéo hóa ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

8 0 3

9 4 6

2 1 0

108

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Đa thức đặc trưng của A

(3 )( 1)( 1)

8 8 5

9 5 3

1 0 0

(3 )

8 0 3

9 4 6

3 3 3

8 0 3

9 4 6

2 1 0

( )

= − − +

− −

= − − − −

− − −

−

− − −

−

− −

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

P λ

Do đó A có các giá trị riêng λ1 = −1, λ2 =1, λ3 = 3 .

*) Giá trị riêng λ = −1 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

8 0 2

9 5 6

3 1 0

Ta có:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

↔

− −

↔

− −

−

4 1

0 0

3 1 0

0 0

3 1 0

8 0 2

9 5 6

3 1 0

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

⎩ ⎨ ⎧

= −

⇒

⎩ ⎨ ⎧

+ =

− =

z x

y x

x z

x y

4 0

3 0

v = (x,3x,−4x)= x(1,3,−4) chọn e'1 = (1,3,−4) .

**) Giá trị riêng λ =1 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

8 0 4

9 3 6

1 1 0

Ta có:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

↔

− −

−

2 0 1

1 1 0

8 0 4

9 3 6

1 1 0

0 0 0

109

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

⎩ ⎨ ⎧

= −

⇒

⎩ ⎨ ⎧

+ =

− =

z x

x y

x z

x y

2 0

v = (x, x,−2x)= x(1,1,−2) chọn e'2 = (1,1,−2) .

***) Giá trị riêng λ = 3 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

8 0 6

9 1 6

1 1 0

Ta có

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

↔

− −

4 0 3

0 0 0

1 1 0

8 0 6

9 1 6

1 1 0

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= −

⇒

⎩ ⎨ ⎧

+ =

z x

x y

x z

x y

4 3 0

(3, 3, 4)

3 3

, , 4 = − − ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

v = x −x x x chọn e'3 = (3,−3,−4) .

Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng B'= {e'1 , e'2 , e'3}. Ma trận chuyển cơ sở

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − −

= −

4 2 4

3 1 3

1 1 3

T .

Do đó .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

− =

0 0 3

0 1 0

1 0 0

T 1AT

Ví dụ 6.5: Chéo hóa ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0 0 1

2 3 0

3 2 0

110

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Đa thức đặc trưng của A

(5 )( 1) .

0 0 1

0 5 0

1 2 0

0 0 1

1 3 0

1 2 0

0 0 1

2 3 0

3 2 0

( )

= − − 2

−

− −

−

− −

−

− −

λ λ

P λ

Do đó A có các giá trị riêng λ1 = 5 và λ2 = 1 (kép).

*) Giá trị riêng λ = 5 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

0 0 4

2 2 0

có hệ phương trình tương đương:

⎩ ⎨ ⎧

= −

⇒

⎩ ⎨ ⎧

+ =

x y

v = (− y, y,0) = y(−1,1,0) chọn e'1 = (−1,1,0) .

**) Giá trị riêng λ =1 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0 0 0

2 2 0

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: x − y = 0 , z tuỳ ý.

v = (x, x, z)= x(1,1,0) + z(0,0,1) chọn e'2 = (1,1,0) , e'3 = (0,0,1) .

Ma trận chuyển cơ sở và .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

0 0 1

1 1 0

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 1

0 1 0

5 0 0

T 1AT

111

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 6.6: Chéo hóa ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 1 1

Đa thức đặc trưng của A

1 1 1

( )

λ λ

− − −

−

− −

P =

(1 )( 2)2

0 0 2

0 2 0

1 1 1

(1 ) = − +

− −

= − − − λ λ

λ λ .

Đa thức đặc trưng có nghiệm λ1 =1 và λ2 = −2 (kép).

*) Giá trị riêng λ1 =1 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 0 2

1 2 1

2 1 1

Ta có

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔ − ↔

−

0 0 0

1 1 2

1 2 1

2 1 1

1 0

0 1

0 0 0

3 0

2 1 1

Vậy hệ phương trình trên tương đương với:

⎩ ⎨ ⎧

⇒

⎩ ⎨ ⎧

− =

− + =

x y

x z

x y

x z

v = (x, x, x) = x(1,1,1) chọn e'1 = (1,1,1) .

**) Giá trị riêng λ2 = −2 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

1 1 1

112

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: x + y + z = 0.

v = (− y − z, y, z) = y(−1,1,0) + z(−1,0,1) .

Chọn e'2 = (−1,1,0) , e'3 = (−1,0,1) .

Ma trận chuyển cơ sở

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

1 0 1

1 1 0

1 1 1

T và .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− = −

0 0 2

0 2 0

1 0 0

T 1AT

Ví dụ 6.7: Chéo hóa ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

6 7 7

4 7 8

1 3 4

Đa thức đặc trưng của A

λ λ

− −

+ − −

− −

6 7 7

2 2 1 0

1 3 4

6 7 7

4 7 8

1 3 4

P( )

λ λ

− − − −

−

− − −

= +

− − −

−

− − −

= +

1 7 7

0 1 0

1 3 4

(1 )

8 7 7

0 1 0

5 3 4

(1 )

(3 )( 1)2

0 4 3

0 1 0

1 3 4

(1 ) = − +

− −

−

− − −

= + λ λ

λ .

Đa thức đặc trưng có nghiệm λ1 = 3 và λ2 = −1 (kép).

Giá trị riêng λ2 = −1 có véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

6 7 8

4 6 8

2 3 4

113

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Biến đổi ta được hệ phương trình tương đương:

⎩ ⎨ ⎧

⇒

⎩ ⎨ ⎧

− =

− + =

x z

y z

x y z 2

2 0

2 3 4 0

⇒ v = (x,2x, x)= x(1,2,1)

Vậy không gian riêng V = {x(1,2,1) x∈􀀖} λ2 có dim 1 2 2 Vλ = < nên ma trận không

chéo hoá được.

114

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

7.1 TÍCH VÔ HƯỚNG, KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

7.1.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 7.1: Một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V là một ánh xạ

η :V ×V → 􀀖

(u,v) a η(u,v)

sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với biến kia.

Nghĩa là với mọi x1, x2, y1, y2 ∈􀀖, với mọi u1,u2, v; u, v1, v2 ∈V thì

η(x1u1 + x2u2, v) = x1η(u1, v) + x2η(u2, v)

η(u, y1v1 + y2v2 ) = y1η(u, v1) + y2η(u, v2 ) . (7.1)

Định nghĩa 7.2: Dạng song tuyến tính η được gọi là có tính:

i) Đối xứng: Nếu η(u,v) =η(v,u) với mọi u,v∈V ; (7.2)

ii) Không âm: Nếu η(u,u) ≥ 0 với mọi u∈V ; (7.3)

iii) Không dương: Nếu η(u,u) ≤ 0 với mọi u∈V ; (7.4)

iv) Xác định: Nếu η(u,u) = 0 khi và chỉ khi u = 0 . (7.5)

Ta dễ dàng thấy rằng η xác định dương khi và chỉ khi η(u,u) > 0 với mọi u ≠ 0 .

Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích vô hướng. Ta thường

ký hiệu tích vô hướng của u và v là u,v thay cho η(u,v) .

Một không gian véc tơ V với một tích vô hướng <,> được gọi là không gian véc tơ

Euclide.

115

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ví dụ 7.1: Trong không gian véc tơ các véc tơ tự do trong mặt phẳng và không gian véc

tơ các véc tơ tự do trong không gian, ta xét tích vô hướng của hai véc tơ theo nghĩa thông

thường

u ⋅ v = u ⋅ v cos(u,v) .

Ta dễ dàng kiểm chứng được tích vô hướng (theo tên gọi thông thường) là một dạng song

tuyến tính xác định dương, do đó nó là tích vô hướng theo định nghĩa trên. Vậy , là hai

không gian véc tơ Euclide.

R2 R3

Ví dụ 7.2: Xét không gian véc tơ { x xn xi i n}

n ( ,..., ) ; 1,..., 􀀖 = 1 ∈􀀖 =

Với x = (x1,..., xn ) , n , ta định nghĩa:

y = ( y1,..., yn )∈􀀖

x, y = x1y1 + ...+ xn yn (7.6)

thì (􀀖n , , ) là một không gian véc tơ Euclide.

Giả sử (V, , ) là một không gian véc tơ Euclide.

Định nghĩa 7.3: Với mỗi véc tơ v∈V ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc

tơ v qua biểu thức

v = v,v . (7.7)

Nếu v =1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị.

Tính chất 7.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với mọi u,v∈V thì u, v ≤ u ⋅ v (7.8)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v tỉ lệ.

Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều

bằng 0, do đó bất đẳng thức nghiệm đúng.

Giả sử v ≠ 0 thì với mọi t ∈􀀖 ta có: u + tv,u + tv ≥ 0 .

Mặt khác u + tv,u + tv = t2 v 2 + 2t v,u + u 2 là một tam thức bậc hai đối với t

và luôn luôn không âm. Vì vậy ' , 2 2 0 Δ = v u 2 − v u ≤ . Từ đó suy ra bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz.

116

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Khi u = kv thì u, v = kv, v = k ⋅ v 2 = kv ⋅ v = u ⋅ v .

Ngược lại: nếu u, v = u ⋅ v thì Δ'= 0. Suy ra tồn tại t0 ∈􀀖 sao cho

u + t0v,u + t0v = 0⇒u = −t0v .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào không gian ta có bất đẳng thức

Bunnhiacopsky:

􀀖n

( ) ( )( 2 2 )

2 2

x1y1 +...+ xn yn ≤ x +...+ xn y +...+ yn (7.9)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = ty1,..., xn = tyn .

7.1.2 Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt

Định nghĩa 7.4: Hai véc tơ u,v∈V gọi là trực giao nhau, ký hiệu u ⊥ v , nếu u,v = 0.

Hệ các véc tơ {n

S = v1,..., v } của V được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của hệ

S đều trực giao nhau.

Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.

Định lý 7.2: Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Nếu hệ trực chuẩn và {n

S = v1,..., v } x1v1 + ... + xnvn = 0 thì

xi = x1v1 + ... + xnvn , vi = 0 với mọi i =1,...,n.

Định lý 7.3: Giả sử là một hệ độc lập tuyến tính các véc tơ của không

gian Euclide

S = u1,...,u }

. V Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn {n

S'= v1,..., v } sao cho

span{v1,...,vk }= span{u1,...,uk }; với mọi k =1,...,n .

Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S' theo các bước quy nạp sau đây mà được gọi là

quá trình trực chuẩn hoá Gram-Shmidt.

♦) k =1: Vì hệ S độc lập nên u1 ≠ 0. Đặt

1 u

v = u .

♦) k = 2: Xét v2 = − u2, v1 v1 + u2 , ta có v2 ≠ 0 (vì nếu v2 = 0 thì u2 = kv1,

điều này trái với giả thiết hệ S độc lập). Đặt

2 v

v = v , hệ {v1, v2} trực chuẩn và

span{v1,v2}= span{u1,u2}.

117

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

♦) Giả sử đã xây dựng được đến k −1. Tức có {v1,...,vk −1}trực chuẩn sao cho

span{v1,...,vk −1}= span{u1,...,uk −1}. Tương tự trên ta xét

Σ −

= − +

vk uk vi vi uk (7.10)

ta cũng có vk ≠ 0 ( vì nếu vk = 0 thì là tổ hợp tuyến tính của , do đó là

tổ hợp tuyến tính của

uk v1,..., vk −1

u1,...,uk −1, điều này mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập). Đặt

k v

v = v (7.11)

thì vk ⊥ vi ; i = 1,..., k −1. Vậy hệ {v1,..., vk } trực chuẩn và

span{v1,...,vk }= span{v1,...,vk −1,vk }= span{u1,...,uk −1,uk }.

Ví dụ 7.3: Hãy trực chuẩn hoá hệ S = {u1,u2,u3} trong 􀀖3

với u1 = (1,1,1) , u2 = (−1,1,1) , u3 = (1,2,1) .

Bước 1: 3 1 = u ⇒ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= = ⎛

, 1

1 u

v u .

Bước 2: v2 = − u2, v1 v1 + u2

⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ − = ⎛− ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= − ⎛

, 2

( 1,1,1) 4

, 1

2 = v ⇒ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

, 1

v2 .

Bước 3: v3 = − u3, v1 v1 − u3, v2 v2 + u3

⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ = ⎛ − ⎟⎠

⎞

⎜⎝

− ⎛− ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= − ⎛

, 1

(1,2,1) 0, 1

, 1

3 = v ⇒ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ −

, 1

0, 1 v3 .

118

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

v1, v2, v } là hệ véc tơ trực chuẩn hoá của hệ {u1,u2,u3}.

7.1.3 Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 7.5: Một cơ sở của không gian véc tơ V mà là hệ trực chuẩn được gọi là một cơ

sở trực chuẩn.

Định lí 7.4: Mọi hệ trực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để trở thành cơ sở trực

chuẩn.

Chứng minh: Hệ gồm k véc tơ trực chuẩn S là hệ độc lập tuyến tính nên ta có thể bổ sung

thêm để được một cơ sở của V .Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở này để được một cơ sở trực

chuẩn của V . Trong quá trình trực chuẩn hoá k véc tơ của hệ S không thay đổi vì vậy thực chất

ta đã bổ sung vào hệ S để có cơ sở trực chuẩn của V .

Hệ quả 7.5: Mọi không gian véc tơ Euclide đều tồn tại cơ sở trực chuẩn.

Định lý 7.6: Giả sử {e1,..., en} là một cơ sở trực chuẩn của V thì với mọi u,v∈V , ta có

i) v = v,e1 e1 + ... + v,en en . (7.12)

ii) u,v = u,e1 v,e1 + ... + u,en v,en . (7.13)

iii) , 2 ... , 2 .

v = v e + + v en (7.14)

Chứng minh: Các đẳng thức trên được suy ra từ các khẳng định sau:

Nếu v = x1e1 + ... + xnen , u = y1e1 + ... + ynen

thì v,ei = x1e1 + ... + xnen ,ei = xi với mọi i =1,...,n

và v,u = x1e1 + ... + xnen , y1e1 + ... + ynen = x1y1 + ... + xn yn .

7.1.4 Không gian con trực giao, phần bù trực giao

Định nghiã 7.6: Véc tơ v∈V được gọi là trực giao với tập con S ⊂V , ký hiệu v ⊥ S ,

nếu v ⊥ u với mọi u∈S .

Tập con S1 trực giao với tập con S2 , ký hiệu S1 ⊥ S2 , nếu v ⊥ u với mọi

v∈S1,u∈S2 .

Tính chất 7.7:

1) Nếu v ⊥ S thì v ⊥ spanS .

119

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2) Giả sử {e1,..., ek } là một cơ sở của W thì v ⊥W khi và chỉ khi v ⊥ ei , với mọi

i =1,..., k .

3) Với mọi tập con S ⊂V . Ta ký hiệu S ⊥ = {v∈V v ⊥ u,∀u∈S}.

Tập S⊥ là không gian véc tơ con của V .

4) Với mọi không gian con W của V . Ta có:

⊥

⊥⊕

V =W W , (W ) =W

⊥ ⊥

Hai không gian con W,W⊥ được gọi là phần bù trực giao của nhau.

Chứng minh: 1) Với mọi u∈spanS , u = x1u1 + ... + xkuk , u1,...,uk ∈S

⇒ v,u = v, x1u1 + ... + xkuk = x1 v,u1 + ... + xk v,uk = 0 .

2) Hiển nhiên từ 1).

3) 0∈S⊥ ⇒ S⊥ ≠φ . Với mọi v1, v2 ∈S⊥, α ,β ∈􀀖, u∈S :

αv1 + βv2,u =α v1,u + β v2,u = 0 ⇒αv1 + βv2 ∈S⊥.

4) Giả sử {e1,..., ek } là một cơ sở trực chuẩn của W .

∀v∈V , đặt u = v,e1 e1 + ... + v,ek ek ∈W .

Ta có: v − u,ei = 0,∀i =1,..., k ⇒ v − u∈W ⊥ .

Vậy V =W +W⊥.

Ngoài ra ∀u∈W ∩W⊥ thì u,u = 0⇒ u = 0 , do đó V =W ⊕W⊥ .

Theo định nghĩa ta dễ dàng có W ⊂ (W⊥ )⊥ .

Ngược lại với mọi v∈(W ) ⊂V

⊥ ⊥ ⇒ v = u1 + u2 , u1∈W , u2 ∈W⊥

⇒ 0 = v,u2 = u1 + u2,u2 = u1,u2 + u2,u2 = u2,u2

⇒ u2 = 0⇒ v = u1∈W ⇒ (W ) ⊂W

⊥ ⊥ .

120

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Nếu hệ véc tơ {ek +1,...,ek +m} là một cơ sở trực chuẩn của W⊥ thì {e1,...,ek ,ek +1,...,ek +m}

là cơ sở trực chuẩn của V .

7.2 MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO

7.2.1 Ma trận trực giao

Định nghĩa 7.7: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu At A = I .

Nếu [ ] thì A = aij A là ma trận trực giao khi

; (7.15)

⎩ ⎨ ⎧

≠

= = Σ=

j k

a a

ij ik jk

nÕu

δ jk là ký hiệu Kronecker.

Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có A−1 = At . Mặt khác từ (7.15) ta cũng

thấy rằng ma trận A trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột và các véc tơ hàng của A tạo thành

hai hệ trực chuẩn.

Ta có At A = I =1 ⇒ A = ±1.

Ví dụ 7.4: Ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 3 1 6 1 2

1 3 2 6 0

A là ma trận trực giao.

Ví dụ 7.5: Mọi ma trận vuông cấp 2 trực giao đều có dạng

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A hay ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A . (7.16)

Thật vậy, ta dễ dàng kiểm chứng hai ma trận A ở trên thoả mãn At A = I .

Ngược lại nếu và ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

c d

a b

A I A At = thì ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

0 1

1 0

c d

a b

b d

a c

121

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Suy ra

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ =

1 (3)

0 (2)

1 (1)

2 2

b d

ab cd

a c

Mặt khác từ A = ±1 và (2) & (3) suy ra là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Cramer

b,d

⎩ ⎨ ⎧

+ =

bx dy

ax cy

⇒

b = − c ,

d = a .

♦) Nếu 1 = A thì và ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

b a

a b

A 1 2 2 = + b a ⇒ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A .

♦) Nếu 1 − = A thì , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

b a

a b

A 1 2 2 = + b a ⇒ ⎥⎦ ⎤

⎢⎣

⎡

−

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A .

Định lý 7.8: Ma trận của một hệ trực chuẩn viết trong cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực

giao. Đặc biệt mọi ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao.

Chứng minh: Gọi [ ] là ma trận của hệ trực chuẩn A = aij {v1,...,vn} viết trong cơ sở

trực chuẩn B = {e1,..., en}.

Từ (7.12) ta có Σ Σ

= =

v j aijei ei v j ei

1 1

Từ (7.13) ta có Σ=

= =

aijaik v j vk jk

, δ

Vậy A là ma trận trực giao.

7.2.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao

Định nghĩa 7.8: Giả sử ( ) V, , V và ( ) V', , V ' là hai không gian véc tơ Euclide. Ánh

xạ tuyến tính f :V →V ' được gọi là ánh xạ trực giao nếu với mọi u,v∈V :

f (u), f (v) V ' = u, v V (7.17)

122

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ta dễ dàng thấy rằng mọi ánh xạ tuyến tính trực giao đều đơn cấu. Vì vậy mọi tự đồng cấu

tuyến tính trực giao là đẳng cấu.

Định lý sau chỉ ra rằng, nếu điều kiện (7.17) thoả mãn đối với mọi véc tơ của một cơ sở trực

chuẩn nào đó thì f cũng là ánh xạ tuyến tính.

Định lý 7.9: Giả sử f là tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ Euclide V .

là một cơ sở trực chuẩn của {n

B = e1,..., e } V . Khi đó f trực giao khi và chỉ khi

{f (e1),..., f (en )} là một cơ sở trực chuẩn của V .

Chứng minh: (⇒): Hiển nhiên vì f (ei ), f (e j ) = ei , e j .

(⇐): Giả sử {f (e1),..., f (en )} là cơ sở trực chuẩn thì với mọi u,v∈V :

v = x1e1 + ... + xnen , u = y1e1 + ... + ynen

⇒ f (v), f (u) = x1 f (e1) + ...+ xn f (en ), y1 f (e1) + ...+ yn f (en )

= x1y1 + ... + xn yn = v,u .

7.2.3 Ma trận của tự đẳng cấu trực giao

Giả sử [ ] là ma trận của tự đẳng cấu A = aij f trong không gian Euclide V với cơ sở

trực chuẩn . Theo định lý 7.8 và định lý 7.9 thì tự đẳng cấu {n

B = e1,..., e } f là trực giao khi

và chỉ khi A là một ma trận trực giao.

Vậy ma trận của tự đẳng cấu trực giao trong một cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực

giao. Ngược lại, nếu A là ma trận trực giao và f là tự đồng cấu tuyến tính có ma trận trong cơ

sở trực chuẩn là A thì f là ánh xạ trực giao.

Định lý 7.10: Mọi ma trận trực giao chỉ có các giá trị riêng là −1 hay 1.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu trực giao có ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào

đó là A. Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tồn tại véc tơ riêng v ≠ 0 sao cho f (v) =λv .

Khi đó f (v), f (v) = λv,λv = λ2 v, v .

Mặt khác f (v), f (v) = v,v ⇒ λ2 v, v = v, v

v,v ≠ 0 ⇒ λ2 =1. Vậy λ = ±1.

123

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.3 CHÉO HOÁ TRỰC GIAO MA TRẬN - TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG

7.3.1 Bài toán chéo hoá trực giao

Cho ma trận A tìm ma trận trực giao T sao cho Tt AT là ma trận chéo.

Định lý 7.11( điều kiện cần): Nếu A chéo hoá trực giao được thì A là ma trận đối xứng.

Chứng minh: Nếu Tt AT là ma trận chéo thì (T t AT )t= Tt AT . Do đó Tt AtT = Tt AT ,

vì T khả nghịch nên At = A.

Ngược lại, ta sẽ chứng minh nếu A đối xứng thì chéo hoá trực giao được.

7.3.2 Tự đồng cấu đối xứng

Định nghĩa 7.9: Tự đồng cấu f :V →V được gọi là đối xứng nếu với mọi u,v∈V :

f (u),v = u, f (v) (7.18)

Tính chất 7.12: Nếu là một cơ sở của {n

B = e1,..., e } V thì tự đồng cấu f là đối xứng

khi và chỉ khi với mọi i, j =1,...,n,

f (ei ), e j = ei , f (e j ) (7.19)

Thật vậy, nếu có (7.19) thì ∀ v = x1e1 + ... + xnen , u = y1e1 + ... + ynen :

( ), , ( ) , ( )

( ), ( ) ... ( ), ...

1 1 1 1

x y f e e x y e f e v f u

f v u x f e x f e y e y e

i j

i j i j

i j

n n n n

= = =

= + + + +

ΣΣ ΣΣ

= = = =

Như vậy để chứng minh một tự đồng cấu là đối xứng thì thay vì chứng minh công thức

(7.18) đúng với mọi v,u∈V ta chỉ cần chứng minh công thức (7.19) đúng với một cơ sở nào đó.

7.3.3 Ma trận của một tự đồng cấu đối xứng trong một cơ sở trực chuẩn

Giả sử [ ] là ma trận của tự đồng cấu A = aij f trong một cơ sở trực chuẩn B = {e1,..., en}

⇒ i

j i

f e j Σaijei Σ f e e e

= =

1 1

( ) ( ), (7.20)

Vậy với mọi i, j =1,...,n: aij = f (e j ), ei .

124

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Từ tính chất 7.12, kết hợp với (7.20) ta có:

Định lý 7.13: f đối xứng khi và chỉ khi ma trận A của f trong một cơ sở trực chuẩn nào

đó là ma trận đối xứng.

Định lý 7.14: Các giá trị riêng của một ma trận đối xứng là các số thực. Nói cách khác,

phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng vuông cấp n có n nghiệm thực.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào

đó là ma trận đối xứng A cấp n . Giả sử λ = a + ib là nghiệm của đa thức đặc trưng

P(λ ) = A −λI . Khi đó theo Định lý 6.15 tồn tại hai véc tơ độc lập tuyến tính u,v∈V sao

cho

⎩ ⎨ ⎧

= +

= −

f u bv au

f v av bu

( )

Do đó f (v),u = a v,u − b u,u , v, f (u) = a v,u + b v, v .

Vì f đối xứng suy ra − b u,u = b v,v ≥ 0 ⇒ b = 0. Nói cách khác, mọi nghiệm của

đa thức đặc trưng là nghiệm thực.

Định lý 7.15: Hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng khác nhau của một tự đồng cấu đối

xứng là trực giao nhau.

Chứng minh: Giả sử f (v1) = λ1v1 , f (v2 ) = λ2v2 ; v1, v2 ≠ 0 ;λ1 ≠ λ2

thì λ1 v1, v2 = f (v1), v2 = v1, f (v2) = λ2 v1, v2

⇒ (λ1 −λ2) v1, v2 = 0 ⇒ v1, v2 = 0 .

Định lý 7.16: Nếu f là tự đồng cấu đối xứng trong V thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn của

V gồm các véc tơ riêng của f .

Chứng minh: Theo Định lý 7.14 f có véc tơ riêng u1 ứng với giá trị riêng λ1∈􀀖,

u1 = 1. Đặt W1 = {λu1λ ∈􀀖}= span{u1}.

∀v∈W1⊥, f (v),u1 = v, f (u1) = v,λ1u1 = 0 ⇒ f (v)∈W1⊥ .

Vậy ⊥ bất biến đối với

W1 f và = ⊕ ⊥ V W1 W1 nên ta có thể xét:

1 = ⊥ : 1⊥ → 1⊥

f f W W W , dimW1⊥ = dimV −1.

125

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Quy nạp theo số chiều của không gian thì có cơ sở trực chuẩn {u2,...,un} của gồm

các véc tơ riêng của . Do đó là cơ sở trực chuẩn của

⊥

f1 {u1,u2,..., un} V gồm các véc tơ

riêng của f .

Hệ quả 7.17: Mọi ma trận đối xứng đều chéo hoá trực giao được.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma trận A trong cơ sở trực chuẩn

. Theo Định lý 7.16 tồn tại cơ sở trực chuẩn {n

B = e1,..., e } B'= {e'1 ,..., e'n} gồm các véc

tơ riêng của f . Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì T trực giao và

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

T t AT

(7.21)

trong đó λ1,...,λn là các giá trị riêng của A.

7.3.4 Thuật toán chéo hoá trực giao

Muốn chéo hoá trực giao một ma trận đối xứng A, nghĩa là tìm ma trận trực giao T sao

cho Tt AT có dạng chéo, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm các giá trị riêng của A (nghiệm của đa thức đặc trưng).

Bước 2: Trong mỗi không gian riêng tìm một cơ sở và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở

này.

Bước 3: Gộp các cơ sở đã được trực chuẩn hoá ở bước 2 ta có một cơ sở trực chuẩn của V .

Ma trận các véc tơ của cơ sở này là ma trận trực giao T cần tìm.

Ví dụ 7.6: Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

2 1 3

2 3 1

0 2 2

Đa thức đặc trưng

λ λ

− − −

−

− −

−

− =

4 1 3

4 3 1

4 2 2

2 1 3

2 3 1

2 2

A I

126

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

(4 ) ( 2)

0 4

0 2 3

(4 ) 2 2

0 3 1

0 1 3

(4 ) 2 2

= = − − +

−

− − −

−

− −

−

= λ λ

♦Với giá trị riêng λ1 = −2 , véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

2 1 5

2 5 1

2 2 2

ta có

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

↔ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

↔ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

↔ −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0 0 0

0 1 1

1 2 0

0 0 0

0 1 1

1 1 1

0 3 3

1 1 1

2 1 5

2 5 1

2 2 2

Hệ phương trình trên tương đương với hệ

⎩ ⎨ ⎧

− =

+ =

2 0

y z

x y

có nghiệm

⎩ ⎨ ⎧

= −

y z

x 2y

⇒ v = (−2y, y, y) = y(−2,1,1) . Chọn v1 = (−2,1,1) .

Trực chuẩn hoá được u1 = (− 2 6 ,1 6 ,1 6) .

♦ Với giá trị riêng λ2 = 4 (nghiệm kép), véc tơ riêng v = (x, y, z) là nghiệm của hệ

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

2 1 1

4 2 2

ta có

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

↔

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

0 0 0

2 1 1

4 2 2

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình 2x − y − z = 0

⇒ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= = ⎛ + ,0,1

,1,0 1

, , 1

2 2

v (x, y, z) y z y z y z .

127

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Chọn ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ,0,1

,1,0 , 1

v2 v3 .

Trực chuẩn hoá hai véc tơ này ta có

u2 = (1 5 , 2 5 ,0) , u3 = (2 30 , −1 30 ,5 30) .

Vậy

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

1 6 0 5 30

1 6 2 5 1 30

2 6 1 5 2 30

T và

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

0 0 4

0 4 0

2 0 0

T t AT .

7.4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG

7.4.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

Giả sử η :V ×V →􀀖 là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V .

là một cơ sở của {n

B = e1,..., e } V

Ma trận [ ] , A = aij aij =η(ei , e j ) (7.22)

được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trong cơ sở B.

∀u, v∈V; u = x1e1 + ... + xnen và v = y1e1 + ... + ynen

Σ Σ

= =

= + + + +

i j

ij i j

i j

i j i j

n n n n

e e x y a x y

u v x e x e y e y e

, 1 , 1

1 1 1 1

( , )

( , ) ( ... , ... )

η η

(7.23)

(7.23) được gọi là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính η trong cơ sở B.

Ngược lại ta có thể chứng minh được rằng ánh xạ η :V ×V →􀀖 xác định bởi

Σ là một dạng song tuyến tính có ma trận thoả mãn (7.22) và (7.23).

i j

u v aij xi y j

, 1

η( , )

Định nghĩa 7.10: Giả sử η :V ×V →􀀖 là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ

V . Ánh xạ Q: V → 􀀖

v a Q(v) =η(v,v)

được gọi là một dạng toàn phương trên V .

128

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Nếu là một cơ sở của {n

B = e1,..., e } V , ∀v∈V; v = x1e1 + ... + xnen

theo (7.23) ta có

Σ Σ

= =

= = =

i j

ij i j

i j

Q v v v ei e j xi x j a x x

, 1 , 1

( ) η( , ) η( , )

Ngược lại ánh xạ Q : V → 􀀖 có biểu thức toạ độ trong cơ sở B

Σ , với

i j

Q v aij xi x j

, 1

) ( Σ=

v xiei

(7.24)

là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính η sao cho aij =η(ei , e j ) .

Nói cách khác một dạng toàn phương là một hàm số xác định trong không

gian véc tơ

Q : V → 􀀖

V có công thức xác định ảnh Q(v) là một đa thức thuần nhất bậc hai đối với các toạ

độ của véc tơ v trong cơ sở bất kỳ.

Chú ý rằng trong biểu thức Σ ta có thể thay

i j

Q v aij xi x j

, 1

( )

aij xi x j + a ji x j xi bởi a'ij xi x j + a' ji x j xi thoả mãn aij + a ji = a'ij +a' ji .

Vì vậy cùng một dạng toàn phương Q có nhiều dạng song tuyến tính η sao cho

Q(v) =η (v,v) . Nhưng nếu ta thêm điều kiện

aij = a ji nghĩa là η(ei , e j ) =η(e j , ei )

thì với mỗi dạng toàn phương Q chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng η

thỏa mãn Q(v) =η(v,v) . Dạng song tuyến tính đối xứng η này được gọi là dạng cực của Q .

Nếu ma trận A xác định bởi (7.22) thoả mãn thêm điều kiện aij = a ji (ma trận A đối

xứng) thì A cũng còn được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B .

Ví dụ 7.7: Tìm ma trận của dạng toàn phương Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc

của 􀀖3, v = (x1, x2, x3) = x1e1 + x2e2 + x3e3 là

2 3

1 3 3

1 2 2

Q(v) = x1 − 2x x + x + 4x x + 4x + 2x x

129

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2 3 3 2

3 1 3

1 3

1 2 2 1 2

2 4

( ) 2

x x x x x x x

Q v x x x x x x x x

+ + + +

= − − + +

Do đó ma trận A của Q cơ sở chính tắc

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

2 1 4

1 1 1

1 1 2

A .

7.4.2 Biểu thức toạ độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau

Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian véc tơ V có dạng cực tương ứng là η .

[ ] A = aij , là hai ma trận của trong hai cơ sở .

của

[ ] A'= a'ij Q B = {e1,..., en}

B'= {e'1 ,..., e'n} V : aij =η(ei , e j ) , a'ij =η(e'i ,e' j ) .

Gọi [ ] là ma trận chuyển từ cơ sở sang : ij t T = B ' B Σ=

e j tijei

Khi đó ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= = Σ Σ

= =

a ij e i e j tkiek tljel

1 1

' η( ' , ' ) η ,

Σ Σ Σ Σ

= = = =

⎟ ⎟ ⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

ki kl lj

tki ek el tlj t a t

1 1 1 1

η( , )

Vậy A'= T t AT (7.25)

Nếu ta ký hiệu toạ độ của các véc tơ dưới dạng ma trận cột:

v = x1e1 + ... + xnen , v'= x'1 e'1+... + x'n e'n

Đặt , thì

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

X M

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

x n

M X = TX '

Xét ma trận một hàng một cột

[ ( )] ' ' ' ' ' '

, 1 , 1

Q v a x x X AX a x x X t A X

i j

ij i j

i j

ij i j =

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

= =

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

= Σ Σ

= =

130

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

[Q(v)]= X t AX = (TX ')t A(TX ') = X 't (T t AT)X '= X 't A'X ' . (7.26)

7.4.3 Biểu thức toạ độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Ta cần tìm một cơ sở của V để trong cơ sở này ma trận của dạng toàn phương là ma trận

chéo, nghĩa là biểu thức toạ độ có dạng chính tắc:

2 2

22 2

Q(v) = a11x1 + a x + ... + annxn (7.27)

7.4.4 Đưa về chính tắc bằng chéo hoá trực giao

Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian Euclide V với cơ sở trực chuẩn

có ma trận (ma trận đối xứng). Theo Hệ quả (7.17) ta có thể hoá

chéo trực giao ma trận , nghĩa là ta tìm được ma trận trực giao T để

B = e1,..., e } [ ] A = aij

[ ] A = aij T AT t là ma

trận chéo. T là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng

của

B B'

A.Vì vậy biểu thức (7.24) trong cơ sở B' có dạng chính tắc (7.27).

Ví dụ 7.8: Q: 􀀖3 → 􀀖

v = (x1, x2, x3) 1 2 1 3 2 3

a Q(v) = 3x2 + 3x + 4x x + 4x x − 2x x

Ma trận của Q cơ sở chính tắc của 􀀖3 là:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

2 1 3

2 3 1

0 2 2

Theo Ví dụ 7.6 tồn tại cơ sở B'= {e'1 , e'2 , e'3}:

e'1 = (− 2 6 ,1 6 ,1 6) , e'2 = (1 5 , 2 5 ,0) ,

e'3 = (2 30 , −1 30 ,5 30) .

v = (x1, x2, x3) = x'1 e'1+x'2 e'2+x'3 e'3

Q(v) = −2x'1 +4x' +4x' .

7.4.5 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange

Giả sử trong cơ sở của không gian véc tơ {n

B = e1,..., e } V (không giả thiết không gian

Euclide) biểu thức toạ độ của dạng toàn phương Q có dạng:

131

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Σ ,

i j

Q v aij xi x j

, 1

) ( ji ij a a = , Σ=

v xiei

Ta thực hiện các phép đổi toạ độ sau:

♦ Trường hợp 1: Giả sử có aii ≠ 0, chẳng hạn a11 ≠ 0 thì ta có thể sắp xếp lại:

Σ Σ

= =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= +

i j

ij i j

i x a x x

Q v a x x a

2 11 , 2

( ) 11 1 2

2 11

, 2

2 11

1 11 ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

+ −

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= + Σ Σ Σ

= = =

i j

ij i j

i xi

x a x x a a

a x a (7.28)

Σ Σ

= =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= +

i j

ij i j

i x a x x

a x a

, 2

2 11

11 1 '

Đặt

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

= =

+ = Σ=

y x j n

y x a

j j

; 2,...,

2 11

1 1

thì Σ=

= +

i j

Q v a y a ij yi y j

, 2

( ) 11 1 '

Tiếp tục quá trình này với biểu thức . Σ=

i j

a ij yi y j

, 2

♦ Trường hợp 2: Nếu mọi aii = 0 thì tồn tại aij ≠ 0 , chẳng hạn a12 ≠ 0 .

Đặt (7.29)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= =

= −

= +

x y j n

x y y

j j ; 3,...,

2 1 2

1 1 2

thì Σ Σ

= =

i j

ij i j

i j

Q v aij xi x j a y y

, 1 , 1

( ) '

có a'11 = a12 ≠ 0 , vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1.

132

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ví dụ 7.9: Cho dạng toàn phương có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc của ,

Q 􀀖3

v = (x1, x2, x3)

2 3

1 3 3

1 2 2

Q(v) = x1 − 2x x + 2x + 4x x + 4x + 2x x ,

Ta có 2 3

1 2 3 2

Q(v) = x1 + 2x (−x + 2x ) + 2x + 4x + 2x x

2 3

= (x1 − x2 + 2x3) − (−x + 2x ) + 2x + 4x + 2x x

2 3

= (x1 − x2 + 2x3) + x + 6x x

2 3

= (x1 − x2 + 2x3) + (x + 3x ) − 9x

Đặt ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= − +

3 3

2 2 3

1 1 2 3

y x

y x x

y x x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= −

= + −

3 3

2 2 3

1 1 2 3

x y

x y y

x y y y

Q(v) = y1 + y − 9y

⇒ ma trận chuyển cơ sở .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 1

0 1 3

1 1 5

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0 0 1

0 1 3

1 1 5

Vậy trong cơ sở mới e'1 = (1,0,0) , e'2 = (1,1,0) , e'3 = (−5,−3,1) ;

v = (x1, x2, x3) = y1e'1+ y2e'2+ y3e'3 có . 2

Q(v) = y1 + y − 9y

Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp Lagrange thì ma trận T nhận được nói chung không

phải là ma trận trực giao và cơ sở {e'1 , e'2 , e'3} không phải là cơ sở trực chuẩn.

Ví dụ 7.10: Cho dạng toàn phương Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc

1 2 1 3 2 3 .

Q(v) = x1 + 4x + x + 4x x + 2x x + 2x x

Ta có 2 3

1 2 3 2

Q(v) = x1 + 2x (2x + x ) + 4x + x + 2x x

2 3

= (x1 + 2x2 + x3) − (2x + x ) + 4x + x + 2x x

133

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2 3

= (x1 + 2x2 + x3) − 2x x

Đặt hay

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

3 3

2 2

1 1 2 3

y x

y x x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= − −

3 3

2 2

1 1 2 3

x y

x y y y

thì 2 3

Q(v) = y1 − 2y y

Đặt thì

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= −

= +

3 2 3

2 2 3

1 1

y z z

y z

Q(v) = z1 − 2z + 2z

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ − −

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 1 1

1 3 1

0 1 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

1 2 1

Vậy trong cơ sở mới e'1 = (1,0,0) , e'2 = (−3,1,1) , e'3 = (−1,1,−1) ;

v = (x1, x2, x3) = z1e'1+z2e'2+z3e'3 thì . 2

Q(v) = z1 − 2z + 2z

7.4.6 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi

Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide)

với dạng cực tương ứng η và có ma trận trong cơ sở B = {e1,..., en} là [ ] A = aij :

aij =η(ei , e j ) ; i, j =1,...,n.

Nếu các định thức con chính của A đều khác không

D1 = a11 ≠ 0, 0

21 22

11 12

2 = ≠

a a

D , ... , 0

...

11 1

= ≠

n nn

a a

D M O M (7.30)

thì với mỗi j =1,...,n các hệ phương trình Cramer sau

134

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

(7.31)

... 1

.............................................

... 0

1 1 2 2

21 1 22 2 2

11 1 12 2 1

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

j j jj j

j j

a x a x a x

luôn có nghiệm duy nhất ký hiệu là ( ) α1 j ,α 2 j ,....,α jj .

Xét hệ véc tơ (7.32)

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= + + +

= +

fn ne ne nnen

f e e

f e

α α α

α α

....

.........................................

1 1 2 2

2 12 1 22 2

1 11 1

Ta quy ước D0 = 1, từ điều kiện (7.30) và hệ (7.31) thì 0 = −1 ≠

jj D

∀ j =1,...,n. Định thức của hệ B'= {f1,..., fn} trong cơ sở {e1,...,en} là

α11α 22....α nn ≠ 0 nên hệ B' độc lập tuyến tính vì vậy là một cơ sở của V .

Từ (7.31) và (7.32) ⇒ η( f j ,ei ) = ai1α1 j + ai2α 2 j + ... + aijα jj = 0 với mọi

i =1,..., j −1 và η( f j ,e j ) = a j1α1 j + a j2α 2 j + ... + a jjα jj =1. Do đó ta cũng có

η( f j , fi ) = 0 với mọi i < j và

η( f j , f j ) =η( f j ,α1 je1 + ... +α jje j ) =α jjη( f j ,e j ) =α jj .

Mặt khác dạng song tuyến tính η đối xứng nên η( f j , fi ) = 0 với mọi i > j .

Vậy

⎪⎩ ⎪⎨

⎧

≠

= − i j

i j

f f

i j j nÕu

nÕu

η( , ) với i, j =1,...,n (7.33)

Gọi A' là ma trận của trong cơ sở . là ma trận chuyển từ cơ sở sang

thì :

Q B' T B B'

135

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

α α

α α α

O M

22 2

11 12 1

[ ]

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= = =

i j

T t AT A f f

η O

' ( , )

Vậy biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B' có dạng chính tắc:

v = y1 f1 + ... + yn fn ⇒ 2 1 2

2 1

( ) 1 ... n

n y

y D

Q v = + + + − .

Ví dụ 7.11: Xét dạng toàn phương trong Ví dụ 7.9

2 3

1 3 3

1 2 2

Q(v) = x1 − 2x x + 2x + 4x x + 4x + 2x x

Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

2 1 4

1 2 1

1 1 2

có các định thức con chính 1, 9

1 2

1 1

1 1, 2 = 3 = = −

−

D = D = D A .

♦) k =1 ta có 1 1

11 = =

α ; (7.34)

♦) k = 2: Hệ phương trình (7.31) có dạng

⇒ nghiệm

⎩ ⎨ ⎧

− + =

− =

2 1

1 2

x x

x1 = x2 = 1 (7.35)

♦) k = 3: Hệ phương trình (7.31) có dạng

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

− + + =

− + =

2 4 1

2 0

1 2 3

x x x

x1 = ,

x2 = ,

x3 = − . (7.36)

Ta chọn cơ sở dạng (7.32)

(7.34) ⇒ f1 = e1 = (1,0,0)

136

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

(7.35) ⇒ f2 = e1 + e2 = (1,1,0)

(7.36) ⇒ f3 = 5 9e1 +1 3e2 −1 9e3 = (5 9,1 3,−1 9) .

Trong cơ sở mới này biểu thức toạ độ của Q có dạng:

v = (x1, x2, x3) = y1 f1 + y2 f2 + y3 f3

⇒ 2

2 2

2 1

1 9

( ) 1 y y y 1 y

y D

Q v = + + = + − .

Các ví dụ 7.9, 7.11 cho thấy rằng cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng

chính tắc với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ

chứng minh điều này qua luật quán tính.

7.4.7 Luật quán tính

Giả sử là hai ma trận của Q trong hai cơ sở ,

của

A = [aij ] , [ ] A'= a'ij B = {e1,..., en}

e e ' ,..., ' ' 1 = B }V

. Gọi [ ] T = tij là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì

A'= Tt AT . Theo tính chất hạng của ma trận ta có . Mặt khác T

khả nghịch nên

r(A') = r(Tt AT) ≤ r(A)

( ) 1 1

' − −

A = T t A T ⇒ r(A) ≤ r(A') . Vậy r(A) = r(A') . Do đó ta có thể

định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó.

Định lý 7.18 (Sylvester - Jacobi): Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính

tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc

lựa chọn cơ sở).

Chứng minh: Giả sử trong cơ sở B = {e1,..., en} (không giả thiết trực chuẩn) biểu thức

toạ độ của dạng toàn phương Q có dạng:

Σ=

∀ =

v xiei

, Σ ,

i j

Q v aij xi x j

, 1

( ) aij = a ji .

Giả sửB'= {e'1 ,..., e'n}, B"= {e"1 ,..., e"n} là hai cơ sở sao cho biểu thức toạ độ của

có dạng chính tắc: Q Σ=

v xiei

Σ=

yie i

' Σ=

zie i

" ;

137

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2 2

1 1

2 2

Q(v) = k1y1 + ... + k p y p − k p+ y p+ − ... − kr yr

2 2 (7.37)

1 1

2 2

= l1z1 + ... + lq zq − lq+ zq+ − ... − lr zr

với r = r(A) là hạng của A, các hệ số k1,..., kr ; l1,...,lr > 0.

Ta chứng minh p = q bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử p < q (trường hợp q < p được chứng minh hoàn toàn tương tự).

Ta có , (7.38)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

n n nn n

n n

y b x b x

...

..................................

...

1 1

1 11 1 1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

n n nn n

n n

z c x c x

...

..................................

...

1 1

1 11 1 1

(7.37) ⇒ 2 2

1 1

2 2

k1y1 + ... + k p y p + lq+ zq+ + ... + lr zr

2 2 (7.39)

1 1

2 2

= l1z1 + ... + lq zq + kq+ yq+ + ... + kr yr

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một véc tơ , V v∈ Σ=

v xiei

Σ=

yie i

' " 0

≠ =Σ=

zie i

thoả mãn điều kiện:

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= = = = = =

= = =

+ ... + ... 0

... 0

1 1

q r r n

z z z z

y y

(7.40)

Thật vậy, các điều kiện (7.40) kết hợp với (7.38) xác định một hệ phương

trình tuyến tính thuần nhất ẩn . Vì số phương trình ít hơn số ẩn nên tồn tại

nghiệm không đồng thời bằng .

n − q + p < n

n x1, x2,..., xn

0 0

x1 ,..., xn 0

Xét véc tơ 0.

0 ≠ =Σ=

v xi ei

Mặt khác từ (7.39) và (7.40) ⇒ z1 = ... = zq = zq+1 = ... = zn = 0

⇒ " 0 , mâu thuẩn. Vậy

0 = =Σ= n

v zie i p = q .

138

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Định nghĩa 7.11: Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương và số các hệ số âm

được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương.

Giả sử ( p, q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không

gian n chiều V thì p + q = r (hạng của Q ).

Nếu r = n thì Q được gọi là không suy biến;

p = n thì Q được gọi là xác định dương;

q = n thì Q được gọi là xác định âm.

Rõ ràng Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v) > 0 , với mọi v ≠ 0 ;

Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v) < 0 , với mọi v ≠ 0 .

Nếu η là dạng cực của dạng toàn phương Q thì:

Q xác định dương khi và chỉ khi η xác định dương;

Q xác định âm khi và chỉ khi η xác định âm;

Q không suy biến khi và chỉ khi η xác định.

Dạng toàn phương ở Ví dụ 7.11 có chỉ số quán tính dương là 2 và âm là 1. không

suy biến.

Q Q

Định lý 7.19 (Sylvester): Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào

đó của V . Khi đó:

(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương.

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là

âm.

Chứng minh: (i) Giả sử là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở

. Xét thì

[ ] A = aij Q

B = {e1,..., en} Vk = span{e1,...,ek } Q V Vk →􀀖 k : có ma trận trong cơ sở

Bk = {e1,..., ek } là ma trận con Ak cấp k nằm ở góc trái của ma trận A. Nếu xác định

dương thì

Q Vk cũng xác định dương. Mặt khác theo luật quán tính ta suy ra rằng các giá trị trên

đường chéo của ma trận dạng chính tắc của dạng toàn phương xác định dương là luôn luôn dương

nên định thức của nó cũng dương. Vây det Ak > 0 , với k =1,...,n .

139

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ngược lại, giả sử Dk = det Ak > 0 , với k =1,...,n . Theo phương pháp Jacobi (4.3.3)

tồn tại cơ sở sao cho biểu thức toạ độ của trong cơ sở có dạng chính

tắc:

B'= f1,..., f } Q B'

v = y1 f1 + ... + yn fn ⇒ 2 1 2

2 1

( ) 1 ... n

n y

y D

Q v = + + + − .

Vậy Q xác định dương.

Trường hợp (ii) được chứng minh tương tự.

7.5 ĐƯỜNG BẬC 2 TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC 2 TRONG KHÔNG GIAN

7.5.1 Mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn

7.5.1.1 Hệ toạ độ trực chuẩn trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng ta xét hai trục vuông góc x'Ox và cắt nhau tại O theo chiều

dương, tạo nên một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Đề các trong mặt phẳng. Trên

y'Oy

Oxy

Ox , Oy ta chọn hai véc tơ đơn vị lần lượt là i và j . Hệ {i, j } là một cơ sở trực chuẩn.

7.5.1.2 Toạ độ của một véc tơ, toạ độ của một điểm trong mặt phẳng

Cho véc tơ v trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cặp được gọi là toạ độ của

véc tơ

(vx ,vy )

v nếu vx , vy là hình chiếu của v xuống hai trục Ox,Oy .

Theo các phép toán cộng véc tơ (theo quy tắc hình bình hành), nhân một số với một véc tơ

và tính vô hướng của hai véc tơ uv = u ⋅ v cos(u,v)

thì v = vx i + vy j = v,i i + v, j j .

Nếu OM = xi + y j thì (x, y) được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M(x, y) . Nói

cách khác toạ độ của véc tơ OM là toạ độ của điểm M . Hai điểm A,B

có toạ độ (xA, yA); (xB, yB ) thì véc tơ AB có toạ độ (xB − xA, yB − yA) .

140

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

y y

y M

j j

O i vx x O i x x

7.5.1.3 Các đường bậc 2 trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, ta xét 3 đường bậc 2 sau:

a) Đường Ellipse (Êlíp)

Cho cố định. Đường ellipse nhận tiêu điểm với độ dài trục lớn là tập

hợp:

F1, F2 F1, F2 a

(E) = {M MF1 + MF2 = 2a} ; a > c với F1F2 = 2c .

Nếu F1(−c,0) , F2(c,0) thì phương trình của ellipse (E) có dạng:

1 2

+ =

với a2 = b2 + c2 . (7.41)

a là độ dài trục lớn, b là độ dài trục bé.

Khi a = b ⇒ c = 0 : ellipse (E) trở thành đường tròn tâm O bán kính a .

b) Hyperbol

(H) = {M MF1 −MF2 = 2a} , a < c .

Phương trình (H) : 1 2

− =

với b2 = c2 − a2 (7.42)

c) Parabol:

Cho đường thẳng (Δ) và điểm F . Parabol có tiêu điểm F , đường chuẩn (Δ) là tập hợp:

(P) = {M MF = d(M,Δ)}

141

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

trong đó d(M,Δ) là khoảng cách từ M đến đường thẳng (Δ) .

Nếu F( p 2,0) , (Δ) : x = − p 2 thì (P) có phương trình:

y2 = 2 px (7.43)

(7.41), (7.42), (7.43) là phương trình chính tắc của 3 đường cônic

y y (Δ) y

b F

a x x

−

Ellipse Hyperbol Parabol

7.5.1.4 Phân loại đường bậc 2 trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy . Một đưòng cong bậc 2 có

phương trình tổng quát:

2 2 1 2 2 0 0

12 22

a11x + a xy + a y + a x + a y + a = (7.44)

trong đó a11, a12 , a22 không đồng thời bằng không.

Ta tìm một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc mới để trong hệ toạ độ này đường cong

(7.44) có dạng chính tắc.

Đặt , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

21 22

11 12

a a

A a12 = a21.

Ma trận A đối xứng nên chéo hóa trực giao được, nghĩa là tồn tại ma trận trực giao T sao

cho 1 det = T và . ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

T t AT

Theo ví dụ 7.5 và (7.16) ta có thể chọn ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

T .

142

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Đặt ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

sin cos

cos sin

ϕ ϕ

Như vậy hệ toạ độ mới Ox' y' có được bằng cách quay hệ trục Oxy quanh gốc một

góc

ϕ .

Phương trình đường bậc 2 (7.44) trong hệ toạ độ Ox' y' là:

' ' 2 '1 ' 2 '2 ' 0 0 (7.45)

λ1x +λ y + a x + a y +a =

(nếu a12 = 0 thì không cần bước này).

1) Nếu λ1λ2 ≠ 0 phương trình (7.45) viết được thành

' 0 ' ' ' ' 0

1 = + ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

+ + ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

x + a y a a

Tịnh tiến hệ toạ độ Ox' y' đến hệ toạ độ ΩXY :

' '1

X = x + a ,

' '2

Y = y + a , ta được:

'0 0

λ1X +λ Y + a = . (7.46)

a) a'0 ≠ 0, λ1λ2 > 0, λ1a'0 < 0 : (7.46) là phương trình một Ellipse;

b) a'0 ≠ 0, λ1λ2 > 0, λ1a'0 > 0 : (7.46) là phương trình một Ellipse ảo;

c) a'0 ≠ 0, λ1λ2 < 0: (7.46) là phương trình một Hyperbol;

d) a'0 = 0 , λ1λ2 < 0: Phương trình (7.46) có dạng 2 0

λ1 X − λ Y = là phương

trình cặp đường thẳng cắt nhau.

e) a'0 = 0 , λ1λ2 > 0: Phương trình (7.46) có dạng 2 0

λ1 X + λ Y = là

phương trình một cặp đường thẳng ảo.

2) Có một trong hai giá trị λ1,λ2 bằng 0:

a) λ1 = 0, λ2 ≠ 0 , a'1 ≠ 0: Phương trình (7.44) có thể viết lại:

143

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

2 ' ( ' " ) 0 ' ' 1 0

2 = + + ⎟ ⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

y + a a x a

λ (7.47)

đặt X = x'+a"0 ,

' '2

Y = y + a ta có: X Y a

2 2 1

= − .

Vậy (7.47) là một Parabol nhận trục ΩX làm trục đối xứng.

b) 2 0 λ = , 1 0 λ ≠ , : Đường cong (7. 44) là một Parabol nhận trục làm

trục đối xứng.

'2 0 a ≠ ΩY

c) 1 0 λ = , 2 0 λ ≠ , '1 0 hay a = 1 0 λ ≠ , 2 0 λ = , '2 0 a = : Đường cong (7.44) là

một cặp đường thẳng thực hoặc ảo.

Ví dụ 7.12: Cho đường bậc 2 có phương trình (G) : 5x2 − 4xy + 8y2 = 36 .

Ma trận có giá trị riêng ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

2 8

5 2

A λ1 = 4,λ2 = 9 chéo hoá trực giao ta được:

⎪ ⎪⎩

⎪ ⎪⎨

⎧

= − +

= +

j i j

i i j

' 1

' 2

⇒

⎪ ⎪⎩

⎪ ⎪⎨

⎧

= − +

= +

y X Y

x X Y

phương trình của (G) trong hệ toạ độ mới:

4X 2 + 9Y 2 = 36 ⇒ 1

9 4

2 2

X + Y =

2 3

144

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.5.2 Hệ toạ độ trực chuẩn trong không gian

7.5.2.1 Toạ độ của một véc tơ và toạ độ của một điểm trong không gian

Trong không gian ta xét ba trục vuông góc chung gốc O : x'Ox , y'Oy , ; Tạo

thành một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Descartes trong không gian, viết tắt

z'Oz

Oxyz .

Trên ba trục toạ độ này ta chọn các véc tơ đơn vị lần lượt là i , j , k . Ta chỉ xét hệ trục Oxyz

là hệ thuận, nghĩa là nếu đứng theo chiều véc tơ k ta sẽ thấy i quay sang j theo ngược chiều

kim đồng hồ. Với mọi véc tơ v ta có thể viết

v = vx i + vy j + vz k = v, i i + v, j j + v, k k

trong đó vx , vy , vz lần lượt là hình chiếu của v xuống các trụcOx,Oy,Oz .

(vx , vy , vz ) được gọi là toạ độ của véc tơ v , ký hiệu v = (vx ,vy ,vz ). Toạ độ của véc

tơ OM = (x, y, z) được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x, y, z) .

7.5.2.2 Một số mặt bậc 2 thường gặp trong không gian

a) Ellipsoid (Êlípxôít) là mặt (E) bậc 2 có phương trình 1 2

+ + =

*) Nếu 2 trong 3 số bằng nhau thì ta có mặt ellipsoid tròn xoay. Chẳng hạn nếu

thì ta có mặt tròn xoay quanh trục . Nếu

a,b,c

a = b z'Oz a = b = c = R thì ta có mặt cầu tâm O

bán kính R;

*) Gốc O là tâm đối xứng, các mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng đối xứng;

*) Giao tuyến với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ là các ellipse.

b) Hyperboloid một tầng (Hyperbôlôít) có phương trình (H1) : 1 2

+ − =

*) Gốc O là tâm đối xứng;

*) Các trục toạ độ là trục đối xứng;

*) Các mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng đối xứng;

*) Giao của (H1) với mặt phẳng vuông góc với trục z'Oz là một ellipse;

145

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

*) Giao của (H1) với mặt phẳng chứa trục z'Oz là một Hyperbol.

Tương tự có các Hyperboloid một tầng:

1 2

− + =

, 1 2

− + + =

c) Hyperboloid hai tầng có phương trình (H2 ) : 1 2

+ − = −

*) Mặt phẳng vuông góc với trục z'Oz có phương trình z = h sao cho h > c cắt

(H2 ) theo một elippse;

*) Giao của (H2 ) với mặt phẳng chứa z'Oz là một Hyperbol.

Ellisoid Hyperboloid một tầng Hyperboloid hai tầng

d) Paraboloid elliptic (Parabôlôít êlíptíc) (P1): z

x 2 2

+ = .

*) Giao tuyến của (P1) với mặt phẳng vuông góc trục z'Oz nằm phía trên mặt phẳng

Oxy là một ellipse;

*) Giao tuyến của (P1) với mặt phẳng chứa trục z'Oz là Parabol.

e) Paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) có phương trình

(P2 ) : z

x 2 2

− = .

146

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

*) Giao của (P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục z'Oz là một Hyperbol;

*) Giao của (P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục x'Ox là một Parabol;

*) Giao của (P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục y'Oy là một Parabol.

Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic

g) Các mặt trụ bậc 2

Các mặt trụ bậc 2 đối xứng qua mặt phẳng xOy

*) Trụ elliptic: 1 2

+ =

*) Trụ Hyperbolic: 1 2

− =

*) Trụ Parabolic: x2 = 2 py .

Trụ elliptic Trụ Hyperbolic Trụ Parabolic

x y

147

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

h) Các mặt nón

Các mặt nón đối xứng qua mặt phẳng xOy có phương trình

0 2

+ − =

*) Giao với mặt phẳng vuông góc với trục z'Oz là một ellipse;

*) Giao với mặt phẳng chứa trục z'Oz cặp đường thẳng.

7.5.3 Phân loại các mặt bậc 2

Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz xét mặt (Q) bậc 2 có phương trình:

2 2 2 0.

2 2 2

1 2 3

11 22 33 12 13 23

2 2 2

+ + + + =

+ + + + +

b x b y b z c

a x a y a z a xy a xz a yz (7.48)

Ma trận [ ] , =1,3 =

A aij i j với aij a ji = là ma trận đối xứng nên tồn tại ma trận trực giao

T sao cho detT =1 (để hệ trục toạ độ mới tạo thành tam diện thuận) và

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0

T t AT . Tương ứng với ma trận chuyển cơ sở T là phép quay quanh gốc toạ

độ.

148

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Công thức đổi toạ độ .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

Mặt bậc 2 (Q) có phương trình trong tọa độ mới:

' ' ' 2 '1 ' 2 '2 ' 2 '3 ' 0

λ1x +λ y +λ z + b x + b y + b z +c = (7.49)

Tùy theo các giá trị của λ1, λ2, λ3, b'1 , b'2 , b'3 , c mặt (Q) có các dạng sau:

a) Các giá trị riêng λ1,λ2,λ3 khác 0 (λ1λ2λ3 ≠ 0)

Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ ta có thể đưa phương trình (7.49) về dạng:

2 '. (7.50)

λ1X + λ Y + λ Z = C

*) Nếu C'≠ 0

• λ1,λ2,λ3,C' cùng dấu: (Q) là Ellipsoid;

• λ1,λ2,λ3 cùng dấu, C' trái dấu: (Q) là Ellipsoid ảo;

• λ1,λ2,λ3 chỉ có hai số cùng dấu: (Q) là Hyperboloid một tầng hoặc hai tầng.

*) Nếu C'= 0

• λ1,λ2,λ3 chỉ có hai số cùng dấu: (Q) là nón bậc 2.

• λ1,λ2,λ3 cùng dấu: (Q) là nón ảo (một điểm).

Các trường hợp còn lại sau đây ta chỉ xét mỗi trường hợp một loại đại diện, các loại khác có

kết quả tương tự.

b) Có đúng một giá trị trong ba giá trị λ1,λ2,λ3 bằng 0.

Chẳng hạn λ3 = 0 , λ1λ2 ≠ 0

*) b'3 ≠ 0: Tịnh tiến hệ toạ độ ta được: 2 '3 0 .

λ1X +λ Y + b Z =

Đây là phương trình Paraboloid elliptic nếu λ1λ2 > 0 và Paraboloid hyperbolic nếu

λ1λ2 < 0 .

*) b'3 = 0 : Tịnh tiến toạ độ ta được: 2 '.

λ1X +λ Y = C

149

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Đây là phương trình các mặt trụ nếu C'≠ 0 và các cặp mặt phẳng cắt nhau nếu C'= 0 .

c) Có đúng hai giá trị trong ba giá trị λ1,λ2,λ3 bằng 0.

Chẳng hạn λ3 = 0 , λ2 = 0, λ1 ≠ 0

*) b'2 ,b'3 không đồng thời bằng 0. Giả sử b'2 ≠ 0 : Tịnh tiến toạ độ ta được

"2 0: là mặt trụ Parabolic.

λ1X + b Y = (Q)

*) : Tịnh tiến hệ toạ độ ta có: . Do đó (7.49) là phương trình

cặp mặt phẳng song song nếu

b'2 = b'3 = 0 2 '

λ1X = C

C'≠ 0 và trùng nhau nếu C'= 0 .

Ví dụ 7.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình

(Q) : 7x2 + 7 y2 +10z2 + 2xy + 4xz + 4yz −12x +12y + 72z = 24

Ma trận của dạng toàn phương tương ứng .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

2 2 10

1 7 2

7 1 2

Đa thức đặc trưng A −λI = (6 −λ )2 (12 −λ ) .

Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

0 1 3 2 6

1 2 1 3 1 6

T có detT =1 và

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 12

0 6 0

6 0 0

T t AT

Đổi toạ độ thì phương trình của mặt trong toạ độ mới:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

(Q)

' 24

' 2

' 72 1

' 1

12 1

' 1

6 '2 6 '2 12 '2 12 1

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ ⎛ + ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ ⎛ − −

⎟⎠

⎞

⎜⎝+ + − ⎛− − +

x y z y z

x y z x y z

⇒ 6(x'2+2 2x')+ 6(y'2+4 3y')+12(z'2+2 6)= 24

150

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Tịnh tiến toạ độ: X = x'+ 2 , Y = y'+2 3 , Z = z'+ 6 ,

suy ra 1

30 30 15

( ) :

2 2 2

Q X + Y + Z = .

Vậy (Q) là một Ellipsoid tròn xoay theo trục Z'ΩZ , Ω có toạ độ (− 2,−2 3,− 6).

Ví dụ 7.14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình

(Q) : 2xy + 2xz + 2yz − 6x − 6y + 6z = 0.

Ma trận của dạng toàn phương tương ứng .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

1 1 0

1 0 1

0 1 1

Đa thức đặc trưng A −λI = (λ +1)2 (2 −λ ) .

Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

0 2 6 1 3

1 2 1 6 1 3

T có detT =1 và

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

−

0 0 2

0 1 0

1 0 0

T t AT

Đổi toạ độ thì phương trình của mặt trong toạ độ mới:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

(Q)

' 0.

' 1

' 6 2

' 1

6 1

' 1

'2 '2 2 '2 6 1

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ ⎛ + ⎟⎠

⎞

⎜⎝

− ⎛ − +

⎟⎠

⎞

⎜⎝

− − + − ⎛− − +

x y z y z

x y z x y z

⇒ − x'2−(y'2−4 6y')+ 2(z'2− 3z')= 0

Tịnh tiến toạ độ: X = x', Y = y'−2 6 , Z = z'− 3 2 ,

suy ra 1

( ) : 2

2 2 2

Q X + Y − Z = .

Vậy (Q) là một Hyperboloid một tầng.

151

TMàụi cl ilệụuc tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka,

Moskva, 1969. (tiếng Nga)

2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, Hà nội, 1977.

3. K. MAURIN, Analiza, Czes,c,1. PWN, Warszawa, 1976.

4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991.

5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và Giáo

dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990.

6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội, 1999

(dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)

152

Mục lục

môc lôc

Lời nói đầu ......................................................................................................................................3

Ch−¬ng 1: Më ®Çu vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò, tËp hîp ¸nh x¹ vμ

c¸c cÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................5

1.1. S¬ l−îc vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò......................................................................................................5

1.2. TËp hîp................................................................................................................................7

1.3. ¸nh x¹ ...............................................................................................................................15

1.4. Gi¶i tÝch tæ hîp - NhÞ thøc Newton.....................................................................................19

1.5. C¸c CÊu tróc ®¹i sè .............................................................................................................25

1.6. §¹i sè Boole .......................................................................................................................29

Ch−¬ng 2: Kh«ng gian vÐc t¬......................................................................................37

2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian vÐc t¬..............................................................................................37

2.2. Kh«ng gian vÐc t¬ con ........................................................................................................40

2.3. §éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh............................................................................42

2.4. H¹ng cña mét hÖ h÷u h¹n c¸c vÐc t¬ ..................................................................................44

2.5. C¬ së, sè chiÒu cña kh«ng gian vÐc t¬................................................................................45

Ch−¬ng 3: Ma trËn..............................................................................................................51

3.1. Kh¸i niÖm ma trËn ..............................................................................................................51

3.2. C¸c phÐp to¸n ma trËn ........................................................................................................52

3.3. Ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ trong mét c¬ së nμo ®ã.............................................................56

3.4. H¹ng cña ma trËn................................................................................................................57

Ch−¬ng 4: §Þnh thøc..........................................................................................................61

4.1. Ho¸n vÞ vμ phÐp thÕ ............................................................................................................61

4.2. §Þnh thøc ............................................................................................................................63

4.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc .....................................................................................66

4.4. C¸c c¸ch tÝnh ®Þnh thøc ......................................................................................................68

153

Mục lục

4.5. øng dông ®Þnh thøc ®Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o..................................................................74

4.6. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng ®Þnh møc ................................................................................77

Ch−¬ng 5: HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh................................................................81

5.1. Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ...........................................................................81

5.2. §Þnh lý tån t¹i nghiÖm........................................................................................................82

5.3. Ph−¬ng ph¸p Cramer ..........................................................................................................82

5.4. Ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o........................................................................................84

5.5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p khö Gauss..........................................85

5.6. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ...............................................................................89

Ch−¬ng 6: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.......................................................................................91

6.1. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh...............................................................................................91

6.2. Nh©n vμ ¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.....................................................................................94

6.3. Toμn cÊu, ®¬n cÊu, ®¼ng cÊu...............................................................................................95

6.4. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vμ ma trËn..............................................................................................97

6.5. ChÐo hãa ma trËn..............................................................................................................102

Ch−¬ng 7: Kh«ng gian vÐc t¬ Euclide d¹ng toμn ph−¬ng.....................115

7.1. TÝch v« h−íng, kh«ng gian vÐc t¬ Euclide .......................................................................115

7.2. Ma trËn trùc giao vμ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trùc giao ..............................................................121

7.3. ChÐo hãa trùc giao ma trËn - Tù ®ång cÇu ®èi xøng.........................................................124

7.4. D¹ng toμn ph−¬ng.............................................................................................................128

7.5. §−êng bËc 2 trong mÆt ph¼ng vμ mÆt bËc 2 trong kh«ng gian .........................................140

tμi liÖu tham kh¶o .........................................................................................................152

154

Bạn đang đọc truyện trên: AzTruyen.Top

Trước Sau

Tags: